La versi´on anterior de este documento, por error, conten´ıa una transcripci´on literal y no autorizada de las notas “An´alisis de Fourier” escritas por el Prof. Dr. Jos´e Luis Andr´es Yebra, de la Universitat Polit`ecnica de Catalunya. El autor ofrece pu´blicamente sus disculpas por este hecho y en particular al Prof. Yebra. La presente nota debe incluirse en toda versi´on impresa o electr´onica del documento. Ana´lisis de Fourier Jos´e Antonio Vallejo Facultad de Ciencias UASLP RESUMEN: Notas de apoyo para las asignaturas Ana´lisis de Fourier y Ecuaciones en derivadas parciales en la Facultad de Ciencias de la UASLP. Se repasan los conceptos de ana´lisis matema´tico ma´s relevantes para el curso y se ilustra la teor´ıa con numerosos ejemplos. Contenidos Prefacio V 1. Introducci´on al an´alisis de Fourier 1 1.1. Breve resen˜a hist´orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Aplicaciones en la tecnolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Sucesiones y series num´ericas 9 2.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. L´ımite de una sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Series num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4. Series de t´erminos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. Series funcionales. Convergencia uniforme 21 3.1. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Convergencia uniforme de series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. El criterio M de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4. Series de Fourier 29 4.1. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2. Periodos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3. Paridad y desarrollo en semiintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4. Series de Fourier complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5. Convergencia de la serie de Fourier 41 5.1. Convergencia puntual. Nu´cleo de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2. Convergencia en media cuadr´atica. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3. Desigualdad de Bessel. Igualdad de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.4. Convergencia uniforme. Fen´omeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6. Ecuaciones en derivadas parciales sobre dominios acotados 59 6.1. La ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2. La ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3. La ecuaci´on de Laplace en un rect´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.4. Problema de Dirichlet en el disco. El nu´cleo de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.5. Separaci´on de variables en problemas con fuentes y no homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.6. Problemas correctamente planteados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7. Teoremas de existencia, unicidad y estabilidad 81 7.1. Existencia de soluci´on a la ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.2. Existencia de soluci´on a la ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.2.1. El m´etodo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.2.2. El m´etodo de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.3. Principios del m´aximo y del m´ınimo para la ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.4. La integral de energ´ıa en la ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8. La transformada de Fourier 95 8.1. Motivaci´on y definici´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.2. Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.3. El producto de convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9. Ecuaciones en derivadas parciales sobre dominios no acotados 107 9.1. Transformadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.2. El problema de Cauchy para la ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.3. Caracter´ısticas. Dominios de dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.4. El problema de Laplace en un semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.5. El problema de Cauchy con fuentes: Principio de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Lecturas recomendadas 113 Prefacio Estas notas tienen su origen en varios cursos impartidos en la Facultad de Ciencias