Universit¨at Paderborn Fakult¨at fu¨r Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut fu¨r Mathematik Algebraische Geometrie nach den Vorlesungen von Prof. Dr. Uwe Nagel Kai Gehrs [email protected] Paderborn, 9. Mai 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Schemata 5 1.1 Affine Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Projektive Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Hilbert-Funktion, Hilbert-Polynom etc.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Moduln 11 2.1 Definition des Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 R-Modulhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Faktormoduln und der Homomorphiesatz fu¨r Moduln. . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Erzeugendensysteme und Basen von R-Moduln etc. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Noethersche Moduln 21 3.1 Erste Eigenschaften noetherscher R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Diagrammkalku¨l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Weitere Eigenschaften noetherscher R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Pr¨asentation von R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5 Freie Aufl¨osungen und der Hilbertsche Syzygiensatz . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.6 Das Schlangenlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 Assoziierte Primideale und Prim¨arzerlegung 29 4.1 Assoziierte Primideale, Nullteiler und M-regul¨are Elemente . . . . . . . . . . . 29 4.2 Prim¨are und irreduzible Untermoduln eines R-Moduls . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Prim¨arzerlegung und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4 Krull-Dimension und H¨ohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5 Verallgemeinerung der Krull-Dimension fu¨r Moduln . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.6 Krullscher Hauptidealsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5 Graduierte Moduln 43 5.1 Definition graduierter Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Einige Eigenschaften graduierter A-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 Graduierte Homomorphismen und Gradverschiebungen. . . . . . . . . . . . . . 47 5.4 Hilbertfunktion, Hilbertpolynom etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1 6 Liieren von Schemata 53 6.1 Ungemischte und geometrisch liierte Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2 Liierte Schemata und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3 Liaison-Klassen von Schemata im Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7 Ein Exkurs u¨ber Gr¨obner-Basen 59 7.1 Gr¨obner-Basen, Standardausdru¨cke und der Divisionsalgorithmus . . . . . . . . 59 7.2 Berechnung von Syzygien mit Hilfe von Gr¨obner-Basen. . . . . . . . . . . . . . 60 7.3 Idealquotienten und Idealdurchschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.4 Deformation von Idealen und das generische Initialideal . . . . . . . . . . . . . 64 7.5 Stabile Ideale und Initialideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8 Charakterisierung von Hilbertfunktionen 69 8.1 Macaulay’s Charakterisierung von Hilbertfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.2 Gotzmann’s Charakterisierung von Hilbertfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . 73 9 Minimale freie Aufl¨osungen 75 9.1 Minimale freie Aufl¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9.2 Regul¨are Ringe und Cohen-Macaulay Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9.3 Charakterisierung von Cohen-Macaulay Moduln. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.4 Der Koszul-Komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10 Homologien von Komplexen 87 10.1 Funktoren und einige ihrer Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.2 Homologien und Morphismen von Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.3 Einige Eigenschaften des Ext -Funktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 R 10.4 Einige wichtige Resultate fu¨r die Liaison-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11 Lokale Kohomologie 107 11.1 Injektive Aufl¨osungen und lokale Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11.2 Lokale Kohomologie und kanonischer Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12 Beziehungen zwischen liierten Schemata 113 13 Raos Korrespondenz 117 13.1 E-Typ- und N-Typ-Aufl¨osungen und der Abbildungskegel . . . . . . . . . . . . 117 13.2 Reflexivit¨at von R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 13.3 Stabile A¨quivalenz von Moduln und Raos Korrespondenz . . . . . . . . . . . . 128 14 Raos Korrespondenz fu¨r Schemata der H¨ohe 2 132 14.1 Der Rang eines R-Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14.2 Injektivit¨at der Rao-Korrespondenz: H¨ohe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 14.3 Surjektivit¨at der Rao-Korrespondenz: H¨ohe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 15 Die Lazarsfeld-Rao-Eigenschaft 144 16 Appendix I: Ausblick 154 2 17 Appendix II: Hilbertfunktionen etc. 156 Einleitung und Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Hilbertfunktionen und Hilbertpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Macaulays Charakterisierung von Hilbertfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 162 Das Regularit¨atstheorem von Gotzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Literaturverzeichnis 168 3 Kapitel 1 Schemata Es sei K ein K¨orper. Eine graduierte K-Algebra ist eine K-Algebra, die eine Zerlegung A = L [A] besitzt, wobei [A] K-Vektorr¨aume sind mit der Eigenschaft [A] ·[A] ⊆ [A] . j∈N0 j j i j i+j DieElementein[A] heißendiehomogenenElemente inAvomGrad j.Fernergelte[A] =K. j 0 [A] wird die homogene Komponente vom Grad j von A genannt. Fu¨r A=R=K[x ,...,x ] j 0 n ist [R] die Menge aller homogenen Polynome vom Grad j. Ist a ⊆ R ein homogenes Ideal, j so ist A:=R/a eine graduierte K-Algebra mit der Graduierung [A] ={fmoda|f ∈[R] }. j j Umgekehrt l¨asst sich zeigen: Ist a ⊆ R irgendein Ideal, so liefert [R/a] = {fmoda | f ∈ [R] } eine Gradu- j j ierung von R/a genau dann, wenn a ein homogenes Ideal von R ist. 1.1 Affine Schemata Beispiel 1.1. Betrachte die Ideale a = (x·(x−y)) und a = (y) in R := K[x,y] sowie die 1 2 Variet¨aten V :=V(a ) und V :=V(a ) in A2. Dann gilt V ∩V ={(0,0)}, denn 1 1 2 2 1 2 I(V ∩V )=Rad(x2,y)=(x,y). 1 2 IntuitivsolltemanaberdenSchnittpunktdoppeltz¨ahlen.DieseTatsachewirddurchdasIdeal (x2,y) viel besser beschrieben als durch (x,y). Dies motiviert die folgende Definition: Definition 1.2. Ein affines Unterschema X ⊆An ist gegeben durch einen Faktorring A von R = K[x ,...,x ]. Der Ring A heißt der Koordinatenring von X. Ist A = R/a fu¨r ein Ideal 1 n a ⊆ R, so heißt a das definierende Ideal von X und wir schreiben I = a. Sind X,Y ⊆ An X affineUnterschemata,soheißtX einUnterschema vonY,fallsgilt:I ⊆I (“inklusionsum- Y X kehrend”). X und Y heißen isomorph, falls R/I und R/I als K-Algebren isomorph sind. X Y Das reduzierte Schema X ist das durch das Ideal RadI definierte Unterschema. Ist K red X algebraisch abgeschlossen, so ist X die Variet¨at V(RadI ) (denn der Hilbertsche Nullstel- red X lensatzliefertindiesemFallI(V(RadI ))=RadI ,d.h.dasdefinierendeIdealderVariet¨at X X V(RadI ) ist RadI , was wiederum das Schema X definiert). X X red 5 6 KAPITEL 1. SCHEMATA Bemerkung 1.3. Statt Unterschema sagen