Analízis I vizsga tételek és bizonyítások A jegyzetet Umann Kristóf készítette Bajári Lúcia, Árpás Eszter, Provender Roxána, Gecse Viktória és Csonka Szilvia jegyzete alapján Dr. Szili László előadásáról. 1. A szuprémum elv. Tegyük fel, hogy ∅=(cid:54) H ⊂R, H felülről korlátos. Ekkor: ∃min{K ∈R : K felső korlátja H-nak}. Bizonyítás: Legyen H (cid:54)= ∅ felső korlátos halmaz, A := H, B := {K ∈ R : K felső korlátja H-nak}. Ekkor (cid:41) A(cid:54)=∅ és B (cid:54)=∅ ∃ξ ∈R: a≤ξ ≤K teljességi =⇒ ∀a∈A és ∀K ∈B, a≤K axióma ∀a∈A és ∀K ∈B. ξ ekkor a legkisebb felső korlát. (cid:4) 2. Az Archimedes-tétel. ∀a,b∈R, a>0, ∃n∈N: b<an. Bizonyítás: Ha b≤0, akkor n=1 is megfelelő. Ha b>0: indirekt bizonyítással ∃a>0, ∃b>0, ∀n∈N: b≥na. Ekkor: H :={na | n∈N}⇒H (cid:54)=∅, szuprémum H felülről korlátos =⇒ ∃supH =:ξ. elv Mivel ξ =supH,(ξ−a) nem felső korlát. (cid:69) ∃n ∈N: n a>ξ−a ⇒ ξ <(n +1)a (cid:4) 0 0 0 3. A Cantor-féle közösrész-tétel. Tegyük fel, hogy ∀n∈N, adott [a ,b ]⊂R, korlátos és zárt intervallum, úgy hogy n n [a ,b ]⊂[a ,b ] (∀n∈N). n+1 n+1 n n Ekkor: +∞ (cid:92) [a ,b ](cid:54)=∅. n n n=0 Bizonyítás: Legyen A:={a | n∈N}, B :={b | n∈N} n n Ekkor: a ≤b (∀n,m∈N). Ha: n m • n≤m: a ≤a ≤b n m m • n>m: a ≤b ≤b n n m tel=je⇒sségi∃ξ ∈R: a ≤ξ ≤b (∀n,m∈N) n m axióma n==⇒ma ≤ξ ≤b ⇒ ξ ∈[a ,b ] ∀n∈N n n n n +∞ (cid:92) ξ ∈ [a ,b ](cid:54)=∅. (cid:4) n n n=0 1 4. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bizonyítás: Definíció: a az (a ) sorozat csúcsa, ha ∀n≥n : a ≥a . n0 n 0 n0 n 2 eset lehet: a) Végtelen sok csúcs van. ∃n ∈N: a csúcs: ∀n≥n : a ≥a 0 n0 0 n0 n ∃n >n : a csúcs: ∀n≥n : a ≥a 1 0 n1 1 n1 n ∃n >n : a csúcs: ∀n≥n : a ≥a 2 1 n2 2 n2 n . . . ⇒a ≥a ≥a ≥ ... ⇒ monoton csökkenő részsorozat. n0 n1 n2 b) Véges sok csúcs: ∃N ∈N: ∀n≥N : a nem csúcs. n n =N : a nem csúcs. 0 n0 ∃n >n : a <a : a nem csúcs. 1 0 n0 n1 n1 ∃n >n : a <a : a nem csúcs. 2 1 n1 n2 n2 . . . ⇒a <a <a < ... ⇒ monoton növekvő részsorozat. (cid:4) n0 n1 n2 5. Konvergens sorozat határértéke egyértelmű. Konvergens sorozat határértéke egyértelmű. Bizonyítás: Inderekt módon: tegyük fel, hogy A (cid:54)=A is határérték. 