COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA Primeira Edição (segunda impressão) Elon Lages Lima lmpa f ~ INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÂTICA PURA E APLICADA Copyright © 2004 by El on Lages Lima Direitos reservados, 2004 pela Associação lnstitL1to Nac ional de Matemática Pl1ra e Aplicadít - IMPA 1 Estrada Dona Castorina, 1 l () 1 1 22460-320 Rio de Janei ro, RJ Impresso no Brasil I Printed in Br,1zil Capa: Noni Geige r e Rodolfo C<lpeto Coleção l\1atcn1á tica Universitária Comissão Editorial: Elon Lages Lima (Ed itor) S. Col lier Coutinl10 Pat1lo Sad Títulos Publicados: • Anál ise Real, Volume 1 -Elon Lages Lin1a • EDP: Urn Curso de - Valéria Tório Gradu~1ção • Ct1rso de Álgebr<L, Volttmc l - Abramo Hcfcz • Álgebra Li11ear - Elon Lages Li111a • Introdt1ção às Curvas Algébricas Plar1as - Israel Vainsencl1er • Eqt1ações Diferenciai s Aplicadas - Djairo G. de Figt1eiredo e Aloisio Freiri[l Neves • Geometria Diferer1cial - l)at1lo Ventura Araújo • Tntrodt1ção à Teoria dos N(1mcros - José Plír1io de Oli veira Sj11tos • CálcLilo em U111a Variável Complexa - Mareio G. Soares , • Geometria Analítica e Algebra Li11car - Elon Lagcs Li111a • N(1meros Pri1nos: Mistéri os e Recordes - Paulo Ribc11 boi1n • Análise no Espaço !R11 Elon Lages Li1na - • Aná lise Real , Volt11ne 2 - Elon Lages Li rnLl Distrib11ição: IMPA Estrada Do11a Castorina, 110 22460-320 Rio de J nneiro, I~J c-rnai l: ddic@i 1np~t.br l1tl i br j)://\V\V\V. lTipa. Prefácio da edição original Este livro reproduz as lições que profcrirr1os durante o Séti1no Colóquio Brasileiro de 1v1atemáticc1, em Poços de Caldas, jlrlho de 1969. Nele são deser1v·o}vjcJos os ft1nda1nentos elo Cálc11lo 1)a1·a fu11- ções (le várias variáveis reais, cr11 for111a i11trínseca. Isto significa que t1sa111os lir1g11agem ele vetores, segundo a <l 1 .f ( qua l uma função real :c , x 2 x 3 de 3 variáveis rce:1is passa a ser , ) tima função f(x) e.lo vetor x = (x1 x2 x3 pertencente a IR3 en , : ), , 3 f quanto, por exemr)lo, duas fur1ções reais 1 (x 1 x2 j'2(x 1 x2 ::c: ) x~~), , , , , são cor1sideraclas co1110 fl1r1ção vetorial f: JR3 JR.2 011de lima , -1 f(x) = (.f 1(x), f 2 (:c )), x = (x 1 x2 x3 Analogê1111e11te, em vez dê1 : : ). Ji / = r11atriz jacobia11a (a o;rJ)' i = 1, 2; j 1) 2, 3, consideraren1os a f' transformação li11ear corrcspo11de11te (x): JR3 JR2 qt1c desem -1 1 f . pcr1l1ará o pa1)el da dcri vad<-1 ele . A notação vetorial sir11plific<-'1 <-1s fór1nt1las esclarece os ent111ci- 1 aclos, ':li1npa" as clernonstrações e contril)ui para urna corr1preensão . inelhor dos fenôme11os difcrer1cia.is. (Vicie, por exemplo, a Rcg1·a • ela Cacleia e o 1'eorema ela Fl1r1ção lr1versa.) Alén1 disso, ela de:í rr1aior am1)litudc à validcz e.los rcs11lta.dos. Quase todos os teorc- 1nas aqtti cicmonstrados se inantêm vcrclaclci1·os, com as r11cs1nas demonstr<1ções, para o Cálculo ern Es1)<.tç:os ele Ba11é1cl1. N 1·eali í:t clade, apcr1as 111otivos clicláticos é cor1siclcra1nos os es1)aços })Or qt1c c11cliclia11os JRn. ern vez de CSJ)<.1ços r1or111a,(los rr1<.tis gcr<.1is. Usarnos livre111er1te a li11gt1age111 e os rest1ltaclos