Ali Nesin Nesin Yay(cid:16)nc(cid:16)l(cid:16)k Ltd. S(cid:24)ti. ku(cid:127)nye... Ali Nesin Fen Liseleri I_(cid:24)cin 9’uncu S(cid:16)n(cid:16)f Matematik (Henu(cid:127)z bitmemi(cid:24)stir) _ I(cid:24)cindekiler O(cid:127)ns(cid:127)oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Ku(cid:127)meler 3 1.1 Ku(cid:127)meler ve O(cid:127)geleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bo(cid:24)sku(cid:127)me. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Altku(cid:127)me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Ku(cid:127)mesel I_(cid:24)slemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.1 Bile(cid:24)sim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2 Kesi(cid:24)sim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.3 Bile(cid:24)sim ve Kesi(cid:24)sim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.4 Ku(cid:127)melerin Fark(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.5 Ku(cid:127)melerin 01-Tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.6 Simetrik Fark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4.7 Evrensel Ku(cid:127)me ve Tu(cid:127)mleyen . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 Do(cid:21)gal Say(cid:16)lar Yap(cid:16)s(cid:16) 61 2.1 Toplama ve C(cid:24)arpma I_(cid:24)slemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2 S(cid:16)ralama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Ba(cid:24)ska I_(cid:24)slemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.1 U(cid:127)s Almak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.2 Faktoriyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3.3 I_lk n Pozitif Do(cid:21)gal Say(cid:16)n(cid:16)n Toplam(cid:16) . . . . . . . . . . . 88 2.4 B(cid:127)olme ve B(cid:127)olu(cid:127)nme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.5 On Taban(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.6 Di(cid:21)ger Tabanlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.7 Asal Say(cid:16)lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.8 Birka(cid:24)c Ku(cid:127)me Yaz(cid:16)l(cid:16)m Bi(cid:24)cimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.9 I_yis(cid:16)ralama O(cid:127)zelli(cid:21)gi ve Birka(cid:24)c Sonucu . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.10 I_yis(cid:16)ralama O(cid:127)zelli(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.10.1 Asala B(cid:127)olu(cid:127)nme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.10.2 Asallara Ayr(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.10.3 Kalanl(cid:16) B(cid:127)olme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.10.4 B(cid:127)olme Algoritmas(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.11 Asallar U(cid:127)zerine Daha Fazla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3 Tam Say(cid:16)lar Yap(cid:16)s(cid:16) 151 iv 3.1 Tan(cid:16)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.2 I_(cid:24)slemler ve S(cid:16)ralama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.3 Tam Say(cid:16)larda B(cid:127)olme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.4 B(cid:19)ezout Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.5 Asallar u(cid:127)zerine Biraz Daha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.6 Aritmeti(cid:21)gin Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.7 En Ku(cid:127)c(cid:24)u(cid:127)k Ortak Kat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3.8 nZ+a