Déformations de C*-algèbres de Hopf Etienne Blanchard To cite this version: Etienne Blanchard. Déformations de C*-algèbres de Hopf. Bull. Soc. Math. France, 1996, 124, pp.141–215. ￿hal-00922905v2￿ HAL Id: hal-00922905 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00922905v2 Submitted on 7 Apr 2014 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. D´eformations de C⇤-alg`ebres de Hopf Last update 11.11.12 Etienne Blanchard R´esum´e : Etant donn´e un espace compact X, nous g´en´eralisons la notion d’unitaire multiplicatif in- troduiteparBaajetSkandalis([4])aucadredesC(X)-moduleshilbertienseten´etudionslespropri´et´es de continuit´e ([40]). ∗ Nous associons alors `a certaines d´eformations de C -alg`ebres de Hopf construites par Woronow- icz ([51, 53]) des champs continus d’unitaires multiplicatifs et nous montrons que ces d´eformations correspondent `a des d´eformations topologiques. Abstract: Given a compact Hausdorff space X, we generalize the notion of multiplicative unitary introduced by Baaj and Skandalis ([4]) to the framework of Hilbert C(X)-modules and we study its continuity properties ([40]). ∗ We then associate to several deformations of Hopf C -algebras constructed by Woronowicz ([51, 53]) continuous fields of multiplicative unitaries and we prove that those deformations correspond to topological deformations. Classification A.M.S. : 46L05, 46M05, 16W30. Avant propos L’une des constructions de base de l’analyse harmonique est la transformation de Fourier: elle associe `a un groupe ab´elien le groupe ab´elien de ses caract`eres et permet d’´etudier cette correspondance auto-duale. Cette construction a´et´e g´en´eralis´ee aux groupes localement com- pacts. Mais d`es que l’on sort du cadre commutatif, on est confront´e au probl`eme suivant: l’objet dual d’un groupe (l’alg`ebre de convolution du groupe) n’est plus de mˆeme nature. Se pose alors le probl`eme de trouver des objets g´en´eralisant les structures des groupes ainsi que celles des objets duaux. C’est pourquoi a ´et´e introduite la notion d’alg`ebre de Hopf de la mani`ere suivante: `a un groupeG(compact),onassociel’alg`ebreAdesfonctionssurlegroupe.Laloidemultiplication G ⇥ G −! G induit un morphisme d’alg`ebres δ : A −! A ⌦ A pour lequel l’associativit´e s’exprime par le diagramme commutatif δ A −! A⌦A δ id⌦δ δ⌦id A⌦? A −! A⌦A? ⌦A ? ? y y On cherche donc des classes d’alg`ebres de Hopf pour lesquelles on peut ´etendre la dualit´e pr´ec´edente. Dans le cadre topologique des alg`ebres d’op´erateurs, cette dualit´e s’exprime `a travers la dualit´e de Takesaki. Elle a d’abord´et´e d´emontr´ee pour les alg`ebres de von Neumann associ´ees `aungroupelocalementcompact,puis´etendueauxC⇤-alg`ebres([28,47]).Dans[4,43],Baajet Skandalisontintroduitlanotiond’unitairemultiplicatifauquelonassocie(sousdeshypoth`eses de “r´egularit´e”) deux C⇤-alg`ebres de Hopf en dualit´e qui recouvrent la notion de “groupe 1 quantique localement compact”. Notons que cette notion ´etait plus ou moins sous-jacente dans [19, 25]. Parall`element ont ´et´e ´etudi´ees un certain nombre d’alg`ebres de Hopf dont les structures