UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Tesis de licenciatura ´ ´ ´ ALGEBRAS FACIALES Y BIALGEBRAS DEBILES Agust´ın Garc´ıa Iglesias Director: Dr. Nicol´as Andruskiewitsch 2006 1 ´ Indice ´Indice 2 1. Introducci´on. 3 2. Grupos y semigrupos cu´anticos 6 ´ 2.1. Algebras faciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ´ 2.2. Algebras faciales CQT cerradizas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Doble producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4. La clausura de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5. La estructura trenzada en Hc(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6. Funcionales de Drinfeld y la ant´ıpoda de Hc(H) . . . . . . . . . . . . 46 2.7. La localizaci´on H[G 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 − 2.8. Prueba del Teorema 2.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3. Bi´algebras d´ebiles 69 ´ 3.1. Algebras separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2. Grupoides cu´anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 ´ 3.3. Algebras faciales y bi´algebras d´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4. Disquisiciones categ´oricas 90 4.1. Categor´ıas monoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 ´ 4.2. Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5. Cambio de base Morita en grupoides cu´anticos 96 5.1. bi´algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B × − 5.2. ´algebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 R × − 5.3. Bi´algebras d´ebiles y bi´algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 R × − 5.4. Equivalencias Morita y √Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.5. Un principio para el cambio de base √Morita . . . . . . . . . . . . . 110 5.6. Cambio de base Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Referencias 114 2 1. Introducci´on. Este trabajo est´a dividido en dos partes, una primera, en la que desarrollamos un trabajo de T. Hayashi [14], en el que se introduce el concepto de ´algebra facial (face algebra) y se realiza una versi´on “facial” de la bi´algebra FRT A asociada R a una soluci´on constante R de la ecuaci´on de Yang-Baxter, y donde tambi´en se construye un funtor Hc, llamado la clausura de Hopf, que env´ıa esta bi´algebra al ´algebra de Hopf H asociada a esta soluci´on, introducida en [10] por L. Fadeev, L. R TakhtadzhyanyN.ReshetikinbajociertasrestriccionesparaR.Enlasegundaparte, luego de comprobar que el concepto de ´algebra facial est´a unido a otros existentes en la literatura como los de bi´algebra d´ebil y bi´algebra, por ser unos casos par- R × − ticulares o generalizaciones de otros, escribimos un resultado de P. Schauenburg [26] que presenta una equivalencia monoidal entre las categor´ıas de bim´odulos de ´alge- bras Morita equivalentes, lo que finalmente determina una propiedad de suficiencia entre las ´algebras faciales en el estudio de las categor´ıas de m´odulos sobre bi´algebras d´ebiles. La secci´on 2, en la que se desarrolla el paper “Quantum groups and quantum semi- groups” de Hayashi [14] est´a organizada como el trabajo citado. En la secci´on 2.1 damos los conceptos y