ele111ent<.1rcs , Algebr<1 Linear e não rios abster os de usar ta1nbér11 alg11r1s fa.tos dé1 sim1)les da Topologia dos Espaços 11cli<liar1os. Estes são os pri11ci- 1)ais pré-requisitos para a leitura d ste livro. Os originais deste traball10 f ran1 notas ele a11la ele l1rr1 cl.1rso qt1e lecionei numa universidade e. trangcirc.1. A trê1dução 1)arç1 o português foi feita por Henrique B o\vr1c Filho, lsre:1el Vai11scr1c:l1er, .J air Koiller e Milton Kelrnanso11. A redé1ção fi11al foi revist<1 I)ü!' Jorge Sotomayor, Ccsar Camé1cho e R.ubc11s Leão de A11drade. A todas estas pessoas rcgistro rne11 e rclial agradecimento. ELON LAGES LI"tv1A ,. '" Prefácio da nova edição A origern deste livro re111011ta às i1otas 1nimcogr<-1faclas nas q11ais se baseot1 o ct1rso que lccio11ci Sétirno Colóqt1io Brasileiro 110 de !\tlatemática, e1n Poços de Calda.5, 1969. No ar10 segui11te con1 1 peqt1cnos apcrfeiçoc:1n1e11tos do texto e a.créscirno ele <1lguns exercícios, ele foi 1)11blicaclo i1el<.t Universiclacle ele BrasíliEt. A edição ele 1970 esgotot1-se já faz vários <:1r1os. Diversos cole gas e alt111os vez l)Or c)11tr<-1 111e st1gererr1 que l1<Í em ter ir1tc~resse 7 1 dispor1ívcl u1n<:1 cxposiçã.o dos 1)ri11cí1)ios e fatos b<ísicos elo Cálct1lo a. n variáveis que seja ao mesn10 ten11)0 co11cisa e ir1teligível. Bo11- dosame11te inc dão a er1te11cler qt1e a presente ex1)osição c11rn1)re tais rcq11isitos. A sugestão dccisivé.'t co11be ao meu colega P<:1ulo Sad, q11e rne convencet1 a corrigir os erros de irnpressão e algt111s 011tros cles c11idos, fazer cc)rreção das J)rovas e ulti1x1ar a i)resente l)lll)licação. <-l A ele cabe reconl1eci1ne11to especial. 11rr1 Agradeço o i11teressc dcssé:1s p essoa.s e ao R ogério Trir1el<-1cic, que <.'ligitot1 e il11strol1 esta cclição. R.io de .J ar1ciro 1 (ic j 111110 <lc 2002. 1 Conteúdo Capítulo 1. Aplicações Diferenciáveis . . . . . ............... 1 1.1 Defir1ição de aplicação diferenciável .. ... . ............ 1 1. 2 Generalização .... .. .......... . ...................... 2 Capítulo 2. Exemplos ..... . ................... ..... ...... .. 6 Capítulo 3. Classes d e Diferenciabilidade .. . ............ 16 3 .1 De ri vaclas de orclen1 2 .............. . ............... 16 3.2 Derivaclé:lS ele ordcr11 s111)erior ....... ... ............. 19 3.3 Exe1n1)los . .. . ...................................... 20 3.4 Observação sobre c<-1minl1os scccior1almer1te difcrenciá veis ... . . ... .......... . .. . .. ...... ..... . . .. 22 Capítulo 4. A r eg1·a da cadeia . ... . . ..... ..... . . ........ . 25 Capítulo 5. A d esigualdade do valor médio . ... . ..... . .. 34 Capítulo 6. Integrais ......... .' ............ . ...... . . . .. .. .. 44 6 .1 Intcgra ção de camir1l1os .. ..... . .. ... .... .. .. .. ..... 44 6.2 Relações entre clcrivadas e integrais ........... .. .... 52 6. 3 Integrais 1·cpctídas ..... .. . ....... ........ ........ .. 56 6.4 Integrais mtiltiplas ..................... . ........ . .. 58 Capítulo 7. Derivadas parciais . .................... .. . ... 63 Capítulo 8. Teorema de Schwarz ...... .... ........ ..... . 69 Capítulo 9. A fórmula de Taylor . .......... . ... ...... .... 