plus riches sont proches de celles des groupes de Lie. Notons en particulier [15]: Drinfel’d montre comment d´efinir une quantification au-dessus de k[[h]] d’une alg`ebre de Poisson qui pr´eserve les structures d’alg`ebre de Hopf et l’applique aux alg`ebres enveloppantes de certains groupes de Lie. Dans [50], Woronowicz a d´efini la notion de pseudogroupe compact matriciel: le cadre d’´etude lui permet de regarder des d´eformations de groupes de Lie non plus au-dessus de k[[h]] mais au-dessus de C (X) ou` X est un espace localement compact ([51, 39]). 0 Il est montr´e dans [4] que les pseudogroupes compacts matriciels sont bien d´ecrits par la th´eoriedesunitairesmultiplicatifs.Notrebutestd’´etendrecettenotiond’unitairemultiplicatif au cadre des C(X)-modules hilbertiens de mani`ere `a recouvrir ces d´eformations topologiques de groupes quantiques localement compacts et d’en ´etudier les propri´et´es. Cet article s’organise de la mani`ere suivante: Dans le premier chapitre, nous d´efinissons les C(X)-modules de Banach et nous pr´ecisons la fa¸con dont se d´eforment les fibres d’un tel module. Nous ´etudions dans les second et troisi`eme chapitres les C(X)-alg`ebres ([27]). Nous d´e- montrons l’´equivalence entre un certain nombre de propri´et´es sur les C(X)-alg`ebres stellaires qui caract´erisent les champs continus s´eparables de C⇤-alg`ebres; en particulier, tout champ continu s´eparable de C⇤-alg`ebres admet un champ continu de repr´esentations fid`eles dans un C(X)-module hilbertien. Nous´etablissons ensuite des conditions suffisantes sous-lesquelles les diverses notions de produit tensoriel de deux C(X)-alg`ebres au-dessus de C(X) que l’on peut d´efinir co¨ıncident (th´eor`eme 3.3). Dans le quatri`eme chapitre, nous introduisons la notion de champ continu d’unitaires multiplicatifs: ´etant donn´e un C(X)-module hilbertien E, un unitaire V 2 L(E ⌦ E) sera C(X) ditmultiplicatifs’ilv´erifielarelationpentagonaleV V V = V V .Nousd´efinissonsensuite 12 13 23 23 12 les structures ad´equates de r´egularit´e et d’irr´eductibilit´e; si V est r´egulier, les alg`ebres S et S sontdesC(X)-alg`ebresmuniesdechampsdecoproduitsetV estunmultiplicateurduproduit tensoriel S ⌦ S au dessus de C(X). b C(X) Dans le cinqui`eme chapitre, nous rappelons la notion de moyennabilit´e pour un uni- taire multbiplicatif et nous montrons que si V appartenant `a L(E ⌦ E) est un champ C(X) continu d’unitaires multiplicatifs tel que la fibre ◆ (V) 2 L(E ⌦E ) au-dessus de x 2 X x x x soit moyennable, alors le champ S est continu au point x (th´eor`eme 5.8). Cela nous permet d’´etendre a` notre cadre les r´esultats de [40]: si A est un champ continu de C⇤-alg`ebres muni d’un champ de coactions d’un chbamp de C⇤-alg`ebres de Hopf associ´e `a un champ continu d’unitaires multiplicatifs comoyennables, alors le champ des produits crois´es est encore un champ continu. Dans le sixi`eme chapitre, nous nous attachons `a l’´etude des champs continus d’unitaires multiplicatifs de type compact. Nous classifions les champs continus d’unitaires multiplicatifs de type compact r´eguliers et nous montrons en