ALGE`BRE GE´OME´TRIQUE COURS DE M1 2007/8, UNIVERSITE´ PARIS VI Jan Nekov´aˇr http://www.math.jussieu.fr/∼nekovar/co/ag/ INTRODUCTION Dans ce cours on va ´etudier quelques structures alg´ebriques d’origine g´eom´etrique. Selon Felix Klein (1849–1925), une g´eom´etrie est caract´eris´ee par l’ensemble T des transformations g´eom´etriques autoris´ees. En choisissant un syst`eme des coordonn´ees, on peut ´ecrire T sous une forme matricielle. Du point de vue dual, on peut consid´erer les quantit´es g´eom´etriques qui sont invariantes par rapport `a T. Voici trois exemples classiques : G´eom´etrie Transformations Groupes Invariants (en dimension n) g´eom´etriques matriciels g´eom´etriques Euclidienne isom´etries O(n) (+ translations) produit scalaire (x|y) (=⇒ distance, angle, volume) Affine σ ◦···◦σ GL(n) (+ translations) rapport CA 1 k CB σ projection parall`ele A,B,C align´es i Projective σ ◦···◦σ PGL(n+1) birapport CA·DB 1 k CB·DA σ projection centrale A,B,C,D align´es i On peut aussi associer une g´eom´etrie (et un groupe matriciel “classique”) `a une forme bilin´eaire ou hermitienne. Par exemple, le produit scalaire euclidien n X B(x,y)=(x|y)= x y (x,y ∈Rn) j j j=1 est invariant par rapport au groupe orthogonal O(n)={A∈GL (R)|(∀x,y ∈Rn) (Ax|Ay)=(x|y)}. n Plus g´en´eralement, si K est un corps et V un K-espace vectoriel, un “produit” B :V ×V −→K est invariant par rapport au groupe G={A∈GL(V)|(∀x,y ∈V) B(Ax,Ay)=B(x,y)}⊂GL(V). (cid:13)c Jan Nekov´aˇr 2008 1 Produit x,y ∈V B(x,y) G⊂GL(V) euclidien x,y ∈Rn Pn x y O(n)⊂GL (R) j=1 j j n B(y,x)=B(x,y) groupe orthogonal hermitien x,y ∈Cn Pn x y U(n)⊂GL (C) j=1 j j n B(y,x)=B(x,y) groupe unitaire symplectique x,y ∈K2n Pn (x y −x y ) Sp(2n,K)⊂GL (K) j=1 j n+j n+j j 2n B(y,x)=−B(x,y) groupe symplectique pseudoeuclidien x,y ∈Rp+q Pp x y −Pq x y O(p,q)⊂GL (R) j=1 j j k=1 p+k p+k p+q Le groupe symplectique Sp(2n,R) apparaˆıt naturellement dans l’´etude des sym´etries des ´equations fonda- mentales d’optique lin´eaire et de m´ecanique classique. Lag´eom´etrie“hyperbolique”associ´eeaugroupeO(p,1)et`alaformequadratiqueB(x,x)=x2+···x2−x2 1 p p+1 est li´ee `a la th´eorie de la relativit´e. Danslapartieg´eom´etriquedececoursonvaconcentrersurlesfondementsdelag´eom´etrieaffineetprojective. Dans la partie alg´ebrique on va´etudier les propri´et´es des produits bilin´eaires (ou hermitiens) et des groupes matriciels associ´es (en particulier, on va approfondir ce qu’on a fait dans le cours LM 223; voir [N]). La r´ef´erence principale pour la partie g´eom´etrique (resp. alg´ebrique) de ce cours est le livre [L] (resp. [P]). Le livre [B] est plutˆot destin´e aux amateurs de g´eom´etrie avanc´ee. 1. G´eom´etrie affine Notation : Fixons un corps K (commutatif). On dira souvent “espace vectoriel” au lieu de “K-espace vectoriel”. On repr´esente un ´el´ement x∈Kn comme un vecteur colonne x  1 . x= .. =t(x1,...,xn).   