1 2 ∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A |<ε 1 1 n 1 ∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A |<ε 2 2 n 2 Legyen n :=max(n ,n ) ⇒ ∀n≥n -ra: 0 1 2 0 |a −A |<ε és |a −A |<ε. n 1 n 2 |A −A | Legyen 0<ε< 1 2 : 2 háromszög CSEL 0<|A −A | = |(A −a )+(a −A )| ≤ |a −A |+|a −A |<ε+ε= 1 2 1 n n 2 n 1 n 2 egyenlőtlenség (cid:69) =2ε>|A −A |. (cid:4) 1 2 6. A konvergencia és a korlátosság kapcsolata. Ha (a ) konvergens ⇒(a ) korlátos. n n Bizonyítás: lim(a )=:A∈R n ε=1, ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A|<1 0 0 n ⇒|a |=|(a −A)+A|≤|a −A|+|A|<1+|A| n n n ha n≥n : 0 |a |≤max{|a |,|a |,...,|a |,1+|A|} (∀n∈N) n 1 2 n0 ⇒(a ) korlátos. (cid:4) n 2 7. Műveletek nullsorozatokkal. a) Ha (a ) és (b ) nulla sorozat akkor (a +b ) is nulla sorozat. n n n n b) Ha (a ) nulla sorozat és (c ) korlátos sorozat akkor (a c ) is nulla sorozat. n n n n c) Ha (a ) és (b ) 0 sorozat akkor (a b ) is nulla sorozat. n n n n Bizonyítás: a) (a ) és (b ) nullasorozat n n ε ∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |a |< 1 1 n 2 ε ∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |b |< 2 2 n 2 ⇒∀ε>0, n :=max{n ,n }, ∀n≥n 0 1 2 0 ε ε |a +b |≤|a |+|b |< + =ε ⇒ lim(a +b )=0. n n n n 2 2 n n b) (c ) korlátos: ∃K >0, ∀n∈N: |c |≤K. n n (a ) nullasorozat: ∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |a |<ε n 0 0 n ⇒|c a |=|c ||a |<Kε ∀n≥n ⇒ lim(a c )=0. n n n n 0 n n c) (a ) nullasorozat. n (b ) nullasorozat ⇒ (b ) korlátos =b⇒) (a b ) is nullasorozat. (cid:4) n n n n 8. Konvergens sorozatok hányadosára vonatkozó tétel. Tegyük fel, hogy a:=(a ) és b:=(b ) konvergens, és lim(a )=:A∈R, lim(b )=:B ∈R, n n n n 0(cid:54)∈R , B (cid:54)=0. bn (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) a a A Ekkor n is konvergens, és lim n = . b b B n n Bizonyítás: (cid:18) (cid:19) 1 Segédtétel: Ha (b ) konvergens, 0(cid:54)∈R és lim(b )=B (cid:54)=0 ⇒ korlátos. n bn n |b | n Bizonyítás: Feltehető, hogy B >0. |B| lim(b )=B ⇒ ε= >0-hoz n 2 |B| ∃n ∈N ∀n≥n : |b −B|< . 0 0 n 2 háromszög |B| |B| |b |=|b −B+B|=|B−(B−b )| ≥ |B|−|B−b |≥|B|− = . n n n n 2 2 egyenlőtlenség |B| 1 2 ⇒|b |≥ ∀n≥n ⇔ ≤ ∀n≥n . n 2 0 |b | |B| 0 n (cid:26) (cid:27) (cid:18) (cid:19) 1 2 1 1 1 1 ⇒∀n∈N: ≤max , , ,..., ⇒ korlátos. (cid:4) |b | |B| |b | |b | |b | |b | n 0 1 n0 n (cid:18) (cid:19) a A Igazoljuk: n − nullasorozat. b B n a A a B−Ab a B−AB+AB−Ab n − = n n = n n = b B b B b B n n n 1 A 1 = ·(a −A)+ · (B−b ) b n B b n n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) 0sorozat (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) 0sorozat