a Dina, luce di un sorriso che l’ombra della vita non può spegnere C. Canuto, A. Tabacco Analisi matematica I Teoria ed esercizi con complementi in rete 2a edizione 1 3 CLAUDIOCANUTO Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino,Torino ANITATABACCO Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino,Torino Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.it © Springer-Verlag Italia,Milano 2005 ISBN 10 88-470-0337-7 ISBN 13 978-88-470-0337-8 Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore.Tutti i diritti,in particolare quelli relativi alla tradu- zione,alla ristampa,all’uso di figure e tabelle,alla citazione orale,alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database,alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale.Una riproduzione di quest’opera,oppu- re di parte di questa,è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d’au- tore,ed è soggetta all’autorizzazione dell’Editore.La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo di denominazioni generiche,nomi commerciali,marchi registrati,ecc.,in quest’opera,anche in assenza di particolare indicazione,non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina:Simona Colombo,Milano Stampato in Italia:Signum,Bollate (Mi) Prefazione InuoviOrdinamentiDidatticihannoimpostounripensamentoglobaledellastrut- turaedeicontenutidegliinsegnamentiuniversitariitalianie,corrispondentemente, del materiale didattico di supporto. In molti corsi, in particolare in quelli di base, `e necessario portare gli allievi ad acquisire un insieme non piccolo di concetti e di conoscenze operative avendo a disposizione un numero ridotto di crediti sovente compressi in poche settimane. Si pone quindi il problema di effettuare delle scelte sui contenuti, sul linguaggio usato e sul livello di approfondimento con cui viene trattata la materia. Il presente testo intende essere di supporto ad un primo insegnamento di Ana- lisi Matematica in quei corsi di studio (quali ad esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico `e parte significativa della formazione del- l’allievo. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in una variabile sono presentati con l’obiettivo primario di addestrare lo studente ad un loro uso operativo, ma critico. La filosofia che ha ispirato l’impostazione generale `e stata quella di semplificare e alleggerire il materiale rispetto ai testi in uso prima della riforma, senza pero` rinunciare al rigore espositivo e scadere in un mero prontuario di regole e formule. In questa prospettiva, il testo presenta tre diversi livelli di lettura. Il livel- lo intermedio corrisponde, per ciascuno degli argomenti trattati, alla totalita` del materiale qui presentato. I concetti sono dapprima introdotti in modo discorsi- vo e poi rigorosamente definiti; successivamente, si discutono le varie proprieta` matematiche ad essi collegate e si delineano le metodologie di calcolo che ne de- rivano. I teoremi e le proprieta` piu` importanti sono accompagnati dalla relativa dimostrazione. Unlivellodiletturapiu` essenzialeprevedel’omissioneditutteledimostrazioni riportate, che a tale scopo sono facilmente distinguibili, e di quelle parti di testo presentatesottolavoce“Osservazione”.Perfacilitarelostudente,leformuleasso- lutamentefondamentali,equellecomunqueimportanti,sonostatemesseinrilievo mediante l’uso del colore, rispettivamente ciano e grigio. Alcune tabelle, nel testo e al fondo del libro, riassumono formule di uso frequente. Non si `e invece voluto VI Prefazione stabilireunaclassificadiimportanzatraiteoremi,perlasciarealdocentelaliberta` di operare eventuali scelte in tal senso. Unterzolivellodilettura,basatosull’accessoadunsitoweb,permetteall’allie- vo piu` motivato ed interessato di approfondire la sua preparazione sulla materia. Riteniamo infatti che gli obiettivi generali dei nuovi Ordinamenti Didattici siano compatibiliconlapossibilita`,perglistudenticapacievolenterosi,diacquisireuna formazionesolidaecompleta,secondolamiglioretradizioneuniversitariaitaliana. Nel libro si trovano vari riferimenti alle sezioni di un testo virtuale disponibile in rete, contenenti complementi e approfondimenti degli argomenti di volta in volta trattati. In tal modo, tutti gli enunciati presenti nel testo cartaceo vengono ad essere corredati dalla rispettiva dimostrazione. Per consentire un approccio morbido alla materia, nei primi due capitoli si `e scelta una esposizione piu` discorsiva, in cui definizioni e proprieta` sono sovente inglobate nel testo; nei capitoli successivi, la veste grafica mette in luce in modo piu` evidente tali strutture. Deliberatamente, di alcune definizioni e teoremi non si fornisce la forma piu` generale possibile, al fine di privilegiare l’immediatezza di comprensione da parte dello studente. Gli enunciati sono in genere immedia- tamente seguiti da numerosi esempi; lo stesso vale anche per la descrizione dei procedimenti di calcolo. Varie osservazioni fanno da complemento all’esposizione principale, mettendo in luce, fra l’altro, casi particolari ed eccezioni. Un rilevante numerodiesercizivienefornitoalterminediognicapitolo,permettendoall’allievo di valutare immediatamente lo stato delle conoscenze acquisite. Gli esercizi sono raccoltiingruppicheriprendonoiprincipaliargomentitrattatinelcapitoloesono ordinati per difficolta` crescente. Di tutti gli esercizi viene fornita la soluzione; per oltre la meta` di essi, si delinea il procedimento risolutivo. Neltestosarannousateleseguenticonvenzionigrafiche:ledefinizioniappaiono