particulier que le syst`eme des mesures de Haar associ´e `a un champ continu de C⇤-alg`ebres de Woronowicz est continu. Dans le septi`eme chapitre, nous appliquons ces r´esultats pour montrer que le champ des SU (2) ([51]) et le champ de ses doubles quantiques ([39]) forment des champs continus de µ C⇤-alg`ebres de Hopf ([42, 6, 35]). Nous´etudions par ailleurs une d´eformation du groupe ax+b vers SU (2) et envisageons enfin le cas de la d´eformation E (2) du groupe des d´eplacements µ µ E (C) ([53, 2]). 2 2 Jetiens`aexprimermareconnaissance`aG.Skandalissousladirectionduquell’essentieldecetarticlea ´et´e r´ealis´e en vue d’une th`ese de Doctorat soutenue `a Paris 7 et qui m’a notamment aid´e `a clarifier les d´emonstrations.JevoudraisaussiremercierS.Baaj,S.WassermannetM.A.Rieffelpourlesremarques qu’ils ont pu m’apporter au cours de l’´elaboration de ce travail, ainsi que J. Cuntz qui m’a invit´e par la suite `a l’Universit´e d’Heidelberg. 1 Pre´liminaires 1.1 C⇤-modules hilbertiens Les d´efinitions qui suivent ont ´et´e introduites par Paschke ([37]) et leur utilisation est devenue syst´ematique en K-th´eorie `a partir des travaux de Kasparov ([26, 27] et aussi [8, 43] ainsi que leurs r´ef´erences). D´efinition 1.1 Un C⇤-module pr´ehilbertien sur une C⇤-alg`ebre A est un A-module a` droite E muni d’un produit scalaire h , i `a valeurs dans A tel que : • h⇠,⌘ai = h⇠,⌘ia, (8⇠,⌘ 2 E, a 2 A) • h⌘,⇠i = h⇠,⌘i⇤, (8⇠,⌘ 2 E) • h⇠,⇠i ≥ 0, (8⇠ 2 E) 1 Si de plus E est s´epar´e et complet pour la semi-norme k⇠k = kh⇠,⇠ik2, on dira que E est un A-module hilbertien. Si E est un A-module hilbertien, on d´efinit la C⇤-alg`ebre L(E) des endomorphismes A- lin´eaires T : E ! E qui admettent un adjoint T⇤ : E ! E tel que hT⇠ ,⇠ i = h⇠ ,T⇤⇠ i quels 1 2 1 2 que soient ⇠ ,⇠ 2 E. 1 2 D´efinissons pour ⇠ ,⇠ dans E l’op´erateur ✓ 2 L(E) par la formule ✓ (⇠) = ⇠ h⇠ ,⇠i. 1 2 ξ1,ξ2 ξ1,ξ2 1 2 L’espace vectoriel ferm´e K(E) engendr´e par ces op´erateurs est appel´e espace des op´erateurs compacts : c’est un id´eal bilat`ere ferm´e de L(E) et l’alg`ebre des multiplicateurs de K(E) est L(E) ([23] lemme 16). Remarque : Si A = C, on notera aussi L(E) et K(E) les alg`ebres L(E) et K(E). Soient A et B deux C⇤-alg`ebres, E un A-module hilbertien, E un B-module hilbertien 1 2 et ⇡ : A ! L(E ) un homomorphisme de C⇤-alg`ebres. On d´efinit alors le B-module hilbertien 2 E ⌦ E (souventnot´eE ⌦ E )s´epar´ecompl´et´eduproduittensorielalg´ebriqueE ⌦ E pour 1 π 2 1 A 2 1 alg 2 la semi-norme associ´ee au produit scalaire h⇠ ⌦⇠ ,⇣ ⌦⇣ i = h⇠ ,⇡(h⇠ ,⇣ i)⇣ i, (⇠ ,⇣ 2 E ). 1 2 1 2 2 1 1 2 i i i Lemme 1.2 Si⇡ : A ! L(E )estinjective,l’applicationT 7! T⌦1deL(E )dansL(E ⌦ E ) 2 1 1 π 2 est injective. D´emonstration : Si l’image de T 2 L(E ) dans L(E ⌦ E ) est nulle, alors quels que soient ⇠ ,⌘ 2 E et 1 1 π 2 1 1 1 ⇠ ,⌘ 2 E , h⌘ ⌦⌘ ,(T ⌦1)⇠ ⌦⇠ i = h⌘ ,⇡(h⌘ ,T⇠ i)⇠ i = 0, ce qui implique h⌘ ,T⇠ i = 0 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 et donc T = 0. ⇤ On dira que le B-module hilbertien E est d´enombrablement engendr´e s’il existe un sous- ensemble d´enombrable Λ ⇢ E tel que le plus petit sous-module de E contenant Λ soit E. 3 Lemme 1.3 Soit E un A-module hilbertien. Si ⇠ 2 E, il existe un unique ⌘ 2 E tel que ⇠ = ⌘h⌘,⌘i. D´emonstration : Si l’on note ⇠⇤ 2 K(E,A) l’´el´ement qui a` ⇣ 2 E associe h⇠,⇣i, l’op´erateur auto-adjoint 0 ⇠⇤ 1 0 2 K(A⊕E) anticommute `a dans L(A⊕E). Donc quelle que soit la ⇠ 0 0 −1 ! ! 