resultados b´asicos de ´algebras faciales y, entre estos, la noci´on de s-pareo inversible (invertible skew pairing), que juega un papel importante en el paper. En la secci´on 2.2, introducimos la noci´on de bi´algebra (o ´algebra facial) co- quasitriangularcerradiza(CCQT),quepuedeservistacomoelpasointermedioentre una bi´algebra CQT y un ´algebra de Hopf CQT. Una bi´algebra CQT es cerradiza si tanto su trenza y su inversa R 1 son inversibles en el ´algebra dual (H Hcop) . ± ∗ ⊗ Mostramos que H es cerradiza si y s´olo si existe un mapa f : H K de bi´algebras → CQT tal que K tiene una ant´ıpoda. En la secci´on 2.3, damos una versi´on facial del doble producto cruz asociado con s-pareos inversibles, el cual usamos para construir la clausura de Hopf. En la secci´on 2.4 definimos la clausura de Hopf Hc(H) para cada ´algebra facial CCQT H y sentamos alguno de los resultados principales del paper. En la secci´on 2.5 construimos la trenza de Hc(H). En la secci´on 2.6, general- izamos resultados de Drinfeld [7] en ´algebras de Hopf CQT sin asumir la existencia de la ant´ıpoda. Usando esto y desarrollando una idea de Reshetikhin, mostramos la existencia de la ant´ıpoda en las clausuras de Hopf. En la secci´on 2.7 discutimos la relaci´on entre Hc(H) y la localizaci´on H[G 1]. En la secci´on 2.8 damos algunas rela- − ciones entre los elementos group-like y los s-pareos inversibles y construimos H[G 1] − para ´algebras faciales H. En la secci´on 3, luego de revisar en 3.1 algunos conceptos conocidos acerca de ´alge- bras separables, introducimos el concepto de grupoide cu´antico segu´n el trabajo “Finite quantum groups and their applications”, de D. Nykshych y L. Vainerman [21]. Aqu´ı damos las definiciones b´asicas y ejemplos de grupoides cu´anticos y bi´alge- bras d´ebiles, as´ı como tambi´en discutimos sus propiedades fundamentales, entre las que se destacan ciertas sub´algebras, conocidas como sub´algebras counitales, que resultan ser ´algebras separables. En la secci´on 3.3 mostramos que las ´algebras fa- ciales definidas antes son un caso particular de bi´algebras d´ebiles, identific´andose conaquellasenlasquesub´algebrascounitalessonconmutativas.Adem´as,realizamos una versi´on “sin coordenadas” del an´alogo facial de la construcci´on FRT que pre- sentamos en la secci´on 2. En la secci´on 4, tras recordar conceptos relacionados con categor´ıas monoidales, damos los an´alogos de ´algebra y co´algebra en ese contexto, junto con la construc- 3 ci´on universal del ´algebra tensorial. La secci´on 5.1 est´a destinada a la presentaci´on de las bi´algebras, tal como R × − aparecen en una serie de papers de P. Schauenburg, como “Bialgebras over noncom- mutative rings and a structure theorem for Hopf bimodules”, [24]. Las bi´alge- R × − bras fueron introducidas por M. Takeuchi [34] generalizando una definici´on de M. Sweedler [30]. Las aplicaciones en [34], [30] son generalizaciones de grupos de Brauer y cohomolog´ıa de ´algebras de Hopf. La noci´on de una bi´algebra es tambi´en un R × − debilitamientodeladek-bi´algebra,perodemaneradistinta.Ladefinici´onest´ahecha con referencia a una k-´algebra fija R, que no necesita ser conmutativa