Analyse Complexe .4 .0 −.4 .0 .4 −.4 Se´ries de Fourier 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Ernst Hairer et Gerhard Wanner Universite´ deGene`ve Octobre2006 Section demathe´matiques Case postale240 CH-1211 Gene`ve4 Table de matie`re I Diffe´rentiabilite´ dans Cl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 Les nombrescomplexeset leplancomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Fonctionscomplexesd’unevariablecomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 E´quationsdeCauchy–Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.4 Proprie´te´s defonctionsholomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.5 Se´ries etfonctionsanalytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.6 Holomorphieet analyticite´ des se´ries entie`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 I.7 Calcul avecdes se´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I.8 Lafonctionexponentielleet lelogarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 II Calcul inte´gral etthe´orie deCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II.1 Cheminset courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II.2 Inte´grales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II.3 Existencedes primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.4 The´ore`mefondamentaldeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 II.5 Formuleinte´graledeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 II.6 De´rive´es supe´rieuresd’unefonctionholomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II.7 The´ore`mefondamentaldel’alge`bre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 II.8 Principedu maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 II.9 Prolongementanalytiqueet the´ore`medel’imageouverte . . . . . . . . . . . . . 43 II.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 III Singularite´s et fonctions me´romorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III.1 Lepointa` l’infiniet lasphe`redeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III.2 Lede´veloppementdeLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 III.3 Singularite´sisole´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 III.4 The´ore`medes re´sidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 III.5 Calcul d’inte´gralespar lame´thodedes re´sidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 III.6 Fonctionsme´romorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 III.7 Principedel’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 III.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 i IV Se´ries deFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 IV.1 De´finitionsmathe´matiqueset exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 IV.2 LemmedeRiemann et fonctionsa` variationborne´e . . . . . . . . . . . . . . . . 75 IV.3 Etudee´le´mentairedelaconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 IV.4 Noyau deDirichletet convergenceponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 IV.5 Lephe´nome`nedeGibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 IV.6 Fonctionscontinues,The´ore`medeFeje´r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 IV.7 Syste`mesorthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 IV.8 L’espacedeHilbert ℓ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 IV.9 OndelettedeHaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 IV.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 V Equations aux de´rive´es partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 V.1 Equationdes ondes(cordevibrante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 V.2 L’e´quationdelachaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 V.3 Leproble`medeDirichletpourl’e´quationdupotentiel . . . . . . . . . . . . . . 106 V.4 Equationdes ondes(membranecirculaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 V.5 TransformationdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 V.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 ii Œuvres ge´ne´rales sur l’analyse complexe et les se´ries de Fourier Il y a un grand assortiment de livres qui introduisent le sujet d’analyse complexe (voir le rayon 30 a` la bibliothe`quede la section de mathe´matiques et aussi le rayon 27 pour des traite´s ge´ne´raux d’analyse). Des livres sur l’analyse de Fourier se trouvent au rayon 42. En voici quelques ex- emples. Les nume´ros entre chrochets (p. ex. [MA 30/213]) vous permettent de trouver le livre facilementa` labibliothe`que. L.V.Ahlfors(1979):ComplexAnalysis.McGraw-Hill.