Institut Camille Jordan Rapport de stage de M2 Responsable du Stage: Alessandra FRABETTI Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Alg`ebres de Hopf dans les Th´eories de champs scalaires Nicolas MARIE Version 1.0, 15 Aouˆt 2009. R´esum´e On´etudielarenormalisation dansleformalisme desalg`ebres deHopf.Ons’int´eresseenparticulieraux constructionsalg´ebriquessurlesgraphesdeFeynmanet`aunereformulation del’algorithmeBPHZ.Apr`es avoir´etablit certaines propri´et´es desop´erateurs d’insertions sur les graphes de Feynman on´etudie plus particuli`erement la renormalisation de la th´eorie en𝜙44 dans le sch´ema de r´egularisation dimensionelle et desoustraction minimale en donnant unepreuvedela localit´e des contretermes. Finalement on introduit le probl`eme dela gravit´e en tant queth´eorie quantiquedeschamps ainsi quedesoutils pourson´etude. Table des mati`eres 1 Introduction 1 2 Alg`ebre de Hopf des graphes de Feynman 2 2.1 Alg`ebre de Hopf de la renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Structure des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Caract`eresde l’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 Op´erations d’insertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Renormalisation de la th´eorie en 𝜙4 9 4 3.1 L’algorithme BPHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Utilisation du groupe des caract`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Localit´e des contretermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Alg`ebre de Hopf des graphes 1PI 12 4.1 Powercountingde la relativit´e g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Core Hopf algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Conclusion 15 A Alg`ebres de Hopf et sch´emas en groupes affines 16 A.1 Alg`ebres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 A.2 Sch´emas en groupes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Bibliographie 19 1 INTRODUCTION 1 Introduction Partantd’une th´eoriequantique des champsles r`eglesde Feynman nous permettentd’associeraux graphesde la th´eorie qui d´ecrivent les processus physiques des int´egralesappell´ees amplitudes de Feynman. Le probl`eme du physicien est que ces int´egrales, fonctions des moments conserv´es lors du processus, sont souvent diver- gentes. L’objectif de la renormalisation est alors de donner un sens `a ces amplitudes en les transformant en des fonctions des moments bien d´efinies, tout en pr´eservantleur sens physique. Unem´ethodepermetd’op´erercettetransformationentravaillantunparunsurchaquegraphedonnantune amplitude divergente.C’est l’algorithme de Bogoliubov–Parasiuk–Hepp–Zimmermannqui nous permet, apr´es avoir r´egularis´e