Algèbre Commutative Méthodes constructives Modules projectifs de type fini LOMBARDI Henri Maître de Conférences Université de Franche-Comté, Besançon [email protected] QUITTÉ Claude Maître de Conférences Université de Poitiers [email protected] Terminé en décembre 2008. Dernière mise à jour 22 août 2011 Table des matières Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Avant-Propos vii 1 Exemples Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Fibrés vectoriels sur une variété compacte lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Formes différentielles sur une variété affine lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Principe local-global de base et systèmes linéaires Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 Quelques faits concernant les localisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Principe local-global de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Anneaux et modules cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Systèmes fondamentaux d’idempotents orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Un peu d’algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Principe local-global de base pour les modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 La méthode des coefficients indéterminés Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1 Anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Lemme de Dedekind-Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 Un théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 L’algèbre de décomposition universelle (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5 Discriminant, diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6 Théorie de Galois de base (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.7 Le résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.8 Théorie algébrique des nombres, premiers pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.9 Le Nullstellensatz de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.10La méthode de Newton en algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4 Modules de présentation finie Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.1 Définition, changement de système générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.2 Idéaux de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.3 Catégorie des modules de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4 Propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5 Problèmes de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.6 Anneaux quasi intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 ii Table des matières 4.7 Anneaux de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.8 Anneaux zéro-dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.9 Idéaux de Fitting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.10Idéal résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5 Modules projectifs de type fini, 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.2 Sur les anneaux zéro-dimensionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.3 Modules stablement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.4 Constructions naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5 Théorème de structure locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.6 Modules localement monogènes projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.7 Déterminant, polynôme fondamental et polynôme rang . . . . . . . . . . . . . . 185 5.8 Propriétés de caractère fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6 Algèbres strictement finies et algèbres galoisiennes Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.1 Algèbres étales sur un corps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2 Théorie de Galois de base (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.3 Algèbres de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.4 Algèbres strictement finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.5 Formes linéaires dualisantes, algèbres strictement étales . . . . . . . . . . . . . . 224 6.6 Algèbres séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.7 Algèbres galoisiennes, théorie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7 La méthode dynamique Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 7.1 Le Nullstellensatz sans clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.2 La méthode dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.3 Introduction aux algèbres de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.4 L’algèbre de décomposition universelle (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 7.5 Corps de racines d’un polynôme sur un corps discret . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.6 Théorie de Galois d’un polynôme séparable sur un corps discret . . . . . . . . . 289 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 8 Modules plats Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 8.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 8.2 Modules plats de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 8.3 Idéaux principaux plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.4 Idéaux plats de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 8.5 Algèbres plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.6 Algèbres fidèlement plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Table des matières iii 9 Anneaux locaux, ou presque 9.1 Quelques définitions constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 9.2 Quatre lemmes importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 9.3 Localisation en 1+a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 9.4 Exemples d’anneaux locaux en géométrie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . 335 9.5 Anneaux décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 9.6 Anneau local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 10 Modules projectifs de type fini, 2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 10.1Les modules projectifs de type fini sont localement libres . . . . . . . . . . . . . 360 10.2L’anneau des rangs généralisés H (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 0 10.3Quelques applications du théorème de structure locale . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.4Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 10.5Groupes de Grothendieck et de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 10.6Identification de points sur la droite affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 11 Treillis distributifs, groupes réticulés 11.1Treillis distributifs et algèbres de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 11.2Groupes réticulés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 11.3Monoïdes à pgcd, anneaux à pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 11.4Treillis de Zariski d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 11.5Relations implicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 12 Anneaux de Prüfer et de Dedekind Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 12.1Anneaux arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 12.2Éléments entiers et localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 12.3Anneaux de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 12.4Anneaux de Prüfer cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 12.5Anneaux quasi intègres de dimension (cid:54) 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 12.6Anneaux de Prüfer cohérents de dimension (cid:54) 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 12.7Factorisation d’idéaux de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 13 Dimension de Krull Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 13.1Espaces spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 13.2Une définition constructive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 13.3Quelques propriétés élémentaires de la dimension de Krull . . . . . . . . . . . . . 513 13.4Extensions entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 13.5Dimension des anneaux géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 13.6Dimension de Krull des treillis distributifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 13.7Dimension des morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 13.8Dimension valuative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 13.9Lying over, Going up et Going down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 iv Table des matières Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 14 Nombre de générateurs d’un module Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 14.1Le théorème de Kronecker et le stable range de Bass . . . . . . . . . . . . . . . . 548 14.2Dimension de Heitmann et théorème de Bass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 14.3Supports et n-stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 14.4Manipulations élémentaires de colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 14.5Le splitting off de Serre et le théorème de Forster-Swan . . . . . . . . . . . . . . 562 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 15 Le principe local-global Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 15.1Monoïdes comaximaux, recouvrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 15.2Quelques principes local-globals concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 15.3Quelques principes local-globals abstraits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 15.4Recollement concret d’objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 15.5La machinerie locale-globale constructive de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 15.6Quotienter par tous les idéaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 15.7Localiser en tous les idéaux premiers minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 16 Modules projectifs étendus Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 16.1Modules étendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 16.2Anneaux seminormaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 16.3Recollement à la Quillen-Vaserstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 16.4Le théorème de Horrocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 16.5Solution de la conjecture de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 16.6Modules projectifs étendus depuis les anneaux arithmétiques . . . . . . . . . . . 622 Conclusion : quelques conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 17 Théorème de stabilité de Suslin Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 17.1Le groupe élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 17.2Le symbole de Mennicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 17.3Vecteurs unimodulaires polynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 17.4Principes local-globals de Suslin et Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 Table des matières v Annexe. Logique constructive Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 A.1 Objets de base, Ensembles, Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 A.2 Affirmer signifie prouver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 A.3 Connecteurs et quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 A.4 Calculs mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 A.5 Principes d’omniscience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 A.6 Principes problématiques ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 Tables des théorèmes 661 Bibliographie 669 Index des notations 679 Index des termes 685 Avant-Propos Quant à moi je proposerais de s’en tenir aux règles suivantes : 1. Ne jamais envisager que des objets susceptibles d’être définis en un nombre fini de mots; 2. Ne jamais perdre de vue que toute proposition sur l’infini doit être la traduction, l’énoncé abrégé de propositions sur le fini; 3. Éviter les classifications et les définitions non prédicatives. Henri Poincaré, dans La logique de l’infini (Revue de Métaphysique et de Morale 1909). Réédité dans Dernières pensées, Flammarion. Celivreestuncoursd’introductionàl’algèbrecommutativedebase,avecunaccentparticulier missurlesmodulesprojectifsdetypefini,quiconstituentlaversionalgébriquedesfibrésvectoriels en géométrie différentielle. Nous utilisons des méthodes constructives, avec lesquelles tous les théorèmes d’existence ont un contenu algorithmique explicite. Les mathématiques constructives peuvent être regardées comme la partie la plus théorique du calcul formel (computer algebra en anglais), qui s’occupe des mathématiques qui (cid:40)(cid:40) tournent sur ordinateur (cid:41)(cid:41). Notre cours se distingue cependant des cours de calcul formel usuels sous deux aspects essentiels. Tout d’abord nos algorithmes sont le plus souvent seulement implicites, sous-jacents à la