A ’É.N.S. NNALES SCIENTIFIQUES DE L JACQUELINE DÉTRAZ Algèbresdefonctionsanalytiquesdansledisque Annalesscientifiquesdel’É.N.S.4e série,tome 3,no3(1970),p. 313-352 <http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1970_4_3_3_313_0> ©Gauthier-Villars(ÉditionsscientifiquesetmédicalesElsevier),1970,tousdroitsréservés. L’accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l’É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systéma- tique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 4e série, t. 3, 1970, p. 3i3 à 352. ALGÈBRES DE FONCTIONS ANALYTIQUES DANS LE DISQUE PAR JACQUELINE DÉTRAZ. § 0. INTRODUCTION. — Soient D le disque unité ouvert T, le cercle unité, E un ensemble de T, on note D = D U T et H^D) l'algèbre des fonctions analytiques bornées dans D; HE(D) la sous-algèbre de H^D) formée des fonctions qui se prolongent continuement à DUE. Munies de la norme uniforme sur D, ce sont des algèbres de Ba.nach. Nous allons les étudier ainsi que leurs restrictions à des ensembles de D. Plus généralement, soient 0 un ouvert du plan complexe et E un ensemble de la. frontière de 0, on peut définir de la même façon H°°(0) et HE(O). En ce qui concerne l'algèbre des restrictions H°°(D)|S de H°°(D) à une suite de Blaschke S, si on note E l'ensemble des points d'accumulation de S, on obtient (§1) le théorème suivant qui généralise des résultats de E. Akutowicz-L. Carleson [1] et A. Heard-J. Wells [12] : II existe un ouvert 0 contenant D\^E tel que H^D) S:==H°°(0) ]S, HE(D) [S=HE(O) S. On étudie ensuite (§2) l'algèbre HE(D). Une telle algèbre est définie par une relation d'équivalence sur SpH00 (D) et on répond par l'affirmative au problème de savoir si l'application canonique de SpH00 (D) dans Sp HE(D) v est surjective. Pour cela on étudie la frontière de Silov de H^D) en géné- ralisant la méthode utilisée par Newman pour H00 (D) et on obtient une caractérisation pa,r les produits de Blaschke analogue à celle de H^D). On obtient alors le fait que D est dense dans SpH^D) en utilisant le théorème de Ca.rleson qui dit que D est dense dans SpH°°(D). 314 J. DÉTRAZ. La 3e partie de ce travail est motivée par l'étude des algèbres À : A étant une algèbre de Banach de fonctions continues sur un compact X, on définit Â={/1; /•e<?(X), 3M; 3/.CA; [|/,|^<M; fn-f->o uniformément sur K}. Il s'agit d'étudier l'inclusion ACÂ dans le cas des algèbres quotients de l'algèbre A(D) des fonctions analytiques sur D, continues sur D. K étant un fermé de D, on compare donc les trois algèbres : l'algèbre A(K) des restrictions de A(D) à K, l'algèbre A(K) correspondant à A(K) par la définition ci-dessus, l'algèbre B(K) formée des fonctions f de C(K) telles que f\Kr\D soit dans H°°(D)|KnD. On obtient des résultats de deux types différents suivant que K est « gros » ou « mince ». Par exemple, si m(KnT) est positive, A(K)=B(K) si et seulement si presque tout point de T est adhérent non tangentielletnent à KnT et A(K)=Â(K) si et seulement si K contient T. Si, au contraire, /n(KnT) est nulle et KnD est une suite de Blaschke S={a^; M€N{ on a toujours Â(K)=B(K) et À(K) est égal à A(K) si et seulement si S est une suite d'interpolation pour H°°(D). On compare aussi dans ce cas les spectres de Â(K) et de A(K). On montre que l'application canonique de SpÂ(K) dans SpA(K) n'est pas toujours un isomorphisme. Le résultat final est que A(K)==Â(K) si et seulement si A(K) est une algèbre fermée dans <3(K), l'algèbre des fonctions continue sur K. Nous caractérisons enfin (§ 4) les ensembles d'interpolation de l'algèbre H,(D). § 1. EXTENSIONS ANALYTIQUES D'ALGÈBRES DE RESTRICTIONS DE H°°(D). —Soit S=={a^; TZGN} une suite de Blaschke du disque D; on a ^ (ï-[^|)<00 nçfS et on note E l'ensemble des points d'accumulation de S. Le produit de Blaschke associé à S s'écrit B(z) =TT-a/— -a/î—^-. v / .1-1 | a,,] i— a^z nçN Dans cette partie, on s'intéresse à l'algèbre des restrictions de H00 (D) à S qu'on note H°°(D) S. Cette algèbre s'identifie à l'algèbre quotient ALGÈBRES DE FONCTIONS ANALYTIQUES DANS LE DISQUE. 