l’int´egrale, c’est-`a-dire lui avoir donn´e un sens math´ematique, de construire ces amplitudes physiques. Ces op´erationentrainent une modification des constantes de couplage de la th´eorie qui deviennent ainsi des s´eries en puissance des constantes de couplages nues. Un th´eor`eme de Zimmermann montre que la proc´edure BPHZ converge. Dirk Kreimer et Alain Connes ont mis en´evidence le fait que des structures d’alg`ebres de Hopf sont sous- jacentes `a l’algorithme BPHZ. Ces structures sont construites directement sur les graphes de Feynman de la th´eorie et sont sp´ecifi´ees par l’alg`ebre de Hopf de renormalisation qui exploite la d´ecomposition d’un graphe de Feynman divergent en ses sous-graphes divergents. On va s’attacher `a d´ecrire cette construction dans le cas simple des th´eories de champs scalaires et plus particuli`erement pour la th´eorie en 𝜙4 sur l’espace-temps 4 euclidien (R4,𝛿) dont la densit´e lagrangienne est donn´ee par : 1 𝑚2 𝑔 = (∂𝜙)2 𝜙2 𝜙4 ℒ 2 − 2 − 4! On va ensuite ´etudier en d´etail les propri´et´es de l’op´erateur d’insertion 𝐵 qui permet de d´ecomposer + les graphes une particule irr´eductible. On montre ici en particulier ses propri´et´es li´ees `a la cohomologie de Hochschild de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation.Ceci nous permet de reformuler la proc´edure BPHZ pour calculer les facteurs de renormalisationde la th´eorie en 𝜙4 not´e 𝑍 ,𝑍 et 𝑍 tels que la densit´e lagrangienne 4 𝑔 𝑚 𝜙 renormalis´ee soit : 𝑍 𝑍 𝑚2 𝑍 𝑔 = 𝜙(∂𝜙)2 𝑚 𝜙2 𝑔 𝜙4 𝑟 ℒ 2 − 2 − 4! On termine en prouvant que les facteurs de renormalisationsont bien des constantes,c’est ce qu’on appelle la localit´e des contretermes. Finalement,onexplorelecasdelath´eoriedugravitonpourlequelonmontrequetous lesgraphesdonnent des amplitudes divergentes. Ceci nous am`ene `a consid´erer l’introduction d’une autre alg`ebre de Hopf dont l’objectif sera de traiter la renormalisationde la gravit´e d’un point de vue non perturbatif. 1 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN 2 Alg`ebre de Hopf des graphes de Feynman 2.1 Alg`ebre de Hopf de la renormalisation Les graphes de Feynman sont un outil extraordinairementpuissant pour organiserles op´erationsde la th´eorie quantique des champs. Onprend ici le partid’explorer les structures sous-jacentes `a ces graphes.Parsouci de clart´e nous allons nous concentrer sur les th´eories de champs scalaires dans l’espace des impulsions. L’espace- temps estl’espace euclidien de dimension4.Du point de vu graphiquenous ne consid´eronsqu’unseul type de ligne, c’est-`a-dire qu’un seul champ scalaire se propage. Tout nos exemples concernent la th´eorie en 𝜙4. 