AnÆlise MatemÆtica II Feliz Minh(cid:243)s ii Conteœdo Introdu(cid:231)ªo 1 Objectivos Gerais 3 Programa 5 1 Fun(cid:231)ıes de Rn em Rm 7 1.1 Espa(cid:231)o vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 No(cid:231)ıes topol(cid:243)gicas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Intervalos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Tipos de fun(cid:231)ªo, dom(cid:237)nio e grÆ(cid:133)co . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 De(cid:133)ni(cid:231)ªo de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Propriedades algØbricas dos limites . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8 Continuidade. Propriedades das fun(cid:231)ıes cont(cid:237)nuas . . . . . . 28 1.9 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.10 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 CÆlculo diferencial em Rn 39 2.1 Deriva(cid:231)ªo parcial de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Signi(cid:133)cado geomØtrico das derivadas de 1a ordem . . . . . . . 42 2.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Fun(cid:231)ıes diferenciÆveis. Diferencial e gradiente . . . . . . . . . 48 2.6 Fun(cid:231)ıes vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.7 Regra de deriva(cid:231)ªo de fun(cid:231)ıes compostas . . . . . . . . . . . 63 2.8 Derivada de uma fun(cid:231)ªo composta de ordem superior . . . . . 68 2.9 Algumas aplica(cid:231)ıes das derivadas em Rn . . . . . . . . . . . . 72 2.9.1 Fun(cid:231)ıes homogØneas. Teorema de Euler . . . . . . . . 72 2.9.2 Plano tangente e recta normal a uma superf(cid:237)cie . . . . 75 iii iv CONTE(cid:218)DO 2.9.3 Operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.10 Invertibilidade de fun(cid:231)ıes em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.11 Fun(cid:231)ıes impl(cid:237)citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.12 Derivada da fun(cid:231)ªo impl(cid:237)cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.13 Diferenciais de ordem superior para fun(cid:231)ıes reais em Rn . . . 94 2.14 Estudo dos extremos de fun(cid:231)ıes reais de n variÆveis reais . . 102 2.14.1 Extremos em pontos interiores do dom(cid:237)nio . . . . . . . 103 2.14.2 Classi(cid:133)ca(cid:231)ªo dos pontos cr(cid:237)ticos . . . . . . . . . . . . . 105 2.15 MÆximos e m(cid:237)nimos de fun(cid:231)ıes de(cid:133)nidas implicitamente . . . 112 2.16 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.16.1 MØtodo dos multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . 116 2.16.2 MØtodo do Hessiano orlado . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.17 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3 Integrais de linha ou curvil(cid:237)neos 131 3.1 De(cid:133)ni(cid:231)ªo e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.2 Integrais de linha em rela(cid:231)ªo ao comprimento de arco . . . . 135 3.3 Aplica(cid:231)ıes do integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.4 Campo conservativo e potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.5 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4 Integrais duplos 151 4.1 De(cid:133)ni(cid:231)ªo de integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.2 Propriedades do integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.3 Integrais duplos inferior e superior . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4 O integral duplo por integra(cid:231)ªo iterada . . . . . . . . . . . . 156 4.5 Interpreta(cid:231)ªo geomØtrica do integral duplo . . . . . . . . . . . 157 4.6 Integrabilidade de fun(cid:231)ıes cont(cid:237)nuas . . . . . . . . . . . . . . 158 4.7 Integrabilidade de fun(cid:231)ıes limitadas com descontinuidades . . 160 4.8 Integrais duplos em regiıes mais gerais . . . . . . . . . . . . . 162 4.9 Aplica(cid:231)ıes a Æreas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.10 Outras aplica(cid:231)ıes dos integrais duplos . . . . . . . . . . . . . 169 4.11 Teorema de Green no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.12 Mudan(cid:231)a de variÆveis num integral duplo . . . . . . . . . . . 174 4.12.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.12.2 Transforma(cid:231)ıes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.13 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 CONTE(cid:218)DO v 5 Integrais triplos 183 5.1 Propriedades do integral triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.2 CÆlculo de integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.3 Aplica(cid:231)ıes dos integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.4 Mudan(cid:231)a de coordenadas em integrais triplos . . . . . . . . . 189 5.4.1 Coordenadas cil(cid:237)ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4.2 Coordenadas esfØricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.5 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6 Integrais de superf(cid:237)cie 195 6.1 De(cid:133)ni(cid:231)ªo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.2 Aplica(cid:231)ıes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.2.1 `rea de uma superf(cid:237)cie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.2.2 Centro de massa e momento de inØrcia . . . . . . . . . 196 6.2.3 Fluxo de um (cid:135)uido atravØs de uma superf(cid:237)cie . . . . . 199 6.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.4 Teorema de Gauss ou Teorema da divergŒncia . . . . . . . . . 203 6.5 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 vi CONTE(cid:218)DO Introdu(cid:231)ªo Unidade Curricular: AnÆlise MatemÆtica II Tipo: Obrigat(cid:243)ria N(cid:237)vel: Base Ano: 1o Semestre: 2o CargahorÆriasemanal: 3horasdeAulasTe(cid:243)ricase2horasdeAulas PrÆticas CrØditos (ECTS): 6 1 2 Objectivos Gerais Considerando esta unidade curricular no (cid:226)mbito da forma(cid:231)ªo pessoal e cien- t(cid:237)(cid:133)ca, em geral, e da forma(cid:231)ªo matemÆtica em particular, o aluno deverÆ: Desenvolver capacidades de abstrac(cid:231)ªo, dedu(cid:231)ªo l(cid:243)gica e anÆlise. (cid:15) Adquirir mØtodos e tØcnicas estruturantes do racioc(cid:237)nio cient(cid:237)(cid:133)co e (cid:15) matemÆtico que proporcione um esp(cid:237)rito cr(cid:237)tico. Dominar conteœdos matemÆticos associados (cid:224) AnÆlise real vectorial, (cid:15) nomeadamente sucessıes, fun(cid:231)ıes, CÆlculo Diferencial e Integral em Rn, ao n(cid:237)vel de conceitos e aplica(cid:231)ıes. Utilizar conhecimentos matemÆticos na resolu(cid:231)ªo de problemas e in- (cid:15) terpreta(cid:231)ªo da realidade. AdquirircompetŒnciasmatemÆticasquepossamviraserdesenvolvidas (cid:15) eaplicadasemcontextopro(cid:133)ssionalempresarial, deinvestiga(cid:231)ªooude ensino. 3 4