ALGEBRAS OF COMPLETE HÖRMANDER VECTOR FIELDS, AND LIE-GROUP CONSTRUCTION ALGEBRE DI CAMPI VETTORIALI COMPLETI DI HÖRMANDER, E LA COSTRUZIONE DI GRUPPI DI LIE ANDREA BONFIGLIOLI Abstract. The aim of this note is to characterize the Lie algebras g of the analytic vector fields in RN which coincide with the Lie algebras of the (analytic) Lie groups defined on RN (with its usual differentiable structure). We show that such a charac- terization amounts to asking that: (i) g is N-dimensional; (ii) g admits a set of Lie generators which are complete vector fields; (iii) g satisfies Hörmander’s rank condition. These conditions are necessary, sufficient and mutually independent. Our approach is constructive, in that for any such g we show how to construct a Lie group G = (RN,∗) whose Lie algebra is g. We do not make use of Lie’s Third Theorem, but we only exploit the Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin Theorem for ODE’s. Sunto. LoscopodiquestanotaèdicaratterizzarelealgebrediLiegdicampivettoriali analitici in RN che coincidono con le algebre di Lie dei gruppi di Lie (analitici) definiti su RN (con la consueta struttura differenziabile). Mostriamo che tale caratterizzazione equivale a chiedere che: (i) g è N-dimensionale; (ii) g ammette un set di Lie-generatori che sono campi vettoriali completi; (iii) g soddisfa la condizione del rango di Hörman- der. Queste condizioni sono necessarie, sufficienti e indipendenti. Il nostro approccio è costruttivo: per tali g mostriamo come costruire un gruppo di Lie G = (RN,∗) la cui algebra di Lie è g. Non facciamo uso del Terzo Teorema di Lie, bensì solo del Teorema di Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin per EDO. 2010 MSC. Primary: 34A12, 17B66, 49J15; Secondary: 22E60, 34H05. Keywords. Hörmandervectorfields;Campbell-Baker-Hausdorff-DynkinTheorem;Third Theorem of Lie; Carnot-Carathéodory metric; Completeness of vector fields. Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar, Vol. 1 (2014) pp. 15–30 Dipartimento di Matematica, Università di Bologna ISSN 2240-2829. 15 16 ANDREA BONFIGLIOLI 1. Introduzione e risultati principali I risultati di seguito esposti sono stati ottenuti in collaborazione con il dott. Stefano Biagi. È ben noto che la completezza di un campo vettoriale X appartenente all’algebra di Lie di un gruppo di Lie G è una conseguenza della sua invarianza a sinistra, vale a dire dell’identità (1) X(τ (y)) = J (y)X(y), ∀ x,y ∈ G. x τx Qui τ denota la traslazione a sinistra di ampiezza x su G e J la sua matrice Jacobiana. x τx Inoltre, diciamocheuncampovettoriale(possibilmentedipendentedaltempo)ècompleto se tutte le sue curve integrali massimali sono definite su R. Una prova di questo fatto è ad esempio la seguente: Basta considerare la curva integrale γ(t) di X ∈ Lie(G) uscente dall’elemento neutro e ∈ G. Sia ε > 0 tale che [−ε,ε] è contenuto nel dominio di γ. Poniamo y := γ(ε) e consideriamo µ(t) := y ∗γ(t). Grazie a (1), si vede facilmente che µ è curva integrale di X uscente da y e definita su [0,ε]. Poiché γ(ε) = µ(0), è possibile incollare le curve γ : [−ε,ε] → RN e µ : [0,ε] → RN; quindi γ si prolunga ad una curvaintegralediX uscentedaeedefinitasu[−ε,2ε]. Siprocedeperinduzione. L’identità (1) afferma che X è τ -correlato a sé stesso, per ogni