4 Avanttoutechoseilnousfautd´efinircequesontlesgraphesdeFeynmand’uneth´eorie.Pourcel`aon´etablit unecorrespondanceentrelesmonˆomesdeladensit´elagrangienned’uneth´eorieetunensembledetypesdever- tex appell´es vertex d’interaction.Soit une th´eoriedes champs,on note Mon( ) l’ensemble des monˆomes de 𝒯 𝒯 ladensit´elagrangienneassoci´eeet ( )l’ensembledesvertexd’interaction.Ond´efinit𝔉: Mon( )l’ap- ℐ 𝒯 ℐ −→ 𝒯 plication qui `a un vertex d’interaction associe son monˆome correspondant.On associe´egalement `a l’ensemble deschampsde l’ensemble ( )deslignesdepropagation.𝔉correspondauxr`eglesdeFeynmandelath´eorie. 𝒯 𝒫 𝒯 Pour la th´eorie en 𝜙4 on veut ´etudier la dynamique d’un champ 𝜙 (R4) associ´e `a l’unique ´el´ement de 4 ∈ 𝒮 (𝜙4)= .Ladensit´elagrangienneestcompos´eedes´el´ementsdeMon(𝜙4)= 1(∂𝜙)2, 𝑚2𝜙2, 𝑔𝜙4 𝒫 4 { } 4 2 − 2 −4! { } auxquels correspondent les vertex d’interaction de (𝜙4)= , , par : ℐ 4 { (1) (0) } 1 𝑚2 𝑔 𝔉( )= (∂𝜙)2 , 𝔉( )= 𝜙2 , 𝔉 = 𝜙4 2 − 2 −4! (1) (0) ( ) D´efinition - Graphes de Feynman. Un graphe de Feynman associ´e `a une th´eorie est un graphe fini 𝒯 construit `a partir des lignes de ( ) avec les vertex de type ( ). 𝒫 𝒯 ℐ 𝒯 Par exemple pour la th´eorie en 𝜙4 : . 4 D´efinition-Graphes1PI. Ungrapheestdituneparticuleirr´eductible,not´e1PI,siilresteconnexelorsqu’on lui enl`eve une ligne interne quelconque. Par exemple : . L’essentielde nos constructions utilise la notionde graphe une particule irr´eductible.Pourune th´eorie des champs donn´ee,onnotera 1PI( ) l’ensemble des graphesde Feynman 1PIde la th´eorie.On notera´egalement 𝒯 1PI( ( ))l’ensembledesgraphesuneparticuleirr´eductibleconstruitavecles´el´ementsde ( )sanscontrainte 𝒫 𝒯 𝒫 𝒯 sur les types de vertex autoris´es.Cet ensemble nous permet de construire la core Hopf algebra (cf. 4 ). § Ondoitconsid´ererdeuxop´erationssurungraphe1PI,prendresonr´esiduetcontractersastructureinterne. Soit Γ un graphe 1PI et 𝛾 un sous graphe 1PI propre de Γ. La quantit´e Res(Γ) d´esigne le graphe obtenu par contractionde l’ensemblede lastructureinternede Γ etΓ/𝛾 d´esignele grapheobtenuparcontractiondusous graphe 𝛾 de Γ. Illustrons cel`a avec des ´el´ements de 1PI(𝜙4) : 4 Res = Res = 𝑖 ( ) (𝑖) ( ) (1) (0) / = + / = Un graphe Γ 1PI( ) est caract´eris´e par par son nombre de boucles 𝑛 (Γ), son nombre de lignes internes 𝑏 ∈ 𝒯 𝑛 (Γ), son nombre de lignes externes 𝑛 (Γ) et son nombre de vertex de type 𝜄 ( ) not´e 𝑛 (Γ). 