ANÁLISIS DEL PROCESO DE ENSEÑANZA/APRENDIZAJE DEL CONOCIMIENTO PROBABILÍSTICO PILAR AZCÁRATE GODED UNIVERSIDAD DE CÁDIZ Octubre, 1996 La enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico 1 ESQUEMA / RESUMEN DEL TRABAJO * Presentación: interés, sentido, justificación y situación curricular del tema. * Objetivos: aspectos del conocimiento didáctico-matemático del estudiante/profesor sobre los que puede incidir su desarrollo. *Contenidos: descripción y desarrollo del marco explicativo referentes a las cuestiones a tratar sobre epistemología (modelizaciones y naturaleza), aprendizaje (lenguaje) y enseñanza (fenomenología y relaciones, medios recursos) *Actividades: descripción del tipo de actividades a desarrollar durante el tratamiento del tema en el aula tanto a nivel de práctico como teórico. *Evaluación: no puede ser considera como un elemento separado del proceso ya que en todo momento el propio desarrollo del aula está aportando datos sobre la evolución del proceso. *Bibliografía complementaria: relación facilitada a los alumnos como material de apoyo y para su posible utilización en el futuro. *Referencias: bibliografía utilizada y referida en la presentación del trabajo. La enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico 2 PRESENTACIÓN El trabajo que voy a presentar no corresponde, como tal, a ninguna de las unidades recogidas en el programa, en verdad es una parte de la Unidad III.4 en la que también está incluida el conocimiento estadístico. Los dos aspectos del conocimiento matemático reflejados en dicha unidad, el probabilístico y el estadístico, están muy relacionados. La estadística se ha desarrollado con el fin de organizar, caracterizar y tipificar la información, de forma que pueda aportar datos significativos para el análisis de la realidad. Esa información puede provenir de una gran diversidad de fenómenos de la vida social, política, profesional, afectiva, económica, etc. De todos ellos, nos interesa el universo de fenómenos cuya resolución está afectada por la incertidumbre, en los que la capacidad de inferir conclusiones, está directamente relacionada con el sentido probabilístico de dichos datos. El pensamiento probabilístico entendido como la capacidad de interpretar y manejar la incertidumbre presente en la realidad, es un factor clave en la sociedad actual. Aunque nuestras reflexiones estarán hoy focalizadas en la problemática de la enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico, se entiende que, el desarrollo de la unidad correspondiente, se completa en el aula con un tratamiento similar desde la óptica estadística, para posibilitar que los estudiantes-profesores realicen la síntesis necesaria. Desde el punto de vista curricular, el tratamiento del conocimiento probabilístico en nuestras aulas está justificado al estar, por primera vez, recogido en el currículum matemático. En la última propuesta curricular para la Ecuación Primaria, presentada por la Junta de Andalucía, (BOJA del 20/6/1992), no hay una presentación explícita de un bloque relacionado con algún aspecto del conocimiento probabilístico. En su organización de los contenidos no parece reconocer ni el espacio, ni la problemática específica del conocimiento probabilístico, cuya naturaleza difiere sustancialmente de otros campos del conocimiento matemático, como, por ejemplo, el numérico. Sin embargo, curiosamente, dentro del desarrollo de contenidos pertenecientes al bloque "Números y Operaciones", aparecen indicaciones como: - "Exploración sobre la causalidad. Constatación del carácter aleatorio de algunas experiencias" - "Aproximación a la idea de probabilidad. Exploración del grado de probabilidad de sucesos sencillos" Indicaciones que reflejan la necesidad, apoyada por numerosos investigadores, de iniciar a los alumnos en la interpretación y manejo de la incertidumbre desde los primeros momentos de su escolaridad. Pero, al ser un tópico cuyo tratamiento en las aulas ha sido inexistente hasta La enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico 3 ahora, gran parte de las ideas que los estudiantes-profesores tienen elaboradas sobre él, son producto de las experiencias e interacciones directas con el medio socio-natural sin mediación de proceso formativo alguno. Lo cual provoca la existencia de un gran número de concepciones espontáneas