73 9.1 Os teorernas de Taylor ............................. 73 ~ 9. 2 Máximos e mínirnos ................. ... .... ....... . . 79 Capítulo 10. Funções implícitas ............ ... ... .. ...... 84 O 1O . 1 Teorema de Fl111ção Ir1v ersa .. . . ................ . 84 10.2 A forma local <ias s11brr1ersões ..................... 91 1 O. 3 A forrna loc<-11 (las ........ ................ 96 irn.:~rsõc~s 10.4 O teorcn1a elo !)Osto ....... ..... . . . .. . . . ... .. . ..... 99 Capítulo 11. Mudanças de variáveis em integrais múltiplas ............................... ... .. 107 Apêndice ............ . ............................. ........ 114 1 Aplicações diferenciáveis 1 Definição de aplicação diferenciável e Seja U ~'1 t1111 co11junto <1ber to. Dize1nos ql1e ttma aplica.ção f : U IR11 é difer·e1iciável em um po11to E U qt1ando existe, na --+ ~e; 1·. vizinhar1ça de x, unia "l>oa a1)roxi1nação li11car" })ara Nlaís precisan1cr1te, eleve existir t1r11a tr<:1nsformação lir1ear T: JR tal q J.Rrri --+ 7 ll() i . .,. (}1 ,) 011dc hl o. = 11t11 1 lt-+0 Na expressão aci111a, h de\ er sc1· torr1aclo st1ficie11tcrr1e11te 11c 1 + + .f queno para qt1c x ll E U e portanto (x h) te11l1a scr1tido. Con10 U é aberto, existe 17 > O tal cruc lf,.J < 77 i111p1ica x + li E U. + A igl1aldac.le +li) f (x) + T · fi r (h) é simplcsrnente a J(~r; = f d efinição do "resto" r( li) E IR.11 A difere11ciabilidade de por1to i10 • x nos diz q11e este resto é t11n "i11fi11itési1110 ele orc.lc111 Slll)Crior a li", isto é, lin1 )'1) = O. Isto sigr1ificét, é clé\ro, ql1e claclo e > (} , existe r o h-... 1 i 8 > O tal que O< llil <E i1r11Jlica lr(Ji) I < Ejli l. As vezes é conveniente escrever a co11dição par a a dife1·cncia- 2 APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS Cap. 1 bilidade de f: U 1Rr1 e1n x E U do seg11i11te rnodo: --+ =o. + llil, f(x +li) f(x) T ·li+ p(h) · oncie li111 p(Ji) = li-rO Para tal, basta to1nar r1(li) r·(li)/ lil. Isto deixa p(li) sem se11tíclo = f qt1ando li = O. 11as, qt1ando é diferenciável no po11to x, é r1att1ral definir p(O) O. Então p(li) será uma ft1nção cor1tí11t1a de li 110 = ponto li. O. = Se f: U 1R1 é difercr1ciávcl J)qnto x E U er1tão, para --+ 110 i cada vetor h E IR"i, t em-se evidenter11entc: lhl T · (tli) f(x + th) - J (x) ±r(tli) d _;_ T · h = t = t lthl para to o t 0 rca1 . 1 Logo: + T · h lirr1 j'(:r; th) - f(x) . = t t -rO , E única, portanto, c.1 t rar1sforrr1<1ção li11ear T: IRni IR1 qt1c dá --+ ét i f boa aproxima.ção para p erto ele :r. Ela é cl1a1nacl<:1 de derivada de f f' ( f ( i10 ponto x, indica ela x) D x) . e IJOr Oll Abandonemos çigora 11otaçã.o r)rovisória T. A co11dição para él e a clifercr1ciabilidade de t1rna aplicação f: U lRn (U 1Rr'1 a})erto) --+ em um por1to x E U se escreve: + f(x + li) = f( x) J'(x) ·li+ r(li)~ com lírn r·(li)/lli = O. h-40 , f f E claro que se é clifcrenciável no ponto x então é contír1ua r1estc J)Onto. 2 Generalização As definições acima (como t11do o rr1ais neste livro) se aplicarn, co111 p oucas exceções, ao caso mais geral de 11rna aplicação f: U F ----+ ·e· onde U E é urn conjunto aberto e E, F são espaços vetoriais