𝑙𝑖 𝑙𝑒 𝑣𝜄 ∈ℐ 𝒯 On associe un poids `a chaque type de ligne et `a chaque type de vertex par une application Ω : ( ) 𝒫 𝒯 ∪ ( ) Q. Ces poids correspondent,pour chaque type de lignes et de vertex,`a leur contributions en termes ℐ 𝒯 −→ de variables dans les intgrales de Feynman. Pour la th´eorie en 𝜙4 on trouve Ω( ) = 2, Ω( ) = 4 (1) 2 2.1 Alg`ebre de Hopf de la renormalisation 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN 0, Ω( )=0 et Ω( )=0. (0) On d´efinit le degr´e de divergence superficiel associ´e `a Γ. D´efinition - Degr´e de divergence superficiel. Le degr´e de divergence superficiel de Γ 1PI( ) est : ∈ 𝒯 𝜔(Γ)=4𝑛 (Γ) 𝑛 (Γ)Ω(li) 𝑛 (Γ)Ω(𝜄) 𝑏 𝑙𝑖 𝑣𝜄 − − 𝜄∈∑ℐ(𝒯) Quand 𝜔(Γ) 0 on dit que Γ est un graphe divergent. Identifions les graphes divergents de 𝜙4. Pour cel`a ≥ 4 on peut r´e´ecrirele degr´e de divergence superficiel. Proposition. Le degr´e de divergence superficiel de Γ 1PI(𝜙4) s’´ecrit 𝜔(Γ)=4 𝑛 (Γ). ∈ 4 − 𝑙𝑒 Preuve. Pard´efinition𝜔(Γ)=4𝑛 (Γ) 2𝑛 (Γ).Orpourlesgraphesdelath´eorieen𝜙4lesvertexd’interaction 𝑏 − 𝑙𝑖 4 `a quatres lignes nous donnes 4𝑛 (Γ) = 𝑛 (Γ)+2𝑛 (Γ). De plus la conservation des impulsions aux vertex 𝑣4 𝑙𝑒 𝑙𝑖 se traduit par la relation 𝑛 (Γ) = 𝑛 (Γ) (𝑛 (Γ) 1). En substituant dans la d´efinition on trouve 𝜔(Γ) = 𝑏 𝑙𝑖 𝑣4 − − 4 𝑛 (Γ). 𝑙𝑒 − Le degr´e superficiel de divergence ne d´epend dans ce cas que du nombre de lignes externes du graphe. Les ´el´ements divergents de 1PI(𝜙4) sont donc ceux poss´edant 𝑛 (Γ) 2,4 donc ceux dont le r´esidu est dans 4 𝑙𝑒 ∈ { } ( ). En les classant par nombre de boucles on peut en exhiber quelques-uns : ℐ 𝒯 On peut munir l’ensemble des graphes de Feynman une particule irr´eductible d’une structure d’alg`ebre de Hopf qui organise l’aspect combinatoire de la renormalisation[CK1, CK2]. Th´eor`eme - Alg`ebre de Hopf de renormalisation. Soit 𝐻𝒯 l’alg`ebre unitale commutative libre sur C 𝑟 engendr´ee par les ´el´ements de 1PI( ) dont le r´esidu appartient `a ( ). Son produit est l’union disjointe des 𝒯 ℐ 𝒯 graphes not´e et son unit´e est le graphe vide not´e . Alors le coproduit, la co-unit´e et l’antipode d´efinis ∐ ci-dessous sur les g´en´erateurs font de 𝐻𝒯 une alg`ebre de Hopf : 𝑟 Δ Γ=Γ + Γ+ 𝛾 Γ/𝛾 , 𝑟 ⊗ ⊗ ⊗ Γ∕=∑𝛾∈𝐷𝑟 𝜖 (Γ)=1 si Γ= et 0 sinon, 𝑟 𝑆 (Γ)= Γ 𝑆 (𝛾)Γ/𝛾 , 𝑟 𝑟 − − Γ∕=∑𝛾∈𝐷𝑟 Ou` 𝐷 = 𝛾 = 𝛾 𝛾 = 𝛾 sous graphe de Γ et 𝜔(𝛾 ) 0 . On appelle 𝐻𝒯 alg`ebre de Hopf de renormalisa- 𝑟 ∐𝑖 𝑖 ∕ 𝑖 𝑖 ≥ 𝑟 tion de la th´eorie . { 𝒯) } ) 3 2.2 Structure des moments 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN L’alg`ebredeHopfderenormalisationestgradu´eeparlenombredebouclesdesgraphes.Parmisles´el´ements de𝐻𝒯 ondistinguel’ensembledes´el´ementsprimitifs Prim 𝐻𝒯 c’est-`a-diretelsqueΔ Γ=Γ + Γ.Les 𝑟 𝑟 𝑟 ⊗ ⊗ g´en´erateurs primitifs de 𝐻𝑟𝜙44 correspondent aux divergenc(es pr)imitives de 𝜙44 car par d´efinition du coproduit ce sont ceux qui ne poss`edent pas de sous-divergences.Donnons quelques calculs de coproduits : Δ = + 𝑟 ⊗ ⊗ ( ) (1) (0) Δ = + + + 𝑟 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ( ) Δ = + +2 𝑟 ( ) ⊗ ⊗ ⊗ Δ = + + 