[MA30/62] T.Apostol(1957):Mathematical Analysis. Addison-Wesley. [MA27/51] H. Behnke & F. Sommer (1962): Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Vera¨nderlichen. Springer-Verlag. [MA30/91] J.C.Burkill&H.Burkill(1970): ASecond CourseinMathematical Analysis. CambridgeUniversity Press. [MA27/152] H. Cartan (1961): The´orie e´le´mentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann.[MA30/101] J.Conway(1973):Functionsofonecomplexvariable. Springer.[MA30/152] H.Dym&H.P.McKeen(1972):FourierSeriesandIntegrals. AcademicPress.[MA42/62] W.Fulks(1993):ComplexVariables. M.Dekker.[MA30/268] T.W.Gamelin(2001): ComplexAnalysis.Springer. [MA30/300] R.Godement(1998):Analysemathe´matique IIetIII.Springer. [MA27/274] P.Henrici(1974): AppliedandComputational ComplexAnalysis.JohnWiley&Sons.[MA30/166] A.Hurwitz&R.Courant(1964):Funktionentheorie. Springer-Verlag. [MA30/100] E. Neuenschwander (1996): Riemanns Einfu¨hrung in die Funktionentheorie. Go¨ttingen; cours donne´ par Riemanna` l’Universite´ deGo¨ttingen 1855–1861. R.Remmert(1991): TheoryofComplexFunctions. Springer. [MA30/213] M.Rudin(1978): Analysere´elleetcomplexe. Masson.[MA27/95] G.P.Tolstov(1962): FourierSeries.Dover.[MA42/115] J.S.Walker(1988): FourierAnalysis.OxfordUniversityPress.[MA42/110] Avant-propos Ce polycopie´ contient la matie`re du cours “Analyse II (analyse complexe)” enseigne´ pendant les anne´es 1999 -2002 par Gerhard Wanner et pendant l’anne´e acade´mique2005/06par Ernst Hairer a` laSectiondemathe´matiquesdel’Universite´ deGene`ve. Lesportraitsdelapage1onte´te´ copie´s surl’adresseInternethttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Mathematicians/. ∼ En ce lieu, nous aimerions remercier Assyr Abdulle, Ste´phane Cirilli, Ghislain Jaudon, Gilles Vilmartetdesnombreuxassistantsete´tudiantssoitpourleuraidedanslapre´parationdesexercices soitpourlacorrection des erreurs (typographiquesetmathe´matiques). iii iv TABLEDEMATIE`RE 1 Analyse complexe “COMPLEXE adj. (lat. complexus, qui contient). Qui contient plusieurs e´le´ments diffe´rents et combine´s d’une manie`re quin’est pas imme´diatement claire pour l’esprit, qui estdifficile a` analyser.” (PetitLarousseillustre´ 1983) L’analysecomplexemoderneae´te´ de´veloppe´eau19e`mesie`clepartroismathe´maticiensce´le`bres: A.L. Cauchy (1789–1857) conside`re des fonctions diffe´rentiables dans Cl (fonctions holo- • morphes ou analytiques). Sa the´orie est base´e sur une repre´sentation inte´grale de telles fonctions(formuledeCauchy)et surles re´sidus. B. Riemann (1826–1866) publie sa the`se “Grundlagen fu¨r eine allgemeine Theorie der • Functionen einer vera¨nderlichen complexen Gro¨sse” en 1851. Pour lui, la conception ge´o- me´triqueoccupeuneplacepre´ponde´rante. K. Weierstrass (1815–1897) appuie sa the´orie sur les fonctions de´veloppables en se´ries • entie`res(fonctionsanalytiques),ilenre´sulteuneapprochealge´briquedel’analysecomplexe. Aujourd’hui, les trois approches sont confondues et inse´parables. De cette manie`re il est possible desimplifierlathe´orieet detrouverdes re´sultatsimportants. “Lathe´oriedeCauchycontenaitengermea`lafoislaconceptionge´ome´triquedeRiemannetla conception arithme´tiquedeWeierstraß, ...lame´thodedeRiemannestavanttoutuneme´thode dede´couverte, celledeWeierstraßestavanttoutuneme´thodedede´monstration.” (H.Poincare´ 1898,ActaMath. 22,p.6–7) Dans ce cours nous abordons la the´orie du calcul diffe´rentiel dans Cl (chapitre I) et des fonctions holomorphes selon Riemann. Nous suivons ensuite le cheminement de Cauchy (inte´grales com- plexes,formuledeCauchy)danslechapitreIIet nousde´montronsquetoutefonctionholomorphe est analytique (posse`de un de´veloppement en se´rie entie`re). Nous traitons les singularite´s et le calcul dere´sidusdanslechapitreIII. Cauchy Riemann Weierstrass Chapitre I Diffe´rentiabilite´ dans Cl L’objetdel’analysecomplexeestl’e´tudedefonctions Cl Cl . Nousrappelonslesre`glesdecalcul → avec les nombres complexes et nous discutons la diffe´rentiabilite´ dans Cl (qui est diffe´rente de la diffe´rentiabilite´ dans IR2). Les fonctions holomorphes (c.-a`-d., diffe´rentiable dans Cl ) posse`dent desproprie´te´ssurprenantesquiserontanalyse´esparlasuite. Nousterminonscechapitreparl’e´tude des se´riesentie`res (fonctionsanalytiques). I.1 Les nombres complexes et le plan complexe Les nombres complexes ont leur origine dans l’impossibilite´ de re´soudre certaines e´quations qua- dratiques (Cardano 1545); au cours des sie`cles suivants, ils deviennent de plus en plus importants (Descartes 1637; voir [HW, pages 57–61]1 pour plus de pre´cisions). Euler de´couvre leur grande utilite´ dans touteslesbranches del’analyse, et introduit(en 1777)lesymbole i = √ 1 c.