315 de H^D) par l'idéal des fonctions de H°°(D) nulles sur S. C'est donc une algèbre de Banach munie de la norme quotient : ||/|k(^)ls=inf{||F[[H-(D);FeHao(D);F[S==/i. pour tout/de H°° (D) | S; comme toute algèbre de restrictions, le spectre de H00 (D) | S est l'adhérence- Zariski S de S dans SpH°°(D), i. e. l'ensemble des points m de SpHTÇD) qui annulent toute fonction nulle sur S. On définit de même l'algèbre HE(D)[S. l.i. THÉORÈME 1.1. — Soit S une suite de Blaschke, notons E l'ensemble de T formé des points d'accumulation de S, il existe un ouvert 0 contenant D\E tel que H^O) [Sr^rrH^D) | S. La condition que S soit une suite de Blaschke est nécessaire pour l'exis- tence de l'ouvert 0; sinon toute fonction de H^D^S est la restriction d'une seule fonction de H°°(D) et le théorème est évidemment faux. Considérons alors une fonction F de H°°(D), il s'agit de définir une fonction G égale à F sur S et analytique, bornée sur un ouvert contenant D\E, ne dépendant que de S. Considérons la fonction Fi(z) == -——n-pn-'-î c'est une fonction de norme égale à i, ne s'annulant pas sur D. Si on sait résoudre le problème posé pour Fi en trouvant la fonction Gi corres- pondante, alors la fonction G (z) == || F + || F || || Gi (z) — || F 1| résoudra le problème pour F. On peut donc supposer que F est de norme ||F||^i et sans zéros sur D. F s'écrit donc F(.)=exp-^f y-^(0)> ^^^^/•eeceT^6' ~ •s où p- est une mesure positive sur T. ^•9 i ^ Nous allons remplacer dans l'intégrale la fonction ^ __ ^ par une fonction qui permet de résoudre le problème. Pour cela nous établissons le lemme suivant : LEMME 1.1. — II existe une fonction ïj(a) strictement positive, continue, définie sur T\E et une fonction f{z, a, x), où z est dans C, a dans C, x dans R, telle que pour toute fonction £(a) définie sur T\E continue et vérifiant o < £(a)^ï](a), il existe un ouvert A, de C contenant D\E tel que la fonction f{z, a, £(a)), où [z, a)eA,X (T\E) vérifie : (i) f{z, a, s (a)) = v—— pour {z, a) € S X (T\E) ; a — z 316 J. DETRAZ. (iï) Re/^,a,£(a))^-5 pour (z, a)€=A,x (T\E) ; (iii) Pour tout compact K de A,, i7 existe une constante MK ^°^ que \f(z, a, s(a)) [<MK /^/r (^, a) çK x (T\E) ; (iv) /'(z, a, £(a)) <?^ continue par rapport à ^ et analytique par rapport à z pour {z, a)eA,x(T\E). Pour montrer le lemme, nous allons poser /•r- y .__a(i+^)+^ /a+^ 0(14-^) +^V B(^)y .^ ^^-^i+^-^Va-^^i+^-^Y1" B^7; • (i) est clairement vérifié pour toute fonction £(a). D'autre part, f s'écrit f=f^-\-f^^ où /^i (/--^ a^^ ^^) _ a(i+^)-4-^ a(i + ^) — ^ et 2^(B(.s) —B(a))2 /2(^, a, x) == a—/s) (a(i+^) —^) (B(a))2 Notons CQ l'ouvert { z ; | B (z) | < 2 ; z | < 2 }. Considérons une suite décroissante {V^} de voisinages ouverts de E dans T tel que (^ V^== E. Alors pour tout n, il existe une constante ^ n€M telle que [B(^)-B(a) < ^ pour (^, a) ç [ cî) x (V,,\V,,+i)]. On choisit comme fonction ï](a) cherchée, une fonction continue, stric- tement positive, telle que ï)(a)<-^ si a est dans V^V^V^+i. P'n Soit a.lors e(a) une fonction sur T\^E continue, strictement positive et inférieure à ^(a). Pour chaque a de T\E, notons P(a) l'ensemble z; ^ _ '" . ^ <^I(• ^5est un demi-plan contenant D\E. £(a) étant strictement positive, on vérifie que l'ensemble P = F^ Pa _ a ç T\E contient un ouvert A' contenant D^E. On a Re/i(^, a, £(a)) >-i pour (z, a)ePx(T\E) et \f,(z, a, s(a)) <4 pour (^ a) e (Pnd3) x (T\E). ALGÈBRES DE FONCTIONS ANALYTIQUES DANS LE DISQUE. 