x n OnnoteM (K)l’ensembledesmatricesm×n`acoefficientsdansK. ToutematriceA∈M (K)d´efinit m,n m,n une application lin´eaire Kn −→Km, x7→Ax. Si m=n, on pose M (K)=M (K). n n,n 1.1 Espaces affines : exemples et d´efinitions Quelleestladiff´erenceentreunespaceaffineetunespacevectoriel? Unespaceaffineestunespace“lin´eaire” qui n’a aucun point distingu´e; par contre, l’origine~0 est un point distingu´e de tout espace vectoriel. (1.1.1) D´efinition na¨ıve. Soit V unespace vectoriel. Unsous-espace affine de V estuntranslat´e d’un sous-espace vectoriel, i.e. un sous-ensemble X =v+W :={v+w |w ∈W}⊂V, ou` v ∈V et W est un sous-espace vectoriel de V. 2 v + w X v w W 0 Pour tout x∈X, on a x−v ∈W, donc X =v+W =v+(x−v+W)=x+W; en particulier, v n’est pas unique (sauf si W ={~0} et X ={v}). Par contre, l’espace vectoriel W ={y−x|x,y ∈X} est d´etermin´e par X. (1.1.2) Exemple. Soient V =Kn, A∈M (K) et b∈Km. Si l’ensemble des solutions m,n X ={x∈Kn |Ax=b}⊂V du syst`eme lin´eaire non-homog`ene A x + ··· + A x = b 11 1 1n n 1 . . . . . . . . . A x + ··· + A x = b m1 1 mn n m n’est pas vide (i.e. si ∃v ∈X), alors X =v+W, ou` W ={w ∈Kn |Aw =0}⊂V est l’ensemble des solutions du syst`eme homog`ene associ´e A x + ··· + A x = 0 11 1 1n n . . . . . . . . . A x + ··· + A x = 0. m1 1 mn n (1.1.3) En g´en´eral, si X =v+W est un sous-espace affine de V, alors on a (∀x∈X)(∀w ∈W) x+w ∈X (∀x,y ∈X)(∃!w ∈W) x+w =y. Ces propri´et´es admettent une formulation intrins`eque (= ind´ependante de V); voir 1.1.5 ci-dessous. 3 (1.1.4) Rappel. Une action (ou une op´eration) d’un groupe G sur un ensemble Xest une application G×X −→X (g,x)7→g·x telle que g·(g0·x)=gg0·x (∀g,g0 ∈G)(∀x∈X) e·x=x (∀x∈X) (ou` e∈G est l’´el´ement neutre de G). g.(g’.x) g g.g’ g’.x g’ x Exemple : X = {1,...,n}, G = S le groupe sym´etrique (= le groupe des permutations de l’ensemble n {1,...,n}). L’orbite d’un ´el´ement x∈X est l’ensemble O(x)={g·x|g ∈G}⊂X. Le stabilisateur de x∈X est le groupe G ={g ∈G|g·x=x}⊂G. x Une formule utile : Si |G|<∞, alors on a |G|=|O(x)|·|G |. Par exemple, si X ={1,...,n}, G=S x n et x=n, alors on a O(x)=X et G =S , d’ou` |S |=n·|S | (donc |S |=n·(n−1)···2·1=n!, par x n−1 n n−1 n r´ecurrence). L’action est transitive si (∀x,y ∈X)(∃g ∈G) g·x=y (⇐⇒ (∀x∈X) O(x)=X ⇐⇒ (∃x∈X) O(x)=X); elle est libre si (∀x∈X) G ={e}. x En particulier, l’action est transitive et libre si (∀x,y ∈X)(∃!g ∈G) g·x=y. (1.1.5) D´efinition abstraite. Un espace affine est un ensemble X muni d’une action transitive et libre d’un espace vectoriel X~, i.e. on a une application “addition” X ×X~ −→X (x,~a)7→x+~a telle que 4 x+~0=x (∀x∈X) (x+~a)+~b=x+(~a+~b) (∀x∈X)(∀~a,~b∈X~) (∀x,y ∈X)(∃!