x ∈ G. x L’obiettivo di questa nota è quello di ottenere una condizione sufficiente, che generalizza l’essere “τ -correlato a sé stesso”, che assicuri che un campo vettoriale X è completo. x Più in generale, ci occupiamo di campi vettoriali dipendenti dal tempo della forma seguente a (t)X (x)+···+a (t)X (x), 1 1 n n dove X ,...,X sono campi vettoriali localmente Lipschitziani in RN e a ,...,a sono 1 n 1 n funzioni continue su R. Precisamente, si dimostra il seguente Teorema 1.1. Qui e nel seguito, data una funzione differenziabile f : Ω → RN definita su un insieme aperto Ω ⊆ RN, indichiamo indifferentemente con J (x) e ∂f(x) la matrice Jacobiana di f in F ∂x ALGEBRE DI CAMPI VETTORIALI COMPLETI DI HÖRMANDER 17 x ∈ Ω. Inoltre, se X = (cid:80)N a ∂/∂x è un campo vettoriale su RN (pensato come j=1 j j un operatore differenziale di ordine uno su RN), identificheremo X(x) con la funzione (a (x),...,a (x))T, scritta (per scopi di calcolo matriciale) come matrice colonna N ×1 1 N (come in (1), o in (3) di seguito). Il nostro risultato principale di EDO è il seguente: Theorem 1.1. Siano X ,...,X campi vettoriali localmente Lipschitziani in RN sod- 1 n disfacenti la seguente ipotesi: esistono un intorno aperto U di 0 ∈ RN e una funzione m : RN ×U −→ RN di classe C1 tali che (2) m(x,0) = x per ogni x ∈ RN, e tali che, per ogni j = 1,...,n, ∂m (3) X (m(x,y)) = (x,y)·X (y) per ogni x ∈ RN e ogni y ∈ U. j j ∂y Infine siano a ,...,a ∈ C(R,R). Allora, per ogni fissato ξ ∈ RN e t ∈ R, la soluzione 1 n 0 massimale γ(t) del problema di Cauchy  n  (cid:88)  γ˙(t) = a (t)X (γ(t))  j j (4) j=1    γ(t ) = ξ, 0 è definita su tutto R, cioè il campo vettoriale dipendente dal tempo (cid:80)n a (t)X (x) è j=1 j j completo. La prova di questo teorema verrà fornita nella Sezione 2. Remark 1.1. La scelta di 0 in (2) è irrilevante: può essere sostituito da qualsiasi punto di RN. Chiaramente, l’ipotesi (3) generalizza la proprietà di invarianza a sinistra in (1) se si prende m(x,y) := τ (y) (che soddisfa (2), sostituendo 0 con l’elemento neutro di G). x Naturalmente è d’interesse stabilire se e quando, dati campi vettoriali X ,...,X , una 1 n siffatta mappa m può essere costruita. Descriviamo ora un contesto geometrico/analitico in cui è possibile costruire una tale mappa. Ci poniamo infatti il seguente problema, [4, 7, 8, 9]: 18 ANDREA BONFIGLIOLI (P): Data una sottoalgebra g dei campi vettoriali analitici su RN, stabilire se g coincide con l’algebra di Lie, Lie(G), di un gruppo di Lie analitico G la cui varietà sottostante è l’intero spazio RN (con la consueta struttura di varietà differenzia- bile). La risposta al problema (P) è data dalle condizioni (C), (H), (ND) contenute nella seguente: Definition 1.1. Data un’algebra di Lie g di campi vettoriali lisci in RN, diciamo che g soddisfa l’ipotesi (C): se ogni elemento X ∈ g è un campo vettoriale completo; g soddisfa l’ipotesi (H): se è verificata la condizione del rango di Hörmander, ossia (5) dim (cid:0){X(x) ∈ RN : X ∈ g}(cid:1) = N, per ogni x ∈ RN. R g soddisfa l’ipotesi (ND): se la dimensione di g è uguale a N, come sottospazio vettoriale dei campi vettoriali lisci in RN. Che le condizioni (C), (H), (ND) siano necessarie a risolvere (P) è semplice da verifi- care, [10]. Utilizzando alcuni risultati