EPFL - Mathématiques Bachelor 3-4 D’après le cours du professeur Eva Bayer Algèbre I-II Jallut Automne 2010 0 1 Table des matières 1 Notions fondamentales 4 1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Congruences, classes de congruences et groupes algébriques . . . . . . . . . 11 1.3 Actions d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Anneaux, corps, théorème d’Euler et le théorème chinois . . . . . . . . . . . 18 2 Groupes 26 2.1 Classes modulo, un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Sous-groupes normaux et groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Théorème d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Actions de groupe et structure quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Sous-groupes de groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Sous-groupes des commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Groupes abéliens finis 38 4 Groupes finis 42 4.1 Rappels... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Equation des classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Les p-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4 Les théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Anneaux de polynômes 47 5.1 Polynôme à coefficient dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Polynôme à coefficient dans un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 Idéaux et anneaux quotients 49 6.1 Idéal d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 Anneau quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7 Anneaux commutatifs 54 7.1 Idéaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.2 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.3 Anneaux principaux et anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2 TABLE DES MATIÈRES 0 7.4 Caractéristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.5 Anneaux intègres et corps de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8 Corps 61 8.1 Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.2 Extensions algébriques et extensions transcendantes . . . . . . . . . . . . . 61 8.3 Extensions monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.4 Construction d’extensions monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.5 Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.6 Corps des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8.7 Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9 Polyômes sur un anneau factoriel 72 10 Quaternions 75 10.1 Corps des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.2 Groupe des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 11 Introduction à le théorie de Galois 79 3 Chapitre 1 Notions fondamentales 1.1 Groupes Définition 1.1.1. Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition G×G −→ G (g,g0) 7−→ g∗g0 et qui vérifie les propriétés suivantes : 1. g∗(h∗k) = (g∗h)∗k pour tout g,h,k ∈ G (associativité); 2. il existe e ∈ G tel que e∗g = g∗e = g pour tout g ∈ G (élément neutre); 3. pour tout g ∈ G, il existe g0 ∈ G tel que g∗g0 = g0∗g = e. Définition 1.1.2. On dit que (G,∗) est un groupe abélien (commutatif) si pour tout g,h ∈ G g∗h = h∗g. Définition 1.1.3. On dit que (G,∗) est un groupe fini si ]G est fini. (G n’a qu’un nombre fini d’élément). De plus, ]G est appelé l’ordre de G. Exemples : 1. (Z,+) est un groupe abélien : (a) clair; (b) élément neutre : 0; (c) Si a ∈ Z, alors a+(−a) = 0. 2. (Z,·) n’est pas un groupe : (a) clair; 4 1.1. GROUPES 1 (b) élément neutre : 1; (c) Si a = 3, alors il n’existe pas de b ∈ Z tel que 3b = 1. 3. (Q,+) est un groupe abélien. 4. (Q∗,·) est un groupe abélien : (a) clair; (b) élément neutre : 1; (c) Si a ∈ Q - {0} , alors 1 = a−1 ∈ Q−{0} et on a aa−1 = a−1a = 1. a 5. M (R) = matrice n×n à coefficient dans R n (M (R),+) est un groupe abélien : n (a) clair; (b) élément neutre est la matrice nulle; (c) M ∈ M (R), alors −M ∈ M (R) et M +(−M) = 0. n n 6. Soit GL (R) = {M ∈ M (R) | detM 6= 0} (matrices inversibles) n n (GL (R),·) est un groupe, mais non abélien. n (a) la multiplication de matrice est associative; (b) élément neutre : Matrice I ; n (c) si M ∈ GL (R), alors M−1 ∈ GL (R) et MM−1 = M−1M = I . n n n 7. D groupe des rotations et symétrie d’un triangle équilatéral. 