317 On prend alors comme ouvert A^ cherché l'ouvert A'nd? qui contient D^\E et on a Re/(^ a, s(a)) >-5 pour (^ a)eAsX(T\E), donc (ii) est vérifié. De plus, pour tout compact K de Ag, [a(i-4-£(a)) —z\ est bornée intérieurement pour Çz, a)eKx(T\E), (iii) est donc vérifié. Enfin &(a) étant continue et Ag étant contenu dans Û3, (iv) est vérifié. Le lemme est démontré. Nous pouvons en déduire facilement le théorème 1.1. En effet, posons H(^)==exp-— f /(^^Yî(^)^(0), 27T .^9eT\E où f et ïj sont les fonctions définies dans le lemme 1.1. Ay, étant le domaine correspondant à ï](a), donné par le même lemme, observons que d'après (iii) et (iv) îî{z) est analytique sur ^ et d'après (ii) 5 bornée sur A^ par exp—[^(T^E). Posons aussi y r e1^-\-^ L(^)=exp-^ / -^——^^ z•T:Jpe^^cel-VE.e ~~ z et notons Pa == \z ; Re a—z > — i [. [ - Oî — Z } E étant fermé, on vérifie que f\ Pa contient un ouvert A' contenant açE D\E, et sur A', L(z) est analytique et bornée par exp-p-(E). Notons finalement G(z) =L(z)îî(z) et 0=:A^nA^ G appartient à H^O) et est égale à F sur S. Le théorème est démontré. On a alors immédiatement : COROLLAIRE 1.1. - H^D^S^HT^D^S. Remarque 1.1. — Ce théorème complète des résultats connus : E. Akutowicz et L. Carleson [1] ont montré le théorème 1.1 pour des ouverts 0 de la forme suivante : ils considèrent un nombre fini d'arcs fermés y sur T disjoints de E et les ouverts 0 sont bornés d'une, part, par, un nombre fini d'arcs analytiques extérieurs à D et rencontrant T aux extrémités des arcs y et, d'autre part, par les arcs de T complémentaires des arcs y. E. A. Heard et J. Wells [12] ont montré le théorème 1.1 pour des suites S de Blaschke qui sont d'interpolation i. e. telles que H°°(D) S est iso- morphe à l'algèbre F des suites bornées. 318 j. DÉTRAZ. 1.2. On va s'intéresser maintenant au problème analogue pour l'algèbre HE(D) et pour cela nous allons caractériser l'idéal Ie(D) S des fonctions de HE(D)| S nulles sur E. On note Sn la suite {a^,; p>n], B.(.)=nJ.(^±) e. .BC.)^^. -IA (Xp \ ï — O.pZ ] Dn(Z) p ^Tt THÉORÈME 1.2. -- Si l'ensemble E des points d'accumulation de la suite S est de mesure nulle, alors MD^S^i/î/eH^D) S; ||/[|H-(D)is^oquand/î->oo;. Soit f un élément de Ie(D) S, il existe donc F dans He(D), égale à f sur S. Notons F^ la fonction F(i—JB). Fn est égale à f sur S^ donc ll/1|ir(D)is,^| F^HH-(D). Or, pour tout £, F étant nulle sur E, il existe un voisinage V de E dans D tel que | F(z)|< s pour z dans VnD. Mais la fonction ^B converge uniformément vers ï en dehors de tout voisinage de E, il existe donc N tel que sup | i-^B(^) [^-————, pour /î^N. •s€D\V |[ -T |[H-(D) Donc [| F^||ir(D)< s si n^N et [[ /IIH^D)^-^ o quand n-^oo. Réciproquement, considérons une fonction f de H°°(D) S n'apparte- nant pas à IE(D) [ S soit ; F une fonction de H°° (D) telle que F S = /*. Dire que f n'appartient pas à IE(D)[S, c'est dire qu'il n'existe pas deux fonctions Gi et Ga de H°°(D) telles que Gi soit nulle sur S, Ga soit dans IE(D) et F s'écrive F=Gi+G2; c'est donc dire que F n'appar- tient pas à l'idéal IE(D) + Is(D), où Is(D) est l'idéal des fonctions de H^D) nulles sur S. Rappelons ([13], p. 160) que l'application qui à tout m de SpH°°(D) fait correspondre le point m{z) est une application continue de SpH°°(D) sur D; elle réalise un homéomorphisme entre D et une partie de SpH^D). Si a est un point de T, l'ensemble 3]!