TESIS DOCTORAL ANÁLISIS MATEMÁTICO-FINANCIERO DE NUEVAS OPERACIONES ALEATORIAS DE AMORTIZACIÓN Y AHORRO Emilio Abad Segura TESIS Editorial Universidad de Almería 356 Análisis matemático-financiero de nuevas operaciones aleatorias de amortización y ahorro Emilio Abad Segura Departamento de Economía y Empresa Colección Tesis doctoral dirigida por Tesis doctorales • Dra. María del Carmen Valls Martínez • Dr. Salvador Cruz Rambaud Presentada el 30/07/2015 ante un tribunal ISBN: 978–84–16642–78-6 Depósito legal: Al –1381–2017 compuesto por : © del texto: Emilio Abad Segura Presidenta: © edición: Editorial UAL 2017 • María del Mar Miralles Quirós www.ual.es/editorial • [email protected] Telf: 950 015459 Secretario: • José Luis Miralles Quirós Vocal: • Joaquín López Pascual Calificación obtenida • Sobresaliente cum laude (por unanimidad) TESIS Editorial Universidad de Almería 356 Análisis matemático-financiero de nuevas operaciones aleatorias de amortización y ahorro Emilio Abad Segura RESUMEN La Tesis Doctoral estudia la aleatoriedad de las operaciones financieras, sujeta a la distribución de probabilidad de la ocurrencia de un determinado suceso que afectará a la cuantía de los capitales que intervienen o a la duración de la operación. En efecto, existen algunas contingencias que sucederán con certeza, entre el que se encuentra el fallecimiento de un individuo, en cuyo caso la aleatoriedad afecta al momento exacto de su ocurrencia. Por otra parte, la ocurrencia de un hecho aleatorio no depende de la voluntad del individuo al que afecta ya que depende del riesgo o de la incertidumbre asociada a dicha eventualidad. Así, el riesgo inherente a un hecho fortuito se medirá mediante probabilidades, con objeto de reducir la incertidumbre objetiva a un valor que describa la no certeza de éste. Centrándonos en el caso del fallecimiento de un individuo, su supervivencia dependerá de factores económicos, culturales, etc., de modo que su fallecimiento a una cierta edad o su supervivencia después de dicha edad estarán regidos por el azar. Dentro de este contexto, los individuos se encontrarán a lo largo de su ciclo vital con una serie de experiencias y eventualidades que afectarán a su planificación financiera. Como consecuencia de estos factores, las previsiones apuntan a que el excesivo envejecimiento de la población traerá consigo la dificultad del sostenimiento del actual sistema de pensiones; la propiedad de la vivienda deberá convertirse en un instrumento para la obtención de capital para las personas mayores y de pensiones bajas; la formación de un capital que cubra una amplia variedad de necesidades del individuo en las situaciones actuales y futuras será inevitable; etc. En el desarrollo de las operaciones financieras analizadas se supondrán ciertas las cuantías y los vencimientos de los capitales que intervienen, y aleatoria la duración de la operación, puesto que dependerá de que suceda o no un determinado fenómeno aleatorio. Así, en este trabajo se han empleado diversos patrones matemáticos que permiten modelizar las operaciones aleatorias de préstamo y de ahorro considerando la no certeza de su duración para ayudar al cálculo de sus diferentes magnitudes. Dado que las operaciones financiero-aleatorias se analizan en el ámbito de la no certeza, el riesgo asociado a esta eventualidad debe ser cuantificado de forma que sean identificadas sus causas implícitas para protegerse de éste. Así, se introduce la probabilidad en el plazo de la operación como medida del riesgo, asignando a cada período la probabilidad de supervivencia del cliente o de una persona a él vinculada y relacionada con la operación. Por esto, se aplicarán las probabilidades de supervivencia estimadas de las tablas de mortalidad para la edad y sexo de cada sujeto considerado como deudor o acreedor, según sea la operación de préstamo o de ahorro, respectivamente. De este modo, se producirá un incremento en el término amortizativo o constitutivo de la operación, mayor que si esta eventualidad no se produjese. Se trata de operaciones financieras en las que la duración es aleatoria y el riesgo está asociado al hecho que se sabe con seguridad que se producirá pero no el instante de su ocurrencia. Así, en el caso de las operaciones de amortización sujetas a una eventualidad, el término amortizativo incluirá la Análisis matemático-financiero de nuevas operaciones aleatorias de amortización y ahorro Emilio Abad Segura cuota de riesgo, referida ésta a la cantidad que el prestatario entregará al prestamista en cada período para suplir el riesgo asumido. En caso de que el riesgo sea el fallecimiento del prestatario, el riesgo que asume el prestamista será equivalente a la obligación de pago de esta cuota de riesgo por parte del prestatario, eximiéndolo del resto de los términos amortizativos en caso de conclusión de la operación por su fallecimiento. Así pues, al aplicar el análisis matemático al análisis demográfico, surgen métodos y modelos matemáticos que describen la evolución