3 Liste des éléments de D : 3 (a) Id; (b) rotation de 120 degrés dans le sens (cid:9)= r = 240 degrés dans le sens (cid:8); (c) rotation de 240 degrés dans le sens (cid:9) = r∗r = r2 = 120 degrés dans le sens (cid:8); (d) symétrie s; (e) symétrie s∗r = sr = r2s; (f) symétrie s∗r∗r = sr2 = rs. Ceci est un groupe non-abélien d’ordre 6. L’élement neutre est Id. Or, la troisième propriété n’est pas vérifiée, car : s2 = Id , (sr)2 = Id, (rs)2 = Id, rr2 = Id. Non-abélien, car rs 6= sr. Notation : 1. On note g ∗ h = gh (sauf lorsque G est abélien et ∗ = + , on note alors souvent g∗h = g+h). 2. On note e = 1 (sauf lorsque G est abélien et ∗ = + , on note alors e = 0). 3. Si g0 ∈ G est tel que gg0 = g0g = 1, alors on note g0 = g−1 et on l’appelle l’inverse (sauf lorsque G est abélien et ∗ = + , on note alors g0 = −g). Définition 1.1.4. Soit G un groupe. Un sous-groupe de G est un sous ensemble H de G tel que 5 1.1. GROUPES 1 1. pour tout g,h ∈ H, on a gh ∈ H; 2. pour tout g, on a g−1 ∈ H. Exemples : 1. (Z,+) est un sous-groupe de (Q,+); 2. ({−1,+1},·) est un sous groupe de (Q∗,·); 3. N ⊂ Z n’est pas un sous-groupe . Par exemple, −5 ∈/ N; 4. {−2,+2} ⊂ Q∗ n’est pas un sous groupe. Par exemple, 2(−2) = −4 ∈/ {−2,+2}; 5. (M (R),+) et H = {M ∈ M (R)|Tr(M) = 0}. Alors H est un sous groupe. n n En effet, si M et N ∈ H, alors Tr(M+N) = Tr(M)+Tr(N) = 0, donc M+N ∈ H. De plus, si M ∈ H, alors Tr(−M) = −Tr(M) = 0, donc −M ∈ H. 6. (Z,+), soit H = 3Z, alors H est un sous groupe. En effet, si a,b ∈ H, alors a = 3a0, b = 3b0 pour a0,b0 ∈ Z. On a : a+b = 3a0+3b0 = 3(a0+b0) ∈ H. De plus, si a ∈ H, a = 3a0 avec a0 ∈ Z, alors −a = −3a0 = 3(−a0) ∈ H. Remarque : Tous les sous-groupes de (Z,+) sont de la forme mZ pour un certain m ∈ Z. (cf. exercice 2 série 3) 7. (GL (R),·) et n (a) H = {M ∈ GL (R)|det(M) = 1} = SL . Alors SL est un sous-groupe. n n n Soit M,N ∈ SL (R). On a det(M +N) = det(M)det(N) = 1, n donc MN ∈ SL (R). n De plus, si M ∈ SL (R), alors det(M−1) = (det(M))−1 = 1, n donc M−1 ∈ SL (R). n (b) O (R) = (cid:8)M ∈ GL (R)|MMt = I (cid:9), "le groupe orthogonal". n n n Remarquons que M ∈ O (R) ⇐⇒ M−1 = Mt. Donc, on a aussi MtM = I . n n Vérifions que O (R) est un sous-groupe. n Soient M,N ∈ O (R), alors : (MN)(MN)t = M NNtMt = MMt = I , donc n n |{z} | {z } =In =In MN ∈ O (R). n De plus, si M ∈ O (R), alors (M−1)(M−1)t = Mt(Mt)t = MtM = I , donc n n M−1 ∈ O (R). n (c) remarquonsquesiM ∈ O (R),alorsdet(MMt) = det(I ) = 1,doncdet(M)det(Mt) = n n 1, donc (det(M))2 = 1, donc det(M) = ±1 et donc O (R) (cid:42) SL (R). n n (d) posons SO (R) = O (R)∩SL (R), alors SO (R) est un sous-groupe de O (R) n n n n n et aussi de SL (R), ainsi que GL (R). n n Définition 1.1.5. 1. Soient G et H deux groupes et soit F : G −→ H une application. On dit que F est un homomorphisme de groupes si F(gh) = F(g)F(h) ∀g,h ∈ G. 6 1.1. GROUPES 1 2. Un homomorphisme bijectif s’appelle un isomorphisme. Si il existe un isomor- phisme de groupes F : G −→ H, alors on dit que G et H sont isomorphes et on ∼ note F = H. 3. Un isomorphisme de groupes F : G −→ G est appelé un automorphisme de G et on note Aut(G), l’ensemble de tous les automorphismes de G. Exemples : 1. G = (M (R),+) et H = (R,+). On considère F : M (R) −→ R définie par n n M 7−→ Tr(M). Alors, F est un homomorphisme de groupes. En effet, soient M,N ∈ M (R), alors F(M +N) = Tr(M +N) = Tr(M)+Tr(N) = F(M)+ n F(N). 2. G = (GL (R),·) et H = (R∗,·). On considère F : GL (R) −→ R définie par n n M 7−→ det(M). Alors, F est un homomorphisme de groupes. En effet, si M,N ∈ GL (R), alors F(MN) = det(MN) = det(M)det(N) = F(M)F(N). n (cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:27) 3. On considère le groupe (GL (R),·). Posons G = 1 a |a ∈ R ⊂ GL (R). 