notevoli di Palais1 [19] nonché il Terzo Teorema Fondamentale di Lie, si può dimostrare, con tecniche di Teoria del Controllo (e un’analisi dettagliata della topologia delle orbite dei campi di g), che se g soddisfa (C), (H) e (ND), allora il problema (P) ha una soluzione. In [2] dimostriamo questo risultato con tecniche molto più dirette ed elementari, come ora descriviamo brevemente. La novità del nostro approccio risiede nel mostrare che il Terzo Teorema di Lie e le tecniche di Palais possono essere sostituite da un uso congiunto del nostro Teorema 1.1 di globalità (per EDO), e del Teorema di Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin.2 1Abbiamo recentemente riottenuto (cfr.[11]) il risultato di Palais, sotto ipotesi ancora più generali, usando le tecniche di Montanari e Morbidelli in [15, 16], mediante uno studio delle associate metriche di controllo, come in [18], e delle mappe quasi-esponenziali, anzichè le tecniche topologiche e di Geometria Differenziale in [19]. 2Seguiamo la denominazione nella recente monografia [6]. ALGEBRE DI CAMPI VETTORIALI COMPLETI DI HÖRMANDER 19 Inoltre, forniamo alcuni chiarimenti sulla specificità del problema (P): in (P), con il simbolo Lie(G) (tra le diverse definizioni di algebra di Lie di un gruppo di Lie) si intende l’algebra di Lie dei campi vettoriali invarianti a sinistra associati a G, dove, per campo vettoriale X si intende un operatore differenziale del primo ordine in RN, scritto nella forma coordinata standard X = (cid:80)N α (x)∂/∂x dove α (x),...,α (x) sono funzioni j=1 j j 1 N analitiche su RN a valori reali. Pertanto, al fine di risolvere il problema (P), non ci accon- tentiamo di un qualche gruppo di Lie la cui algebra di Lie sia isomorfa a g, ma vogliamo dotare lo spazio N-dimensionale RN di una struttura di gruppo di Lie (compatibile con la consueta struttura differenziabile di RN) tale che Lie(G) (nel senso di cui sopra) è uguale a g (che è un’algebra di campi vettoriali). Abbiamo quindi il seguente risultato: Theorem 1.2. Sia g un’algebra di Lie di campi vettoriali analitici su RN. Allora, un insieme di condizioni necessarie e sufficienti, mutuamente indipendenti, affinché il prob- lema (P) sia risolubile è la validità congiunta per g delle ipotesi (C), (H), (ND) nella Definizione 1.1. Inoltre, dato x ∈ RN, esiste uno ed un solo gruppo G che risolve (P) la cui identità è 0 x . 0 Il fatto che esistono algebre di Lie g soddisfacenti due sole tra le ipotesi (C), (H), (ND) (da cui l’indipendenza di queste condizioni) è facile da mostrare: 1. ((H)+(ND)=⇒(C)): Se X = (1+x2) ∂ su R, si ha che g := span {X} soddisfa 1 ∂x1 R (H) e (ND), ma viola (C). 2. ((C)+(ND)=⇒(H)): Se X = x ∂ in R, si ha che g := span {X} soddisfa (C) e 1 ∂x1 R (ND), ma viola (H) ((5) è falsa in x = 0, N = 1). 1 3. ((C)+(H)=⇒(ND)): Se X = x ∂ e Y = ∂ in R, si ha g := Lie{X,Y} = 1 ∂x1 ∂x1 span{X,Y}, e quindi g soddisfa (C) e (H), ma viola (ND) giacché dim (g) = 2 (cid:54)= R 1. Inoltre g può verificare (C) e (H) senza essere finito-dimensionale, come per g := Lie{ ∂ , 1 ∂ }. ∂x1 1+x21 ∂x2 Ilproblema(P)èstatoprecedentementestudiatoin[8]: intalearticolo, oltrealleipotesi (C), (H), (ND), si assume una ipotesi di prolungamento del gruppo di Lie locale associato 20 ANDREA BONFIGLIOLI a g. Nella presente