ÁLGEBRA Una Introducción a la Aritmética y la Combinatoria Ricardo Podestá y Paulo Tirao Primera Edición Marzo de 2017 “Elálgebraesgenerosa;amenudodamásdeloqueselepide.” JeanLeRonddÁlembert Índice general Índicegeneral i Prólogo vii Introducción ix I Fundamentos 2 1 Enunciadosydemostraciones 4 1.1 Ellenguajecoloquialyellenguajematemático . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Proposiciones,conectivosytablasdeverdad . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Negación,conjunciónydisyunción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Proposicionescompuestasytablasdeverdad . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Condicionalesyequivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Laproposicióncondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Recíproca,contrariaycontrarrecíproca . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Laproposiciónbicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Tautologíasycontradicciones† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.5 Proposicionesequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.6 Negacióndeproposicionescompuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Funcionesproposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Proposicionescuantificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 Negacióndeproposicionescuantificadas . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.1 Laimplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.2 Tiposdedemostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3 Conjeturas,ejemplosycontraejemplos† . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Conjuntos 36 2.1 Definicionesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 i ÍNDICEGENERAL R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017 2.2 Cómodefinirconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Operacionesconconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Identidadesdeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Productocartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Partesdeunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Relacionesyfunciones 65 3.1 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1 Propiedadesdeunarelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1.2 Relacionesdeorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.3 Relacionesdeequivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.1 Función,dominioeimagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.2 Restricciónyextensióndefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.3 Funcionessuryectivas,inyectivasybiyectivas . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.4 Funcionesinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.5 Lacomposicióndefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.6 Funcionesylasoperacionesdeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2.7 Productocartesianoyfunciones† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.3 Conjuntosfinitosycardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.1 Conjuntosinfinitosynumerabilidad† . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3.2 Operacionesdeconjuntosynumerabilidad . . . . . . . . . . . . . . 93 3.4 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 II Númerosyaritmética 98 4 Númerosrealesysuaritmética 100 4.1 Conjuntosnuméricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.1.1 Sobrelaconstruccióndelosnúmerosreales . . . . . . . . . . . . . . 102 4.1.2 Lasuma,elproductoyelordendelosnúmerosreales . . . . . . . 103 4.2 Losaxiomasdelosnúmerosreales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Algunaspropiedadesaritméticasdelosnúmerosreales . . . . . . . . . . . 109 4.4 ElordendeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5 Aritméticaracionalyfraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.6 Cuerpos†. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.7 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5 Númerosnaturalesyelprincipiodeinducción 131 5.1 Númerosnaturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.1 LosaxiomasdePeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.2 Losnaturalesylosreales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2 Inducciónmatemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 ii ÍNDICEGENERAL R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017 5.2.1 Elprincipiobásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2.2 Induccióncorrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2.3 Inducciónfuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.2.4 Induccióngeneralizada†. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.2.5 Induccióndoble‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.3 Definicionesrecursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.1 Sumatoriayproductoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.2 Elfactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.3.3 Lapotenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.4 Sucesionesdefinidasporrecurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.5 Propiedadesdelasumatoriaylaproductoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.5.1 Propiedadesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.5.2 Cambiosdevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.5.3 Sumasyproductosdobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.6 Identidadesconsumasysumassumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.6.1 Sumadeenterosconsecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.6.2 Lasumadelosimpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.6.3 Lassumasdeloscuadradosydeloscubos . . . . . . . . . . . . . . 169 5.6.4 Lasumadepotencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.6.5 Progresionesaritméticas† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.6.6 Progresionesgeométricas† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.7 Conjuntosinductivosybuenaordenación† . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.7.1 Conjuntosinductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.7.2 Buenaordenacióneinducciónfuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.8 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6 Aritméticaentera 188 6.1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.1.1 Losconjuntosdedivisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.1.2 Losnúmerosprimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.2 Elalgoritmodeladivisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.2.1 Conjuntosdemúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.2.2 Ladivisiónentera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.3 Númerosprimosyfactorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.4 Elmáximocomúndivisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.4.1 Combinacioneslinealesenteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.4.2 ElalgoritmodeEuclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.5 ElTeoremafundamentaldelaaritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.6 Elmínimocomúnmúltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6.7 ElTFA,divisores,mcdymcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.7.1 LafunciónϕdeEuler† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.8 Representacióndecimalydesarrolloss-ádicos . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.8.1 Representacióndecimaldeenteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.8.2 Elsistemaderepresentaciónbinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.8.3 Lossistemasderepresentacións-ádicos† . . . . . . . . . . . . . . . 225 iii ÍNDICEGENERAL R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017 6.9 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7 Númeroscomplejos 230 7.1 ¿Quéson? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.2 Sumayproducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.3 Laconjugaciónyelmódulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.4 Coordenadaspolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.5 RaícesdelaunidadyfórmuladeDeMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.6 Conjuntosytransformacionesdelplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.7 PolinomiosyelTeoremaFundamentaldelAlgebra† . . . . . . . . . . . . . 246 7.8 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 III Aritméticamodular 247 8 Congruenciasdeenteros 248 8.1 Lacongruenciadeenteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.1.1 Clasesdecongruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.1.2 Restosdeladivisiónentera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.2 Propiedadesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 8.2.1 Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 8.2.2 Reduccióndelmódulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.2.3 Otraspropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 8.3 Aplicacionesdecongruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.3.1 Aplicacionesalaaritméticaentera:cálculosconpotencias . . . . . 255 8.3.2 Aplicacionesalavidacotidiana† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.4 Reglasdedivisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 8.4.1 Reglasdedivisibilidadylanotacióndecimal . . . . . . . . . . . . . 264 8.4.2 Reglasdedivisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.4.3 Reglasdedivisibilidadyrepresentacioness-ádicas† . . . . . . . . 270 8.5 LosTeoremasdeFermat,EuleryWilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8.5.1 LosteoremasdeFermatyEuler-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8.5.2 SistemasresidualesyteoremadeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . 274 8.5.3 ElToremadeWilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 8.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9 Enterosmodulares 285 9.1 Losenterosmodulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 9.2 Tablasdesumayproducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 9.2.1 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 2 9.2.2 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 3 9.2.3 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 4 9.2.4 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5 9.2.5 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 6 iv ÍNDICEGENERAL R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017 9.2.6 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7 9.2.7 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8 9.2.8 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 9 9.3 Aritméticamodular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 9.4 UnidadesydivisoresdeceroenZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 m 9.4.1 ElgrupodeunidadesZ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 m 9.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10 Ecuacionesencongruencias 300 10.1 Ecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.1.1 Unavariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.1.2 2y3variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.2 Elteoremachinodelresto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.3 Sistemasdeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 IV Combinatoria 303 11 Principiosdeconteo 304 11.1 Principiosbásicosdeconteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 11.1.1 Elprincipiodeadición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 11.1.2 Elprincipiodemultiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.1.3 Elprincipiodelcomplemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 11.1.4 PrincipiosdeInyecciónyBiyección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.2 Acciónbásica:Ordenar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.2.1 Ordenarenfila(listar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 11.2.2 Ordenarencírculos(ciclar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.3 Acciónbásica:Elegir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 11.4 Combinaciones,permutacionesyarreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 11.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 11.5.1 Ejemplosvariopintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 11.5.2 Caminosmáscortos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.5.3 Apareos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 11.5.4 Elegirdistinguiendo(equiposconlíderes) . . . . . . . . . . . . . . . 336 11.6 Acciónbásica:Ordenarconrepeticiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 11.7 Acciónbásica:Distribuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 11.7.1 Bolasycajasdistintas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 11.7.2 Bolasigualesencajasdistintas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 11.8 Funcionesyconteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 11.8.1 Funciones,cardinalyprincipiosbásicos . . . . . . . . . . . . . . . . 341 11.8.2 Elprincipiodelpalomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 11.8.3 Elprincipiodeinclusión-exclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 11.8.4 Contandofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 11.