𝑟⎛ ⎞ ⊗ ⊗ ⊗ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2.2 Structure des moments Pourquelesgraphesuneparticuleirr´eductiblerepr´esententeffectivementdesprocessusphysiques´el´ementaires ondoitleurassocierlesnombresquantiquesconserv´esaucoursdelar´eactionainsid´ecrite.Onajoutedoncdes labels aux lignes externes des graphes 1PI. Ceux-ci forment ce qu’on appelle la structure externe du graphe. Le cas particulier des th´eories de champs scalaire est tr`es simple, les seuls nombres quantiques conserv´es au cours d’un processus sont les moments externes. Attachons nous donc `a d´ecrire cette structure des moments. A chaque ligne externe d’un graphe 1PI on associe un moment dans R4 tel que ces moments soient glo- balement conserv´es. Avec pour convention que les moments sont entrant au graphe, la conservation´equivaut `a imposer que leur somme est nulle. La structure externe de Γ 1PI( ) est donc l’ensemble des moments ∈ 𝒯 conserv´es qui n’est autre que l’hyperplan : 𝑛𝑙𝑒(Γ) 𝐸 = 𝜇 =(𝑝 ,...,𝑝 ) R4𝑛𝑙𝑒(Γ) 𝑝 =0 . Γ ⎧ Γ 1 𝑛𝑙𝑒(Γ) ∈ ∣ 𝑖 ⎫ ⎨ ∑𝑖=0 ⎬ Un processus ´el´ementaire est don⎩c sp´ecifi´e par le choix d’un couple (Γ,𝜇 ). O⎭n aimerait pouvoir parler de Γ l’espace total des (Γ,𝜇 ) form´es par un ´el´ement de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation et de ses moments Γ associ´es. Pour ce faire, consid´erons 𝐸 = 𝐸 et la projection 𝜋 : 𝐸 𝐻𝒯, 𝜇 Γ qui envoie un ∐Γ∈1PI(𝒯) Γ −→ 𝑟 Γ 2→ multipletdemomentsverslegrapheauquelilestassoci´e.Pourrendre𝐸 compatibleaveclastructured’alg`ebre de𝐻𝒯 onlemunitd’unproduit𝑚˜ :𝐸 𝐸 𝐸,𝜇 𝜇 𝜇 =𝜇 𝜇 telquelediagrammeci-dessous 𝑟 × −→ Γ1× Γ2 2→ Γ1Γ2 Γ1 Γ2 commute : 𝑚˜ 𝐸×2 !! 𝐸 𝜋×𝜋 𝜋 "" "" 𝐻𝒯⊗2 !!𝐻𝒯 𝑟 ∐ 𝑟 L’ensemble des fonctions ind´efiniment d´erivables sur 𝐸 est not´e 𝐶∞(𝐸), c’est une alg`ebre sur C pour le produit usuel des fonctions (𝑓𝑔)(𝜇 )=𝑓(𝜇 )𝑔(𝜇 ). Γ Γ Γ 2.3 Caract`eres de l’alg`ebre Lesr`eglesde Feynmansontunensemblede prescriptionsquinouspermettentd’associer`aungraphede Feyn- man une fonction de ses moments externes. Elles correspondent a` l’application 𝔉 exprim´ee dans l’espace des 4 2.3 Caract`eres de l’alg`ebre 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN moments. Pour un graphe de la th´eorie en 𝜙4 ces prescriptions sont les suivantes : 4 i) `a chaque ligne on associe rien si c’est une ligne externe et 1/(𝑝2 +𝑚2) si c’est une ligne in- terne. ii) `a chaque vertex on associe une constante de couplage 𝑔 et une loi de conservation 𝛿( 4 𝑞 ). 