en el tiempo de los fenómenos demográficos, entre los que se encuentran los asociados a la mortalidad, a la población por edad y sexo, y a la estimación de poblaciones futuras. Las operaciones financieras de préstamo pueden presentar aleatoriedad en la contraprestación, vinculada ésta a la duración incierta de la vida del prestatario y/o de una persona vinculada a él. En tal caso, la probabilidad de perduración de una renta de en términos y el pago de éstos, estará supeditada al fenómeno aleatorio de la supervivencia del prestatario. Por otra parte, en las operaciones de ahorro aleatorias, el prestamista puede pactar además si asume el riesgo de que su beneficiario no reciba el capital pactado en contrato si se produce su fallecimiento con anterioridad al final de la operación o, por el contrario, si opta porque su beneficiario sí reciba el capital aunque fallezca en el transcurso de la operación, sin que éste tenga que hacer frente a los términos que faltaran. Cabe señalar que la aleatoriedad también se puede presentar en las cuantías de los capitales, es decir, que éstas sean de naturaleza aleatoria. Esta circunstancia dará lugar al estudio de la distribución de los términos amortizativos o constitutivos de una operación financiera a partir de los conceptos matemático-financieros de distribución continua de capital y renta continua. Además, es relevante el análisis del caso particular de operaciones financieras con períodos de maduración de distinta amplitud, que pueden facilitar el ajuste de la distribución de pagos de la operación con los ingresos regulares del prestatario o prestamista, en préstamos u operaciones de ahorro, respectivamente. Palabras clave: Préstamo, Amortización, Rentabilidad, Coste, Vencimiento aleatorio, Renta, Distribución de capital, Ahorro. Análisis matemático-financiero de nuevas operaciones aleatorias de amortización y ahorro Emilio Abad Segura ABSTRACT The Doctoral Thesis studies the randomness of financial operations, subject to the probability distribution of the occurrence of a certain event that will affect the amount of the capital involved or the duration of the operation. In fact, there are certain contingencies that will happen with certainty, among which is the death of an individual, in which case the randomness affects the exact moment of its occurrence. On the other hand, the occurrence of a random fact does not depend on the will of the individual to which it affects since it depends on the risk or the uncertainty associated with that eventuality. Thus, the risk inherent in a fortuitous event will be measured by probabilities, in order to reduce objective uncertainty to a value that describes its non-certainty. Focusing on the case of an individual’s death, their survival will depend on economic, cultural, etc. factors, so that their death at a certain age or their survival after that age will be governed by chance. Within this context, individuals will find themselves throughout their life cycle with a series of experiences and eventualities that will affect their financial planning. As a consequence of these factors, the forecasts indicate that the excessive aging of the population will bring with it the difficulty of sustaining the current pension system; ownership of housing must become an instrument for obtaining capital for the elderly and low-income; the formation of a capital that covers a wide variety of needs of the individual in present and future situations will be inevitable; etc. In the development of the financial operations analyzed, the amounts and maturities of the capital involved will be assumed, and the duration of the operation will be random, since it will depend on whether or not a certain random phenomenon occurs. Thus, in this work we have used several mathematical patterns that allow us to model the random operations of loan and savings considering the uncertainty of their duration to help calculate their different magnitudes. The financial-random operations are analyzed in the area of non-certainty, the risk associated with this eventuality must be quantified so that its implicit causes are identified to protect itself from it. Thus, the probability is introduced in the term of the operation as a measure of risk, assigning to each period the probability of survival of the client or a person related to it and related to the operation. Therefore, the estimated probabilities of survival of the mortality tables for age and sex of each subject considered as debtor or creditor, depending on the loan or savings, respectively, will be applied. In this way, there will be an increase in the amortizative or constitutive term of the operation, greater than if this eventuality did not occur. These are financial operations in which the duration is random and the risk is associated with the fact that it is known with certainty that it will occur but not the instant of its occurrence. Thus, in the case of amortization operations subject to a contingency, the amortization