de carácter intuitivo con fuertes sesgos en sus razonamientos y muy cercanas a un conocimiento cotidiano de la incertidumbre, como hemos podido comprobar en nuestras propias investigaciones (Azcárate, 1995). Hecho que puede tener grandes repercusiones en su futura aulas de Primaria. Es un aspecto complejo del conocimiento matemático, difícil de tratar en las aulas de primaria y difícil de tratar en nuestras aulas. Su propia naturaleza entra en contradicción con el habitual rigor y exactitud de los datos matemáticos; su interpretación y aplicación a las situaciones del entorno entran en conflicto con el valor inequívoco y verdadero que se le otorga a la información procedente de cálculos matemáticos. Estas características hacen difícil, en muchos casos, una verdadera comprensión de la probabilidad y son necesarios procesos de reflexión conscientes sobre las diferentes experiencias vividas para poder modificar las ideas iniciales de los estudiantes-profesores sobre el propio conocimiento e introducirlos en la problemática de su enseñanza/aprendizaje. Pero, hay un dato más por lo que consideramos necesario e interesante el estudio de este aspecto del conocimiento, nos referimos a su potencialidad epistemológica. Su comprensión provoca un salto epistemológico de rango cualitativamente significativo, permitiendo al estudiante-profesor reconocer esa parcela de la realidad que se mueve entre lo perfectamente determinado y predecible y aquello considerado como imposible. Como un día comentaban en el aula, con su estudio aprendemos todos a movernos en la amplia gama de los grises, situación no habitual en las aulas donde todo parecer ser blanco o negro, correcto o incorrecto, hecho de vital importancia para que los estudiantes-profesores puedan enfrentarse desde nuevas perspectivas, a las situaciones educativas. Los estudiantes-profesores poseen muy poca información sobre este tema, tanto en el ámbito conceptual como didáctico. Al ser un tema novedoso para ellos, es idóneo para cuestionar y poner en entredicho muchas de sus ideas sobre las matemáticas y su enseñanza/aprendizaje, al tener que pasar ellos mismos por muchos de los momentos que ellos mismos diseñarán para sus futuros alumnos de Primaria. Ello les permite aproximarse al conocimiento matemático desde perspectivas más flexibles. Las ideas que se desarrollan a continuación representan el marco de referencia desde el La enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico 4 que se concreta nuestra actuación en el aula. Su desarrollo específico depende de las condiciones contextuales, del grupo clase y del tiempo disponible. La enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico 5 OBJETIVOS La introducción de las nociones básicas del conocimiento probabilístico en estos primeros niveles no se trata más que de un primer contacto con el mundo de la incertidumbre, apoyada fundamentalmente en una percepción empírica de dicho mundo. Es decir, el objetivo de su tratamiento en la Primaria es facilitar que los alumnos descubran y describan situaciones o experiencias aleatorias simples y calcular las primeras probabilidades, fundamentalmente en contextos de juego o conocidos. En consecuencia, con el tratamiento de este tema en el aula de la Facultad, nuestro interés es posibilitar que los estudiantes-profesores se acerquen a las peculiaridades de este campo del conocimiento matemático, su incidencia en el mundo actual, las características de su aprendizaje y la problemática de su enseñanza. Y, con ello, facilitar al estudiante-profesor, la construcción de un conocimiento didáctico-matemático significativo sobre la probabilidad. Es decir, un conocimiento que le permita diseñar, y en su día desarrollar, un tratamiento adecuado para el aula de Primaria. Desde los presupuestos desarrollados en nuestro proyecto, esta idea se concreta en la necesidad de que el estudiante-profesor elabore determinados marcos de referencia que le permitan analizar y afrontar los problemas relativos al propio conocimiento puesto en juego, a su aprendizaje y a su enseñanza, desde la elaboración de principios y presupuestos personales razonados, argumentados y, por tanto, conscientes. Este objetivo global lo podemos desglosar analíticamente, en términos más concretos: * Justificar y analizar la aleatoriedad de los fenómenos, sus