ni separable. Se requiere que la comultiplicaci´on y la counidad de una bi´algebra H sean R × − mapas de ´algebras y compatibles con un mapa de ´algebras R Ro H (donde ⊗ → Ro denota el ´algebra opuesta de R). No obstante, aqu´ı la comultiplicaci´on y la counidad no hacen de H una co´algebra; m´as que en H H, la comultiplicaci´on ⊗ toma valores en un espacio diferente, a saber, el centralizador de R en un cierto R-bim´odulo H H, donde las dos copias de H en esta u´ltima expresi´on tienen R ⊗ estructuras de R-bim´odulos diferentes. La counidad toma valores en End(R) en lu- gar de k. Se requiere una propiedad de coasociatividad y counidad. En este trabajo tambi´en destacamos un teorema (Teorema 5.6), que generaliza una conocida cor- respondencia entre estructuras de bi´algebra y categor´ıas monoidales de m´odulos al caso de m´odulos sobre bi´algebras. Un ´algebra sobre R Ro es una bi´alge- R R × − ⊗ × − bra si y s´olo si su categor´ıa de m´odulos es una categor´ıa monoidal de forma tal que el funtor subyacente de la categor´ıa de m´odulos sobre R Ro es monoidal. En la ⊗ secci´on 5.2 discutimos la noci´on de ´algebra de Hopf y ciertas definiciones equiv- R × − alentes, tal como es desarrollado en el paper de Schauenburg “Duals and doubles of quantum groupoids ( Hopf algebras)” [28]. Mostraremos que una estructura R × − de ´algebra de Hopf en una bi´algebra L puede ser reconstruida a partir R R × − × − de una propiedad apropiada en la categor´ıa monoidal de L-m´odulos. Una versi´on de ello es conocida para H-com´odulos sobre una k-bi´algebra H si k es un cuerpo. La categor´ıa de H-com´odulos a derecha de dimensi´on finita sobre una k-bi´algebra H es r´ıgida si y s´olo si H es un ´algebra de Hopf [35]. Donde H se dice r´ıgida si se tiene una buena noci´on de objetos duales en la categor´ıa. Esta caracterizaci´on de ´algebras de Hopf no puede ser generalizada al contexto de bi´algebras, au´n R × − para bi´algebras convencionales sobre un anillo k y no sobre un cuerpo, no podemos extraer suficiente informaci´on de los com´odulos proyectivos finitamente generados (o los m´odulos proyectivos finitamente generados), y un como´dulo (o m´odulo) que no es finitamente generado y proyectivo sobre el anillo de base k no puede tener un dual en el sentido de la definici´on de categor´ıa monoidal r´ıgida. No obstante, si H es un ´algebra de Hopf sobre un anillo conmutativo k, entonces para dos H-m´odulos cualesquiera V,W, podemos dotar al m´odulo Hom (V,W) de mapas k-lineales con k una buena estructura de H-m´odulo. En particular, la categor´ıa de H-m´odulos es (como cada categor´ıa r´ıgida) cerrada en el sentido de Mac Lane: tenemos, dentro de la categor´ıa, los as´ı llamados objetos hom internoshom(V,W) para todoV,W, satis- faciendo un an´alogo formal de la conocida adjunci´on entreel producto tensorial y los hom-funtores para bim´odulos. Ahora, mientras la rigidez era demasiado fuerte para estos prop´ositos, requerir hom-funtores internos es demasiado d´ebil. Resulta que la categor´ıa de L-m´odulos es siempre cerrada para cualquier bi´algebra L. Pero el R × − teorema de reconstrucci´on para ´algebras de Hopf dir´a que una bi´algebra