Algèbre supérieure / par L.-B. Francoeur,... Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France Francoeur, Louis-Benjamin (1773-1849). Auteur du texte. Algèbre supérieure / par L.-B. Francoeur,.... 1838. 1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupart des reproductions numériques d'oeuvres tombées dans le domaine public provenant des collections de la BnF. Leur réutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet 1978 : - La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre et gratuite dans le respect de la législation en vigueur et notamment du maintien de la mention de source. - La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et fait l'objet d'une licence. Est entendue par réutilisation commerciale la revente de contenus sous forme de produits élaborés ou de fourniture de service. 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FRANCOEUR, DES SOCIETES FHttO»ATHlQUB PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES De PARIS} d'hHCOURACBMENTPOUR L INDUSTRIE ET DE PLUSIEURS AUTRRS ASSOCIATIONS ETRANGERES; FRANÇAISES ET ACADEMIES PÊTERSBOïIRC EDIMBOURG, RTC. MEMBREHONORAIABDES DB Profères, dans l'enseignement,les méthodes généra les i^ttûchez-voua à les présenter de la manière la plus simple, et vous verrez on même temps qu'elles dont toujours les plus faciles. Lapiack École, nom* tome IV,p. 49. BRUXELLES. MELINE, CANS ET COMPAGNIE. MBRAIR1B IMPR1B1ERIB RT FOÏ1DSR1K. 1838 MATIÈRES. TABLE DES CHAPITRE PREMIER. formule du binôme de Newton, dévelop- Combinaisons ET PERMUTATIONS page 1 pement des puissances.des polynômes, 10; racines de degrés supérieurs, 17 nombres figurés 20 combinaisonsde choses qui ne sont pas toutes inégales, 21; notions sur les probabilités, 29. CHAPITRE II. RÉSOLUTIONdes équations. Compositiondes coefficients, 36 transformations,40; limites des racines, 45 racines commensurables,50; racines égales, 55; éli- mination, 39; sur l'existence des racines, 67; racines incommensurables méthode de Newton, 77; de D. Bernoulli, 80; de Lagrange, 82 règle de Des- cartes, 86 et 94; méthode de Fourier, 89; de M. Sturm,107;de M. Budan, 110 racines imaginaires-, 114. CHAPITRE III. Équations particulières. Abaissement-du degré, équations réciproques, 121; équations à deux termes, racines de l'unité, 124; théorèmes de Côtes et de Moivre, 129, 152; équations à trois termes, 132; cdlcul. des radicaux, 135; équations du degré, 137 du 4e degré, 143> 5<> CHAPITRE IV. Fonctions symétriques. Sommes des puissances des racines 147 résolution nu- mérique des équations 151 équations du 2e degré, 154; du 3e degré, 154 du 4e degré, 156; élimination, 158. W' CHAPITRE V. indéterminées du 1er degré, 168; équations déterminées du 2e degré, 169; équations indéterminées du 2o degré 185; équations indéterminées de degré supérieur, 194 résolution des équations numériques de tous les degrés, 196. CHAPITRE VI. Méthode des jttDÉTERmNÉs 202, décomposition des fractions ration- COEFFICIENTS nelles, 202; convergencedes séries, 210; séries récurrentes, 213; exponen- tiellcs,221 logarithmiques 222; circulaires, 227 retour des suites, 239; équations de condition, 242. NÉCESSAIRES, OBSERVATIONS Les numéros mis commencement des paragraphes marquent au l'ordre des articles dans le mathématiques COURS COMPLET DE PURES. En général, les numéros placés entre deux parenthèses, dans le corps des alinéas, indiquent le numéro de l'article du cours sur lequel s'appuie le passage où ce numéro est cité. COMPLET Les chiffres et les lettres entre parenthèses placés à la marge droite, à la suite des formules, servent de de renvoi marques formules qu'ils précèdent. aux ALGÈBRE SUPÉRIEURE. CHAPITRE le'. DES COMBINAISONS ET DES PUISSANCES. Permutations et Combinaisons. 475. Lorsque des termes sont composés de lettres semblables oit différentes, placées dans divers ordres, nous nommeronsces assem- blages des Arrangements, ou des Permutations; mais si l'une de ces lettres au moins est différente dans chaque terme, et qu'on n'ait point égard aux rangs des lettres, ces termes seront des Combinai- sons Ainsi abe, bac, cba, bca, sont 4 permutations, et abc, abd, bcd, aed, A combinaisons S à 3. Pour désigner le nombre des permutations qu'on peut faire avec Les combinaisonssont aussi appelées Produits différents rejetons cette nous ex- pression défectueuse carab et cd, qui sont les combinaisonsdifférentes de deux lettres, peuvent cependant former des produits égaux, comme 3X8 = 6X4 2- X 3-On a distingué aussi les permutations des arrangements, réservant le i« nom aux arran- gements de p lettres entre elles, ou p à y mais cette distinction n'a aucun but utile, et nous n'en ferons pas usage, non plus que de plusieurs autre? dénominations. m lettres, en les prenant p à p, nous écrirons [niPp] le nombre des combinaisons indiqué sera par [jm<7jo]. Proposons-nous de troxcver le nombre de toutes les permutations y = de lettres prises à [mPp], Considérons d'abord les m p p, ou y arrangements qui commencent par une lettre telle que a, mais qui diffèrent, soit par quelque autre lettre à droite de a, soit seulement par l'ordre suivant lequel elles sont rangées. Si l'on supprime cette initiale égal nombre d'assemblagesde p lettres; a, on aura un 1 seront visiblement tous les arrangements possibles des ce 1 M autres lettres b, d, prises p ensemble; désignons-en le e, 1 !)]