de la UASLP. Los alumnost´ıpicamenteconstitu´ıanungrupomixtodematem´aticos,f´ısicos,ingenierosf´ısicosyelectr´onicos,yla intenci´on de los cursos era la de introducirlos en las herramientas b´asicas del an´alisis de Fourier centr´andose en las aplicaciones a la teor´ıa de la sen˜al y las ecuaciones en derivadas parciales m´as habituales en la f´ısica matema´tica, pero tratando de que el rigor fuera aceptable para los estudiantes de matem´aticas. Naturalmente, conseguir este tipo de objetivos es francamente dif´ıcil, cuando no imposible. Adem´as, el tema es tan cl´asico que deja poco lugar a la originalidad, as´ı que el material que aqu´ı se presenta debe verse s´olo como un apoyo, que cubre solo parte de un campo tan extenso y deja fuera muchos temas que pueden ser de inter´es para un futuro cient´ıfico. Es imprescindible, pues, consultar los textos recomendados en la bibliograf´ıa, que son los que se han usado como fuentes principales de estas notas. El material se ha ido reelaborando y corrigiendo desde el primer momento, tratando de que sirviera como una introducci´on al tema para estudiantes de ciencias en general. Tiene un car´acter elemental en el sentido de que incluye las versiones m´as f´aciles de los resultados te´oricos (b´asicamente se trabaja en el contexto de las funciones continuas y diferenciables por secciones), que est´an al alcance del nivel de matem´aticas de, digamos, un f´ısico. 1 Introduccio´n al an´alisis de Fourier En este primer cap´ıtulo, tras un breve repaso del desarrollo hist´orico, damos una descripci´on intuitiva de lasprincipalesideasyt´ecnicasempleadasenelan´alisisdeFourier,utilizandocomoejemplolastransmisiones de radio. Los cap´ıtulos siguientes profundizar´an en la justificaci´on matem´atica de estas ideas, as´ı como en los m´etodos de c´alculo. 1.1. Breve resen˜a histo´rica LoqueseconocecomoAn´alisisdeFourieresunconjuntodet´ecnicasdestinadasaobtenerlarepresentaci´on de una funci´on f(t) (real o compleja) en forma de una serie del tipo ∞ 1 (cid:88) a + (a cosnt+b sennt). (1.1) 2 0 n n n=1 Una serie como la anterior se denomina serie trigonom´etrica, por la presencia en ella de las funciones seno y coseno. La primera pregunta que surge de manera natural es ¿por qu´e necesitamos obtener tal representaci´on?.Enloscursosdec´alculoseestudiaeldesarrollodeTaylordeunafunci´on,queest´adadopor monomios tn y es m´as simple que (1.1). Pareciera que no hay motivo para complicar las cosas introduciendo las funciones cosnt,sinnt. La respuesta es que no siempre es posible hacer el desarrollo de Taylor de una funci´on y que, au´n cuando es posible, las caracter´ısticas de la misma hacen deseable uno de la forma ((1.1)). En teor´ıa de circuitos el´ectricos, por ejemplo, no es extran˜o encontrar sen˜ales de corriente peri´odicas con la forma: 3sint 2 t π/2 π 3π/2 (la corriente dom´estica es de este tipo, con una frecuencia de 50Hz o 60Hz dependiendo del pa´ıs), pero tambi´en hay sen˜ales como estas otras: −π π t t −2π −π π 2π Resulta claro que las caracter´ısticas de la primera sen˜al son tales que una descripci´on suya en t´erminos de senos y cosenos ser´ıa m´as apropiada, en tanto que las dos u´ltimas funciones no son diferenciables; si f(t) describe cualquiera de estas sen˜ales, no es posible hablar de f(cid:48)(t ), f(cid:48)(cid:48)(t ), ... en muchos puntos t , de modo 0 0 0 que ni siquiera tiene sentido plantear el desarrollo de Taylor habitual, dado por p (cid:88) 1 f(t)= f(k)(t )(t−t )k+R (t ). k! 0 0 p 0 k=1 Au´n hay otros motivos para considerar desarrollos como (1.1) y estos provienen del campo de la F´ısica. Hist´oricamente, el inter´es por tales expresiones apareci´o con el estudio de lo que se llam´o la cuerda vibrante (por ejemplo, el movimiento de una cuerda de viol´ın al ser pulsada). Claramente, las caracter´ısticas del sonidoemitidoporuninstrumentodecuerdadependedemaneracrucialdec´omooscile´esta(apartedeotros factores tambi´en importantes, como el material de la propia cuerda o la madera del viol´ın1) y por eso en el siglo XVIII se estudi´o de manera especial este sistema por parte de grandes matem´aticos como Euler, los hermanos Bernoulli, D’Alembert y otros. De hecho, para el problema de determinar el movimiento (las oscilaciones) de una