wir in Zukunft immer Schema, obwohl die obige DefinitionnureinSpezialfallderallgemeinenDefinitionvonSchemataist.DieIntuitionhinter diesem neuen Begriff ist also Intuition: Die Punkte des Schemas X sind die Punkte der Variet¨at X . Ihre red Vielfachheit wird in dem Ideal I wiedergespiegelt. X Beispiel 1.4. (i) Das Ideal a =(xj,y)⊆K[x,y] definiert ein Unterschema X ⊆A2. Es gilt j j I =Rad(xj,y)=(x,y). Man nennt X auch einen dicken Punkt. (Xj)red j (ii) Es ist X ein Unterschema von X , da (xj,y) ⊆ (xj−1,y). Ist Y ⊆ A2 der Punkt j−1 j (1,1), so sind X und Y isomorphe Schemata, da fu¨r ihre Faktorringe gilt: K[x,y]/(x,y) ∼= 1 K[x,y]/(x−1,y−1). Definition 1.5. (i)SindX,Y ⊆An affineSchemata,soistderDurchschnitt X∩Y dasdurch I +I definierte Schema und die Vereinigung X∪Y das durch I ∩I definierte Schema. X Y X Y (ii)DasSchemaX ⊆An heißtirreduzibel,fallsgilt:IstX =X ∪X fu¨raffineUnterschemata 1 2 X ,X ⊆An, so folgt stets X =X oder X =X oder X =(X ) =(X ) . 1 2 1 2 red 1 red 2 red (iii) Das Schema X ⊆An heißt reduziert, falls gilt: X =X . red Lemma 1.6. Es sei X ⊆An ein Schema. Dann gilt: (i) X ist irreduzibel genau dann, wenn I ein Prim¨arideal ist. X (ii) X ist irreduzibel und reduziert genau dann, wenn I ein Primideal ist. X Erinnerung 1. Ein Ideal q ( R heißt Prim¨arideal, wenn gilt: Ist f ·g ∈ q und f ∈/ q, so existiert ein m ∈ N mit gm ∈ q. Radikalideale von Prim¨aridealen sind Primideale. Ein Ideal p(R heißt Primideal, wenn gilt: Ist f ·g ∈p und f ∈/ p, so folgt g ∈p. Beweis. (a) “⇒” Sei I = q ∩...∩q eine Prim¨arzerlegung von I und Ass (I ) = X 1 s X R X {p ,...,p } die assoziierten Primideale. Zu zeigen ist s=1. 1 s Annahme:s>1.DannseienX ,X ⊆An diedurchq bzw.q ∩...∩q definiertenSchemata. 1 2 1 2 s Nach Definition 1.5 gilt X = X ∪X , aber X 6= X und X 6= X . Angenommen, es gelte 1 2 1 2 X =(X ) =(X ) . Dann folgt: red 1 red 2 red RadI =RadI =p =RadI =p ∩...∩p , X X1 1 X2 2 s d.h. p =p fu¨r ein j ∈{2,...,s}. Widerspruch! 1 j “⇐”EsseiX =X ∪X undI einPrim¨arideal.NachVoraussetzungistalsop:=RadI = 1 2 X X RadI ∩RadI ein Primideal. Ohne Einschr¨ankung du¨rfen wir p=RadI annehmen. X1 X2 X1 1. Fall: p=RadI . Dann folgt sofort X =(X ) =(X ) . X2 red 1 red 2 red 2. Fall: p ( RadI = p ∩ ... ∩ p fu¨r gewisse Primideale p ,...,p . Dann folgt X2 1 s 1 s p ( p ,...,p . Wegen p = RadI , hat I eine Prim¨arzerlegung mit einer einzigen 1 s X1 X1 isolierten Komponente q. Folglich ist q auch die einzige isolierte Komponente von I = X I ∩I .EsfolgtwegenderEindeutigkeitisolierterKomponenteninPrim¨arzerlegungen X1 X2 und da I ein Prim¨arideal ist X q=I =I ∩I ⊆I ⊆q, X X1 X2 X1 d.h. q=I , also I =q=I . Dies zeigt X =X . X1 X X1 1 1.2. PROJEKTIVE SCHEMATA 7 Aus Fall 1 und Fall 2 folgt die Irreduziblit¨at von X. Teil (b) folgt aus (a). Korollar 1.7. Jedes affine Unterschema X ⊆An l¨asst sich als endliche Vereinigung irredu- zibler Unterschemata X ,...,X ⊆An schreiben. 1 s Beweis. Die Prim¨arzelegung von I liefert die definierenden Ideale fu¨r die irreduziblen X Unterschemata X ,...,X . 1 s 1.2 Projektive Schemata Wir wollen nun die analogen Begriffe im projektiven Raum Pn einfu¨hren. Mit m := (x ,...,x ) ⊆ R = K[x ,...,x ] bezeichnen wir das triviale, homogene maximale Ideal von 0 n 0 n R. Fu¨r jedes m-prim¨are Ideal q⊆R ist V(q)=∅. Definition 1.8. Es sei a ⊆ m ein homogenes Ideal von R. Dann heißt a saturiert, falls gilt: m∈/ Ass (a). Das Ideal R [ asat := (a:mj) j≥1 heißt die Saturierung von a. Das Ideal asat ist in der Tat saturiert: Fu¨r homogene Ideale a,b,c⊆R gilt (i) (a∩b):c=(a:c)∩(b:c) (ii) Ist q prim¨ar und dimR/q>0, so gilt stets: q:m=q. Teil(i)rechnetmanelementarnach.Teil(ii)siehtmanwiefolgtein:Esistklar,dassq⊆q:m, also ist nur noch die andere Inklusion zu zeigen. Sei f ∈ q : m. Dann gilt f ·m ∈ q fu¨r alle m ∈ m. W¨ahle m ∈ m\Radq =: p. Dann folgt mk ∈/ p fu¨r alle k ∈ N, da p ein Primideal ist. Wegen f ·m ∈ q und m ∈/ q folgt fk ∈ q fu¨r ein k ∈ N, da q ein Prim¨arideal ist. W¨are f ∈/ q, so folgte aber aus der Prim¨aridealeigenschaft die Existenz eines l ∈N mit ml ∈q⊆p. Widerspruch! Also gilt f ∈q, was die behauptete zweite Inklusion beweist. Ist nun a⊆R ein homogenes Ideal mit der Prim¨arzerlegung a=q ∩...