korl. korl. (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) 0sorozat 0sorozat (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) 0sorozat (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) a A a A ⇒ lim n − =0 ⇒ lim n = . (cid:4) b B b B n n 3 9. A közrefogási elv. Legyen (a ),(b ),(c ) valós sorozatok. Tegyük fel, hogy n n n a) ∃N ∈N, ∀n≥N : a ≤b ≤c , n n n b) (a ),(c ) konvergens, lim(a )=lim(c )=:A. n n n n Ekkor (b ) konvergens, és lim(b )=A. n n Bizonyítás: lim(a )=lim(c )=A: n n ∀ε>0, ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A|<ε, 1 1 n A−ε<a <A+ε, n ∀ε>0, ∃n ∈N, ∀n≥n : |c −A|<ε, 2 2 n A−ε<c <A+ε. n ε>0-hoz legyen n :=max{n ,n ,N.} 0 1 2 A−ε<a ≤b ≤c <A+ε n n n ⇒ |b −A|<ε, ∀n≥n ⇒ lim(b )=A. (cid:4) n 0 n 10. Monoton sorozatok határértékére vonatkozó tételek. a) Ha (a )(cid:37) és felülről korlátos ⇒ (a ) konvergens és lim(a )=sup{a | n∈N}. n n n n Ha (a )(cid:38) és alulról korlátos ⇒ (a ) konvergens és lim(a )=inf{a | n∈N}. n n n n b) Ha (a )(cid:37) és felülről nem korlátos ⇒ lim(a )=+∞. n n Ha (a )(cid:38) és alulról nem korlátos ⇒ lim(a )=−∞. n n Bizonyítás: a) (a ) felülről korlátos ⇒ ∃sup{a | n∈N}=:A∈R (véges!) ⇒ ∀n∈N, a ≤A. n n n ∀ε>0, ∃n ∈N, A−ε<a ≤A 0 n0 DE!: (a )(cid:37): ∀n≥n : A−ε<a ≤a ≤A n 0 n0 n ⇒ ∀ε>0, ∃n ∈N, n≥n : |a −A|<ε ⇒ lim(a )=A. 0 0 n n b) (a ) felülről nem korlátos ⇒ ∀P ∈R-hez ∃n ∈N: a >P. n 0 n0 DE!: (a )(cid:37): ∀n≥n : a ≥a ⇒ ∀P ∈R, ∃n ∈N, ∀n≥n : n 0 n n0 0 0 a >P ⇒ lim(a )=+∞. (cid:4) n n 11. A Cauchy-féle konvergencia kritérium. (a ) konvergens ⇔ (a ) Cauchy sorozat. n n Bizonyítás: ⇒: Ha (a ) konvergens, legyen lim(a )=:A∈R. Ekkor: n n ∀ε>0, ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A|<ε 0 0 n n,m>n : |a −a |=|a −A+A−a |≤|a −A|+|A−a |<ε+ε=2ε 0 n m n m n m ⇒(a ) Cauchy-sorozat. n ⇐: Tegyük fel, hogy (a ) Cauchy sorozat. n 4 a) (a ) korlátos, ugyanis: n ε=1-hez ∃n ∈N, ∀n,m≥n : |a −a |<1 0 0 n m ⇒|a |=|a −a +a |≤|a −a |+|a |<1+|a | n n n0 n0 n n0 n0 n0 ∀n≥n -re: |a |≤max{|a |,|a |,...,|a |,1+|a |} ⇒ (a ) korlátos. 