Análisis de problemas de probabilidad en las pruebas de acceso de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Andalucía Magdalena Carretero Rivas TRABAJO FIN DE MÁ STER Tutores: José Miguel Contreras García Carmen Batanero Bernabeu Universidad de Granada Departamento de Didáctica de la Matemática 2014 Análisis de problemas de probabilidad en las pruebas de acceso de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Andalucía TRABAJO FIN DE MÁSTER MEMORIA realizada por Dª. Magdalena Carretero Rivas bajo la dirección de los Doctores José Miguel Contreras García y Carmen Batanero Bernabeu del Dpto. de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada para optar al Máster Oficial en Didáctica de la Matemática impartido por el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Proyecto EDU2013-41141-P (MEC) y grupo FQM126 (Junta de Andalucía) La autora Magdalena Carretero Rivas o o V B de los Directores Dr. José Miguel Contreras García Dra. Carmen Batanero Bernabeu Introducción 1 Capítulo 1. Problema abordado 3 1.1. Introducción 3 1.2. Importancia de la probabilidad en la formación de los estudiantes 4 1.3. La probabilidad en el currículo de Bachillerato 5 1.3.1. Las modalidades de Bachillerato 5 1.3.2. Orientaciones curriculares nacionales 7 1.3.3. Orientaciones curriculares en Andalucía 9 1.4. Las pruebas de acceso a la universidad 10 1.4.1. Normativa y estructura 10 1.4.2. Composición de la prueba de acceso de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 13 1.4.3. Diferencia entre la LOE y la LOGSE 16 1.5. Marco teórico 17 1.5.1. Significado institucional y personal de los objetos matemáticos 17 1.5.2. Evaluación 18 1.6. Objetivos e hipótesis del trabajo 19 Capítulo 2. Antecedentes 21 2.1.Introducción 21 2.2. Comprensión de las definiciones de probabilidad condicional e independencia 21 2.2.1. Investigaciones con estudiantes 22 2.2.2. Investigaciones con futuros profesores 23 2.3.Condicionamiento y causalidad 24 2.4.Orden temporal de los sucesos 25 2.5.Errores de estimación de la probabilidad condicional y conjunta 27 2.6.Aplicación del teorema de Bayes 29 2.7.Estudios de problemas de probabilidad condicional y conjunta en libros de 33 texto 2.8.Análisis de problemas en pruebas de evaluación 33 2.8.1. Descripción de algunas pruebas de evaluación de competencia matemática 34 2.8.2. Investigaciones sobre problemas en las pruebas de evaluación 37 2.9.Conclusiones de los antecedentes 40 Capítulo 3. La probabilidad en las pruebas de acceso de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 41 3.1.Introducción 41 3.2.Metodología 41 3.2.1. Descripción de la muestra de problemas analizados 42 3.2.2. Variables consideradas en el análisis 43 3.3.Contenido matemático 45 3.3.1. Tipos de experimentos incluidos en el ítem 50 3.3.2. Tipos de probabilidades pedidas 51 3.3.3. Tipos de sucesos cuya probabilidad se pide 53 3.3.4. Dependencia /independencia: 55 3.3.5. Teoremas o propiedades utilizados 58 3.3.6. Otras descomposiciones de probabilidades 59 3.4.Otras variables analizadas 61 3.4.1. Contextos utilizados 61 3.4.2. Número total de experimentos en el enunciado 65 3.4.3. Tipo de espacio muestral considerado 66 3.4.4. Presentación de la información en el problema 69 3.5.Conclusiones del análisis 72 Capitulo 4. Conclusiones 75 4.1.Introducción 75 4.2.Conclusiones respecto a los objetivos 75 4.3..Conclusiones respecto a las hipótesis 76 4.4.Limitaciones del estudio y futuras líneas de investigación 76 5. Referencias 77 Anexo 1. Muestra de ítems analizados Anexo 2. Comunicación presentada en las Jornadas Virtuales en Didáctica de la Estadística, Probabilidad y Combinatoria INTRODUCCIÓN El objetivo principal del trabajo es analizar los problemas propuestos sobre probabilidad simple, condicional y compuesta en las pruebas de acceso de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales en Andalucía. Estos problemas constituyen uno entre los cuatro incluidos en dichas pruebas, por lo que su resolución correcta tiene un peso importante en la calificación del estudiante en esta materia. Un segundo objetivo es comprobar que el contenido de estos problemas refleja adecuadamente las directrices propuestas para la enseñanza del contenido mencionado sobre probabilidad en el Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales. La memoria se organiza en tres capítulos: En el primero de ellos describimos con precisión el problema abordado y justificamos su interés para la didáctica de la matemática, analizando las directrices curriculares, la normativa y composición de las pruebas de Acceso de Matemáticas. En el segundo capítulo se resumen las investigaciones previas sobre comprensión de la probabilidad condicional y compuesta, pues el análisis preliminar de los problemas citados mostró que la proporción de preguntas sobre probabilidad simple en los mismos es poco relevante. Analizamos los trabajos centrados en estudiantes de Bachillerato o primer curso de universidad. También se sintetizan algunos trabajos que analizan los contenidos matemáticos en pruebas de evaluación. En el tercer capítulo se analizan los problemas de probabilidad en los años 2003, 2008 y 2013 en cada uno de los seis ejercicios propuestos en Junio y Septiembre (en total 36 problemas). Cada uno de estos problemas se ha resuelto y se ha analizado el contenido matemático requerido en su solución. A partir de este análisis se estudia el tipo de experimento, probabilidad pedida y suceso analizado, la existencia de dependencia o i ndependencia entre sucesivos experimentos, teoremas utilizados o descomposición de probabilidad, contexto, número de experimento, tipo de espacio muestral y formato de presentación de la información. Se finaliza la memoria con las conclusiones obtenidas, un anexo con los problemas analizados y sus soluciones y una comunicación presentada en las I Jornadas Virtuales de Didáctica de la Estadística, Probabilidad y Combinatoria en el periodo en que realicé los cursos del Máster. 