posibles caracterizaciones y significados. Su tratamiento en los procesos de enseñanza/aprendizaje. * Conocer y analizar los diferentes significados de la probabilidad, sus modelizaciones matemáticas y sus relaciones. Su rol en los procesos de enseñanza/aprendizaje. * Conocer y analizar las características y dificultades propias del aprendizaje significativo del conocimiento probabilístico. Caracterizar los obstáculos más significativos. * Reflexionar sobre la incidencia de la inexactitud del conocimiento probabilístico y su influencia en los procesos de enseñanza/aprendizaje matemáticos. * Reconocer y reflexionar sobre la naturaleza aleatoria de los fenómenos de nuestro entorno real. * Reconocer y analizar fenómenos y problemas del entorno, que puedan ser integrados en situaciones de enseñanza/aprendizaje y que, en su resolución, se relacionen con la La enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico 6 recogida y organización de datos, su análisis e interpretación probabilística. * Analizar los medios, recursos y tipo de actividades que pueden desarrollarse en el aula de Primaria. Para la consecución de dichos objetivos hemos de seleccionar unos determinados contenidos, coherentes con nuestras intenciones, sobre los que trabajar en el aula. La enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico 7 CONTENIDOS Los contenidos sobre los que vamos a trabajar en el aula, a través de diferentes tipos de actividades, están relacionados con los siguientes aspectos del conocimiento probabilístico: - Fenómenos indeterministas versus deterministas. Características de la aleatoriedad como noción matemática. Presencia y relaciones con las situaciones del entorno. - La observación y descripción de los fenómenos deterministas y aleatorios. Sucesos seguros, posibles e imposibles. - De la intuición probabilística al cálculo de probabilidades. La probabilidad como medida de la incertidumbre presente en los fenómenos aleatorios. Estimación/cuantificación. - Análisis de los conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades: espacio muestral, sucesos equiprobables, sucesos independientes, frecuencia, distribución normal, ley de los grandes números, métodos de recuento, combinatoria. - Las conexiones del concepto de probabilidad con el entorno. Las diferentes interpretaciones del concepto. - Génesis y características del desarrollo de las nociones probabilísticas. El modelo Bayesiano. - El tratamiento educativo del conocimiento probabilístico. - Estudio fenomenológico de los diferentes elementos del conocimiento probabilístico. - Contextos, situaciones, instrumentos, recursos y problemática de su enseñanza. Para trabajar estos contendidos en el aula de la Facultad de Educación, nosotros como profesores- formadores tenemos que disponer de un marco general explicativo sobre los diferentes aspectos que inciden en la enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico. Marco que nos permite, seleccionar y organizar las lecturas e informaciones sobre las que han de trabajar los estudiantes-profesores, seleccionar y organizar las actividades, orientar las discusiones desarrolladas en el aula y, en general toda nuestras decisiones en torno a este tema. MARCO EXPLICATIVO DEL CONTENIDO La formación obligatoria de todo ciudadano está dirigida a promover el estudio y La enseñanza/aprendizaje del conocimiento probabilístico 8 desarrollo de los instrumentos y capacidades que permitan a los sujetos describir, analizar e intervenir en la realidad. La probabilidad es concebida como un instrumento matemático que permite la modelización de la realidad afectada por incertidumbre. El sujeto debe construir dicha modelización desde y durante su propia actividad. La idea de probabilidad puede ser fundamentada desde diferentes perspectivas, lógica, laplaciana, frecuencial, subjetiva y todas ellas nos muestran la gran dificultad para delimitar claramente los significados de los conceptos implicados. En estos primeros niveles educativos el objetivo es introducir a los alumnos en el reconocimiento de la incertidumbre y de su medida en casos muy concretos y cercanos a contextos cotidianos. La probabilidad es un concepto complejo que sólo tiene sentido en relación con un suceso o acontecimiento de una serie o fenómeno aleatorio, si no existe el fenómeno aleatorio la probabilidad