D a David Poole v i d David Poole ÁLGEBRA P ÁLGEBRA o o l e LINEAR LINEAR uma introdução moderna Tradução da 4ª- edição norte-americana Álgebra linear: uma introdução moderna foi escrito com o objetivo de uma introdução moderna mostrar aos estudantes que álgebra linear é um assunto estimulante e Á de enorme utilidade. L O livro foi estruturado de forma bastante flexível, para que possa ser G usado em diferentes cursos, com diversos enfoques. Escrito de forma Tradução da 4ª- edição norte-americana clara, direta e objetiva, aborda temas como vetores, matrizes, autovalores e E autovetores, ortogonalidade, espaços vetoriais e distância e aproximação. B A apresentação de conceitos-chave de modo concreto, antes de mostrá-los R em toda sua generalidade, torna o assunto mais acessível ao estudante. A ênfase em vetores e geometria e os inúmeros exercícios e exemplos A Outras obras que reforçam o fato de a álgebra linear ser uma ferramenta valiosa para a modelagem de problemas aplicados consistem no principal diferencial L deste livro. A apresentação de pequenos esboços biográfi cos de muitos CÁLCULO – VOLUME 1 dos matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento da álgebra I TRADUÇÃO DA 7ª- EDIÇÃO N linear ajuda a colocar uma face humana no assunto e contribui para que os NORTE-AMERICANA estudantes percebam a matemática como uma conquista social e cultural James Stewart E e não apenas científi ca. CÁLCULO – VOLUME 2 A APLICAÇÕES: Destina-se a disciplinas introdutórias de álgebra linear nos TRADUÇÃO DA 7ª- EDIÇÃO cursos de Engenharia, Física, Química, Ciência da Computação, Matemática, R NORTE-AMERICANA Estatística, Economia, Administração de Empresas, entre outros. James Stewart ÁLGEBRA LINEAR E SUAS APLICAÇÕES TRADUÇÃO DA 4ª- EDIÇÃO NORTE-AMERICANA Gilbert Strang CÁLCULO NUMÉRICO: APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE ISBN 13 978-85-221-2390-2 ISBN 10 85-221-2390-X 2ª- EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA Selma Arenales e Artur Darezzo Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br 9 788522 123902 Algebra_Linear_21x28.indd 1 2/3/16 11:05 PM Álgebra Linear u m a i n t r o d u ç ã o m o d e r n a o Tradução da 4 edição norte-americana CAP00_i-xxiv.indd 1 01/02/2016 14:48:34 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Poole, David Álgebra linear: uma introdução moderna / David Poole; tradução técnica Martha Salerno Monteiro, Celia Mendes Carvalho Lopes. -- 2. ed. -- São Paulo: Cengage Learning, 2016. Título original: Linear algebra: a modern introduction. 4. ed. norte-americana. Bibliogra ia. ISBN 978-85-221-2401-5 1. Algebra linear I. Título. 15-11228 CDD-512.5 Índice para catálogo sistemático: 1. Álgebra linear : Matemática 512.5 CAP00_i-xxiv.indd 2 01/02/2016 14:48:34 Álgebra Linear u m a i n t r o d u ç ã o m o d e r n a o Tradução da 4 edição norte-americana David Poole Tradução técnica Martha Salerno Monteiro Bacharel e mestre em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo. PhD in Mathematics pela University of New Mexico (EUA). Docente da Universidade de São Paulo junto ao Departamento de Matemática do IME-USP desde 1981. Membro da diretoria do Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática do IME-USP de 1998 a 2015, tendo sido diretora desse Centro no período de 2007 a 2011. Celia Mendes Carvalho Lopes Bacharel e mestre em Matemática e doutora em Estatística pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Professora adjunta I na Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, onde trabalha desde 2002, já tendo ministrado disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e de Álgebra Linear. Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos CAP00_i-xxiv.indd 3 01/02/2016 14:48:34 Álgebra Linear: Uma Introdução Moderna – © 2015, 2011, 2006 Cengage Learning Tradução da 4a edição norte-americana © 2017 Cengage Learning Edições Ltda. 2a edição brasileira Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão David Poole por escrito da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106, 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998. Gerente editorial: Noelma Brocanelli Esta editora empenhou-se em contatar os responsáveis pelos direitos Editora de desenvolvimento: Viviane Akemi Uemura autorais de todas as imagens e de outros materiais utilizados neste livro. Se porventura for constatada a omissão involuntária na identificação de Supervisora de produção gráfica: Fabiana Alencar algum deles, dispomo-nos a efetuar, futuramente, os possíveis acertos. Albuquerque A editora não se responsabiliza pelo funcionamento dos links contidos Título original: Linear algebra: a modern introduction neste livro que possam estar suspensos. (ISBN 13: 978-1-285-46324-7; ISBN 10: 1-285-46324-2) Para informações sobre nossos produtos, entre em Tradução técnica da 1ª edição: Martha Salerno Monteiro (co- contato pelo telefone 0800 11 19 39 ord.), Célia Mendes Carvalho Lopes, Fernanda Soares Pinto Para permissão de uso de material desta obra, Cardona, Iole de Freitas Druck, Leila Maria Vasconcellos envie seu pedido para Figueiredo, Maria Lúcia Sobral Singer e Zara Issa Abud [email protected] Tradução técnica desta edição: Martha Salerno Monteiro e Celia Mendes Carvalho Lopes © 2017 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Revisão: Mayra Clara Albuquerque Venâncio dos Santos ISBN 13: 978-85-221-2401-5 Diagramação: Triall Editorial ISBN 10: 85-221-2401-9 Indexação: Maria Dolores Sierra Mata Capa: BuonoDisegno Cengage Learning Imagem da capa: Mad Dog/Shutterstock e alex 74/Shutters- Condomínio E-Business Park tock Rua Werner Siemens, 111 – Prédio 11 – Torre A – Conjunto 12 Lapa de Baixo – CEP 05069-900 – São Paulo – SP Especialista em direitos autorais: Jenis Oh Tel.: (11) 3665-9900 Fax: 3665-9901 SAC: 0800 11 19 39 Editora de aquisições: Guacira Simonelli Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br Impresso no Brasil Printed in Brazil 1 2 3 16 15 14 CAP00_i-xxiv.indd 4 03/02/2016 10:50:18 Dedicado à memória de Peter Hilton, que era um matemático, educador e cidadão exemplar – um vetor unitário em todos os sentidos. CAP00_i-xxiv.indd 5 01/02/2016 14:48:34 vi Álgebra Linear Sumário Prefácio ix Ao Professor xvii Ao Estudante xxiii Capítulo 1 Vetores 1 1.0 Introdução: O Jogo da Pista de Corrida 1 1.1 A Geometria e a Álgebra de Vetores 3 1.2 Comprimento e Ângulo: O Produto Escalar 18 Investigação: Vetores e Geometria 32 1.3 Retas e Planos 34 Investigação: O Produtor Vetorial 48 Projeto de Texto: As Origens dos Produtos Escalar e Vetorial 49 1.4 Aplicações 50 Vetores Força 50 Revisão do Capítulo 55 Capítulo 2 Sistemas de Equações Lineares 57 2.0 Introdução: Trivialidade 57 2.1 Introdução aos Sistemas de Equações Lineares 58 2.2 Métodos Diretos de Resolução de Sistemas Lineares 64 Projeto de Texto: Uma História sobre o Método de Eliminação de Gauss 82 Investigação: Mentiras que Meu Computador me Contou 83 Pivoteamento Parcial 84 Contando Operações: Uma Introdução à Análise de Algoritmos 85 2.3 Conjuntos Geradores e Dependência Linear 88 2.4 Aplicações 99 Alocação de Recursoss 99 Balanceamento de Equações Químicas 101 Análise de Redes 102 Circuitos Elétricos 104 Modelos Econômicos Lineares 107 Jogos Lineares Finitos 109 Vinheta: O Sistema de Posicionamento Global 121 2.5 Métodos Iterativos de Resolução de Sistemas Lineares 124 Revisão do Capítulo 134 vi CAP00_i-xxiv.indd 6 11/02/2016 14:07:36 Sumário vii Capítulo 3 Matrizes 136 3.0 Introdução: Matrizes em Ação 136 3.1 Operações com Matrizes 138 3.2 A Álgebra de Matrizes 154 3.3 A Inversa de uma Matriz 163 3.4 A Fatoração LU 180 3.5 Subespaços, Base, Dimensão e Posto 191 3.6 Introdução às Transformações Lineares 211 Vinheta: Robotics 226 3.7 Aplicações 230 Cadeias de Markov 230 Modelos Econômicos Lineares 235 Crescimento Populacional 239 Grafos e Digrafos 241 Revisão do Capítulo 251 Capítulo 4 Autovalores e Autovetores 253 4.0 Introdução: Um Sistema Dinâmico sobre Grafos 253 4.1 Introdução aos Autovalores e Autovetores 254 4.2 Determinantes 263 Projeto de texto: O que veio primeiro: a matriz ou o determinante? 283 Vinheta: Método de Condensação de Lewis Carroll 284 Aplicações Geométricas de Determinantes 286 4.3 Autovalores e Autovetores de Matrizes n 3 n 292 Projeto de Texto: A História de Autovalores 301 4.4 Semelhança e Diagonalização 301 4.5 Métodos Iterativos para o Cálculo de Autovalores 311 4.6 Aplicações e o Teorema de Perron-Frobenius 325 Cadeias de Markov 325 Crescimento Populacional 330 O Teorema de Perron-Frobenius 332 Relações de Recorrência Lineares 335 Sistemas de Equações Diferencias Lineares 340 Sistemas Dinâmicos Lineares Discretos 348 Vinheta: Classificando Times Esportivos e Pesquisando na Internet 356 Revisão do Capítulo 364 Capítulo 5 Ortogonalidade 366 5.0 Introdução: Sombras em uma Parede 366 5.1 Ortogonalidade em Rn 368 5.2 Complementos e Projeções Ortogonais 378 5.3 O Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt e a Fatoração QR 388 Investigações: A Fatoração QR Modificada 396 Determinação de aproximação de autovalores pelo algoritmo QR 398 5.4 Diagonalização Ortogonal de Matrizes Simétricas 400 5.5 Aplicações 408 Formas Quadráticas 408 Representação Gráfica de Equações Quadráticas 415 Revisão do Capítulo 425 CAP00_i-xxiv.indd 7 11/02/2016 14:08:57 viii Álgebra Linear Capítulo 6 Espaços Vetoriais 427 6.0 Introdução: Fibonacci no Espaço (Vetorial) 427 6.1 Espaços Vetoriais e Subespaços 429 Projeto de Texto: O Surgimento de Espaços Vetoriais 443 6.2 Independência Linear, Base e Dimensão 443 Investigação: Quadrados Mágicos 460 6.3 Mudança de Base 463 6.4 Transformações Lineares 472 6.5 Núcleo e a Imagem de uma Transformação Linear 481 6.6 A Matriz de uma Transformação Linear 497 Investigação: Mosaicos, Reticulados e a Restrição Cristalográfica 515 6.7 Aplicações 518 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas 518 Revisão do Capítulo 527 Capítulo 7 Distância e Aproximação 529 7.0 Introdução: A Geometria do Taxista 529 7.1 Espaços com Produto Interno 531 Investigação: Vetores e Matrizes com Elementos Complexos 543 Desigualdades Geométricas e Problemas de Otimização 547 7.2 Normas e Funções Distância 552 7.3 Método de Aproximação por Mínimos Quadrados 568 7.4 A Decomposição por Valores Singulares 590 Vinheta: Compressão de Imagem Digital 607 7.5 Aplicações 610 Aproximação de Funções 610 Revisão do Capítulo 618 APÊNDICE A Notação Matemática e Métodos de Demonstração A1 APÊNDICE B Indução Matemática B1 APÊNDICE C Números Complexos C1 APÊNDICE D Polinômios D1 Respostas a Exercícios Ímpares Selecionados RESP1 Índice Remissivo IR1 CAP00_i-xxiv.indd 8 11/02/2016 14:09:31 Prefácio A última coisa que se sabe quando se escreve um livro é o que colocar primeiro. – Blaise Pascal Pensées, 1670 A nova edição de Álgebra Linear: Uma Introdução Moderna preserva a abordagem e as características que os leitores acreditaram ser os pontos fortes das edições ante- riores. No entanto, simplifiquei um tanto o texto, adicionei diversos esclarecimentos e renovei os exercícios. Quero que os alunos vejam álgebra linear como uma disciplina estimulante e apreciem sua enorme utilidade. Ao mesmo tempo, pretendo ajudá-los a dominarem conceitos básicos e técnicas da álgebra linear necessários para outros cursos, tanto em matemática quanto em outras disciplinas. Também quero ajudá-los a admirar a reciprocidade entre matemática teórica, aplicada e numérica, que permeia o assunto. Este livro foi pensado para uso em curso introdutório, de um ou dois semestres em álgebra linear. Em primeiro lugar, é direcionado a estudantes, e fiz o melhor que pude para escrever o livro de modo que alunos não apenas achem sua leitura agradá- vel, mas também sintam vontade de lê-lo. Como nas primeiras três edições, levei em conta o fato que alunos que cursam álgebra linear provavelmente são provenientes de cursos variados. Além dos alunos de cursos superiores em matemática, haverá estudantes de engenharia, física, química, ciências da computação, biologia, ciência ambiental, geografia, economia, psicologia, administração e educação, bem como outros alunos que participam do curso como optativa ou para cumprir os requisitos de graduação. Sendo assim, o livro equilibra teoria e aplicações práticas; é escrito em estilo coloquial, mas permanece totalmente rigoroso; e combina uma exposição tradicional ao aprendizado centrado no aluno. Não existe um estilo de aprendizado que seja universalmente o melhor. Em cada classe, haverá alguns alunos que trabalham melhor de maneira independente e ou- tros que funcionam melhor em grupos; alguns que preferem aprender com aulas expositivas e outros que têm mais sucesso em ambientes de oficinas, fazendo ati- vidades investigativas; uns que se divertem com manipulações algébricas, uns que são adeptos de cálculos numéricos (com ou sem um computador) e outros que exi- bem forte intuição geométrica. Nesta edição, continuo a apresentar o material em uma variedade de formas – algébrica, geométrica, numérica e verbal – de modo que todos os tipos de estudantes possam encontrar um caminho a seguir. Também pro- curei apresentar os tópicos teóricos, computacionais e aplicados de maneira flexível, porém integrada. Ao fazê-lo, tenho esperança de que todos os estudantes serão ex- postos às muitas facetas da álgebra linear. ix CAP00_i-xxiv.indd 9 01/02/2016 14:48:35