R R × − × − L es una ´algebra de Hopf si y s´olo si el funtor subyacente de la categor´ıa de R × − a la categor´ıa de R-bim´odulos es compatible con los hom-funtores internos. L M 4 En el caso de una k-bi´algebra, ´esta es precisamente la observaci´on de que los hom- funtores internos en est´an modelados en los m´odulos de mapas k-lineales y no H M en otro objeto. En la secci´on 5.3, tal como hicimos en la seccio´n 3.3, comparamos en detalle las nociones de bi´algebras d´ebiles y bi´algebras. Resulta que una bi´alge- R × − bra d´ebil es una bi´algebra en la cual R es Frobenius separable. El hecho de R × − que un ´algebra de Hopf d´ebil es una bi´algebra ha sido mostrado por Etingof R × − y Nykshych, [9], quienes tambi´en mostraron que la sub´algebra counital target es separable. Esto es gran parte del Teorema 5.14. No obstante, mientras que en [9] la ant´ıpoda es utilizada, su existencia no es asumida en el Teorema 5.14. La parte de la ant´ıpoda relevante para la prueba (su restricci´on a las sub´algebras counitales source y target) est´a presente en cualquier bi´algebra d´ebil, au´n en el caso en que ´esta no poseyera una ant´ıpoda. Esto fue probado por Nill [22], junto con el he- cho de que las sub´algebras counitales son Frobenius separables. As´ı, probamos que cualquier bi´algebra d´ebil H es una bi´algebra y, rec´ıprocamente, que cualquier R × − bi´algebra con R Frobenius separable es una bi´algebra d´ebil. Luego, para ver R × − cu´ando una bi´algebra d´ebil es un ´algebra de Hopf d´ebil vemos que un ´algebra de Hopf d´ebil puede caracterizarse como una bi´algebra d´ebil H para la cual cierto mapa can´onico H H ∆(1)(H H) es una biyecci´on, lo que es an´alogo a ⊗Ht → ⊗ una conocida caracterizaci´on de ´algebras de Hopf. Esto tambi´en prueba que una bi´algebra d´ebil es un ´algebra de Hopf d´ebil si y s´olo si la bi´algebra asociada es R × − una ´algebra de Hopf. Finalmente, dedicamos las secciones 5.4-5.6 a la noci´on R × − de cambio de base Morita, cuyo resultado principal ser´a la suficiencia mencionada de las ´algebras faciales en el contexto de categor´ıas de mo´dulos. En estas secciones se discutir´a una construcci´on que nos permitir´a reemplazar el ´algebra R en una bi´algebra L por un ´algebra S Morita equivalente para obtener una bi´alge- R S × − × − bra con una categor´ıa monoidal de representaciones equivalente a la de L. De hecho, podemos, m´as generalmente, reemplazar R por cualquier ´algebra S √Morita equiv- alente. Dos ´algebras R,S son √Morita equivalentes si tenemos una equivalencia de categor´ıas monoidales k-lineales = . La definici´on est´a ´ıntimamente R R ∼ S S M M relacionada con nuestra aplicaci´on: una bi´algebra puede caracterizarse como R × − poseedora de una categor´ıa de representaciones con producto tensorial basado en el producto tensorial de . R R M A trav´es de este trabajo, usaremos la conocida notaci´on de Sweedler [29], como (∆ id)∆(a) = a a a , donde ∆ denota el coproducto de una co´algebra dada. 1 2 3 ⊗ ⊗ ⊗ 5 2. Grupos y semigrupos cu´anticos ´ 2.1. Algebras faciales Definici´on 2.1. Sea H un ´algebra sobre un cuerpo K equipada con una estructura de co´algebra (H,∆,ε). Sea