tampoco. Ello implica que la construcción del concepto de probabilidad sólo adquiere significado desde la comprensión de la incertidumbre y su modelización matemática, la aleatoriedad. De un fenómeno o experiencia aleatoria podemos conocer el conjunto de soluciones posibles, incluso tenerlas bien identificadas, lo cual nos permite conocer su probabilidad de ocurrencia. Sin embargo, estos conocimientos sobre las condiciones del fenómeno no determinan la presencia de uno u otro acontecimiento de forma absoluta. Cada uno de los resultados posibles del fenómeno ocurrirá de forma azarosa y sólo podemos tener una cierta expectativa de su ocurrencia. La noción de aleatoriedad esta, por tanto, vinculada con otra idea de gran controversia epistemológica, el azar. Esta breve visión de las ideas ligadas al propio concepto de probabilidad, nos da algunas claves para poder comprender las dificultades conceptuales inherentes a la noción de probabilidad. De hecho, la evolución a lo largo de la historia de los diferentes conceptos señalados ha tenido claras interacciones (Cuadro 1). Entre otras cosas, es necesario afrontar el estudio de los obstáculos epistemológicos relacionados con la propia concepción del azar, cuyo análisis nos aporta una información significativa para comprender el origen de gran parte de las ideas y creencias de los sujetos. El azar, diferentes aproximaciones epistemológicas Históricamente la idea de azar ha estado relacionada con múltiples consideraciones de rango teológico, filosófico, ideológico y epistemológico. El desarrollo de la propia idea de azar ───────────────────────────────────────────────────────────── 9 Análisis de las nociones de azar y probabilidad nos facilita información sobre los diferentes obstáculos con los que ha estado y está ligada su comprensión, muchos de los cuales persisten en la sociedad actual (Cuadro 2). Obstáculos sobre los que el estudiante-profesor ha de reflexionar desde dos perspectivas, desde la de los alumnos de Primaria, de cara a su futura labor profesional y desde su propia formación, de cara a dominar las dificultades del propio conocimiento (Fischbein, 1990). Es importante que los estudiantes- profesores sean conscientes de sus propias ideas y obstáculos para poder analizar, en su día, las dificultades de comprensión de sus alumnos (Henry, 1996). (*) Las primeras aproximaciones a la idea de azar son de rango teológico, desde las cuales el origen de todo está en el poder de los Dioses, quienes conocen todo lo que acontece. El hombre es incapaz de controlar todas las causas que provocan un resultado observado y al azar es considerado simplemente como una causa desconocida para él. Desde dichas aproximaciones a la idea de azar, el estudio o modelización de los sucesos considerados como fortuitos no es factible, pues están fuera de toda posibilidad de regulación. En términos de Polya (1962), estamos ante una fase inicial exploratoria y empírica de las ideas que emergen de la realidad y que, posteriormente, facilitarán su posible modelización matemática a través de lo que hoy conocemos como aleatoriedad. Fruto de este tipo de explicaciones se detectan diferentes discursos del azar: ⋅⋅⋅⋅ Así en las civilizaciones más antiguas como la egipcia, babilónica, normanda, etc., desde la consideración de un universo regido por la búsqueda del orden, el azar es considerado como una fuerza extraña de origen mágico, que refleja la suerte ciega o el destino y asociada a la existencia del caos (Morin, 1986). En las distintas mitologías encontramos signos del poder del orden (Maât para los egipcios, Marduck para los babilónicos) sobre el caos (Seth o Tiaâmat), representativos de la búsqueda del orden (Guirand, 1970). Para el mundo primitivo no hay hechos fortuitos, hay causas desconocidas que, ante la ausencia de justificaciones para su existencia, se relacionan con lo mágico o lo divino. ⋅⋅⋅⋅ Para el mundo grecorromano, sin embargo, el universo está regido por la necesidad causal, evitando recurrir a fuerzas sobre naturales o divinas. A los dioses se les otorga significados semiracionales, concibiéndolos más como fuerzas de la realidad natural que de naturaleza divina. Uno de los síntomas más significativos de esta ───────────────────────────────────────────────────────────── 10 Análisis de las nociones de azar y probabilidad