-a`-d. i2 = 1, (1.1) − − graˆce auquelles nombrescomplexesprennentlaforme z = x+iy. (1.2) De`s le de´but du 19e`me sie`cle (Gauss 1799, Argand 1806), on identifie les nombres complexes Cl avecleplandeGauss(ouplan d’Argand)IR2 (voirFig.I.1a` gauche) Cl = x+iy ; x,y IR IR2 = (x,y); x,y IR . (1.3) { ∈ } ≃ { ∈ } On note x = Rez, y = Imz les parties re´elles et imaginaires de z, et z = x iy le nombre − complexeconjugue´. Le corps des nombres complexes. En tenant compte de (1.1), le produit de deux nombres com- plexes c = a+ib et z = x+iy donne c z = ax by +i(ay +bx). (1.4) · − Avec l’addition c+z = a+x+i(b+y) l’ensemble Cl devient un corps commutatif. L’e´le´ment inversedez pourlamultiplicationest 1 z x iy x y = = − = i . (1.5) z zz x2 +y2 x2 +y2 − x2 +y2 1Onutilisel’abbreviationHWpourlelivredeE.Hairer&G.Wanner,L’analyseaufildel’histoire. Celivrenous sertdere´fe´rencesurlesujetstraite´saucoursAnalyseI. Diffe´rentiabilite´ dans Cl 3 w = c z Cl i eiϕ z = x+iy · w = c+z r y i i ϕ c c 0 x 1 z z 1 z ϕ α z = x iy ϕ i − 0 1 0 1 − FIG. I.1: Plan complexe(gauche),additioncomplexe(milieu),multiplicationcomplexe(droite) En identifiant un nombre re´el x avec le nombre complexe x + i 0, l’ensemble IR peut eˆtre · conside´re´ commeunsous-corpsde Cl . Coordonne´es polaires. Si l’onde´noteparr ladistancedupoint z = x+iy a` l’origine,etparϕ l’angleentre l’axehorizontalet ladroitequi reliel’origineavecle pointz (voirFig.I.1 a` gauche), nousavons x = rcosϕ et y = rsinϕ. Ladistancer s’appellemoduleouvaleurabsoluedez, et ϕ = argz est sonargument. Ainsilenombrecomplexez peuteˆtre e´crit comme z = r(cosϕ+i sinϕ). (1.6) Cette repre´sentation des nombres complexes permet une interpre´tation ge´ome´trique du produit. Pour c = s(cosα+isinα) et z = r(cosϕ+isinϕ), leproduit(1.4)devient c z = sr(cosαcosϕ sinαsinϕ+i(sinαcosϕ+cosαsinϕ)) · − (1.7) = sr(cos(α+ϕ)+isin(α+ϕ)) a` l’aide des identite´s trigonome´triques connues ([HW, p.43]). Ainsi, la multiplication de deux nombrescomplexesmultiplieles valeursabsoluesetadditionnelesarguments(Fig.I.1a` droite). Espace me´trique. Avecl’identification(1.3)de Cl avecIR2, lavaleurabsoluede z = x+iy z = r = x2 +y2, (1.8) | | q correspond a` lanormeeuclidiennedeIR2. Ellefait de Cl un espacenorme´. Ladistanceentredeux nombrescomplexesest ainsi d(z ,z ) = z z . 1 2 2 1 | − | Les concepts de convergence, limites, continuite´,convergence uniforme, ensembles ouverts et ferme´s, compacite´, etc. sont les meˆmes qu’en Analyse I et n’ont donc pas besoin d’eˆtre re´pe´te´s. Nous utiliseronslanotation D (c) = z Cl ; z c < r pourledisqueouvert centre´ au point r { ∈ | − | } c et derayonr. I.2 Fonctions complexes d’une variable complexe Soit U Cl un ensemble (ge´ne´ralement ouvert) et V Cl un autre ensemble. Une fonction qui ⊂ ⊂ associea` chaquez U unw = f(z) V estunefonctioncomplexe f : U V. ∈ ∈ → Nous pouvons aussi identifier z = x + iy (x,y) IR2 et w = f(z) (u,v) IR2 et ≃ ∈ ≃ ∈ arrivons a` deux fonctions u(x,y),v(x,y) (les coordonne´es du point w) de deux variables re´elles x,y (les coordonne´esdu pointz); voirFig.I.2. 4 Diffe´rentiabilite´ dans Cl 1 1 w = f(z) V z w U 1 f v w z 1 f(γ) y z f(H) γ H z w 2 2 x 1 u 1 FIG. I.2: Fonctioncomplexe w = (z +0.2)2 Si un point z se met en mouvement le long d’une courbe γ, alors le point image w bougera 1 1 lelongd’uneautrecourbef(γ);si un pointz remplitunesurfaceH (“thehorseofSarah”), alors 2 lepointimagew rempliraunesurface f(H);voirFig.I.2. 2 Plusieursexemplesvontnousaidera` nousfamiliariseraveccettematie`re. Onvaconstaterque des formulestre`s simplesdonnentde´ja` lieua` des situationsassezcomplique´es. Exemple 2.1(application Cl -line´aire) Pourun nombrecomplexec fixe´, conside´ronslafonction w = f(z) = cz. (2.1) Elleest Cl -line´aire, c.-a`-d., ellesatisfait f(c z +c z ) = c f(z )+c f(z ) pourtout c ,c Cl 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ∈ et pourtoutz ,z Cl . 1 2 ∈ Vue comme application de IR2 dans IR2 (z = x + iy, c = a + ib = s(cosα + i sinα), w = u+iv), nouspouvonsl’e´criresous formematricielle(cf. laformule(1.4)) u a b x cosα sinα x = − = s − . (2.2) v b a y sinα cosα y ! ! ! ! ! Cette applicationline´aireest unerotationorthogonaled’angleα = argc, suivied’unehomothe´tie de rapport s = c (voir Fig.I.3). Elle sera fondamentale, plus tard, pour toute la compre´hension | | des fonctions Cl -diffe´rentiables. w = cz z c c 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 FIG. I.3: Produit avecuneconstante,w = cz