~a∈X~) x+~a=y. z a + b b x a y Un ´el´ement de X (resp., de X~) est un point (resp., un vecteur). (1.1.6) Terminologie. On dit que “X est un espace affine de direction X~”. On note x~y le vecteur~a tel que x+~a = y (donc x+x~y = y and x~y +y~z = x~z). Moralement, on a x~y = y −x; cette notation sera justifi´ee en 1.2.14 ci-dessous. On d´efinit dim(X) = dim(X~) et on dit que X est un point (resp. une droite affine, resp. un plan affine) si dim(X)=0 (resp. dim(X)=1, resp. dim(X)=2). (1.1.7) Exemples : (i) Un espace vectoriel V a une structure naturelle d’un espace affine (avec V~ =V). (ii) Un sous-espace affine X =v+W d’un espace vectoriel est un espace affine (avec X~ =W et la somme x+~a calcul´ee dans V; en particulier, on a (∀x,y ∈X) x~y =y−x, ou` on calcule y−x dans V). −−−−→ (iii) Si X et Y est un espace affine, alors X×Y est aussi un espace affine (avec X×Y =X~ ×Y~). (1.1.8) On verra en 1.2.14 ci-dessous que tout espace affine X s’´ecrit naturellement comme un sous-espace affine d’un espace vectoriel Xb de dimension dim(Xb)=dim(X)+1. (1.1.9) Choix d’origine. Soit X un espace affine; fixons un point x∈X. L’application X −→X~, y 7→x~y est bijective (son inverse ´etant ~a 7→ x+~a), donc on peut munir X d’une structure d’espace vectoriel “par transport de structure”. L’espace vectoriel ainsi obtenu (le vectorialis´e de X en x) sera not´e X . Par x d´efinition, si y,z,t∈X, alors on a y+z =t dans X ⇐⇒ x~y+x~z =x~t. x En particulier, x est l’origine de X (comme x~x=~0). x z b a a + b t x a b y (1.1.10) Coordonn´ees cart´esiennes (= coordonn´ees “usuelles”). Fixons une “origine” x ∈ X et une base~e ,...,~e de X~ (ou` n=dim(X)); ceci nous permet d’identifier 1 n Kn ←→X~ X ←→X~ n X y 7→ x~y t(t ,...,t ) 7→ t~e . 1 n i i i=1 5 En particulier, le vecteur t(t ,...,t ) correspond au point 1 n n X y =x+ t~e ∈X. i i i=1 Les scalaires t ,...,t ∈ K sont les coordonn´ees cart´esiennes de y (par rapport au syst`eme des coor- 1 n donn´ees choisi). 1.2 Sous-espaces affines (1.2.1) D´efinition. Soit X un espace affine. Un sous-espace affine Y ⊂ X est un sous-ensemble qui s’´ecrit sous la forme Y =y+W ={y+~a|~a∈W}, ou` y ∈Y et W est un sous-espace vectoriel de X~. L’ensemble Y a une structure naturelle d’espace affine de direction Y~ =W et on a, pour tout point z ∈Y, z+W =(y+y~z)+W =y+(y~z+W)=y+W =Y. Si dim(Y) = dim(X)−1 < ∞ (resp., dim(Y) = 1), alors on dit que Y est un hyperplan (affine) (resp., une droite (affine)) dans X. Y y W 0 (1.2.2)D´efinition. SoientY,Z ⊂X dessous-espacesaffinesdeX. OnditqueY estfaiblementparall`ele `a Z si Y~ ⊂Z~. On dit que Y et Z sont parall`eles si Y~ =Z~ (notation : YkZ). (1.2.3) E´quation parametris´ee. Soit Y ⊂ X un sous-espace affine de dimension dim(Y) = m < ∞. Fixons un point y ∈Y et une base~a ,...,~a de Y~; alors on a 1 m Y ={y+t ~a +···+t ~a |t ∈K}. 1 1 m m i Par exemple, une droite affine s’´ecrit comme Y ={y+t~a|t∈K} (ou`~a6=~0). (1.2.4) Rappel. Si W ,W ⊂V sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel V, alors W ∩W et 1 2 1 2 6 W +W ={w +w |w ∈W , w ∈W } 1 2 1 2 1 1 2 2 sont aussi des sous-espaces vectoriels de V. Si dim(W )<∞ (i=1,2), alors i dim(W ∩W )+dim(W +W )=dim(W )+dim(W ). 