𝑖=1 𝑖 iii) `a chaque vertex on associe une masse 𝑚2. ∑ (0) iv) `a chaque vertex on associe une impulsion 𝑝2. (1) v) on int`egre sur les impulsions et on divise par le facteur de sym´etrie du graphe qui est le cardinal du groupe des automorphismes de ce dernier. L’amplitude associ´ee `a Γ 1PI s’´ecrit donc de mani`ere g´en´erale: ∈ 𝑔𝑛𝑣(Γ) 𝑛𝑙𝑖(Γ) 𝑑4𝑞𝑖 𝑛𝑣(Γ) 𝑛𝑙𝑖(Γ) 1 𝜑 (𝜇 )= 𝛿 𝑞 Γ Γ Sym(Γ)∫R4𝑛𝑙𝑖(Γ) 𝑖∏=1 (2𝜋)4 𝑗∏=1 ⎛𝑞∈V∑al(𝑣𝑗) ⎞ ∏𝑙=1 𝑞𝑙2+𝑚2 ⎝ ⎠ On a par exemple : 𝑑4𝑞 1 𝜑 =𝑔 ∫R4 (2𝜋)4𝑞2+𝑚2 𝑔2 𝑑4𝑞 1 𝜑 (𝑝)= 2 ∫R4 (2𝜋)4(𝑞2+𝑚2)((𝑞+𝑝)2+𝑚2) C’est ici que se pose le probl`eme de la renormalisation. Le degr´e de divergence superficiel nous indique quand les r`eglesde Feynman associent`a un graphe 1PIune int´egraledivergente.Le but de la renormalisation est d’extraire une partie finie de ces amplitudes qui ait un sens physique ind´ependamment de la proc´edure utilis´ee. Cette proc´edure ce d´eroule essentiellement en deux ´etapes : la r´egularisationet la renormalisation. L’´etapeder´egularisationconsiste`adonnerunsens`al’int´egraledivergenteleplussouventparl’introduction d’unparam`etrequivacaract´eriserletypededivergencedansunecertainelimite.Cefaisantl’amplitudedevient unefonctiondesmomentsexternesetd´epend´egalementd’unparam`etre.Icinousfaisonslechoixparticulierde lar´egularisationdimensionnelle.Elleconsiste`aprolongerladimensiondel’espace-tempsdansleplancomplexe en posant𝐷 =4 𝜖, les int´egrales´etant divergentesdans la limite 𝜖 0. Les amplitudes sont alorsdes s´eries − → en 𝜖 et des polynˆomes 𝜖−1 comme on peut le constater sur les versions r´egularis´eesdes exemples ci-dessous : 2𝜋2−𝜖/2 𝜑𝜖 =𝑔𝜇−𝜖𝑚2−𝜖 +partie finie(𝜖) 𝜖(2𝜋)4−𝜖 2(𝑔𝜇−𝜖)2 1 1 𝜑𝜖 (𝑝)= 𝑑𝑥 +partie finie(𝜖) 𝜖Γ(2)(4𝜋)2−𝜖/2 (𝑚2+𝑥(1 𝑥)𝑝2)𝜖/2 ∫0 − On peut formaliser cette proc´edure en regardant l’´etape de r´egularisation comme le fait d’associer `a un ´el´ementdel’alg`ebrede Hopfderenormalisationune fonctiondesmomentsexternes`avaleurdansunecertaine alg`ebre associative que l’on notera 𝑟𝑒𝑔. Pour la th´eorie en 𝜙4 avec le choix de la r´egularisation dimension- 𝒜 4 nelle les amplitudes r´egularis´eesappartiennent`a𝐶∞(𝐸) C[[𝜖,𝜖−1]ou` l’alg`ebrede r´egularisationestcelle des ⊗ polynˆomes de Laurent ayant un nombre fini de pˆoles. Les amplitudes de Feynman ont la propri´et´e suppl´ementaire d’ˆetre mutliplicatives pour l’union disjointe des graphes 𝜑(Γ Γ ) = 𝜑(Γ )𝜑(Γ ) ce qui revient `a dire que l’application qui `a un graphe de Feyn- 1 2 1 2 ∐ man associe son amplitude r´egularis´ee est un caract`ere de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation. Notons 𝒢 =HomC−Alg(𝐻𝑟𝒯,𝐶∞(𝐸)⊗𝒜𝑟𝑒𝑔)l’ensemble de ces caract`eres.Cetensemble `ala particularit´edeformerun groupe pour une loi reli´ee au coproduit de la renormalisation. Proposition - Groupe des caract`eres. L’ensemble forme un groupe pour : 𝒢 i) Le produit de convolution ★ d´efinit pour 𝜑 ,𝜑 par 𝜑 ★𝜑 =𝑚 (𝜑 𝜑 )Δ . 1 2 1 2 𝒜 1 2 𝑟 ∈𝒢 ⊗ ii) Le neutre est la co-unit´e. iii) L’inverse de 𝜑 est 𝜑−1 =𝜑 𝑆 . 