0 n 0 1 n0 n0 n b) A Bolz-Weierstass-féle kiválasztási tétel alapján ∃(a ) konvergens részsorozat. nk Legyen lim(a )=:A. nk c) Igazoljuk: lim(a )=A. n |a −A|=|a −a +a −A|≤|a −a |+|a −A| n n nk nk n nk nk ε>0 tetszőleges: a →A ⇒ ∃N ∈N: |a −A|<ε (∀n≥N ) nk 1 nk 1 (a ) Cauchy-sorozat: n ∃N ∈N: |a −a |<ε, ∀n,n ≥N 2 n nk k 2 ⇒∀n≥n :=max{N ,N }, |a −A|<ε+ε=2ε 0 1 2 n ⇒lim(a )=A. (cid:4) n 12. A geometriai sorozat határértékére vonatkozó tétel. q ∈R: (qn) sorozatra:  0, ha |q|<1  1, ha q =1 lim(qn)= +∞ ha q >1 (cid:64) hatérték, ha q ≤−1 Bizonyítás: a) q =0, qn =0 −→ 0 (cid:88) n→+∞ b) q =1, qn =1 −→ 1 (cid:88) n→+∞ c) q >1: q =1+h, h>0 Bernoulli qn =(1+h)n ≥ 1+nh>nh ⇒ Ha P ∈R, akkor egyenlőtlenség P qn >nh>P ha n> ⇒ lim(qn)=+∞. h d) 0<|q|<1 1 c) (cid:18) 1 (cid:19)n >1 =⇒ →+∞ (n→+∞) |q| |q| Azaz: 1 (cid:18) 1 (cid:19)n 1 ∀ε>0, ∃n ∈N, ∀n≥n : = > , 0 0 |q|n |q| ε |qn|=|q|n <ε ∀n≥n ⇒ lim(qn)=0. 0 e) q ≤−1 (cid:41) qn ≥1 ha n páros ⇒ (cid:64)lim(qn). (cid:4) qn ≤−1 ha n páratlan 13. Pozitívszámm-edikgyökénekelőállításarekurzívmódonmegadottsorozatokhatárértékével. Legyen m=2,3,... a) ∀A>0-hoz ∃!α>0: αm =A 5 b) Legyen a >0 tetszőleges, 0 (cid:18) (cid:19) 1 A a = +(m−1)a (n=0,1,...) n+1 m am−1 n n sorozat konvergens és lim(a )=α. n Bizonyítás: I. lépés: (a ) „jól definiált” és a >0 ∀n∈N n n II. lépés: Egyértelműség: 0<α <α ⇒ αm <αm 1 2 1 2 III. lépés: Az (a ) sorozat alulról korlátos és (cid:38), így (a ) konvergens, ugyanis: n n (a ) alulról korlátos: n  m−1darab m (cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123) ∀n∈N: am =amnA−1 +an+...+an ≥ A ·a(cid:122)m−·.1(cid:125).(cid:124)d.a·raab(cid:123)=A n+1  m  am−1 n n   n (a )(cid:38): n Igazolnunk kell, hogy ∀n∈N: a ≤a ⇔ an+1 ≤1. n+1 n an a 1 (cid:18) A (cid:19) 1 (cid:18)A−am (cid:19) A−am n+1 = +(m−1) = n +m = n +1≤1 (∀n=2,3,...) a m am m am m·am n n n n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (an)(cid:38) Ezalapján (a ) valóban konvergens, és α:=lim(a ). n n ⇒α≥0, de α=0 nem lehet, ugyanis am ≥A>0 ⇒ α>0. n IV. lépés: Igazoljuk: αm =A. (cid:18) (cid:19) 1 A a = + (m−1)a n+1 m am−1 n (cid:121) (cid:121)n (α>0) (cid:121) A α (m−1)α αm−1 (cid:18) (cid:19) 1 A α= +(m−1)α m αm−1 mαm =A+(m−1)αm ⇒ αm =A. (cid:4) 14. A végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritérium. (cid:40) (cid:88) ∀ε>0, ∃n0,∈N, ∀m,n∈N: m>n≥n0 a sor konvergens ⇔ n |a +a +...+a |<ε. n+1 n+2 m (cid:80) Cauchy-féle Bizonyítás: A a sor konvergens ⇔(s ) konvergens ⇐⇒ (s ) Cauchy-sorozat. n n n kritérium sorozatokra ⇔∀ε>0: ∃n ∈N, ∀m>n≥n : |s −s |=|(a +...+a )−(a +...+a )|= 0 0 m n 0 m 0 n =|a +a +...