Ku(cid:127)meleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4 Kesirli Say(cid:16)lar 193 4.1 Tan(cid:16)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.2 I_(cid:24)slemler ve S(cid:16)ralama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.2.1 Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.2.2 C(cid:24)arpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 4.2.3 S(cid:16)ralama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Kaynak(cid:24)ca ve Okuma Listesi 210 (cid:127) Ons(cid:127)oz Ali Nesin / xx xxxx 2015 1. Ku(cid:127)meler Bu ilk b(cid:127)olu(cid:127)mde modern matemati(cid:21)gin temel dire(cid:21)gi olan ku(cid:127)melerle biraz a(cid:24)sina olaca(cid:21)g(cid:16)z. Daha sonraki b(cid:127)olu(cid:127)mlerde bu b(cid:127)olu(cid:127)mde g(cid:127)ordu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127)mu(cid:127)z kavramlar(cid:16)n bol bol uygulamalar(cid:16)n(cid:16) g(cid:127)orece(cid:21)giz ve hatta bu kavramlar(cid:16) daha da geli(cid:24)stirip ge- nelle(cid:24)stirece(cid:21)giz. Ku(cid:127)meler kuram(cid:16)n(cid:16) \sezgisel" bir bi(cid:24)cimde ele alaca(cid:21)g(cid:16)z. Ku(cid:127)meler kuram(cid:16) [N2] ve [N3] ders notlar(cid:16)nda (cid:24)cok daha matematiksel olarak (ve (cid:24)cok daha ileri du(cid:127)zeyde) ele al(cid:16)nm(cid:16)(cid:24)st(cid:16)r. Dileyen okur o ders notlar(cid:16)na uygun bir zaman(cid:16)nda g(cid:127)oz atabilir. (cid:127) 1.1 Ku(cid:127)meler ve Ogeleri Birtak(cid:16)m nesnelerden olu(cid:24)san topluluklara matematikte ku(cid:127)me ad(cid:16) verilir. O(cid:127)r- ne(cid:21)gin(cid:24)suandai(cid:24)cindebulundu(cid:21)gunuzs(cid:16)n(cid:16)f(cid:16)bir(cid:127)o(cid:21)grenciku(cid:127)mesiolarakdu(cid:127)(cid:24)su(cid:127)nebilir- siniz.Okulunuzuda,e(cid:21)geristerseniz,s(cid:16)n(cid:16)(cid:13)ardanolu(cid:24)sanbirku(cid:127)meolarakg(cid:127)orebi- lirsiniz.Elbisedolab(cid:16)n(cid:16)z(cid:16),elbiselerinizii(cid:24)cerenbirku(cid:127)meolarakalg(cid:16)layabilirsiniz. Ya(cid:24)sad(cid:16)(cid:21)g(cid:16)n(cid:16)z mahalle de insanlardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)oru(cid:127)lebilir. I_(cid:24)cinde bulundu(cid:21)gunuz il(cid:24)ceyi isterseniz insanlardan, isterseniz mahallelerden olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)orebilirsiniz, se(cid:24)cim sizin, ama b(cid:127)oylece bir de(cid:21)gil, iki farkl(cid:16) ku(cid:127)me elde edersiniz. Marangoz i(cid:24)cin ku(cid:127)tu(cid:127)phane ra(cid:13)ardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)medir belki, ama ku(cid:127)tu(cid:127)phaneyi kullanacak ki(cid:24)si i(cid:24)cin ku(cid:127)tu(cid:127)phane kitaplardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)medir. Ra(cid:13)ardan olu(cid:24)san ku(cid:127)tu(cid:127)phane ku(cid:127)mesi, tabii ki kitaplardan olu(cid:24)san ku(cid:127)tu(cid:127)phane ku(cid:127)mesine e(cid:24)sit de(cid:21)gildir. O(cid:127)rneklerimizi (cid:24)co(cid:21)galtal(cid:16)m. Bir futbol tak(cid:16)m(cid:16) 11 oyuncudan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)oru(cid:127)lebilir. E(cid:21)ger yedekleri de sayarsak, futbol tak(cid:16)m(cid:16) ku(cid:127)mesinin \(cid:127)oge" say(cid:16)s(cid:16) artar. Antren(cid:127)oru(cid:127), doktoru, mas(cid:127)oru(cid:127) (cid:12)lan da hesaba katarsak, futbol tak(cid:16)m(cid:16) ku(cid:127)mesinin (cid:127)oge say(cid:16)s(cid:16) daha da artabilir. Ama her de(cid:21)gi(cid:24)siklikte yeni bir ku(cid:127)me elde