0 ⇠⇤ fonction continue impaire f : [−k⇠k,k⇠k] ! R, l’op´erateur auto-adjoint f anticom- ⇠ 0 ! 1 0 0 ⌘⇤ mute aussi `a et est donc de la forme ou` ⌘ 2 E. On applique ce r´esultat 0 −1 ⌘ 0 ! ! `a la fonction f(x) = x1/3 pour conclure. ⇤ 1.2 C(X)-modules hilbertiens Soient X un espace localement compact et C (X) la C⇤-alg`ebre des fonctions continues 0 sur X `a valeurs dans C nulles `a l’infini (on d´esignera aussi cette alg`ebre par C(X) si X est compact) et d´efinissons pour tout point x 2 X le morphisme e de C (X) dans C d’´evaluation x 0 au point x. D´efinition 1.4 Si E est un C (X)-module hilbertien, on note ⇠ l’image de ⇠ 2 E dans 0 x l’espace de Hilbert E = E ⌦ C et ◆ (T) = T ⌦ 1 l’image de l’op´erateur T 2 L(E) dans x ex x ex L(E ). x D’apr`es le th´eor`eme de stabilisation de Kasparov ([26] et [14] lemme 10.8.5), si le module hilbertienE estd´enombrablementengendr´e,onpeuttoujourssupposerqueE = P (H ⌦CC0(X)) ou` P est un projecteur de LC0(X)(H ⌦CC0(X)), H d´esignant l’espace de Hilbert s´eparable. Par ailleurs, les ´el´ements de H ⌦C C0(X) (appel´es champs continus de vecteurs) sont ex- actement les familles normiquement continues sur X et nulles `a l’infini d’´el´ements de H. Les ´el´ements de L(H ⌦CC0(X)) sont les familles ⇤-fortement continues sur X et born´ees d’op´erateursdeL(H).Deplus,unop´erateurT 2 L(H ⌦CC0(X))appartient`aK(H ⌦CC0(X)) sietseulementsi◆ (T) 2 K(H)pourtoutx 2 X etl’applicationx 7! ◆ (T)estnormiquement x x continue. Remarque : Si E est le C([0,1])-module hilbertien C([0,1]) ⊕ C ([0,1[) et T est l’unit´e de 0 L(E). L’application x 7! k◆ (T)k est continue et ◆ (T) 2 K(E ) quel que soit x, mais T x x x n’appartientpas`aK(E)puisqu’iladmetuned´ecompositionT = P+Qou` P(⇠ ⊕⇠ ) = ⇠ ⊕0 1 2 1 et Q(⇠ ⊕⇠ ) = 0⊕⇠ (⇠ 2 C([0,1]) et ⇠ 2 C ([0,1[)); l’op´erateur P est compact tandis que 1 2 2 1 2 0 Q ne peut l’ˆetre puisque la norme de Q n’est pas continue en 1 : on a k◆ (Q)k = 0 et 1 k◆ (Q)k = 1 pour x 6= 1. x D´efinition 1.5 Etant donn´ee une C⇤-alg`ebre A, un A-module hilbertien E est dit plein si l’id´eal hE,Ei engendr´e par les produits scalaires h⇠,⌘i est ´egal `a A. Lemme 1.6 Etant donn´e un espace localement compact X, un C (X)-module hilbertien E est 0 plein si et seulement si E 6= 0 quel que soit x 2 X. x Si de plus X est compact, il existe une famille finie ⌘ ,...,⌘ d’´el´ements de E telle que 1 n l’unit´e de C(X) s’´ecrive 1 = h⌘ ,⌘ i. i i P 4 D´emonstration : Si x 2 X v´erifie E = 0, alors hE,Ei est inclus dans l’id´eal de C (X) des fonctions nulles x 0 au point x. R´eciproquement, si hE,Ei est inclus dans l’id´eal maximal des fonctions nulles au point x 2 X, alors k⇠ k2 = h⇠,⇠i(x) = 0 quel que soit ⇠ 2 E. x Notons U(⇠) l’ouvert des x 2 X tels que h⇠,⇠i(x) > 0 pour ⇠ 2 E. Si X est compact et E est plein, comme les U(⇠) pour ⇠ 2 E forment