un conjunto finito no vac´ıo y sean e = e y eo = eo V H,i i H,i i (i ) elementos de H. Decimos que (H,e ,eo) es una -´algebra facial ( -face ∈ V i i V V algebra) si las siguientes condiciones son satisfechas: ∆(ab) = ∆(a)∆(b) (1) e e = δ e , eoeo = δ eo, e eo = eoe (2) i j ij i i j ij i i j j i e = 1 = eo (3) k k k k X∈V X∈V ∆(eoe ) = eoe eoe , ε(eoe ) = δ (4) i j i k ⊗ k j i j ij k X∈V ε(ab) = ε(ae )ε(eob) (5) k k k X∈V para cada a,b H e i,j . ∈ ∈ V Llamamos a los elementos e y eo idempotentes faciales de H. i i Es claro que una bi´algebra es una noci´on equivalente a la de -´algebra facial con V # = 1. V Proposici´on 2.2. Para una -´algebra facial, tenemos las f´ormulas: V ∆(1) = e eo, (6) k ⊗ k k X∈V ∆(e ) = e eoe , ∆(eo) = eoe eo, (7) j k ⊗ k j i i k ⊗ k k k X∈V X∈V ε(eoa) = ε(e a), ε(aeo) = ε(ae ), (8) i i i i ε(e ) = ε(eo) = 1, (9) j i a ε(e a e ) = e ae , (10) 1 i 2 j i j ε(e a e )a = eoaeo, (11) i 1 j 2 i j a ε(e a ) = e a, a ε(a e ) = ae , ε(eoa )a = eoa, ε(a eo)a = aeo. (12) 1 i 2 i 1 2 j j i 1 2 i 1 j 2 j ∆(a) = e a e eoa eo, (13) k 1 l ⊗ k 2 l k,l X e a e a = a eoa eo (14) i 1 j ⊗ 2 1 ⊗ i 2 j ∆(eoiejaei′ej′) = eoia1eoi′ ⊗eja2ej′, (15) para cada a H e i,j,i,j . ′ ′ ∈ ∈ V 6 Demostracio´n. Tenemos, segu´n los axiomas (1)-(5), ∆(1) = ∆( eoe ) = eoe eoe = e eo, i j i k ⊗ k j k ⊗ k i,j i,j k k X∈V X∈VX∈V X∈V lo que determina (6), vemos tambi´en (7): ∆(e ) = ∆(eoe ) = eoe eoe = e eoe , j i j i k ⊗ k j k ⊗ k j i i k k X∈V X∈V X∈V X∈V ∆(eo) = ∆(eoe ) = eoe eoe = eoe eo. i i j i k ⊗ k j i k ⊗ k j j k k X∈V X∈V X∈V X∈V Utilizando nuevamente la lista de axiomas (1)-(5), ε(e a) = ε(e eoa) = ε(e eoe )ε(eoa) = δ ε(e eo)ε(eoa) = i i j i j k k i,k i j k j j k j,k X XX X δ ε(eoa) = ε(eoa). i,j i i j X Por (3), (5), (2), (4), respectivamente, lo que prueba la primera de las igualdades de (8). La otra surge de manera an´aloga. Esto determina (9), ya que ε(e ) = ε(e e ) = ε(eoe ) = 1, ε(eo) = ε(eoeo) = ε(eoe ) = 1. j j j j j i i i i i Ahora, notemos que ∆(e ae ) = e a e eoe a eoe = (e a e ) e (eoa eo)e = i j k 1 l ⊗ k i 2 l j k 1 l ⊗ i k 2 l j k,l k,l X X (1 e )∆(a)(1 e ) = a e a e i j 1 i 2 j ⊗ ⊗ ⊗ ya que, como veremos m´as abajo, es inmediato que ∆(1) = e eo, ∆(e ) = (1 e )∆(1), k ⊗ k i ⊗ i k X con lo que obtenemos (10). An´alogamente obtenemos (11). (13) se obtiene de la igualdad ∆(a) = ∆(1)∆(a)∆(1). Por (10) y (11), e a e a = a ε(e a e ) a = a ε(e a e )a = a eoa eo. i 1 j ⊗ 2 1 i 2 j ⊗ 3 1 ⊗ i 2 j 3 1 ⊗ i 2 j y as´ı vale (14). De esta u´ltima propiedad y de (4) tambi´en se deduce ∆(eoiejaeoi′ej′) = eoieka1eoi′el ⊗eokeja2ej′eol = k,l X eoieka1eleoi′ ⊗eja2ej′ = eoia1eoi′ ⊗eja2ej′. k,l X Sumando sobre i o j en (10), (11) y utilizando (8) obtenemos (12). Definici´on 2.3. Un mapa f : H R entre -´algebras faciales se dice un mapa → V de -´algebras faciales si es un morfismo de ´algebras y co´algebras tal que f(e ) = i V e , f(eo) = eo para cada i . Denotamos por (H,R) al conjunto de todos los i i i ∈ V VFA mapas de -´algebras faciales de H a R. V 7 Para una -´algebra facial H, sea Hop (resp. Hcop) el ´algebra opuesta (resp. la V co´algebra opuesta) de H equipada con la misma estructura de co´algebra (resp. ´alge- bra) de H. Entonces