^= [m-, mç. SpH^D) ; m{z)=(x} s'appelle la fibre de SpH°°(D) au-dessus de a. Or si on considère l'algèbre H^D), transformée de Gelfand de H°°(D), l'idéal ÎE(D) est l'ensemble de fonctions de H°°(D) nulles sur U Jlla. açE E étant un fermé de mesure nulle, d'après le théorème classique de Fatou ([13], p. 80) il existe une fonction g de A(D) telle que g'(z) == ï pour z dans E, l^-3) I < I po111' •s dans D\E, ALGÈBRES DE FONCTIONS ANALYTIQUES DANS LE DISQUE. 319 La transformée de Gelfa.nd g dans H^D) est donc telle que g (m) •==-1 pour m dans ^ j JTta, açE, aeE \g- (m) \ <i pour m dans SpH^D^U 3\i^ açE ce qui signifie que U JTta est un ensemble pic pour H^D) : on peut alors en conclure [cf. [9], corollaire 1) que ÎE(D) + îs(D) est fermé dans H°°(D). L'idéal IE(D) + Is(D) est donc fermé; F n'appartenant pas à cet idéal il existe un nombre a tel que (*) [| F — G \\n-w> a pour tout G dans IE (D) + Is (D). D'autre part, E étant de mesure nulle, il résulte du théorème de Rudin ([13], p. 81) que A(D) E==e(E); comme B,1 E appartient à C(E), on déduit qu'il existe une suite {Fn} de fonctions de A(D) telle que F.^B^IE. Si G est une fonction de l'idéal Is^(D) formé des fonctions de H^D) nulles sur Sn, la fonction G¥nBn est dans Is(D) et la fonction G— GF^B^ est dans I^D) donc G est dans I^(D) + Is(D). D'où Ig,(D)C L(D) + Is(D) et d'après l'inégalité (*) on a donc [[F — G [lir^D)^ a pour tout G dans îsn (D), soit \\f\\îrw^>^ Donc si f n'appartient pas à IE(D)[S, [|/'||tr(i))is» ne tend pas vers zéro. c. ç. F. D. Nous pouvons maintenant déduire le théorème correspondant au théo- rème 1.1 pour l'algèbre HE(D) : THÉORÈME 1.3. — Soit S une suite de Blaschke; notons E V ensemble de ses points d'accumulation sur T; si m(E)==o il existe un ouvert 0 conte- nant D\E tel que HE(D) | S = îî^O) \ S. La condition m(E)==o est naturelle. En effet, si m(E) est positive, alors toute fonction de HE(D) S est la restriction d'une seule fonction de HE(D); si E^T, on considère une fonction F de HE(D) n'apparte- nant pas à A(D), F|S n'appartient donc pas à A(D)[S donc à aucun HE(O) S quel que soit 0 ouvert contenant D\E et le théorème est faux. Si E == T, D\E = D et le théorème est une trivialité (on prend 0 == D). Supposons donc m(E) = o. Soient f une fonction de He(D) | S, et F une fonction de HE(D) telle que F | S = /. 4nn. Éc. Norm., (4), III. — FASC. 3, 43 320 J. DÉTRAZ. D'après le théorème 1.1 ci-dessus, il existe un ouvert Oi contenu dans (D=[z^ z <2; [B(js)[<2} contenant D\E tel que H°°(0i) [ S = H°°(D) | S. On considère alors un ouvert 0 contenu dans Oi, connexe, simplement connexe, contenant D\^E et dont la frontière est une courbe de Jordan rectifiable contenant E et on a encore H^O) | S == H°°(D) S. On sait aussi [4] que la transformation conforme T de 0 sur D se prolonge en un homéomorphisme continu de 0 sur D qu'on note encore T et T applique l'ensemble E de mesure nulle sur un ensemble E' de T de mesure nulle. D'après le théorème de Rudin ([13], p. 81), A(D) E/=e{Ef)', il existe donc une fonction G de A(D) égale à For"1 sur E'; la fonction Fi = G°T est une fonction de H^(0) égale à F sur E. La fonction F—Fi appartient donc à IE(D); donc d'après le théo- rème 1.2, [| F —Fi ])ir°(D)is»-^o quand/z->oo. Or les algèbres H°°(0) S et H°°(D) S étant égales, elles ont des