𝑟 ∘ 5 2.4 Op´erations d’insertions 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN Preuve. Le fait que 𝐻𝒯 soit une alg`ebre de Hopf commutative nous assure qu’elle repr´esente un sch´ema en 𝑟 groupeaffine (cf.App.A) etque parcons´equent poss`edeune structurede groupe.V´erifionsparexemple que 𝒢 est stable pour la loi de groupe propos´ee. 𝒢 Cette propri´et´e est une cons´equence essentiellement du fait que le coproduit Δ est un morphisme d’alg´ebre. 𝑟 En effet, par hypoth`ese 𝜑 ,𝜑 et Δ sont des morphismes de C-alg`ebre,c’est-`a-dire que : 1 2 𝑟 Δ 𝑚 =𝑚 (Δ Δ ) 𝑟 𝐻 𝐻⊗𝐻 𝑟 𝑟 ∘ ∘ ⊗ 𝜑 𝑚 =𝑚 (𝜑 𝜑 ) 𝑖 𝐻 𝒜 𝑖 𝑖 ∘ ∘ ⊗ On peut donc ´ecrire : 𝜑 ★𝜑 𝑚 =𝑚 (𝜑 𝜑 )Δ 𝑚 =𝑚 (𝜑 𝜑 ) 𝑚 (Δ Δ ) 1 2 𝐻 𝒜 1 2 𝑟 𝐻 𝒜 1 2 𝐻⊗𝐻 𝑟 𝑟 ∘ ⊗ ∘ ⊗ ∘ ∘ ⊗ =𝑚 [(𝑚 (𝜑 𝜑 )) (𝑚 (𝜑 𝜑 ))] (Δ Δ ) 𝒜 𝒜 1 2 𝒜 1 2 𝑟 𝑟 ∘ ⊗ ⊗ ∘ ⊗ ∘ ⊗ =𝑚 [(𝑚 (𝜑 𝜑 ) Δ ) (𝑚 (𝜑 𝜑 ) Δ )] 𝒜 𝒜 1 2 𝑟 𝒜 1 2 𝑟 ∘ ⊗ ∘ ⊗ ∘ ⊗ ∘ =𝑚 [𝜑 ★𝜑 𝜑 ★𝜑 ] 𝒜 1 2 1 2 ∘ ⊗ L’´el´ement 𝜑 ★𝜑 est donc encore un morphisme d’alg´ebre d’ou` la stabilit´e. 1 2 Il est ais´e de v´erifier les autres propri´et´es de groupe. Celles-ci d´ecoulent imm´ediatement des propri´et´es de l’antipode pour l’inverse et de la co-unit´e pour le neutre. Pour 𝜑 le caract`ere qui `a un graphe Γ associe son amplitude de Feynman, on note 𝜑(Γ)=𝜑 (𝜇 ) . Γ Γ ∈𝒢 2.4 Op´erations d’insertions et cohomologie de Hochschild Chaque graphe de Feynman d’une th´eorie se d´ecompose par un processus d’insertion de graphes simples les uns dans les autres de mani`ere `a obtenir n’importe quel ´el´ement de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation. Le maillonessentielde cette constructionestl’op´erateurd’insertiond´efinitci-dessousdontnousallons donnerles principales propri´et´es. D´efinition - Op´erateur d’insertion. Pour tout 𝛾 Prim(𝐻𝒯) on d´efinit 𝐵𝛾 :𝐻𝒯 𝐻𝒯 par : ∈ 𝑟 + 𝑟 −→ 𝑟 𝐵𝛾(𝑋)= 𝑛 (𝛾 ↶𝑋 𝑌)𝑌 , + + ∣ 𝑌∈Sp∑an(𝐻𝑟𝒯) et 𝑛 (𝛾 ↶ 𝑋 𝑌) est le nombre de mani`eres d’obtenir le graphe 𝑌 par insertion de 𝑋 dans 𝛾. Quand 𝑋 + ∣ s’exprime comme l’union disjointe de plusieurs graphes le nombre d’insertion est calcul´ee en distribuant ces insertions de toutes les mani`eres possibles sur l’ensemble des graphes de l’union. Pour la th´eorie en 𝜙4 on a par exemple : 4 𝐵 ( )=2 𝐵 ( )= + + 𝐵 ( )=2 + Proposition. Pour tout Γ g´en´erateur de 𝐻𝒯 il existe 𝛾 Prim(𝐻𝒯) et 𝑋 𝐻𝒯 tels que Γ=𝐵𝛾(𝑋). 