+a |<ε. (cid:4) n+1 n+2 m 15. Végtelen sorok konvergenciájának szükséges feltétele. (cid:80) Ha a sor konvergens ⇒lim(a )=0. n n Bizonyítás: (cid:80)(a ) konvergens Cau=ch⇒y-féle∀ε>0: ∃n ∈N, ∀m,n∈N, m>n≥n : n 0 0 kritérium sorokra |a +...+a |<ε. n+1 m Legyen m=n+1⇒|a |<ε. ∀n≥n ⇒lim(a )=0. (cid:4) n+1 0 n 6 16. A nemnegatív tagú sorok konvergenciájára vonatkozó tétel. (cid:80) a nemnegatív tagú sor konvergens ⇔(s ) korlátos sorozat. n n (cid:80) Bizonyítás: a sor konvergens ⇔(s ) konvergens. n n De: (s )(cid:37), ami konvergens ⇔(s ) korlátos. (cid:4) n n 17. Végtelen sorokra vonatkozó öszehasonlító kritériumok. Tegyük fel, hogy (a ),(b ) sorozatokra: n n ∃N ∈N ∀n∈N; n≥N : 0≤a ≤b . n n Ekkor: a) Majoráns kritérium: (cid:80) (cid:80) Ha b konvergens ⇒ a is konvergens. n n b) Minoráns kritérium (cid:80) (cid:80) Ha a divergens ⇒ b divergens. n n Bizonyítás: sa :=a +a +...+a (cid:41) n N N+1 n a) n≥N sb :=b +b +...+b n N N+1 n Ha (cid:80)b konvergens (s=bn⇒(cid:37)) (sb) korlátos ⇒ (sa) is korlátos, (cid:37)⇒ (cid:88) a konvergens ⇒ (cid:80)a is n n n n n n=N konvergens. (cid:4) 18. A Cauchy-féle gyökkritérium. Tegyük fel, hogy a (cid:80)a sorra ∃ lim (cid:112)n |a |=:A∈R. n n n→+∞ Ekkor: (cid:80) a) 0≤A<1 esetén a a sor abszolút konvergens, tehát konvergens is. n (cid:80) b) A>1 esetén a a sor divergens. n (cid:80) c) A=1 esetén a a sor lehet konvergens is és divergens is (a kritérium nem használható). n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy 0≤A<1. Ekkor ∃q : A<q <1. (cid:112) (cid:112) lim n |a |=A⇒q-hoz ∃n ∈N: ∀n≥n : n |a |<q. n 0 0 n n→+∞ (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) ≥0 (cid:88) ∀n≥n : |a |≤qn, qn konvergens, mert 0<q <1 (geometriai sor) 0 n n=1 (cid:88)qn konvergens ma=jo⇒ráns (cid:88)|a | konvergens, azaz (cid:88)a abszolút konvergens. n n kritérium n=1 Tegyük fel, hogy A>1. Ekkor ∃q : 1<q <A. (cid:112) (cid:112) lim(n |a |)=A⇒1<q-hoz ∃n ∈N: ∀n≥n : n |a |>q n 0 0 n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) ≥0 ⇒|a |>qn (n≥n )⇒lim(|a |)=+∞, azaz (a ) nem 0-sorozat. szü=k⇒séges(cid:80)a divergens. n 0 n n n feltétel Tegyük fel, A=1. (cid:114) (cid:88) 1 1 1 harmonikus sor divergens, de lim n = lim √ =1. n n→+∞ n n→+∞ nn (cid:88) 1 1 (cid:18) 1 (cid:19)2 konvergens és lim √ = lim √ =1. (cid:4) n2 n→+∞ nn2 n→+∞ nn 7 19. A D’Alembert-féle hányados-kritérium. Tegyük fel, hogy a (cid:80)a sorra a (cid:54)=0 (n∈N): n n |a | ∃ lim n+1 =:A∈R. n→+∞ |an| Ekkor: (cid:80) a) 0≤A<1⇒ a sor abszolút konvergens, tehát konvergens is. n (cid:80) b) A>1⇒ a divergens. n (cid:80) c) A=1⇒ a lehet konvergens és divergens is. n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy 0≤A<1. Ekkor ∃q :A<q <1, és |a | |a | lim n+1 =A⇒q-hoz ∃n ∈N, ∀n≥n : n+1 <q. n→+∞ |an| 0 0 |an| Legyen n>n : 0 |an| <q |a |<q·|a | |an−<1| q2|a |< ... <qn+1−n0|a |= n+1 n n−1 n0 =:c (cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123) =|a |·q1−n0qn =c·qn ⇒|a |<c·qn (∀n≥n ). n0 n+1 0 Mivel: 0<q <1, (cid:88) qn konvergens ma=jo⇒ráns (cid:80)|a | konvergens, azaz (cid:80)a abszolút konvergens. n n kritérium n=n0 Tegyük fel, hogy A>1. Ekkor ∃q :1<q <A, és |a | |a | lim n+1 =A ⇒ q-hoz ∃n ∈N, ∀n≥n : n+1 >q. n→+∞ |an| 0 0 |an| n>n : |a |>q·|a |>q2|a |> ... >qn+1−n0|a | 0 n+1 n n−1 n0 q>1 (cid:80) =⇒lim(|a |)=+∞, azaz (a ) nem 0-sorozat ⇒ a divergens. n+1 n n Tegyük fel, hogy A=1. (cid:88) 1 (cid:32) 1 (cid:33) (cid:18) n (cid:19) (cid:18) 1 (cid:19) divergens, de lim n+1 =lim =lim =1 n 1 n+1 1+ 1 n n (cid:88) 1 (cid:32) 1 (cid:33)2 (cid:18) 1 (cid:19)2 konvergens, de lim n+1 = lim =1. (cid:4) n2 n→+∞ 1 n→+∞ 1+ 1 n n 20. Leibniz-típusú sorok konvergenciája. (cid:88) Tegyük fel, hogy ∀n∈N:0≤a ≤a . Ekkor (−1)n+1a Leibniz-típusú sor, és n+1 n n n=1 (cid:88) a) Konvergencia: (−1)n+1a konvergens ⇔lim(a )=0. n n n=1 (cid:88) b) Hibabecslés: tegyük fel, hogy (−1)n+1a konvergens és n n=1 +∞ (cid:88) A:= (−1)n+1a . Ekkor: n n=1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:88)n (cid:12) |A−s |=(cid:12)A− (−1)k+1a (cid:12)≤a (∀n∈N). n (cid:12) k(cid:12) n (cid:12) (cid:12) k=1 8 Bizonyítás: a) (konvergencia) ⇒: (cid:88)(−1)n+1a konvergens szü=k⇒séges lim(cid:0)(−1)n+1a (cid:1)=0⇒lim(a )=0. n n n feltétel n=1 ⇐: (cid:88) Igazolnunk kell: (−1)n+1a =a −a +a −... konvergens. n 1 2 3 n=1 n (cid:88) s = (−1)k+1a =a −a +a −...±a n k 1 2 3 n k=1 Igazoljuk α) (s )(cid:38) 2n+1 s =a ≥s −(a −a )=a −a +a =s 1 1 1 2 3 1 2 3 3 (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) ≥0 ≥s −(a −a )=a −a +a −a +a =s ≥s ≥ ... ≥s 3 4 5 1 2 3 4 5 5 7 2n+1 β) (s )(cid:37) 2n s =a −a ≤s +(a −a )=a −a +a −a =s ≤s ≤ ... ≤s 2 1 2 2 3 4 1 2 3 4 4 6 2n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) ≥0 (s ) és (s ) korlátosak is, ui.: 2n 2n+1 (cid:40) ∃α:=lim(s ) monoton 2n s ≤s =s −a ≤s ≤s =⇒ konvergens: 