preuve, et ne sont en aucune manière optimisés pour s’exécuter le plus rapidement possible, comme il est naturel lorsque l’on vise une implémentation efficace. Ensuite, notre approche théorique est entièrement constructive, alors que les cours de calcul formel usuels se préoccupent peu de cette question. La philosophie n’est donc pas ici, comme il est d’usage (cid:40)(cid:40) blanc ou noir, le bon chat est celui qui attrape la souris1 (cid:41)(cid:41); mais plutôt la suivante (cid:40)(cid:40) Le moyen fait partie de la recherche de la vérité, aussi bien que le résultat. Il faut que la recherche de la vérité soit elle-même vraie; la recherche vraie, c’est la vérité déployée, dont les membres épars se réunissent dans le résultat2 (cid:41)(cid:41) Nous sommes amenés à parler souvent des deux points de vue, classique et constructif, sur un même sujet. En particulier nous avons mis une étoile pour signaler les énoncés (théorèmes, lemmes ...) qui sont vrais en mathématiques classiques, mais dont nous ne donnons pas de preuve constructive, et qui souvent ne peuvent pas en avoir. Ces énoncés (cid:40)(cid:40) étoilés (cid:41)(cid:41) ne seront donc probablement jamais implémentés sur machine, mais ils sont bien souvent utiles comme guides pour l’intuition, et au moins pour faire le lien avec les exposés usuels écrits dans le style des mathématiques classiques. Pour ce qui concerne les définitions nous donnons généralement en premier une variante constructive, la lectrice3 voudra bien nous le pardonner, quitte à montrer en mathématiques clas- 1. Proverbe chinois. 2. Karl Marx, dans une lettre à un de ses amis, envoyée d’Alger où il était venu soigner ses poumons, cité par Georges Perec dans Les Choses. 3. La personne qui lit ce livre subit la règle inexorable de l’alternance des sexes. Espérons que les lecteurs n’en seront pas plus affectés que les lectrices. En tout cas, cela nous économisera bien des (cid:40)(cid:40) ou (cid:41)(cid:41) et bien des (cid:40)(cid:40) (e) (cid:41)(cid:41). viii Avant-Propos siques l’équivalence avec la définition usuelle. Le lecteur constatera que dans les démonstrations (cid:40)(cid:40) étoilées (cid:41)(cid:41) nous utilisons librement le lemme de Zorn et le principe du tiers exclu, tandis que les autres preuves ont toujours une traduction directe sous forme d’algorithme. L’algèbre constructive est en fait une vieille discipline, développée en particulier par Gauss et Kronecker. Nous nous situons dans la lignée de la (cid:40)(cid:40) bible (cid:41)(cid:41) moderne sur le sujet qui est le livre A Course in Constructive Algebra de Ray Mines, Fred Richman et Wim Ruitenburg, paru en 1988. Nous le citerons sous forme abrégée [MRR]. Notre ouvrage est cependant autocontenu et nous ne le réclamons pas comme prérequis. Les livres de Harold M. Edwards de mathématiques constructives [Edwards89, Edwards05] sont aussi à recommander. L’ouvrage correspond à un niveau de Master 2, du moins jusqu’au chapitre 14, mais la lectrice est seulement supposée connaître les notions de base concernant la théorie des groupes, l’algèbre linéaire sur les corps, les déterminants, les modules sur les anneaux commutatifs, ainsi que la définition des anneaux quotients et localisés. Une familiarité avec les anneaux de polynômes, les propriétés arithmétiques de Z et des anneaux euclidiens est également souhaitable. Le contenu de l’ouvrage Nous commençons par un bref commentaire sur les choix qui ont été faits concernant les thèmes traités. La théorie des modules projectifs de type fini est un des thèmes unificateurs de l’ouvrage. Nous voyons cette théorie sous forme abstraite comme une théorie algébrique des fibrés vectoriels, et sous forme concrète comme celle des matrices idempotentes. La comparaison des deux points de vue est esquissée dans le chapitre introductif. La théorie des modules projectifs de type fini proprement dite est traitée dans les chapitres 5 (premières propriétés), 6 (algèbres qui sont des modules projectifs de type fini), 10 (théorie du rang et exemples), 14 (splitting off de Serre) et 16 (modules projectifs de type fini étendus). Un autre thème unificateur est fourni par les principes local-globals, comme dans [Kunz] par exemple. Il s’agit d’un cadre conceptuel très efficace, même s’il est un peu vague. D’un point de vue constructif on remplace la localisation en un idéal premier arbitraire par un nombre fini de localisations en des monoïdes comaximaux. Les notions qui respectent le principe local-global sont (cid:40)(cid:40) de bonnes notions (cid:41)(cid:41) en ce sens qu’elles sont mûres pour le passage des anneaux commutatifs aux schémas de Grothendieck, que nous ne pourrons malheureusement pas aborder dans l’espace restreint de cet ouvrage. Enfin un dernier thème récurrent est donné par la méthode, tout à fait familière en calcul formel, dite de l’évaluation paresseuse, ou dans sa forme la plus aboutie évaluation dynamique. Cette méthode est indispensable lorsque l’on veut mettre en place un traitement algorithmique des questions qui requièrent a priori la solution d’un problème de factorisation. Cette méthode a également permis la mise au point des machineries constructives locales-globales que l’on trouve dans les chapitres 4 et 15, ainsi que celle de la théorie constructive de la dimension de Krull (chapitre 13), avec d’importantes applications dans les derniers chapitres. Nous passons maintenant à une description plus détaillée du contenu de l’ouvrage. Dans le chapitre 1 nous expliquons les liens étroits que l’on peut établir entre les notions de fibrés vectoriels en géométrie différentielle et de module projectif de type fini en algèbre commutative. Ceci fait partie du processus général d’algébrisation en mathématiques, processus quipermetsouventdesimplifier,d’abstraireetdegénéraliserdemanièresurprenantedesconcepts provenant de théories particulières. Le chapitre 2 est consacré aux systèmes linéaires sur un anneau commutatif, traités sous forme élémentaire. Il ne requiert presqu’aucun appareillage théorique, mis à part la question de la localisation en un monoïde, dont nous donnons un rappel dans la section 2.1. Nous entrons ensuite dans notre sujet en mettant en place le principe local-global concret pour la résolution des systèmes linéaires (section 2.2), un outil simple et efficace qui sera repris et diversifié sans cesse. D’un point de vue constructif la résolution des systèmes linéaires fait immédiatement