un recouvrement ouvert de X, on peut en extraire un sous-recouvrement fini U(⇠ ),...,U(⇠ ). D´efinissons la fonction strictement 1 n positive g = h⇠ ,⇠ i et posons ⌘ = g−1/2⇠ ; on a alors 1 = h⌘ ,⌘ i. ⇤ i i i i i i P P 1.3 C(X)-modules de Banach D´efinition 1.7 Soit A une C⇤-alg`ebre. Un A-module de Banach (`a gauche) est un espace de Banach E muni d’une structure de A-module (a` gauche) telle qu’on ait ka⌘k  kak.k⌘k pour tout a 2 A et tout ⌘ 2 E. On dira que le module E est non-d´eg´en´er´e si il existe une unit´e approch´ee born´ee (u ) de λ A telle que u converge fortement vers 1 dans l’alg`ebre L(E) des endomorphismes continus λ de E. Proposition 1.8 ([12, 38]) Etant donn´es une C⇤-alg`ebre A et un A-module de Banach non- d´eg´en´er´e E, tout ´el´ement ⇠ 2 E admet une d´ecomposition ⇠ = a⇣ avec a 2 A et ⇣ 2 E. D´emonstration : Soit ⇠ 2 E. Si l’on pose ⇠ = ⇠, on peut construire par r´ecurrence une suite (⇠ ) d’´el´ements 0 n de E et une suite (u ) d’´el´ements de la boule unit´e de A telles que n ⇠ −u ⇠ = ⇠ avec k⇠ k  2−2n. n n n n+1 n Posons v = 2−nu et ⌘ = 2n⇠ . Alors ⇠ = v ⌘ ou` k⌘ k < 1 et v = (v⇤) 2 E = n n n n n n n n l2(N)⌦CA. Il existe donc w = (wn) 2 E tel quePv = whw,wPi (lemme 1.3) et l’on a ⇠ = a⇣ ou` a = hw,wi et ⇣ = w⇤⌘ . ⇤ n n P Corollaire 1.9 Si A est une C⇤-alg`ebre et E est un A-module de Banach, l’espace vectoriel AE = {a⇠/a 2 A,⇠ 2 E} est un sous-module ferm´e de E. D´emonstration : Le sous-module ferm´e de E engendr´e par AE est un A-module de Banach non-d´eg´en´er´e auquel on peut appliquer la proposition pr´ec´edente. ⇤ Lemme 1.10 Soient A une C⇤-alg`ebre et E un A-module de Banach non-d´eg´en´er´e. Si J est un id´eal bilat`ere ferm´e de A et ⇡ est l’application quotient E ! E/(JE), alors pour ⇠ 2 E, k⇡(⇠)k = inf{k(1−a)⇠k,a 2 J}. D´emonstration : Si" > 0,ilexistepard´efinitiondelanormequotientun´el´ement⌘ 2 E telque⇡(⌘) = ⇡(⇠) et k⌘k  k⇡(⇠)k+"/2. Comme ⇠−⌘ 2 JE, on peut trouver ⇣ 2 E non nul et a 2 J tels que ⇠ = ⌘+a⇣. Soitalorsu 2 J un´el´ementpositifdontlanormeestinf´erieure`a1ettelquek(1−u)ak.k⇣k < "/2. On a k(1−u)⇠k<k⌘k+k(1−u)a⇣k<k⇡(⇠)k+". ⇤ 5 Si X est un espace localement compact et E est un C (X)-module de Banach `a gauche 0 non-d´eg´en´er´e, le morphisme C (X) ! L(E) se prolonge naturellement `a l’alg`ebre C(X) des 0 fonctions continues sur le compactifi´e d’Alexandroff Xde X, de sorte que l’on pourra se re- streindre par la suite `a l’´etude des C(X)-modules de Banach avec X compact. e e D´efinition 1.11 Etant donn´e un espace localement compact X, on d´efinit pour x 2 X l’id´eal C (X) de C (X) des fonctions nulles en x. Si E est un C (X)-module de Banach, on note x 0 0 E l’espace de Banach quotient de E par C (X)E et ⇠ l’image de ⇠ 2 E dans E . x x x x Corollaire 1.12 Si E est un C (X)-module de Banach et ⇠ 2 E, la fonction P(⇠) : x 7! k⇠ k 0 x est semi-continue sup´erieurement. D´emonstration : Si f 2 C (X), l’application φ(f) : x 7! k[1+f(x)−f]⇠k est continue. Donc la fonction 0 P(⇠) qui est l’inf des fonctions φ(f) (lemme 1.10) est semi-continue sup´erieurement. ⇤ Lemme 1.13 Soient X un espace compact et E un C(X)-module de