cuerda el´astica de longitud en reposo L, que se pulsa segu´n se esquematiza en la figura, Daniel Bernoulli propuso una soluci´on del tipo (1.1), lo que produjo una gran controversia (tuvo por oponente a Euler), pues en aquella ´epoca no seten´ıamuyclaroqueunaexpresi´onsemejantea(1.1)pudieratenerelmismosignificadocomofunci´onque, por ejemplo, g(t)=et2+1, donde para un t dado est´a claramente definido el valor de g(t)2. u(x,t) x 0 L Elcasoesquesilacuerdasesometeaunatensi´onuniformeT ysumasaesm,introduciendolaconstante a2 =T/m se puede probar que la ecuaci´on que determina las oscilaciones u(x,t) (en funci´on de la posici´on del punto sobre la cuerda y el tiempo) es : ∂2u ∂2u =a2 . (1.2) ∂t2 ∂x2 Esta ecuaci´on, llamada la ecuaci´on de ondas, admite soluciones de la forma “separada” en x y t, 1Un caso extremo es el de los conocidos stradivari, violines con un sonido excepcional que se han tratado de imitar por muchotiempoperodelosquesiguesinconocerseelmotivodesusextraordinariascualidades.Lateor´ıaconmayoraceptaci´on suponequelamaderaoriginalconquesefabricaronsufrio´untratamientoconsalesmeta´licas. 2Nofuehastaunsiglom´astarde,amediadosdelXIX,queWeiestrassdi´ounadefinici´onm´asclaradelconceptodeconver- genciadeunaseriefuncionalcomo(1.1).Sudefinici´onesexactamentelaqueusamoshoyendia. 2 u(x,t)=X (x)T (t), n n donde, para cada nu´mero natural n, X (x)=Asin(λ x)+Bcos(λ x), (1.3) n n n T (t)=Csin(λ t)+Dcos(λ t), (1.4) n n n siendo λ un par´ametro que depende de n y A,B,C,D unas “constantes de integraci´on” que dependen de n las condiciones iniciales del problema (b´asicamente de la forma que adopta la cuerda cuando t=0). N´otese que se tiene una familia infinita de soluciones: hay una para cada valor de n=1,2,3,4,.... Ahora, por la propiedad de linealidad de las derivadas parciales (la derivada de la suma es la suma de las derivadas, etc.) es claro que si tenemos un conjunto finito de soluciones del tipo u (x,t) = X (x)T (t), n n n digamos u (x,t),...,u (x,t), entonces tambi´en seguir´a siendo una soluci´on toda combinaci´on lineal 1 k k (cid:88) α u (x,t)+···+α u (x,t)= α u (x,t)). 1 1 k k n n n=1 LaaudaciadeBernoulli(loqueleenfrent´oaEuler)consiti´oenpensarquetambi´enunacombinaci´onlineal de todas las (infinitas) soluciones u (x,t) deb´ıa ser una soluci´on. En este caso tendr´ıamos una soluci´on n +∞ +∞ (cid:88) (cid:88) u (x,t)= α u (x,t)= α X (x)T (t), n n n n n n n=1 n=1 que, desarrollando los productos en cada X (x)T (t) y utilizando identidades trigonom´etricas, resulta ser n n una expresi´on del tipo (1.1). M´as tarde, ya en el siglo XIX, Joseph Fourier lleg´o a soluciones con las mismas caracter´ısticas estudiando el problema de c´omo se conduce el calor a trav´es de una barra y a partir de ese momento comenz´o a formarse el estudio riguroso de tales expresiones3, lo que hoy llamamos an´alisis de Fourier. Vamos ahora a estudiar un poco de terminolog´ıa asociada a este problema. Para ello, volvamos a las soluciones fundamentales u (x,t) y especifiquemos unas condiciones de frontera: esto quiere decir que el n comportamientodelosextremosdelacuerdaestar´adeterminadoparatodotiempo;enconcreto,supondremos que los extremos permanecen fijos, u (0,t)=0=u (L,t),∀t≥0. n n Sustituyendo u (0,t)=0 en (1.3) y (1.4), esto conduce a n BT (t)=0,∀t≥0. n Haciendo la suposici´on razonable de que la forma de la cuerda var´ıa con el tiempo (es decir, que T (z)(cid:54)=0), n esto implica que B =0. An´alogamente de u (L,T)=0 obtenemos: n Asin(λ L)T (t)=0,∀t≥0. n n De nuevo, si T (t) (cid:54)= 0 hay dos opciones: que sea A = 0 o que sea sin(λ L) = 0. En el primer caso, con n n A=0yB =0nosquedar´ıaqueX(x)=Asin(λ x)+Bcos(λ x)=0ylassolucionesu (x,t)=X (x)T (t) n n n n n ser´ıan todas nulas, lo cual es f´ısicamente inaceptable. Pero para que sea sin(λ L) = 0 debe ocurrir que el n argumento de la funci´on seno sea un mu´ltiplo de π, λ L=nπ para algu´n n∈N. De aqu´ı: n nπ λ = . n L 3La Academia de Ciencias francesa convoc´o dos concursos en los que se premiar´ıa a la obra que mejor tratase el tema del calor. Fourier gan´o uno de ellos, pero sus resultados no se publicaron en aquel momento por considerarse poco rigurosos. El mismoFourierlospublic´om´astarde,cuandolleg´oasersecretarioperpetuodelapropiaAcademia. 3