susfondogrigio,mentreglienunciatisusfondociano;gliesempisonosegnalatida unabarraverticaleincolore;gliesercizidicuisiforniscelasoluzionesonoindicati con un riquadro nel testo (ad esempio 12. ). Questo volume `e dedicato all’amica Dina Giublesi, per molti anni preziosa collaboratrice, di cui sempre ricordiamo la luminosa figura. Siamo riconoscenti ai molti colleghi e studenti che ci hanno permesso, con i loro consigli, suggerimenti ed osservazioni, di migliorare l’esposizione ed arricchire i contenuti di questa seconda edizione. Torino, giugno 2005 Claudio Canuto, Anita Tabacco Complementi disponibili in rete All’indirizzo internet http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi 1 `e disponibile un testo virtuale, contenente complementi e approfondimenti del- la materia qui trattata (ad esempio, vi si possono trovare le dimostrazioni de- gli enunciati non fornite nel presente libro). Il materiale `e suddiviso nei seguenti argomenti: • Principio di induzione • Numero di Nepero • Funzioni elementari • Limiti • Funzioni continue • Successioni • Serie numeriche • Derivate • Teorema di de l’Hˆopital • Funzioni convesse • Sviluppi di Taylor • Integrale di Cauchy • Integrale di Riemann • Integrali impropri Nel presente volume, il rinvio al testo elettronico complementare `e segnalato dal simbolo (cid:1), ad esempio (cid:1) Numero di Nepero. Indice 1 Nozioni di base ................................................ 1 1.1 Insiemi..................................................... 1 1.2 Elementi di logica matematica ................................ 5 1.2.1 Connettivi logici ...................................... 5 1.2.2 Predicati ............................................. 7 1.2.3 Quantificatori......................................... 7 1.3 Insiemi numerici............................................. 9 1.3.1 L’ordinamento dei numeri reali.......................... 12 1.3.2 La completezza diR.................................... 18 1.4 Fattoriali e coefficienti binomiali............................... 19 1.5 Prodotto cartesiano.......................................... 22 1.6 Relazioni nel piano .......................................... 24 1.7 Esercizi .................................................... 26 1.7.1 Soluzioni ............................................. 27 2 Funzioni ....................................................... 33 2.1 Definizioni e primi esempi .................................... 33 2.2 Immagine e controimmagine .................................. 38 2.3 Funzioni suriettive e iniettive; funzione inversa .................. 40 2.4 Funzioni monoto`ne .......................................... 43 2.5 Funzioni composte........................................... 46 2.5.1 Traslazioni, cambiamenti di scala, riflessioni .............. 48 2.6 Funzioni elementari e loro proprieta`............................ 49 2.6.1 Funzioni elevamento a potenza .......................... 51 2.6.2 Funzioni polinomiali e razionali ......................... 53 2.6.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche ..................... 53 2.6.4 Funzioni trigonometriche e loro inverse................... 54 2.7 Esercizi .................................................... 59 2.7.1 Soluzioni ............................................. 61 X Indice 3 Limiti e continuit`a I ........................................... 67 3.1 Intorni ..................................................... 67 3.2 Limiti di successioni ......................................... 68 3.3 Limiti di funzioni; continuita`.................................. 74 3.3.1 Limiti all’infinito ...................................... 74 3.3.2 Continuita`. Limiti al finito.............................. 76 3.3.3 Limiti destro e sinistro; punti di discontinuita`............. 84 3.3.4 Limiti di funzioni monotone ............................ 87 3.4 Esercizi .................................................... 89 3.4.1 Soluzioni ............................................. 89 4 Limiti e continuit`a II .......................................... 91 4.1 Teoremi sui limiti ........................................... 91 4.1.1 Teoremi di unicita` e permanenza del segno ............... 91 4.1.2 Teoremi del confronto.................................. 94 4.1.3 Algebra dei limiti; forme di indeterminazione di tipo algebrico ............................................. 98 4.1.4 Teorema di sostituzione ................................105 4.2 Altri limiti notevoli; forme indeterminate di tipo esponenziale .....108 4.3 Proprieta` globali delle funzioni continue ........................111 4.4 Esercizi ....................................................118 4.4.1 Soluzioni .............................................120 5 Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche.....127 5.1 Simboli di Landau...........................................127 5.2 Infinitesimi ed infiniti ........................................134 5.3 Asintoti ....................................................139 5.4 Ulteriori proprieta` delle successioni ............................141 5.5 Serie numeriche .............................................145 5.5.1 Serie a termini positivi .................................151 5.5.2 Serie a termini di segno alterno .........................154 5.6 Esercizi ....................................................155 5.6.1 Soluzioni .............................................158 6 Calcolo differenziale ...........................................171 6.1 La derivata .................................................171 6.2 Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione ............174 6.3 Punti di non derivabilita` .....................................180 6.4 Punti di estremo e punti critici di una funzione..................183 6.5 I Teoremi di Rolle e Lagrange.................................186 6.6 Prima e seconda formula dell’incremento finito ..................188 6.7 Intervalli di monotonia di una funzione.........................191 6.8 Derivate di ordine superiore...................................193 6.9 Convessit`a e flessi ...........................................194 6.10 Studio di funzioni ...........................................198 Indice XI 6.10.1 Le funzioni iperboliche .................................200 6.11 Il Teorema di de l’Hˆopital ....................................202 6.11.1 Applicazioni del Teorema di de l’Hˆopital .................204 6.12 Esercizi ....................................................206 6.12.1 Soluzioni .............................................210 7 Sviluppi di Taylor e applicazioni ...............................229 7.1 Le formule di Taylor .........................................229 7.2 Sviluppi di Taylor notevoli....................................233 7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor.............................240 7.4 Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione ....249 7.5 Esercizi ....................................................254 7.5.1 Soluzioni .............................................256 8 Rappresentazioni del piano e dello spazio ......................265 8.1 Coordinate polari, cilindriche, sferiche..........................265 8.2 Vettori nel piano e nello spazio................................268 8.2.1 Vettori applicati nell’origine ............................268 8.2.2 Modulo e prodotto scalare..............................271 8.2.3 Vettori applicati in un punto............................277 8.3 Numeri complessi............................................278 8.3.1 Operazioni algebriche ..................................278 8.3.2 Coordinate cartesiane..................................280 8.3.3 Forma trigonometrica e forma esponenziale ...............282 8.3.4 Potenze e radici .......................................284 8.3.5 Equazioni algebriche...................................286 8.4 Curve nel piano e nello spazio.................................288 8.5 Cenni alle funzioni di piu` variabili .............................294 8.5.1 Continuita`............................................294 8.5.2 Derivate parziali e gradiente ............................295 8.6 Esercizi ....................................................299 8.6.1 Soluzioni .............................................301 9 Calcolo integrale I .............................................309 9.1 Primitive e integrali indefiniti .................................310 9.2 Regole di integrazione indefinita...............................314 9.2.1 Integrazione di funzioni razionali ........................321 9.3 Integrali definiti .............................................327 9.4 Integrale secondo Cauchy.....................................328 9.5 Integrale secondo Riemann ...................................331 9.6 Proprieta` dell’integrale definito................................338 9.7 Media integrale .............................................340 9.8 Il Teorema fondamentale del calcolo integrale ...................342 9.9 Regole di integrazione definita ................................347 9.9.1 Applicazione al calcolo di aree ..........................350 XXIIVI IInnddiiccee 9.10 Esercizi ....................................................352 9.10.1 Soluzioni .............................................355 10 Calcolo integrale II ............................................367 10.1 Integrali impropri ...........................................367 10.1.1 Integrali su intervalli illimitati ..........................367 10.1.2 Integrali di funzioni non limitate ........................375 10.2 Altri integrali impropri.......................................379 10.3 Integrali curvilinei ...........................................380 10.3.1 Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea .................386 10.4 Integrali di linea.............................................388 10.5 Esercizi ....................................................390 10.5.1 Soluzioni .............................................392 11 Equazioni differenziali ordinarie ...............................399 11.1 Definizioni generali ..........................................399 11.2 Equazioni del primo ordine ...................................400 11.2.1 Equazioni a variabili separabili..........................404 11.2.2 Equazioni lineari ......................................407 11.2.3 Equazioni omogenee ...................................409 11.2.4 Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo ........411 11.3 Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine.............................................412 11.3.1 Funzioni lipschitziane ..................................412 11.3.2 Una condizione di risolubilita` del problema di Cauchy......415 11.4 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti ........417 11.5 Esercizi ....................................................423 11.5.1 Soluzioni .............................................425 Indice analitico ....................................................443