Banach tel que quel que soit ⇠ 2 E, k⇠k = sup{k⇠ k,x 2 X}. x Si E0 est un sous-C(X)-module ferm´e tel que 8x 2 X, (E0) = E , alors E0 = E. x x D´emonstration : Fixons ⌘ 2 E et " > 0. Par hypoth`ese, si x 2 X, il existe ⇠(x) 2 E0 tel que ⌘ = ⇠(x) . x x L’ensemble U(x) des y 2 X tels que k⌘ −[⇠(x)] k < " ´etant ouvert (corollaire 1.12), on y y peut extraire de la famille des U(x), x 2 X un sous-recouvrement fini U(x ),...,U(x ) de 1 n X et trouver une partition de l’unit´e {f } subordonn´ee `a ce recouvrement fini; l’´el´ement i ⇠ = f ⇠(x ) est dans E0 et il v´erifie k⇠ −⌘ k  f (x)k⇠(x ) −⌘ k < " quel que soit i i x x i i x x x 2 X. ⇤ P P Remarque : Soient E le C([0,1])-module de Banach L2([0,1]) et x 2 [0,1]. Consid´erons pour n 2 N une fonction continue sur R nulle en x, ´egale 1 hors de ]x−1/n,x+1/n[ et qui est lin´eaire sur [x−1/n,x] et [x,x+1/n]. Si ⇠ 2 E, la suite f ⇠ 2 C (X)E converge presque n x partout vers ⇠ et comme |f ⇠|  |⇠|, ⇠ 2 C (X)E. Il en r´esulte que E = 0 quel que soit n x x x 2 [0,1]. 2 C(X)-alge`bres 2.1 C(X)-alg`ebres de Banach D´efinition 2.1 Une C (X)-alg`ebre de Banach est une alg`ebre de Banach A munie d’une 0 structure de C (X)-module de Banach (a` gauche) non d´eg´en´er´e telle que pour a,b 2 A, 0 f 2 C (X), 0 a(fb) = f(ab) = (fa)b. La condition ´enonc´ee ci-dessus implique que l’image de C (X) dans l’alg`ebre L(A) des endo- 0 morphismes continus de A est incluse dans le centre de l’alg`ebre des multiplicateurs de A. Si x 2 X, C (X)A est un id´eal bilat`ere de A (d´efinition 1.11) et donc l’application A ! x A = A/C (X)A est un morphisme d’alg`ebres. x x 6 D´efinition 2.2 Etant donn´es un espace localement compact X dont le compactifi´e d’Alexan- droff est X et une C (X)-alg`ebre de Banach A, on d´efinit la C(X)-alg`ebre de Banach unif`ere 0 A = A⇥C(X) de produit b e e e (a+f)(b+g) = (ab+fb+ga)+fg et dont la norme est donn´ee par ka+fk = kak+kfk. Remarque : L’application u : A ! L[A⊕C(X)] d´efinie par u(b)(a⊕f) = (ba+fb)⊕0 et b u(g)(a⊕f) = ga⊕gf est une repr´esentation fid`ele de A . b e Proposition 2.3 Soient X un espace compact et A une C(X)-alg`ebre unif`ere. Alors A ' b A⊕C(X). D´emonstration : Le projecteur e = 1 −1 v´erifie ea = ae = 0 quel que soit a 2 A. L’isomorphisme est C(X) A A ⊕ C(X) ! A alors donn´e par b . ⇤ a ⊕ f 7! a+fe Proposition 2.4 Soient A une C(X)-alg`ebre de Banach unif`ere et a 2 A. a) L’ensemble des x 2 X tels que a soit inversible est ouvert. x b) Si U est un ouvert de C, l’ensemble des y 2 X tels que Sp(a ) ⇢ U est ouvert. y D´emonstration : a) Si x 2 X est tel que a soit inversible, il existe b 2 A tel que b a = a b = 1 . Soit x x x x x x alors Ω l’ensemble des y 2 X tels que k(ba−1) k < 1 et k(ab−1) k < 1. Le corollaire 1.12 y y implique que Ω est un voisinage ouvert de x et si y 2 Ω, b a et a b sont inversibles dans y y y y A , ce qui implique que a l’est aussi. y y b) Si K est le compact {λ 2 C,|λ|  kak,λ 62 U}, l’alg`ebre de Banach unif`ere A(K) des fonctions continues sur K `a valeurs dans A est une C(X)-alg`ebre de Banach pour la structure de C(X)-module induite par celle de A. Si ↵ 2 A(K) est d´efini