nota (i dettagli si trovano in [2]) si dimostra che questa ipotesi è automaticamente garantita dalla validità di (C), (H), (ND). Descriviamo ora brevemente la costruzione del gruppo di Lie locale che possiamo as- sociare a g nel Teorema 1.2, e mostriamo come il Teorema 1.1 viene sfruttato per la globalizzazione di questo gruppo di Lie locale. L’esistenza di un gruppo di Lie locale asso- ciatoaalgebrediLiedidimensionefinitadicampivettoriali(“trasformazioniinfinitesime”, come venivano chiamate agli albori della teoria dei gruppi di Lie) risale agli inizi della teoria dei gruppi di trasformazioni di Lie (cfr.ad esempio, [20]). Rispetto alle prime fasi di questa teoria, quando il Teorema di Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin non era stato completamente chiarito, avremo modo di sfruttare appieno quest’ultimo potente teorema. Per descrivere la nostra costruzione, fissiamo alcune notazioni. D’ora in poi, supponi- amo che g sia un’algebra di Lie di campi vettoriali analitici su RN soddisfacente le ipotesi (C), (H), (ND) in Definizione 1.1. Dato un campo vettoriale liscio X su RN e x ∈ RN, il problema di Cauchy γ˙(t) = X(γ(t)), γ(0) = x ha una unica soluzione t (cid:55)→ γ(t,x,X), che indichiamo con exp(tX)(x), definita su un opportunointervalloreale. SeX èfissato, conlanotazioneexp(X)(x)intenderemosempre (cid:12) tacitamente exp(tX)(x)(cid:12) , a condizione che ciò sia ben definito. Quando la condizione t=1 (C) è soddisfatta e X ∈ g, è ben posta la mappa (6) Exp : g −→ RN, Exp(X) := exp(X)(0). Osserviamo che Exp(0) = 0. Poiché g è composta da campi vettoriali analitici, da risultati generali di teoria delle EDO, sappiamo che Exp : g −→ RN è reale analitica.3 Inoltre, non è difficile vedere che il differenziale di questa mappa in 0 ∈ g è non singolare; quindi possiamo trovare un intorno aperto U dell’origine in g e un intorno U dell’origine in RN tale che Exp| è un diffeomorfismo analitico di U su U, con mappa inversa indicata con U 3Qui e altrove dotiamo g della sua struttura differenziabile standard di spazio vettoriale finito- dimensionale. ALGEBRE DI CAMPI VETTORIALI COMPLETI DI HÖRMANDER 21 Log : U → U. Siamo pronti a introdurre la seguente funzione: (7) m : RN ×U −→ RN m(x,y) := exp(cid:0)Log(y)(cid:1)(x), che è ben posta a causa della assunzione di completezza (C) su g. Ponendo x∗y := m(x,y) (con x ∈ RN e y ∈ U), il Teorema di Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin ci permette di dimostrare che (RN,∗) è ungruppo di Lie locale conelementoneutro0(dacui(2)èsoddisfatta),conunaoperazione di inversione locale data da x−1 := Exp(−Log(x)) (per x ∈ U), e con l’algebra di Lie uguale a g: temporaneamente (finché sappiamo che questo gruppo è solo locale), quest’ultimo fatto significa che ∂m (8) X(m(x,y)) = (x,y)X(y) per ogni X ∈ g, x ∈ RN e y ∈ U. ∂y Questa è esattamente l’identità (3). Data la sua centralità, riportiamo una traccia di questi fatti (una conseguenza del Teorema CBHD!) nella Sezione 2. È dunque grazie al Teorema di Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin che rius- ciamo a costruire una mappa locale m(x,y) che soddisfa la proprietà di (quasi-)invarianza (8), che, grazie al Teorema 1.1 di globalizzazione, ci permetterà di ottenere un gruppo globale a partire dal gruppo locale. Ilpuntocrucialeèquindidimostrarechelamappamdicuisoprapuòessereanaliticamente estesa a tutto RN × RN. La prova di questo fatto è il cuore della nostra tesi, e si basa fondamentalmente sul seguente Corollario 1.1 (conseguenza del Teorema 1.1). Corollary 1.1. Sia g un’algebra di Lie di campi vettoriali analitici su RN soddisfacenti (C), (H), (ND) in Definizione 1.1. Siano poi X ,...,X ∈ g e a ,...,a ∈ C(R,R). 