ederiz. Bir teknisyen bir treni vagonlardan ve lokomotiften olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me ola- rak g(cid:127)ormek isteyebilir ama bir bilet(cid:24)ci ayn(cid:16) treni yolculardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)ormeyi tercih edebilir, bak(cid:16)(cid:24)s a(cid:24)c(cid:16)s(cid:16)na g(cid:127)ore de(cid:21)gi(cid:24)sir. O(cid:127)nemli olan ku(cid:127)meyi olu(cid:24)sturan nesneleri, yani ku(cid:127)menin (cid:127)ogelerini belirlemektir. Tabii ku(cid:127)menin (cid:127)oge- 4 1.Ku¨meler leri de(cid:21)gi(cid:24)since ku(cid:127)me de de(cid:21)gi(cid:24)sir, trenin vagonlar(cid:16)ndan olu(cid:24)san ku(cid:127)me, trenin yol- cular(cid:16)ndan olu(cid:24)san ku(cid:127)meye e(cid:24)sit de(cid:21)gildir. Sonu(cid:24)c olarak bir ku(cid:127)me, baz(cid:16) nesnelerden olu(cid:24)san bir topluluktur. Asl(cid:16)nda ku(cid:127)me s(cid:127)ozcu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127)yle topluluk s(cid:127)ozcu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127) aras(cid:16)nda bir fark yoktur, \ku(cid:127)me", \toplu- luk" s(cid:127)ozcu(cid:127)(cid:21)gu(cid:127)nu(cid:127)n matematik(cid:24)cesidir; topluluklara matematikte \ku(cid:127)me" denir. Basit bir (cid:127)ornek ele alal(cid:16)m. Diyelim evinizi, i(cid:24)cinde ya(cid:24)sayanlardan olu(cid:24)san bir ku(cid:127)me olarak g(cid:127)ormek istiyorsunuz ve diyelim evinizde anneniz, baban(cid:16)z, day(cid:16)n(cid:16)z, karde(cid:24)siniz (Ersin) ve siz (Can ya da Canan) ya(cid:24)s(cid:16)yorsunuz. Demek ki evinizde toplam be(cid:24)s ki(cid:24)si ya(cid:24)s(cid:16)yor. Bunu bir (cid:24)sekille (cid:24)s(cid:127)oyle g(cid:127)osterebiliriz: Anne Baba Day› Ersin Can/Canan Bu ku(cid:127)menin be(cid:24)s (cid:127)ogesi vard(cid:16)r: Anne, baba, day(cid:16), Ersin karde(cid:24)s ve siz (yani Can ya da Canan). Anneyi A ile, babay(cid:16) B ile, day(cid:16)y(cid:16) D ile, Ersin karde(cid:24)si E ile ve sizi de Can’(cid:16)n ya da Canan’(cid:16)n C’si ile g(cid:127)osterelim. Son olarak, ku(cid:127)meye K ad(cid:16)n(cid:16) verelim. Bu durumda ku(cid:127)memizi daha basit bir bi(cid:24)cimde g(cid:127)osterebiliriz: K A B D E C K ku(cid:127)mesinin be(cid:24)s (cid:127)ogesi var: A, B, C, D ve E. Ku(cid:127)meyi olu(cid:24)sturan ki(cid:24)sileri yuvarlak bir (cid:24)cer(cid:24)ceve i(cid:24)cine ald(cid:16)k, isteseydik kare ya da u(cid:127)c(cid:24)gen bir (cid:24)cer(cid:24)ceve i(cid:24)cine de alabilirdik, (cid:127)onemli olan ku(cid:127)menin (cid:127)ogelerinin bir (cid:24)cer(cid:24)ceve i(cid:24)cine al(cid:16)nm(cid:16)(cid:24)s olmas(cid:16). A(cid:24)sa(cid:21)g(cid:16)da ku(cid:127)meyi be(cid:24)sgen i(cid:24)cine alm(cid:16)(cid:24)s(cid:16)z. K A B D E C Ku(cid:127)menin nas(cid:16)l g(cid:127)osterildi(cid:21)gi hi(cid:24)c (cid:127)onemli de(cid:21)gildir, yeter ki anla(cid:24)s(cid:16)l(cid:16)r bir(cid:24)sekil olsun. C(cid:24)izmesi kolay olsun diye ku(cid:127)meler daha (cid:24)cok bir ovalle (yumurta bi(cid:24)ciminde bir (cid:24)sekille) g(cid:127)osterilir. Ku(cid:127)meleri simgeleyen bu tu(cid:127)r (cid:24)sekillere Venn diyagram(cid:16) ad(cid:16) verilir. Ayn(cid:16) (cid:24)sekilu(cid:127)zerindebirdenfazlaku(cid:127)meg(cid:127)osterildi(cid:21)gindeVenndiyagramlar(cid:16)dahae(cid:21)glen- celi olur. (Ama ku(cid:127)me say(cid:16)s(cid:16) (cid:24)cok artarsa e(cid:21)glencenin tad(cid:16) ka(cid:24)car!) I_leride (cid:127)ornekler verece(cid:21)giz.