Hop := (Hop,e ,eo) (resp. Hcop := (Hcop,eo,e )) es una -´algebra i i i i V facial. En particular, Hbop := (Hop)cop es una -´algebra facial v´ıa: V e = eo , eo = e . Hbop,i H,i Hbop,i H,i En este u´ltimo caso, por ejemplo, vemos que ∆bop(1) = τ(∆(1)) = 1 1 = eo e = e eo = 1cop 1cop, (2) ⊗ (1) i ⊗ i Hbop,i ⊗ Hbop,i (1) ⊗ (2) k k X X donde τ denota la trasposici´on usual. Recordemos que dada un ´algebra (A,m,u) de dimensi´on finita, podemos dotar de una estructura de co´algebra a A , su dual lineal, (A ,m ,u ), identificando (A A) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⊗ con A A . Si A no es de dimensi´on finita, su co´algebra dual est´a dada por ∗ ∗ ⊗ Ao = f A : f(I) = 0, para algu´n ideal I de A tal que dim(A/I) < . ∗ { ∈ ∞} concomultiplicaci´onm ycounidadu .LosidealesI paraloscualesvalelacondici´on ∗ ∗ dim(A/I) < se dicen de codimensi´on finita. Existen caracterizaciones adicionales ∞ de Ao, que enunciamos en la siguiente proposici´on y cuya prueba puede verse en [23]. Proposici´on 2.4. Sea (A,m,u) un ´algebra y f A . Entonces son equivalentes: ∗ ∈ (i) f se anula en un ideal a derecha de A de codimensio´n finita, (ii) f se anula en un ideal a izquierda de A de codimensio´n finita, (iii) f se anula en un ideal de A de codimensio´n finita, (iv) dim(A ⇀ f) < , ∞ (v) dim(f ↼ A) < , ∞ (vi) dim(A ⇀ f ↼ A) < , ∞ (vii) m (f) A A . ∗ ∗ ∗ ∈ ⊗ En consecuencia, f Ao si se cumple alguna de las condiciones (i)-(vii). ∈ En el enunciado de la proposici´on anterior, hemos utilizado la notaci´on de flechas de Sweedler. Dada un ´algebra A, tenemos acciones a izquierda y derecha ⇀ y ↼ de A en A , dadas por, para h,k A y f A ∗ ∗ ∈ ∈ (h ⇀ f)(k) = f(kh), (f ↼ k)(h) = f(kh). Para una -´algebra facial H, su ´algebra dual Ho se define como la co´algebra dual de V H equipada con producto y idempotentes faciales dados por XY,a = X,a Y,a (X,Y Ho,a H) 1 2 h i h ih i ∈ ∈ y e ,a = ε(ae ), eo ,a = ε(e a) (a H,i ). h Ho,i i H,i Ho,i H,i ∈ ∈ V (cid:10) (cid:11) 8 Definici´on 2.5. Sean x+,x ,e+,e elementos de un ´algebra A dada. Decimos que − − x es una (e+,e )-inversa generalizada de x+ si se satisfacen las siguientes cuatro − − relaciones: x x = e , x x x = x . ∓ ± ± ± ∓ ± ± Observaci´on 2.6. Notamos que la (e+,e )-inversa generalizada de x+ es u´nica si − existe: si y es otra (e+,e )-inversa generalizada de x+, entonces − − x = x x+x = x e = x x+y = e+y = y x+y = y . − − − − − − − − − − − Definici´on 2.7. Decimos que un mapa lineal S : H H es una ant´ıpoda de H si → S(a )a = E+(a), a S(a ) = E (a), 1 2 1 2 − S(a )a S(a ) = S(a) 1 2 3 para cada a H, donde E+ y E denotan endomorfismos en H definidos por − ∈ E+(a) = ε(ae )e , E (a) = ε(eoa)eo. (16) k k − k k k k X X Un ´algebra facial que admite una ant´ıpoda H es una -´algebra facial de Hopf. V Proposici´on 2.8. Una ant´ıpoda de una -´algebra facial es un antimorfismo de V ´algebras y co´algebras, que satisface S(eoe ) = eoe (i,j ) i j j i ∈ V Para otra Hopf -´algebra facial K y un mapa f : H R, tenemos f(S(a)) = V → S(f(a)), a H. ∈ Demostracio´n. Notemos que (id ∆)∆(eoe ) = eoe eoe eoe . Entonces ⊗ i j k,l i k ⊗ k l ⊗ l j P S(eoe ) = S(eoe )eoe S(eoe ) = (S id)∆(eo)(id S)∆(e ) = E+(eo)E (e ) = i j i k k l l j ⊗ i ⊗ j i − j k,l X ε(eoe )e ε(e e )ε(eo) = δ δ e eo = e eo = eoe . i k k l j l i,k l,j k l i j j i k l k,l X X X Veamos que es un antimorfismo de ´algebras. Consideramos el ´algebra L = Hom(H ⊗ H,H) con el producto de convoluci´on y m,φ,ψ,e+,e L dados por m(a b) = − ∈ ⊗ ab,ψ(a b) = S(b)S(a),φ(a b) = S(ab),e+(a b) = E+(ab),e (a b) = E (ab) − − ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ entonces podemos ver que φ,ψ son (e+,e )-inversas generalizadas de m y por lo − tanto coinciden. En efecto, (m φ)(a b) = a b S(a b ) = E (ab) = e (a b), 1 1 2 2 − − ∗ ⊗ ⊗ (φ m)(a b) = S(a b )a b = E+(ab) = e+(a b), 1 1 2 2 ∗ ⊗ ⊗ (m φ m)(a b) = a b S(a b )a b = a b E+(a b ) = 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ∗ ∗ ⊗ a b ε(a b e )e = a b e ε(a b eo) = a b 1 ε(a b 1 ) = ab = m(a b) 1 1 2 2 k k 1 1 k 2 2 k 1 1 (1) 2 2 (2) ⊗ k k k X XX y (φ m φ)(a b) = S(a b )a b S(a b ) = S(ab) = φ(a b). 1 1 2 2 3 3 ∗ ∗ ⊗ ⊗ 9 An´alogamente vemos que ψ es inversa generalizada, por ejemplo, (m ψ)(a b) = a b S(b )S(a ) = a E (b)S(a ) = a ε(e b)eoS(a ) = ∗ ⊗ 1 1 2 2 1 − 2 1 k k 2 k X ε(e b)a eoS(a ) = ε(e b)a e eoe S(a ) = ε(e b)a eoe S(a eo) = k 1 k 2 k 1 l k l 2 k 1 k l 2 l k k,l k,l X X X ε(e b)E (aeo) = ε(e b)ε(e aeo)eo = ε(e ab)eo = E (ab), k − k k l k l l l − k k,l l X X X por(5).DemanerasimilarvemosqueS esunantimorfismodeco´algebras,definiendo en K = Hom(H,H H), φ(a) = S(a ) S(a ), ψ(a) = S(a) S(a) y viendo que 2 1 1 2 ⊗ ⊗ ⊗ ambas son (∆(1)E+,E ∆(1))-inversas generalizadas del coproducto ∆. − ψ ∆(a) = ψ(a )∆(a ) = S(a )a S(a )a = E+(a ) S(a )a = 1 2 2 3 1 4 2 1 3 ∗ ⊗ ⊗ e ε(a e )S(a )a = e S(a )a eo = e E+(a)eo = ∆(1)E+(a). k ⊗ 2 k 1 3 k ⊗ 1 2 k k ⊗ k k k k X X X (ψ ∆)(a) = ∆(a )ψ(a ) = a S(a ) a S(a ) = a S(a ) E (a ) = 1 2 1 4 2 3 1 3 − 2 ∗ ⊗ ⊗ a ε(e a )S(a ) eo = e a S(a ) eo = E (a)∆(1). 1 k 2 3 ⊗ k k 1 2 ⊗ k − k k X X Tambi´en, (∆ ψ ∆)(a) = a S(a )a a S(a )a = a E+(a ) E (a )a = 1 4 5 2 3 6 1 3 − 2 4 ∗ ∗ ⊗ ⊗ a ε(e a )e ε(a eo)e a = e a e eoa eo = ∆(a). 1 l 2 k ⊗ 3 k l 4 l 1 k ⊗ l 2 k k,l k,l X X (ψ ∆ ψ)(a) = S(a )a S(a ) S(a )a S(a ) = E+(a )S(a ) S(a )E (a ) = 2 3 6 1 4 5 2 4 1 − 3 ∗ ∗ ⊗ ⊗ e S(a )ε(e a ) S(a )ε(a e )eo = e S(eoa ) S(a e )eo = k 4 l 3 ⊗ 1 2 k l k l 2 ⊗ 1 k l k,l k,l X X S(eoa eo) S(e a e ) = S(a ) S(a ) = ψ(a). l 2 k ⊗ l 1 k 2 ⊗ 1 k,l X donde usamos que S es un antimorfismo de ´algebras. Por lo tanto ψ es una inversa generalizada, como lo es φ, por ejemplo (∆ φ)(a) = ∆(a )φ(a ) = a S(a ) a S(a ) = ∆(a S(a )) = ∆(E (a)) = 1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 − ∗ ⊗ ε(e a)e eo eo = E (a)∆(1). k l k ⊗ l − k,l X Poru´ltimo,sif : H Kesunmorfismo,podemosverquef S esla(f E+,f E )- − → ◦ ◦ ◦ inversa generalizada de f, como lo es tambi´en S f, lo que veremos en un lema a ◦ continuaci´on, y por lo tanto, son iguales. (f S f)(a) = f(S(a ))f(a ) = f(S(a )a ) = (f E+)(a), 1 2 1 2 ◦ ∗ ◦ (f f S)(a) = f(a )F(S(a )) = F(a S(a )) = (f E )(a), 1 2 1 2 − ∗ ◦ ◦ (f S f f S)(a) = f(S(a ))f(a )f(S(a )) = f(S(a )a S(a )) = (f S)(a) 1 2 3 1 2 3 ◦ ∗ ∗ ◦ ◦ y (f f S f)(a) = f(a S(a )a ) = f(a), 1 2 3 ∗ ◦ ∗ donde aqu´ı usamos a S(a )a = ε(e a )eoa = eoeoa = a. 1 2 3 k k 1 k 2 k k k P P 10