1 n 1 n Allora, per ogni ξ ∈ RN la soluzione massimale γ(t) del problema di Cauchy   γ˙(t) = (cid:80)n a (t)X (γ(t)) (9) j=1 j j  γ(0) = ξ, è definita su tutto R. 22 ANDREA BONFIGLIOLI Proof. Se m : RN × U → RN è come in (7), essa soddisfa (2) (ovviamente) e anche (3) (che è l’identità (8)). Si può quindi applicare il Teorema 1.1 di completezza. (cid:3) L’estendibilità di m è ottenuta dal Corollario 1.1 come segue. Con un calcolo diretto (reso possibile da (8) e, soprattutto, dalla condizione del rango di Hörmander (H)), siamo in grado di dimostrare che, fissati arbitrariamente x,y ∈ RN, la curva t (cid:55)→ γ (t) := m(x,ty) x,y (che è a priori definita solo per piccoli t dipendenti da y) è una soluzione di un problema di Cauchy di tipo (9). L’argomento è il seguente: Innanzitutto si ha γ (0) = m(x,0) = x (si veda (2)); inoltre, per definizione si x,y ha (cid:18) (cid:19) d ∂m γ (t) = (x,ty) y. x,y dt ∂y Iltruccoèscrivereyinterminidicampivettorialiing,permezzodellacondizione di Hörmander (H), ed usare quindi (8). Infatti, grazie alla condizione (H) è possibile ottenere una base {J ,...,J } di g tale che J(z) := (J (z)···J (z)) 1 N 1 N è non-singolare per ciascuno z ∈ RN. Per ogni t ∈ R, scriviamo (cid:0) (cid:1)−1 (10) y = J(ty)α(t,y), dove α(t,y) := J(ty) y. Si ha dunque (almeno per quei t tali che ty ∈ U) d (10) ∂m ∂m (cid:16) (cid:17) γ (t) = (x,ty)J(ty)α(t,y) = (x,ty) J (ty) ···J (ty) α(t,y) x,y 1 N dt ∂y ∂y (cid:18) (cid:19) ∂m ∂m = (x,ty)J (ty) ··· (x,ty)J (ty) α(t,y) 1 N ∂y ∂y N (8) (cid:16) (cid:17) (cid:88) = J (m(x,ty)) ···J (m(x,ty)) α(t,y) = α (t,y)J (γ (t)). 1 N j j x,y j=1 Questo è il cuore del nostro argomento, e la motivazione per il nostro interesse verso risultati di completezza come il Teorema 1.1. Il Corollario 1.1 garantisce infatti l’esistenza di γ (t) per ogni tempo, e possiamo definire una funzione x,y RN ×RN (cid:51) (x,y) (cid:55)→ m(x,y) := γ (1) ∈ RN, (cid:101) x,y ALGEBRE DI CAMPI VETTORIALI COMPLETI DI HÖRMANDER 23 che prolunga analiticamente m ed eredita da m tutte le proprietà di gruppo locale; queste proprietà locali possono essere trasformate (mediante Unique Continuation) in proprietà globali, poiché m è ovunque reale analitica. Per quanto riguarda l’esistenza di una legge (cid:101) di inversione globale e analitica, possiamo sfruttare semplici argomenti topologici e il Teorema delle Funzioni Implicite. Da questi ultimi argomenti, segue il Teorema 1.2 (con x = 0). Il caso di x (cid:54)= 0 non è difficile da trattare. 