2 2n 2n+1 2n 2n−1 1 korlátos ∃β :=lim(s2n+1) s = s − a (n∈N) 2n 2n+1 2n ↓ ↓ ↓ α β 0 +∞ (cid:88) ⇒α=β =lim(s )⇒ (−1)n+1a konvergens. n n n=1 b) (hibabecslés) s ≤α=A≤s 2n 2n+1 |s −A|≤s −s =a ≤a 2n 2n+1 2n 2n+1 2n |s −A|≤s −s =a 2n+1 2n+1 2n 2n+1 ⇒∀n∈N: |A−s |≤a . (cid:4) n n 21. Számok tizedestört alakban való előállítása. +∞ Ha α∈[0;1], akkor ∃(a ): N+ →{0,1,2,...,9}: α= (cid:88) an n 10n n=1 Bizonyítás: 1. lépés: [0;1]-at 10 egyenlő részre osztjuk (cid:20) (cid:21) a a +1 ⇒ ∃a ∈{0,1,2,...,9}: α∈I = 1; 1 1 1 10 10 2. lépés: I -et 10 egyenlő részre osztjuk 1 (cid:20) (cid:21) a a a a +1 ⇒ ∃a ∈{0,1,2,...,9}: α∈I = 1 + 2 ; 1 + 2 2 2 10 102 10 102 9 . . . n. lépés: Felosztjuk I -et 10 egyenlő részre ⇒ ∃a ∈{0,1,...,9}. n−1 n (cid:20) (cid:21) a a a a a a +1 α∈I = 1 + 2 +...+ n ; 1 + 2 +...+ n , n 10 102 10n 10 102 10n azaz a a a a a a 1 1 + 2 +...+ n ≤α≤ 1 + 2 +...+ n + 10 102 10n 10 102 10n 10n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) sn sn 1 s ≤α≤s + ∀n=1,2,... n n 10n +∞ ⇒|α−s |≤ 1 →0 ⇒ lim(s )=α= (cid:88) an (cid:4) n 10n n 10n n=1 22. Abszolút konvergens sorok átrendezése. Haa(cid:80)a sorabszolútkonvegens,és(p ):N→Ntetszőlegesbijekció,akkora(cid:80)a abszolútkonvergens, n n pn +∞ +∞ (cid:88) (cid:88) és a = a n pn n=0 n=0 Bizonyítás: Legyen (p ):N→N tetszőleges permutáció. n n n (cid:88) (cid:88) s = a , σ := a n k n pk k=0 k=0 (cid:88) a) Igazoljuk: a a sor abszolút konvergens (tehát konvergens is) pn (cid:32) n (cid:33) (cid:88) A |a |,n∈N sorozat (cid:37) és felülről korlátos, mert pk k=0 (cid:88)n |a |=|a |+...+|a |≤(cid:88)+∞|a |=K (cid:80)ak <abszolút+∞ (∀n∈N) pk p0 pn k konvergens k=0 k=0 (cid:88) (cid:88) ⇒ |a | konvergens, azaz a abszolút konvergens. pk pk +∞ +∞ (cid:88) (cid:88) b) Igazoljuk: a = a . n pn n=0 n=0 +∞ (cid:88) Legyen A= a , azaz s →A. n n n=0 (cid:88) Cauchy Legyen ε>0 tetszőlegesen rögzített szám. Mivel |a | konvergens =⇒ n kritérium ε>0-hoz ∃N ∈N, ∀m≥N : |a |+|a |+...+|a |<ε. N N+1 m Tekintsük a (a ) sorozat első N +1 tagját. n Ekkor ∃N ∈N ∀n≥N -re σ −s =(a +...+a )−(a +a +...+a )= 1 1 n n p0 pn 0 1 n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) a0;a1;...;aN-ekkiesnek,haN1 elégnagy n n (cid:88) (cid:88) = ±a ⇒ |σ −s |≤ |a |<ε ∀n≥N ⇒ k n n k 1 k>N k>N σ −s −→ 0 n n n→+∞ De: +∞ (cid:88) σ =σ −s +s −→ 0+A⇒σ −→ A, azaz a =A (cid:4) n n n n n→+∞ n n→+∞ pn n=0 10