∩q , so gilt zun¨achst 1 s a:mj =(q :mj)∩...∩(q :mj) fu¨r alle j ∈N. 1 s 1. Fall: Radq ( m. Dann gilt dimR/q > 0, also q : m = q nach (ii). Insbesondere i i i i folgtausf·x ∈q bereitsf ∈q .Istf·xk ∈q ,d.h.f ∈q :mk,sofolgt(f·xk−1)·x ∈q j i i j i i j j i und damit f ·xk−1 ∈ q . Iteration des Argumentes liefert f ∈ q . Es folgt q : mk ⊆ q . j i i i i Die umgekehrte Inklusion gilt immer, d.h. q :mk =q fu¨r beliebige k ∈N. i i 2. Fall: Radq =m. Dann folgt S q :mj =R, da es zu jedem m∈m ein k ∈N gibt i j≥1 i mit mk ∈q . i Aus Fall 1 und Fall 2 folgt, dass asat = S (a : mj) dasjenige Ideal ist, welches man aus a j≥1 erh¨alt, wenn man in einer Prim¨arzerlegung von a die m-prim¨aren Komponenten entfernt. 8 KAPITEL 1. SCHEMATA Beispiel 1.9. Betrachte das Ideal a=(x2,x2,x x ,x x )⊆K[x ,x ,x ]. Nach der Formel 0 1 0 1 0 2 0 1 2 a∩b+c=(a+c)∩(b+c) fu¨r monomiale Ideale ergibt sich die Prim¨arzerlegung von a zu a=(x )∩(x ,x )+(x2,x2)=(x ,x2)∩(x2,x ,x ), 0 1 2 0 1 0 1 0 1 2 | {z } m−prim¨ar d.h. a ist nicht saturiert. Es gilt asat =(x ,x2) (a ist ein stabiles monomiales Ideal, weswegen 0 1 man mit mehr Theorie zeigen kann, dass sich die Saturierung ergibt, indem man schlicht x :=1 in a setzt). 2 Definition 1.10. (i) Ein projektives Unterschema X ⊆ Pn ist gegeben durch einen gradu- ierten Faktorring A von R = K[x ,...,x ], der einen homogenen Nichtnullteiler positiven 0 n Grades enth¨alt. Ist A = R/a, so nennt man a das homogene Ideal von X. Wir schreiben I =a. Ferner wird A als homogener Koordinatenring bezeichnet. X (ii) Ist a⊆m ein homogenes Ideal, so definiert a das projektive Schema R/asat. Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt das folgende Lemma: Lemma 1.11. R/a besitzt einen homogenen Nichtnullteiler positiven Grades genau dann, wenn a⊆R ein homogenes, saturiertes Ideal ist. Beweis. “⇒” Sei f ∈ R Repr¨asentant einen homogenen Nichtnullteilers von R/a. Dann ist die Abbildung fmoda ν :R/a −−−−−→ R/a, gmoda7→(f ·g)moda injektiv. Wir zeigen, dass gilt: a : f = a. Klar ist a ⊆ a : f. Sei g ∈ a : f. Dann gilt: f · g ∈ a. Es folgt: f · g ∈ a genau dann, wenn ν(g) = 0 genau dann, wenn gmoda = 0 genau dann, wenn g ∈ a. Dies zeigt die Behauptung. W¨are nun m ∈ Ass(a), so folgte fmoda ∈ mmoda und f w¨are ein Nullteiler von R/a (sp¨ater l¨asst sich an dieser Stelle ein eleganteresArgumentanwenden:DieMengederNullteilervonR/aistgeradedieVereinigung der assoziierten Primideale von a. Dann folgt aus f ∈m und m∈Ass(R/a) sofort, dass f ein Nullteiler sein muss.). Widerspruch! “⇐” Es sei a = q ∩...∩q eine Prim¨arzerlegung und p = Radq , i = 1,...,s. Wegen 1 s i i p ( m fu¨r i = 1,...,s liefert das Primvermeidungslemma die Existenz eines homogenen i f ∈m\Ss p . Dann ist f ein Nichtnullteiler von R/a. i=1 i Bemerkung 1.12. (i) Fu¨reinhomogenes Ideal a⊆R gilt: a ist m-prim¨ar genaudann, wenn Rada=m. (ii) Aus Lemma 1.11 und Definition 1.10 folgt die “Eins-zu-Eins”-Korrespondenz:    projektive   gvroanduKie[xrt0e,.F.a.k,txonr]rimngite   K[wx0o,b.e.i.a,xenin]/a,  Unterschemata ←→ einem homogenen ←→ homogenes, saturiertes  von Pn   pNosiicthivtnenulGlterialderes   Ideal ist  (iii) Ist a ein homogenes m-prim¨ares Ideal, so sagen wir, dass R/a das leere Schema definiert.