2 2 0 1 Alors G est un sous-groupe. (Vérification triviale... ou presque). (cid:18) (cid:19) Soit H = (R,+). On considère F : G −→ H, définie par 1 a 7−→ a. Alors, F 0 1 est un homomorphisme de groupes. En effet : (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1 a 1 b 1 a+b 1 a 1 b F( ) = F( ) = a+b = F( )+F( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 De plus, F est bijective. En effet, F est injective : (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1 a 1 b 1 a 1 b Si F( ) = F( ) =⇒ a = b =⇒ = . 0 1 0 1 0 1 0 1 (cid:18) (cid:19) F est aussi surjective : soit a ∈ R, alors a = F( 1 a ). 0 1 Donc, F est un isomorphisme de groupes (G,·) =∼ (R,+). Définition 1.1.6. Soit F : G −→ H un homomorphisme de groupes. On appelle le noyau de F, l’ensemble ker(F) = {g ∈ G|F(g) = 1}. On appelle l’image de F, l’ensemble Im (F) = F(G) = {h ∈ H|∃g ∈ G avecF(g) = h}. Proposition 1.1.7. Soit F : G −→ H un homomorphisme de groupes. Alors ker(F) est un sous-groupe de G et Im(F) est un sous-groupe de H. 7 1.1. GROUPES 1 Démonstration. Montrons que ker(F) est un sous-groupe de G. Soient g,h ∈ ker(F), alors F(gh) = F(g)F(h) = 1, donc gh ∈ ker(F). De plus, si g ∈ ker(F), alors F(g−1) = F(g)−1 = 1, donc g−1 ∈ ker(F). Montrons que Im(F) est un sous-groupe de H. Soient h ,h ∈ Im(F), alors il existe 1 2 g ,g ∈ G avec h = F(g ) et h = F(g ). On a donc h ·h = F(g )F(g ) = F(g g ), 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 donc h h ∈ Im(F). On a aussi, si h ∈ Im(F), alors h = F(g) pour un certain g ∈ G. On 1 2 a alors h−1 = F(g)−1 = F(g−1), donc h−1 ∈ Im(F). Exemples : 1. G = (M (R),+) et H = (R,+) et F : M (R) −→ R définie par M 7−→ Tr(M). n n Alors, on a ker(F) = {M ∈ M (R)|F(M) = 0} = {M ∈ M (R)|Tr(M) = 0} et n n Im(F) = R. 2. G = (GL (R),·) et H = (R∗,·), F : GL (R) −→ R définie par M 7−→ det(M). n n Alors, on a ker(F) = SL (R) et Im(F) = R∗. n Groupes symétriques : S , ensemble des permutations de n-éléments. On a ]S = n! . n n S est un groupe par rapport à la loi de composition consistant à composer les n permutations. Définition 1.1.8. Soit σ ∈ S . On dit que σ est une permutation paire si σ = τ ◦τ ◦...◦τ avec τ n 1 1 r i des transpositions et r est pair. On dit que σ est une permutation impaire sinon. On définit Sign : S −→ {±1} n ( 1 si σ est paire. σ 7−→ −1 si σ est impaire. Alors sign est un homomorphisme de groupes. Posons A = ker(sign). On appelle A , le n n groupe alterné. C’est un sous-groupe de S . n Exemple : On considère S . On a ]S = 6. 3 3 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1 2 3 1 2 3 ρ = = (123) , ρ2 = = (132), 2 3 1 3 2 1 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1 2 3 1 2 3 σ = = (12) , σ2 = = Id, 2 1 3 1 2 3 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1 2 3 1 2 3 σ◦ρ = ρ2◦σ = = (23) et σ◦ρ2 = ρ◦σ = = (13). 1 3 2 3 2 1 On remarque que S est un groupe non-abélien, car σρ 6= ρσ et donc on a 3 n o S = id,ρ,ρ2,σ,σρ,σρ2 . 3 8 1.1. GROUPES 1 De plus, A = (cid:8)Id,ρ,ρ2(cid:9), car ρ = σσρ et ρ2 = σσρ2. 3 D = (cid:8)id,r,r2,s,sr,sr2(cid:9) , groupe des rotations et symétries d’un triangle équilatéral. On 3 a un homomorphisme de groupes : D −→ S 3 3 r 7→ ρ r2 7→ ρ2 s 7→ σ sr 7→ σρ sr2 7→ σρ2 On vérifie que c’est un homomorphisme de groupes et aussi une bijection, donc un iso- morphisme de groupes. Définition 1.1.9. Soit G un groupe et soit g ∈ G. La conjugaison par g est C : G −→ G g x 7→ gxg−1 C’est un automorphisme de g, appelé automorphisme intérieur de G. On note Int(G) l’ensemble des automorphismes intérieur de G. Montrons qu’il s’agit bien d’un automorphisme. Homomorphisme : c (xy) = g(xy)g−1 = gxg−1gyg−1 = c (x)c (y). g g g Injectivité : c (x) = c (y) ⇐⇒ gxg−1 = gyg−1 ⇐⇒ x = y. g g Surjectivité : Soit x ∈ G. Posons x = g−1yg, alors gxg−1 = g(g−1yg)g−1 = y. Définition 1.1.10. Soit G un groupe et soit H un sous-groupe de G. On dit que H est un sous-groupe normal de G si gHg−1 = H pour tout g ∈ G. Ceci est équivalent à dire que pour tout h ∈ H et pour tout g ∈ G, ghg−1 ∈ H. Exemples : G = S 3 1. H = {id,σ} est un sous-groupe de S , σ2 = id. 3 EstcequeH estunsous-groupenormaldeS ?Autrementdit,estcequegσg−1 ∈ H, 3 pour tout g ∈ S . Prenons g = ρ, on a : ρσρ−1 = ρσρ2, car ρ−1 = ρ2 puisque ρ3 = id 3 et donc, (ρσ)ρ2 = (σρ2)ρ2 = σρ4 = σρ ∈/ H; donc H n’est pas un sous-groupe normal de S . 3 9