𝑟 ∈ 𝑟 ∈ 𝑟 + Preuve. Prenons un graphe 1PI quelconque Γ, puisqu’il est dans l’alg`ebre de Hopf de renormalisation son r´esiduestdans ( )etilexistedoncun´el´elementprimitif𝛾 telque𝑅𝑒𝑠(𝛾)=𝑅𝑒𝑠(Γ).L’op´erateurd’insertion s’´ecritdonc 𝐵𝛾ℐ. R𝒯este `a trouver un´el´ementde l’alg`ebrede Hopf de renormalisationqui ins´er´edans le graphe + primitif nous donne Γ. Or il existe toujours un 𝑋 tel que 𝑛 (𝛾 ↶𝑋 Γ)=0. On obtient donc Γ en ins´erantle + ∣ ∕ 𝑋 correspondant multipli´e si n´ec´essairepar un facteur combinatoire. Ce r´esultat nous permet de d´ecomposer n’importe quel graphe g´en´erateur de l’alg`ebre de Hopf de renor- malisation en les ´el´ements primitifs qui le composent. En effet Γ = 𝐵𝛾1(𝑋 ) mais comme 𝑋 𝐻𝒯 il s’´ecrit luimˆeme𝑋 =𝐵𝛾2(𝑋 )etcommenosgraphessontfinisilexisteunm+ultip1let 𝛾 ,...,𝛾 d’´el1´em∈ent𝑟sprimitifs 1 + 2 { 1 𝑛} tel que : Γ=𝐵𝛾1 𝐵𝛾2 ... 𝐵𝛾𝑛( ) + ∘ + ∘ ∘ + 6 2.4 Op´erations d’insertions 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN Etudions maintenant la cohomologie de Hochschild de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation. Celle-ci nous renseignesurl’invariancedejaugedanslecasdesth´eoriesdejaugeetdemani`ereg´en´eralenouspermetd’´etablir certaines propri´et´esdes op´erateurs d’insertion utile `a la renormalisation. On d´efinit l’ensemble des 𝑛-cochaines 𝐶𝑛 = 𝐿:𝐻𝒯 𝐻𝒯 𝐿 application lin´eaire . On pose 𝑟 −→ 𝑟 ∣ { } 𝐶∙ = 𝐶𝑛 avec 𝐶0 =𝐻𝒯 𝑟 𝑛∈N ⊕ On d´efinit l’op´erationde cobord 𝑏:𝐶𝑛 𝐶𝑛+1 pour 𝐿(Γ)=Γ ... Γ 𝐻𝒯 par : −→ 1⊗ ⊗ 𝑛 ∈ 𝑟 𝑛 𝑏𝐿(Γ)=(𝑖𝑑 𝐿)Δ Γ+ ( 1)𝑖Γ ... Δ Γ ... Γ +( 1)𝑛+1𝐿(Γ) 𝑟 1 𝑟 𝑖 𝑛 ⊗ − ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ − ⊗ 𝑖=1 ∑ Proposition. L’op´erateur de cobord 𝑏:𝐶∙ 𝐶∙ est une codiff´erentielle i.e. 𝑏2 =0. −→ Preuve. On se place sur une portion du complexe diff´erentiel : ... 𝐶𝑛 𝑏𝑛 𝐶𝑛+1 𝑏𝑛+1 ... −→ −→ −→ Soit 𝐿 𝐶𝑛, on pose la notation : ∈ 𝑛 𝑏 𝐿=(𝑖𝑑 𝐿)Δ + ( 1)𝑖Δ 𝐿+( 1)𝑛+1(𝐿 ) 𝑛 𝑟 𝑟𝑖 ⊗ − − ⊗ 𝑖=1 ∑ Par d´efinition on peut alors´ecrire : 𝑛+1 (𝑏 𝑏 )𝐿=(𝑖𝑑 𝑏 𝐿)Δ + ( 1)𝑖Δ 𝑏 𝐿+( 1)𝑛+2(𝑏 𝐿 ) 𝑛+1 𝑛 𝑛 𝑟 𝑟𝑗 𝑛 𝑛 ∘ ⊗ − − ⊗ 𝑗=1 ∑ 𝑛 =[𝑖𝑑 (𝑖𝑑 𝐿)Δ ]Δ + 𝑖𝑑 ( 1)𝑖Δ 𝐿 Δ +( 1)𝑛+1[𝑖𝑑 (𝐿 )]Δ 𝑟 𝑟 𝑟𝑖 𝑟 𝑟 ⊗ ⊗ [ ⊗ − ] − ⊗ ⊗ 𝑖=1 ∑ 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑛+1 + ( 1)𝑗Δ (𝑖𝑑 𝐿)Δ + ( 1)𝑖+𝑗Δ Δ 𝐿+ ( 1)𝑗+𝑛+1Δ (𝐿 ) 𝑟𝑗 𝑟 𝑟𝑗 𝑟𝑖 𝑟𝑗 − ⊗ − − ⊗ 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1 ∑ ∑∑ ∑ 𝑛 +( 1)𝑛+2[(𝑖𝑑 𝐿)Δ ]+ ( 1)𝑖+𝑛+2Δ 𝐿 +( 1)2𝑛+3[(𝐿 ) ] 𝑟 𝑟𝑖 − ⊗ ⊗ ( − )⊗ − ⊗ ⊗ 𝑖=1 ∑ Or 𝑛+1 𝑛 [(𝐿 ) ]+ ( 1)𝑗+𝑛+1Δ (𝐿 )= [(𝐿 ) ]+ ( 1)𝑗+𝑛+1Δ (𝐿 )+𝐿 Δ 𝑟𝑗 𝑟𝑗 𝑟 − ⊗ ⊗ − ⊗ − ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗ 𝑗=1 𝑗=1 ∑ ∑ 𝑛 = ( 1)𝑗+𝑛+1Δ 𝐿 𝑟𝑗 ⎛ − ⎞⊗ 𝑗=1 ∑ ⎝ ⎠ Donc 𝑛+1 𝑛 [(𝐿 ) ]+ ( 1)𝑗+𝑛+1Δ (𝐿 )+ ( 1)𝑖+𝑛+2Δ 𝐿 =0 𝑟𝑗 𝑟𝑖 − ⊗ ⊗ − ⊗ ( − )⊗ 𝑗=1 𝑖=1 ∑ ∑ De plus ( 1)𝑛+2[(𝑖𝑑 𝐿)Δ ]+( 1)𝑛+1[𝑖𝑑 (𝐿 )]Δ =( 1)𝑛+1[(𝑖𝑑 𝐿)Δ (𝑖𝑑 𝐿)Δ ]=0 𝑟⊗ 𝑟 𝑟 𝑟 − ⊗ − ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗ Tout ceci nous permet de r´e´ecrireune premi`ere fois : 𝑛 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 (𝑏 𝑏 )𝐿=[𝑖𝑑 (𝑖𝑑 𝐿)Δ ]Δ + 𝑖𝑑 ( 1)𝑖Δ 𝐿 Δ + ( 1)𝑗Δ (𝑖𝑑 𝐿)Δ + ( 1)𝑖+𝑗Δ Δ 𝐿 𝑛+1 𝑛 𝑟 𝑟 𝑟𝑖 𝑟 𝑟𝑗 𝑟 𝑟𝑗 𝑟𝑖 ∘ ⊗ ⊗ [ ⊗ − ] − ⊗ − 𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 ∑ ∑ ∑∑ 7