. nombre par y = [(»» 1) P (p Donc si l'on prend ces m 1 lettres b, c, d, qu'on forme avec elles toutes les permutations p 1 à p 1, qu'enfin on place a en tête de chaque terme, on aura toutes celles des permutations p à p qui ont a pour initiale. En effet, l'une de celles-ci fût omise répétée plusicurs fois, pour que ou iPfaudrait qu'après y avoir supprimé a, qui est en tête, les assem- blages restants présentassent la même erreur, et que quelque per- hp mutation p des lettres b, c, d, fût elle-même omise 1 1 répétée; qui est contre la supposition. ou ce Il donc autant d'arrangements de lettres prises p y a m 1 1 à p 1, que d'arrangements de lettres P à p, où a est initial m, soit ce nombre. Or, si l'on raisonne pour b comme on a fait pour V trouvera de même permutations qui commencent par b; il a, on etc. tête, y en a y qui ont c en et comme chaque lettre doit être initiale à son tour, le nombre cherché y est composé d'autant de fois '/1 qu'il y a de lettres, = [mPp] [(»» P (p 1)]. 1) y nif, ou m Il suit de là que, 1° pour obtenir le nombre y" d'arrangements de est lettres, 2. à 2, alors le nombre d'arrangements de let- m 1 = = tres prises 1 à 1, ou f m 1 donc y" in (in 1). 2° Si l'on veut le nombre y"' d'M'rangements de 111 lettres 3 à 8, p, est 3, et désigne la quotité d'arrangements de m 1 lettres 2 p à 2, quotité qu'on tire de y" changeant en m en m 1 f = (m 1) (m 2) d'où y" = m (in 1) (m 2). 8° On trouve de même pour le nombre des arrangements 4 à 4, y" = (m 1) (m 2) {m 3), et ainsi de suite. m Il est visible que pour passer de l'une de ces équ. la suivante, il faut y changer m en m 1, puis multiplier par fin; ce qui re- visent à joindre aux facteurs 1, l'entier qui suit'ié def- m, m lîiër de" ces nombres; ainsi, pour p lettres, ce dernier niultiplica- ( teur p 1), d'où sera m (1) le nombre des facteurs est p. C'est ainsi que 9 choses peuvent se permuter 4 à 4 d'autant de façons différentes qu'il est marqué par 9.8.7.6 = = le produit des 4 facteurs [9i>4] 8024 c'est le nombre de manières dont 9 personnes peuvent occuper 4 placés. Les arrangements de in choses 1 à 1 et 2 à 2 réunis, sont en nombre = -j- 1) m m (M m". = En faisant m p, on obtient le nombre z d'arrangements de p lettres p à p, toutes les p lettres entrant dans chaque terme, (2) Le nombre d'arrangements des 7 notes de la gamme musicale est 1.2.8 7 = S040 comptant les derni-tons,on a 479001 600. en 476. Cherchonsle nombre des combinaisons différentesde lettres x m p = prises [tnCp'j. Supposons combinaisons effec- p, ou x ces x tuées, et écrites successivement ügne horizontale: inscri- sur une vons au-dessous de la lre toutes les permutations des p lettres: qui s'y trouvent, et nous aurons une colontre verticale formée de s termes (équ. 2). Le second terme de la ligne horizontale donnera de même, une colonne verticale de z ternies composant toutes les permutations des p lettres qui sont comprises, et dont lettre y une au moins est différerrte de celles qui entrent dans la combinaison déjà traitée. La Se combinaison donnera aussi termes différents des z autres, On etc. formera donc ainsi tableau composé de x colon- un nes, ayant chacune z termes; en tout résultats, qui constituent .Ta -visiblement tous les arrangements possibles de àosnt lettres prises p&p, sans qu'aucun soit omis ni répété.- Le nombre de ceux-ci -p e^J = = = étant y (équ. 1), d'où savoir; on a xz y, x (S) Les équ. et 2 étant composées chacune de p facteurs, l'équ. (3) 1 en a aussi p, qui sont des fractions dont les termes sont entiers e't 1* suivent l'ordre naturel, décroissants partir de le numéra- à «t pour teur, et croissants jusqu'à p pour le dénominateur. Comme, par sa nature, x doit être nombre entier, la formule (1) doit être un exac- tenaent divisible par (2) au reste, c'est ce qu'on pourrait prouver directement. 477. On a Soit/) ]> q, tous les facteurs de cette équ. entrent dans l'équ. (3), -qu'on peut conséquent écrire pnr = I-. Cherchons d'abord s'il se peut que x x' il est clair qu'il faut que le produit de toutes ces fractions se réduise à 1, ou que les numérateurs forment le même produit que les dénominateurs si l'on prend ceux-ci ordre inverse, en ou a 1) (m q q){m– = p (p 1) (g- -f- 1). Or, deux membres admettent égal nombre de facteurs ces un con- tinus et décroissants si chaque facteur d'une part n'était égal à pas celui qui a même rang de l'autre part, l'égalité serait impossible, puisque, suppression faite des facteurs il resterait des communs, facteurs tous plus grands d'un côté que de l'autre et en pareil nom- bre. Ainsi, cette équ. exige = x'; que m q ==p, pour que x de là théorème ce m = = [wCp] [w(7g] quand p q. 100 lettres prises 88 à 88, et prises 12 à 12, donnent égal un nom- bre de combinaisons; et, en effet, [100 ,C 88] a pour numérateur 13.88; 100 99 89 88 18,et .2.3 pourdénom. 1 12 ..88, 1S.1-4.1S supprimant les facteurs communs il reste ciles les calculs de la formule (3), quand p > i «t. On plutôt a = trouvé 100 C 4 que 100 C 96 8 921 225. Concluons de là que si l'otn ,écrit successivement les nombres de combinaisons de m leltres 1 2 à 2, 8 à 3, les mêmes valeurs