par ↵(λ) = a−λ pour λ 2 K, alors Sp(a ) ⇢ U si et seulement si Sp(a )\K = ;, ce qui revient a` dire que ↵ est inversible. y y y Le a) appliqu´e `a ↵ 2 A(K) permet ainsi de conclure. ⇤ Remarque : Ce lemme est faux dans le cas non unif`ere. Soient en effet E le C([0,1])-module hilbertien C ([0,1[)⊕C([0,1]) et A la C([0,1])-alg`ebre K(E). Si ⇠ = 0⊕1 2 E et a = ✓ 2 A, 0 ξ,ξ l’ensemble des x 2 X pour lesquels a est inversible est r´eduit au singleton {1} qui n’est pas x ouvert dans [0,1]. Corollaire 2.5 Soient A une C (X)-alg`ebre de Banach et a un ´el´ement de A. Si U est un 0 ouvert de C contenant le point 0, l’ensemble des y 2 X tels que Sp(a ) ⇢ U est ouvert. y D´emonstration : Il suffit de remarquer que Sp (b) = Sp (b)[{0} pour b 2 A. ⇤ Ab A 7 2.2 C(X)-alg`ebres stellaires D´efinition 2.6 ([27]) Soit X un espace localement compact. Une C (X)-alg`ebre stellaire est une C⇤-alg`ebre A munie d’un morphisme non-d´eg´en´er´e 0 (involutif) de C (X) dans le centre Z(M(A)) de l’alg`ebre des multiplicateurs de A. 0 L’image de C (X) dans M(A) est une C⇤-alg`ebre commutative, de sorte que l’on pourra 0 se restreindre au cas ou` C (X) est une sous-alg`ebre de M(A). 0 D´efinition 2.7 Etant donn´ee une C (X)-alg`ebre stellaire A, on d´efinit la C(X)-alg`ebre stel- 0 laire A engendr´ee par A et u[C(X)] dans l’alg`ebre des multiplicateurs de A ⊕ C(X), ou` u : C(X) ! M[A⊕C(X)] d´etermine la structure canonique de C(X)-alg`ebreede A⊕C(X) (i.e. u(g)(a⊕f) = ga⊕gf). e e e e e e Le morphisme identit´e de A dans A est alors un isomorphisme d’alg`ebres de Banach b involutives mais en g´en´eral, la norme de A est strictement plus grande que celle de A. Par b exemple, si l’on consid`ere la C({x})-alg`ebre A = C et si l’on pose a = 1 et f = −1, alors a+f kak+kfk = 2 > k k = 1. f ! Remarque : Si A est une C(X)-alg`ebre stellaire, on peut aussi d´efinir la C(X)-alg`ebre stellaire unif`ereA engendr´eeparAetC(X)dansM(A).Six 2 X,lequotient(A ) estunif`ere,mais u u x le morphisme (A ) ! M(A ) n’est pas n´ecessairement injectif. En effet, si A est la C([0,1])- u x x alg`ebre consid´er´ee dans la remarque qui suit le lemme 2.4, en x = 1, M(A ) = A = C tandis x x que (A ) = C⊕C. u x Proposition 2.8 Si A est une C (X)-alg`ebre stellaire, alors kak = supka k quel que soit 0 x x2X a 2 A. De plus, ce sup est atteint. D´emonstration : Il s’agit de voir que le morphisme A ! ⊕ A est injectif. x x2X Fixonsun´el´ementa 2 Anonnul.Ilexistealorsun´etatpurϕsurAtelqueϕ(a⇤a) = kak2. Siπ estlarepr´esentationirr´eductiblecanoniquedeM(A)dansl’espacedeHilbertH associ´e ϕ ϕ `a ϕ par la construction G.N.S., π (C(X)) ⇢ C, ce qui implique l’existence d’un x 2 X tel ϕ que π (f) = f(x) pour tout f 2 C(X). La repr´esentation π se factorise alors `a travers A ϕ ϕ x et donc ϕ(a⇤a)  ka k2, ce qui implique que kak = ka k. ⇤ x x Remarque : Si A est une C (X)-alg`ebre stellaire et J est un id´eal ferm´e de A (`a gauche ou 0 `a droite), alors a 2 A est dans J si et seulement si a 2 J quel que soit x 2 X (lemme x x [14] 10.4.2). Proposition 2.9 Soit X un espace compact et soit A une C(X)-alg`ebre stellaire unif`ere non nulle. Si a 2 