term will include the risk quota, which refers to the amount that the borrower will deliver to the lender in each period to cover the assumed risk. In the event that the risk is the death of the borrower, the risk assumed by the lender will be equivalent to the obligation of payment of this risk quota by the borrower, exempting to him from the rest of the amortization terms in case of the conclusion of the transaction by his death. Análisis matemático-financiero de nuevas operaciones aleatorias de amortización y ahorro Emilio Abad Segura Thus, in applying mathematical analysis to demographic analysis, mathematical methods and models that describe the evolution over time of demographic phenomena, including those associated with mortality, population by age and sex, and estimation of future populations. Loans may be random in the consideration, linked to the uncertain duration of the life of the borrower and / or a person related to it. In such a case, the probability of an income being foreclosed in terms and the payment thereof will be contingent upon the random phenomenon of the survival of the borrower. Thereby, in saving financial operations, the lender may also agree if he assumes the risk that his beneficiary does not receive the capital agreed in contract if his death occurs before the end of the operation or, on the contrary, if choose that its beneficiary does receive the capital even if it dies during the course of the operation, without the latter having to deal with the missing terms. It should be noted that randomness can also occur in the capital amounts, that is, they are random in nature. This conjuncture will give rise to the study of the distribution of the amortizative or constitutive terms of a financial operation from the mathematical-financial concepts of continuous distribution of capital and continuous income. In addition, it is relevant to analyze the particular case of financial transactions with maturity periods of different amplitude, which may facilitate the adjustment of the distribution of payments of the operation with the regular income of the borrower or lender, in loans or savings operations, respectively. Keywords: Loan, Amortization, Profitability, Cost, Random maturity, annuity, continuous distribution of capital, Saving. Universidad de Almería Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía y Empresa ANÁLISIS MATEMÁTICO-FINANCIERO DE NUEVAS OPERACIONES ALEATORIAS DE AMORTIZACIÓN Y AHORRO Tesis Doctoral Doctorando: D. Emilio Abad Segura Directora: Dra. D.ª María del Carmen Valls Martínez Codirector: Dr. D. Salvador Cruz Rambaud Almería, 2015 AGRADECIMIENTOS En estas líneas quisiera expresar mi enorme gratitud a quienes han hecho posible que se iniciara esta investigación y que, posteriormente, quede plasmada en la presente Tesis Doctoral. En primer lugar, deseo mostrar un agradecimiento sincero a todos los economistas y matemáticos precursores del estudio de la Matemática Financiera, y a los que con su esfuerzo, trabajo y disciplina ensancharon su conocimiento al introducir la aleatoriedad en este ámbito, sugiriéndonos que sigamos avanzando en esta disciplina. Agradecer de forma extensiva a la Universidad de Almería y al Departamento de Economía y Empresa por permitirme participar como investigador. A continuación, mis más sentidos agradecimientos están dedicados a las dos personas que han hecho posible con su conocimientos y profesionalidad que este estudio de investigación se materialice. A María del Carmen Valls Martínez, directora de esta Tesis, a quien profeso una inmensa admiración y respeto, agradezco su continua dedicación, el entusiasmo que transmite por el estudio y la investigación, y por todos sus consejos, orientaciones y enseñazas que han permitido el desarrollo y perfeccionamiento de este trabajo. A Salvador Cruz Rambaud, codirector, por el continuo aprendizaje de la Matemática Financiera y Probabilidad que he recibido, por su compromiso, su didáctica y por poner al servicio de este trabajo de investigación su experiencia, creatividad y erudición. A ambos, quiero reiterarle mi más honesto y profundo agradecimiento. Les estaré siempre agradecido por la excelente formación que he recibido, por mostrarme cómo se debe afrontar el ejercicio de la investigación y por inculcarme el orden, el método, la responsabilidad y el rigor académico necesarios en la formación de un investigador. También, me adelanto y agradezco a quienes mostrarán interés y leerán este trabajo en el futuro y que, sin ser conscientes de ello, estarán dando sentido a todo el esfuerzo que ha llevado su realización, y deseando que nuestro estudio y sus conclusiones sirvan de base para otras posteriores investigaciones. Por último, mi agradecimiento más valioso está dedicado a mi familia, por todo lo que me han enseñado, por la paciencia que han tenido conmigo mientras trabajaba en el desarrollo y escritura de esta Tesis y a quienes debo la esencia de quien soy. A todos ellos, gracias. Almería, 2015