normes équivalentes, donc on a aussi |] F—Fi [IH-^JS^"^ ° quand M—^OO. D'autre part, 0 étant contenu dans CD, BoT~1 est une fonction de H°°(D) non identiquement nulle sur r(S) = S'. Donc S' est une suite de Blaschke et on a II (F - F.) o T-^ [ S, |JH-(D)IS^ II F - Fi [|mo)|s., donc [| (F—Fi) or-"11 S'JIH^D)^ tend vers o quand on tend vers +00 et d'après le théorème 1.2, (F-Fi)oT-1 S appartient à IE'(D) S'; donc f—Fi S appartient à IE(O) S. Fi appartenant à HE(O), on en déduit que f est dans HE(O)[S et le théorème est démontré. § 2. ETUDE DU SPECTRE DE H^D). — Dans ce paragraphe, nous étu- dions le spectre de l'algèbre HE(D) formée des fonctions qui se pro- longent continuement sur un ensemble E de T. 2.i. En ce qui concerne H°°(D) son spectre a été étudié en détail, un résultat essentiel est le « théorème de la couronne » de Carleson [3] qui dit que D est dense dans SpH^D). Nous allons principalement montrer que si E est un ensemble quelconque de T, ce résultat est valable pour l'algèbre HE(D); et pour cela nous allons étudier l'application canonique de SpH^D) dans SpH^D) qui à tout homomorphisme de H^D) associe sa restriction à HE(D). Rappelons tout d'abord ([13], p. 161), que si F est une fonction de H°°(D), F (resp. F|) s'étend continuement en un point a de T si et seulement si sa transformée de Gelfand F (resp. | F [ ) est constante sur la fibre JTIa de a dans SpH°°(D). ALGÈBRES DE FONCTIONS ANALYTIQUES DANS LE DISQUE. 321 L'algèbre HE(D) est donc la sous-algèbre de H^D) formée des fonc- tions dont les transformées de Gelfand sont constantes sur chaque fibre au-dessus des points de E. Notons <%E la relation d'équivalence définie sur SpH^D) par mi^m'^3 aeE, mç.3Xi^ m'ç.3Xi^ HE(D) est alors la sous-algèbre de H^D) définie par la relation d'équi- valence <^E i- e. la sous-algèbre de FTÇD) formée des fonctions dont les transformées de Gelfand sont constantes sur les classes de la relation ^IE. Plus généralement, si Ôi est une relation d'équivalence définie sur le spectre d'une algèbre de Banach A, et si on note A^ la. sous-algèbre de A définie par <^l, on sait que si (^ satisfait certaines conditions [5] l'appli- cation canonique de SpA dans SpA^ est surjective mais qu'en général cette application n'est pas surjective [18]. Nous allons montrer que dans le cas de la relation ûi^ l'application SpH°°(D)-^SpHE(D) est surjective. Nous allons d'abord préciser les propriétés de factorisation des fonc- tions de HE(D). PROPOSITION 2.1. — Soit F une fonction de HE(D); F s'écrit F == IG, où G est une fonction extérieure appartenant à HE(D) et 1 une fonction inté- rieure qui, si F ne s'annule pas sur E, appartient à HE(D). Soit F une fonction de HE(D), F s'écrit {cf. [13], p. 67) F^BKG, où B est un produit de Blaschke, K une fonction singulière, G une fonction extérieure. Soit a un point de E, comme F[^ G, on a donc |F(a) < Ô(m)| pour tout m dans Jlta; d'autre part, ([13], p. ,i75), Ê(m) = K(m) =i pour m dans Silov H°°(D), donc | G (m) | == | F (a)' pour m dans Silov H^D^^a;OY G(m) ^ sup | G{x) = 1 F(a) .v € ^ilov H00 (D) H J]^ pour m dans jn^ (car JTIa est un ensemble pic) donc ô(^z) == F (a) pour m dans Jlla. Remarquons qu'on peut aussi démontrer cela en utilisant le fait que G vérifie l'égalité de Jensen, Log|G(r^6) |== f Log[G(^) |P/.(0-^)^ ^"eT où Pr est le noyau de Poisson. Alors, si F (a) = o, G est nul sur 3Tla, donc G se prolonge continuement à DU {a}. Si F(a)^o, F étant continue sur Du^a}, a n'est pas point d'accumulation des zéros de B donc B est continue en a et |B(a) ==i.