A, Sp (a) = [ Sp (a ) A Ax x x2X D´emonstration : Soit λ 2 C; alors λ 2 Sp (a) si et seulement si A k((a−λ)⇤(a−λ)+1)−1k = 1 ou k((a−λ)(a−λ)⇤+1)−1k = 1 8 car ↵ = a − λ est inversible si et seulement si ↵⇤↵ et ↵↵⇤ le sont. Mais ces deux normes sont les bornes sup´erieures (atteintes) des fonctions x 7! k((a −λ)⇤(a −λ)+1)−1k et x 7! x x k((a −λ)(a −λ)⇤+1)−1k, d’ou` la proposition. ⇤ x x Etant donn´ees une C (X)-alg`ebre stellaire A et une partie ouverte Y de X, on d´efinit la 0 sous-alg`ebre A de M[C (Y)A] restriction de A `a Y par |Y 0 A = {x 2 M[C (Y)A]/ 8f 2 C (Y), fx 2 C (Y)A}. |Y 0 0 0 Si x est un point de X et a 2 A , on entendra par prolongement de a sur un voisinage x ouvert Y de x un´el´ement b dans A tel que a` travers l’isomorphisme A /[C (X)A ] ' A , |Y |Y x |Y x b = a. x Remarque : Avec les notations de Kasparov, A = M [C (Y)A]. |Y b 0 Terminons cette section par le r´esultat suivant de Dupr´e qui sera utilis´e dans le chapitre 6. Lemme 2.10 ([16] lemmes 3.2 et 3.3) Soient A une C (X)-alg`ebre stellaire et x un point de 0 X. a) Si s ,...,s sont n projecteurs deux `a deux orthogonaux de A , ils se prolongent dans 1 n x un voisinage ouvert de x avec les mˆemes propri´et´es. b) Si p et q sont deux projecteurs de A et si u 2 A est tel que u⇤u = p et uu⇤ = q , il se x x x prolonge dans un voisinage ouvert de x avec les mˆemes propri´et´es. D´emonstration : a)L’´el´ements = is serel`evedansunvoisinageouvertdexenun´el´ementpositifS dont i le spectre est inclus dans le voisinage ouvert {0,1,...,n}+B(0, 1) de Sp(s) (corollaire 2.5) P 4 de sorte que par calcul fonctionnel on peut supposer que son spectre est ´egal `a {0,1,...,n}. Si f est la fonction caract´eristique de l’ensemble {i}, l’´el´ement f (S) est un prolongement de i i s sur ce voisinage qui v´erifie les propri´et´es requises. ⇤ i b) Prolongeons u dans un voisinage de x en v de sorte que v = qvp et que le spectre de |v| soit inclus dans le voisinage Ω = {0,1}+B(0, 1) de Sp(|u|). Soit f la fonction continue 4 sur Ω nulle sur la boule B(0, 1) et qui a` x 2 B(1, 1) associe x−1. Si l’on pose w = vf(|v|), 4 4 alors p−w⇤w est un champ de projecteurs nul au point x et donc aussi dans un voisinage. De mˆeme, comme w = u et ww⇤ est un projecteur major´e par q, on a (w⇤w) = p et x y y (ww⇤) = q sur le voisinage ouvert des y tels que k(w⇤w−p) k < 1 et k(ww⇤−p) k < 1. ⇤ y y y y 2.3 C(X)-repr´esentations Rappelons que si X est un espace localement compact, e : C (X) ! C est le morphisme x 0 d’´evaluation au point x 2 X. D´efinition 2.11 Soit A une C (X)-alg`ebre stellaire. 0 On appelle C (X)-repr´esentation de A dans le C (X)-module hilbertien E un morphisme 0 0 C (X)-lin´eaire ⇡ : A ! L(E), i.e. tel que pour tout x 2 X, la repr´esentation ⇡ = ⇡⌦e : A ! 0 x x L(E ) se factorise a` travers une repr´esentation de A . Si de plus ⇡ est une repr´esentation x x x fid`ele de A pour tout x 2 X, on dit que ⇡ est un champ de repr´esentations fid`eles. x On appelle champ continu d’´etats une application C (X)-lin´eaire positive ϕ de A dans 0 C (X) telle que pour tout x 2 X, l’application ϕ = e ◦ϕ soit un ´etat sur A . 0 x x x 9