1 2 CAPÍTULO 1. PROBLEMA ABORDADO 1.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo se expone y se justifica el problema abordado, que consiste en el análisis de los problemas de probabilidad propuestos en algunas pruebas de acceso a la universidad en la asignatura Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II en Andalucía. En los años en que se realiza el análisis, la puntuación obtenida en las pruebas fue fundamental, pues determinó en muchos casos la posibilidad de que el alumno pudiese acceder a los estudios solicitados en primer o segundo lugar. Ello justifica el interés de analizar estas evaluaciones. Comenzaremos analizando la importancia que tiene la probabilidad y los conceptos asociados a ella para la formación de los estudiantes, no sólo a nivel curricular, sino como herramienta necesaria en la vida cotidiana y el trabajo profesional. Como señaló Hacking (1990) la aceptación del carácter no determinista del nuestro mundo fue el salto conceptual más importante del Siglo XX, en el que se comienza a matematizar un gran número de fenómenos en las ciencias naturales y sociales que antes eran inaccesibles a los métodos matemáticos. Esta amplia presencia del azar en la vida del ciudadano lleva a la necesidad de proporcionarle una cultura probabilística adecuada, en el sentido de Gal (2005), es decir, que implique el aprendizaje de conceptos y procedimientos, la competencia de razonamiento probabilístico y una actitud de valoración de la utilidad de la probabilidad como herramienta que le permite mejorar sus decisiones en situaciones de incertidumbre. Esta necesidad ha sido recogida en las orientaciones curriculares españolas, que contemplan la formación en probabilidad en Educación Primaria, Educación Secundaria y Bachillerato (Batanero, Arteaga y Gea, 2011; Batanero, Gea, Arteaga y Contreras, 2014). Puesto que en este trabajo nos centramos en el nivel de Bachillerato, en este capítulo resumiremos las directrices curriculares para esta etapa educativa, tanto a nivel estatal, MEC (2007), como de la comunidad autónoma andaluza, centrándonos específicamente en los contenidos de probabilidad. Comparamos también con los estándares del NCTM (2000). Seguidamente se analiza la normativa, estructura y contenido de las pruebas de acceso a la universidad en Andalucía, haciendo especial referencia a los contenidos de 3 probabilidad. Se incluye también un breve resumen de algunos elementos del marco teórico utilizado. Por último, presentamos los objetivos de la memoria y las hipótesis de nuestro trabajo. 1.2. IMPORTANCIA DE LA PROBABILIDAD EN LA FORMACIÓN DE LOS ESTUDIANTES Son muchos los autores que han justificado la necesidad de enseñar probabilidad a todos los alumnos. Batanero (2006) lo justifica citando a Bennet (1998), quien muestra cómo el azar y los fenómenos aleatorios impregnan nuestra vida y nuestro entorno. Además la autora señala que la probabilidad es una parte importante de la matemática y como tal, debe ser enseñada a los estudiantes. Presenta en su trabajo una serie de situaciones, como la interpretación de un diagnóstico médico, la elección de una opción al contratar un seguro, la evaluación de estudiantes, o el participar como jurado en un juicio, que requieren del razonamiento probabilístico adecuado. Jiménez y Jiménez (2005) indican que la matemática, además de ser una ciencia en sí misma, es importante como herramienta para muchas otras ciencias, donde se utiliza para modelar, cambiar, investigar y examinar los fenómenos sociales y naturales, y ahora más que nunca dado el desarrollo tecnológico que está sufriendo la sociedad. Como señala Turner (1981, pg. 9): “La industria (y en sentido más amplio, la nación), necesita ahora de las matemáticas, y del modo de pensar matemático, de una manera sin precedentes en la historia”. No obstante, el autor también indica que no todos los fenómenos que se van a analizar responden al mismo modelo matemático. Así, si el objeto de estudio está relacionado con las ciencias sociales o biología; por ejemplo, a la hora de desarrollar leyes para el funcionamiento del cerebro humano, será muy difícil para los investigadores encontrar un modelo determinista. En otros campos del saber si podemos encontrar leyes deterministas, como, por ejemplo, la Ley de la Gravitación Universal en Física. De esta manera, nos damos cuenta que en nuestro entorno social y natural las leyes que explican los acontecimientos pueden seguir modelos aleatorios o deterministas. Los modelos aleatorios se basan en conceptos probabilísticos y estadísticos, lo que explica la utilidad y la importancia de estas disciplinas en el desarrollo de las ciencias. Jiménez y Jiménez citan a Kline (1998), quien señala que el uso de la estadística para explicar y desarrollar las ciencias sociales y biológicas conlleva el trabajo con la 4