0 0 Remark 1.2. Prendendo in considerazione la letteratura esistente, si osserva che ques- tioni relative al prolungamento della operazione di Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin su algebre di Lie finito-dimensionali f sono state studiate da Eggert in [13]. Eggert dimostra che l’operazione locale su f definita dalla ‘serie di Campbell-Hausdorff’ X (cid:5)Y := X +Y + 1[X,Y]+ 1 ([[X,Y],Y]+[[Y,X],X])+··· 2 12 puòessereestesaatuttof×fseesoloseilgruppodiLieconnessoesemplicementeconnesso associato a f dal Terzo Teorema di Lie è globalmente isomorfo a f tramite la mappa esponenziale. Purtroppo, non ci è permesso utilizzare questo risultato, dal momento che l’estendibilità della moltiplicazione (cid:5) su f è solo sufficiente, ma non necessaria, per l’estendibilità di m. Per questo scopo, diamo l’esempio seguente, per il quale il nostro risultato è valido ma l’estendibilità ottenuta in [13] non sussiste. Example 1.1. Consideriamo su R3 i campi vettoriali X = ∂ , X = cosx ∂ +sinx ∂ . 1 x1 2 1 x2 1 x3 È facile vedere che g := Lie{X ,X } è 3-dimensionale (da cui (ND) è soddisfatta) e 1 2 soddisfa anche le ipotesi (C) (qualsiasi campo vettoriale in g ha coefficienti limitati) e (H) (come è facilmente visibile). La mappa Exp (nel senso di (6)) è data da (cid:0) (cid:1) Exp ξ X +ξ X +ξ [X ,X ] 1 1 2 2 3 1 2 (cid:18) (cid:19) sinξ cosξ −1 cosξ −1 sinξ 1 1 1 1 = ξ ,ξ +ξ ,−ξ +ξ . 1 2 3 2 3 ξ ξ ξ ξ 1 1 1 1 24 ANDREA BONFIGLIOLI Osserviamo che Exp non è iniettiva né suriettiva. Dopocalcolinoiosi,èpossibileverificare che la relativa mappa m(x,y) in (7) è uguale a (cid:16) (cid:17) m(x,y) = x +y , x +y cosx −y sinx , x +y sinx +y cosx =: x∗y. 1 1 2 2 1 3 1 3 2 1 3 1 In questo esempio l’estendibilità dell’operazione di Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin su g non può essere realizzata, come il risultato in [13] mostra (infatti Exp non è un diffeo- morfismo); tuttavia l’estendibilità analitica di m è vera, come prova il nostro Teorema 1.2. Osserviamo che l’operatore P = X2 + X è stato introdotto da Mumford in [17], rel- 1 2 ativamente ad applicazioni alla computer vision. Per mezzo del nostro Teorema 1.2, ne consegue che P è invariante su G = (R3,∗), con ∗ come sopra. Descriviamo ora alcune ulteriori applicazioni dei Teoremi 1.1 e 1.2. Sia {X ,...,X } 1 n un insieme di campi vettoriali analitici su RN tale che g := Lie{X ,...,X } soddisfi le 1 n ipotesi (C), (H), (ND) in Definizione 1.1. Allora: (1) Sia p(z ,...,z ) un polinomio reale in n indeterminate z ,...,z non commuta- 1 n 1 n tive, e consideriamo l’operatore P = p(X ,...,X ) in RN. Allora P è invariante rispetto 1 n al gruppo di Lie G = (RN,∗) costruito nel Teorema 1.2. Per alcuni esempi di applicazioni alle EDP, si segnalano i recenti lavori [8, 12]. Altri esempi (di rilievo anche in ambito ap- plicato) a cui il Teorema 1.2 è applicabile sono: Operatori di Kolmogorov-Fokker-Planck in [5, 8]; operatori degeneri di tipo Ornstein-Uhlenbeck in [9]; operatori omogenei (cioè, che ammettono dilatazioni) in [4, 7]. (2) In [2] vengono date applicazioni dei Teoremi 1.1 e 1.2 alla Teoria del Controllo, relativamente al contesto sub-ellittico delle distanze di Carnot-Carathéodory associate a famiglie X = {X ,...,X } di campi vettoriali che soddisfano le nostre ipotesi di struttura 1 n (C), (H), (ND). Si hanno infatti i seguenti risultati: (2.a) Le palle della distanza di Carnot-Carathéodory d sono sottoinsiemi limitati di X RN (con la consueta struttura metrica euclidea). (2.b) Per ogni coppia x,y ∈ RN esiste una X-geodetica che collega x e y, cioè, una curva X-subunitaria γ : [0,T] → RN tale che γ(0) = x, γ(T) = y e T = d (x,y). X