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 v ÍNDICEGENERAL R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017 12 Númeroscombinatorios 352 12.1 Coeficientesbinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 12.1.1 Definiciónyfórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 12.1.2 Propiedadesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 12.2 BinomiodeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 12.3 ElTriángulodePascaleidentidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 12.3.1 EltriángulodePascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 12.3.2 Identidadesconcoeficientesbinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . 365 12.4 ElTeoremadeLucas† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 12.5 Coeficientesmultinomiales†. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 12.6 NúmerosdeStirling* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 12.6.1 NúmerosdeStirlingdeprimertipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 12.6.2 NúmerosdeStirlingdesegundotipo . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 12.6.3 Desarrollospolinomiales* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 12.7 Composicionesyparticiones* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 A Epílogo:algunaslistasútiles 381 A.1 Listadesímbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 A.2 Abreviaturasyacrónimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 A.3 Listadetablasyfiguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 A.4 Listadeteoremasyresultadosimportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 A.5 Listadenotashistóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 A.6 Listadegrandesmatemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 Índicealfabético 395 Bibliografía 400 vi Prólogo “Sinotegustatuanalista,visitaatualgebristalocal.” GertAlmkvist Apartirdelasnotasdeclasequeoportunamentepreparáramosparadictarlamateria de la Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF) de la Universidad Algebra I Nacional de Córdoba (UNC), durante las primeras mitades de 2012 y 2013, fuimos pre- parandounmanuscritoquelosalumnosconocieroncomo‘NotasdeAlgebra’.Estelibro surgiócomoconsecuencianaturaldeeseprimeresfuerzo;corrigiendo,completando,reor- denando y embelleciendo los contenidos y la presentación de dichas notas primigenias. Eneseprocesolasnotascrecieronymaduraronhastaconvertirseenunlibrodetextoque excedeelcontenidodeuncursodeunqueocupelamitaddelaño. Laaritméticaylasnocionesbásicasdelamatemáticadiscretasonmuyadecuadascomo un primer contacto con la matemática formal. Permiten introducir de manera bastante naturallasformasymodosdelquehacermatemático,laformadeescribiryenunciaren matemática,laformadevalidarlos“resultados”atravésdedemostraciones,laformade definirobjetosabstractosyconstruirteoríasconellos. El libro puede usarse como libro de texto para un primer curso de álgebra o de mate- máticadiscretadirigidoaalumnosdegradosinexperienciapreviaenmatemática.Dado todo el material disponible el curso podría ocupar la mitad del año o el año completo y puedeorientarseaagruposdealumnosconinteresesdistintos.Lostópicospresentados sedesarrollandemaneracompletaymásomenosextensa;haymuchosejemplos,ejerci- ciosyproblemas.Laseleccionesposibles,paraelprofesoracargo,sonmuyvariadas. Ellibroseocupadedosgrandestemas:la yla .Laaritméticatrata aritmética combinatoria sobre distintos conjuntos numéricos, sobre sus operaciones y sus propiedades. También incluye un estudio más profundo sobre sus estructuras subyacentes. La combinatoria se presentacomoelartede‘contarsincontar’,elartedecontarinteligentemente.Sepresen- tanmétodosyformasdepensarnovedosas,distintasdelasutilizadasenaritmética,pero complementarias. El trabajar estas dos áreas en un mismo curso da una perspectiva sobre el dinamismo delamatemáticaycómoáreasdiferentes,concaracterísitcaspropiasbiendefinidasinter- actuanenriqueciéndosemutuamente. Ellectornotará,sinembargo,quehemosdedicadounabuenapartedellibro,laprimera, alosfundamentosdelamatemática.Ennuestraexperienciadocentehemosnotadoqueun vii R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017 gravedéficitenlacomprensióndeloscursoinciales(ydelamatemáticaengeneral),por partedelosalumnos,eslafaltademanejoenloqueserefierealalógicadelosenunciados, lasdemostracionesyaobjetosbásicoscomolosconjuntosylasfunciones.Estodaunabase firmeparaelestudioylacomprensióndelrestodellibro(¡ydelamatemática!). Los principalesdeestecursosepuedenresumirenlos3aspectossiguientes: objetivos • Aprenderaaprendermatemática. • Aprenderahacermatemática. • Aprenderaritméticaycombinatoria. Elprimeroimplicaeldesarrollodelacapacidaddeleerdefinicionesyenunciadosmate- máticos,decomprendercómosonsusobjetosydescubrircómosusverdadessearticulan entresí. Elsegundoobjetivoesdecentralimportancia,yaqueelhaceralgodematemáticapor unomismoesunodelosmejorescaminosparaaprendermatemática.Estudiarmatemáti- caesunprocesoactivo,querequieremuchoesfuerzo,muchaprácticaymuchaconstancia por parte de quien lo acomete. Una parte importante del “hacer” matemática es una ac- tividad individual,pero que seenriquece enormementecon el intercambiode ideascon otroscolegasquehacenmatemática.Esmuyconvenientehacerseycontestarsepreguntas aunomismoademásdehacerycontestarpreguntasalosotros. Vamosadecirlounavezmas,esfundamentalplantearsesiemprenuevosinterrogantes, aunque no tengamos idea de la respuesta. Esto nos llevará a entender lo que estamos estudiando,areforzarloqueyasabemosy,primordialmente,agenerarnuevasideas. Porúltimo,ymuyimportantedesdelopráctico,estáelaprendercontenidosespecíficos. Enelcaminoquellevaaaprenderestoscontenidosseaprende,lentamente,aaprendery ahacermatemática. En este libro conviven, intencionalemnte, lo , que a veces resulta algo tedioso riguroso y se sospecha no demasiado útil, con lo , listo para usar, que a veces puede dejar práctico la sensación de falta de fundamento o de ser algo impreciso. Ambos modos se comple- mentan para facilitar el aprendizaje de cada tema expuesto, con todos los fundamentos yrigornecesariosperotambiéndesarrollandohabilidadesprácticasparapoderusarcon confianzaloaprendido. Esnuestrodeseoqueéstelibrolesresulteútilypráctico,yquesulecturaseaamena.Es unlibro pensadoparaestudiar,pero tambienparaconsultary deleitarseluegodehaber rendido la materia. Esperamos que los aliente a trabajar duro y con mucho entusiasmo, paraquepuedandisfrutardeaprenderyaprenderadisfrutardelálgebra. RicardoyPaulo,Córdoba,13demarzode2017. viii