1 2 1 2 1 2 Si W ∩ W = {~0}, alors tout ´el´ement w ∈ W + W admet une d´ecomposition unique w = w + w 1 2 1 2 1 2 (w ∈W ); on´ecrit W ⊕W =W +W dans ce cas. Si, de plus, W +W =V, on dit que W est W sont i i 1 2 1 2 1 2 1 2 suppl´ementaires. (1.2.5) Proposition (Intersection des sous-espaces affines). Soient Y =y+Y~, Z =z+Z~ des sous- espaces affines d’un espace affine X. (i) Si W :=Y ∩Z n’est pas vide, alors (∀w ∈W) W =w+(Y~ ∩Z~); en particulier, W est un sous-espace affine de X de direction W~ =Y~ ∩Z~. (ii) W n’est pas vide ⇐⇒ y~z ∈Y~ +Z~. Preuve. (i) Si w ∈W, alors Y =w+Y~ et Z =w+Z~, donc Y ∩Z =w+(Y~ ∩Z~). (ii) Un point w ∈X est contenu dans Y ∩Z ⇐⇒ (∃~a∈Y~)(∃~b∈Z~) w =y+~a=z+~b. On a y+~a=z+~b ⇐⇒ y+(~a−~b)=z ⇐⇒ y~z =~a−~b, donc w correspond `a une d´ecomposition y~z =~a−~b (~a∈Y~,~b∈Z~), ce qui est possible ⇐⇒ y~z ∈Y~ +Z~. (1.2.6) Corollaire. (i) Si Y~ +Z~ =X~, alors Y ∩Z 6=∅. (ii) Si Y~ ⊕Z~ =X~, alors Y ∩Z est un point. (iii) Si Y est faiblement parall`ele `a Z, alors soit Y ∩Z =∅, soit Y ⊂Z. (iv) Si Y et Z sont parall`eles, alors soit Y ∩Z =∅, soit Y =Z. (1.2.7) Corollaire. SoitY unsous-espaceaffined’unespaceaffineX. Sidim(Y)=metdim(X)=n<∞, alors il existe des hyperplans affines H ,...,H ⊂X tels que Y =H ∩···∩H . 1 n−m 1 n−m Preuve. On a Y = y + Y~; comme dim(Y~) = m ≤ n = dim(X~), il existe des hyperplans vectoriels W ,...,W ⊂X~ tels que Y~ =W ∩···∩W ; on pose H =y+W (i=1,...,n−m). 1 n−m 1 n−m i i (1.2.8) E´quations cart´esiennes. Sous les hypoth`eses de 1.2.7, fixons un point x ∈ X et une base de X~ (ce qui nous permet d’identifier X `a X~ et d’introduire les coordonn´ees cart´esiennes t ,...,t dans X~; voir 1 n 1.1.9). Un hyperplan vectoriel W ⊂X~ est donn´e par une ´equation n X c t =0, i i i=1 ou` c ,...,c ∈K et (∃i)c 6=0. Il en r´esulte que l’hyperplan affine H =v+W ⊂X~ est d´efini par l’´equation 1 n i n n n X X X c (t −t (v))=0 ⇐⇒ c t = c t (v) i i i i i i i i=1 i=1 i=1 (ou` t (v),...,t (v) sont les coordonn´ees du point v ∈X~). 1 n Par exemple, l’´equation de la droite affine ci-dessous 7 e 2 x e1 est ´egale `a t /2+t =1. 1 2 (1.2.9) Soit S un sous-ensemble non vide d’un espace affine X. L’espace affine engendr´e par S est d´efinit comme l’intersection de tous les sous-espaces affines de X contenant S; c’est bien un sous-espace affine de X, que l’on note aff(S). On dit que S est une partie g´en´eratrice de aff(S). Pour d´eterminer aff(S), fixons un point x∈S; alors on a −−−→ aff(S)=x+aff(S), ou` −−−→ aff(S)=vect(x~y |y ∈S) est le sous-espace vectoriel de X~ engendr´e par les vecteurs x~y (y ∈S). z y t x (1.2.10) Exemple : Si A,B ∈X (A6=B) sont deux points distincts d’un espace affine X, alors −−→ −−→ Y :=aff(A,B)={A+λAB =B+(1−λ)BA|λ∈K} −−→ est une droite affine de direction Y~ =K·AB. Soit C ∈Y un point de Y, C 6=B. A B C Fixons une base~e de Y~; alors on a −→ −−→ CA=s~e, CB =t~e (s∈K, t∈K−{0}, s6=t). D´efinition : On dit que C divise AB dans le rapport CA s α= := ∈K−{1} CB t 8 (ce qui ne d´epend pas du choix de~e). −−→ Par exemple, C =A ⇐⇒ α=0; C est au milieu de AB ⇐⇒ α=−1. En g´en´eral, si C =A+λAB (λ6=1), alors on a −→ −−→ −−→ −−→ λ α CA=−λAB, CB =(1−λ)AB =⇒ α= =⇒ λ= . λ−1 α−1 (1.2.11) Exemple : Si S ={x ,...,x }⊂X (n≥1), alors on a, pour tout i∈{0,...,n}, 0 n −−→ −−−−→ −−−−→ −−→ aff(x ,...,x )=x +vect(x x ,...,x x ,x x ,...,x x ). 0 n i i 0 i i−1 i i+1 i n x x 2 2 x x 1 1 x x 3 3 x x 0 0 En particulier, l’espace vectoriel −−−−−−−−−−→ −−→ −−−−→ −−−−→ −−→ vect(x x ,...,x x ,x x ,...,x x )=aff(x ,...,x ) i 0 i i−1 i i+1 i n 0 n ne d´epend pas de i. Un ´el´ement de aff(x ,...,x ) s’appelle une combinaison affine des points x ,...,x . Pour x ∈ X, 0 n 0 n on a n X −−→ x∈aff(x ,...,x ) ⇐⇒ (∃λ ,...,λ ∈K) x=x + λ x x . 0 n 1 n 0 i 0 i i=1 Si c’est le cas, alors on a n −−→ X −−→ x x= λ x x , 0 i 0 i i=1 ce qui entraˆıne que n n −→ −−→ X −→ −−→ X −→ (∀u∈X) ux=ux + λ (ux −ux )= λ ux , 0 i i 0 i i i=1 i=0 ou` on a pos´e λ =1−λ −···−λ , donc 0 1 n λ +λ +···+λ =1. 0 1 n Si l’on utilise cet ´ecriture, les rˆoles des points x sont sym´etriques; aucun parmi ces points n’est privilegi´e. i Si les points x sont “ind´ependants”, on appelle λ ,...,λ les coordonn´ees barycentriques de x; voir i 0 n 1.3.9 ci-dessous. Voici un exemple pour n=2 : x 2 L x0 M x1 9 Point λ λ λ 0 1 2 x 1 0 0 0 x 0 1 0 1 x 0 0 0 2 L 0 1 1 2 2 M 1 2 0 3 3 Notation : On va noter abusivement n X x= λ x i i i=0 le point n X −−→ x=x + λ x x . 0 i 0 i i=1 Cette notation est justifi´ee par l’´enonc´e suivant (et 1.2.14 ci-dessous). (1.2.12) Proposition. Supposons que X =v+W ⊂V est un sous-espace affine d’un espace vectoriel V. Alors on a, si x ,...,x ∈X et si λ ,...,λ ∈K, 0 n 1 n n n X −−→ X x + λ x x = λ x , 0 i 0 i i i i=1 i=0 ou` λ =1−λ −···−λ et la somme `a droite est calcul´ee dans V. En particulier, on a 0 1 n ( n n ) X X aff(x ,...,x )= λ x |λ ∈K, λ =1 . 0 n i i i i i=0 i=0 Preuve. Si x,y ∈X, on a x~y =y−x (ou` la diff´erence est calcul´ee dans V), donc n n n X −−→ X X x + λ x x =x + λ (x −x )=(1−λ −···−λ )x + λ x . 0 i 0 i 0 i i 0 1 n 0 i i i=1 i=1 i=1 (1.2.13) R´esum´e : Pour calculer la combinaison affine x=Pn λ x (ou` Pn λ =1), on peut utiliser i=0 i i i=0 i au moins deux m´ethodes : (i) Calculer dans X : choisissons un point u∈X; alors n X −→ x=u+ λ ux . i i i=0 (ii) Calculer dans un espace vectoriel V qui contient X comme un sous-espace affine : n X x= λ x . i i i=0 (1.2.14) Proposition (Prolongement vectoriel canonique Xb de X). Soit X un espace affine. Alors il existe un espace vectoriel Xb et une forme lin´eaire h : Xb −→ K tels que h−1(0) = X~, h−1(1) = X et tels 10