(cid:49)(cid:32)(cid:101)(cid:32)(cid:50) (cid:49) (cid:77)(cid:243)(cid:100)(cid:117)(cid:108)(cid:111)(cid:115) (cid:86)(cid:111)(cid:108)(cid:117)(cid:109)(cid:101) (cid:51)(cid:170)(cid:32)(cid:101)(cid:100)(cid:105)(cid:231)(cid:227)(cid:111) (cid:73)(cid:115)(cid:97)(cid:98)(cid:101)(cid:108)(cid:32)(cid:76)(cid:117)(cid:103)(cid:227)(cid:111)(cid:32)(cid:82)(cid:105)(cid:111)(cid:115) (cid:76)(cid:117)(cid:105)(cid:122)(cid:32)(cid:77)(cid:97)(cid:110)(cid:111)(cid:101)(cid:108)(cid:32)(cid:70)(cid:105)(cid:103)(cid:117)(cid:101)(cid:105)(cid:114)(cid:101)(cid:100)(cid:111) (cid:77)(cid:97)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:32)(cid:79)(cid:114)(cid:116)(cid:101)(cid:103)(cid:111)(cid:122)(cid:97)(cid:32)(cid:100)(cid:97)(cid:32)(cid:67)(cid:117)(cid:110)(cid:104)(cid:97) (cid:193)(cid:108)(cid:103)(cid:101)(cid:98)(cid:114)(cid:97)(cid:32)(cid:76)(cid:105)(cid:110)(cid:101)(cid:97)(cid:114)(cid:32)(cid:73)(cid:32) Álgebra Linear l Volume 1 - Módulos 1 e 2 Isabel Lugão Rios 3ª edição Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Apoio: Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001 Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Masako Oya Masuda Vice-presidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF - Regina Moreth UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca Material Didático ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Departamento de Produção Isabel Lugão Rios Luiz Manoel Figueiredo EDITORA PROGRAMAÇÃO VISUAL Marisa Ortegoza da Cunha Tereza Queiroz Marcelo Freitas COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO COORDENAÇÃO EDITORIAL ILUSTRAÇÃO INSTRUCIONAL Jane Castellani Fabiana Rocha Cristine Costa Barreto Fabio Muniz REVISÃO TIPOGRÁFICA DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Equipe CEDERJ CAPA E REVISÃO Sami Souza COORDENAÇÃO DE Alexandre Rodrigues Alves PRODUÇÃO PRODUÇÃO GRÁFICA Carmen Irene Correia de Oliveira Jorge Moura Patricia Seabra Gláucia Guarany Janaina Silva Leonardo Villela COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM Maria Angélica Alves Copyright © 2006, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação. 972m Figueiredo, Luiz Manoel. Álgebra linear I. v.1 / Luiz Manoel Figueiredo. – 3.ed. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010. 196p.; 21 x 29,7 cm. ISBN: 85-89200-44-2 1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas lineares. 5. Determinantes. 6. Espaços vetoriais. 7. Combinações lineares. 8. Conjuntos ortogonais e ortonormais I. Rios, Isabel Lugão II. Cunha, Marisa Ortegoza da. III. Título. CDD:512.5 2010/1 Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT. Governo do Estado do Rio de Janeiro Governador Sérgio Cabral Filho Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Alexandre Cardoso Universidades Consorciadas UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO RIO DE JANEIRO Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho Reitor: Aloísio Teixeira UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL RIO DE JANEIRO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Vieiralves Reitor: Ricardo Motta Miranda UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO Reitor: Roberto de Souza Salles DO RIO DE JANEIRO Reitora: Malvina Tania Tuttman Álgebra Linear l Volume 1 - Módulos 1 e 2 SUMÁRIO §1 - Vetores, matrizes e sistemas lineares ______________________________7 Aula 1 – Matrizes _______________________________________________9 Luiz Manoel Figueiredo Aula 2 – Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real _____________________________ 17 Luiz Manoel Figueiredo Aula 3 – Operações com matrizes: multiplicação ______________________ 29 Luiz Manoel Figueiredo Aula 4 – Operações com matrizes: inversão __________________________ 39 Luiz Manoel Figueiredo Aula 5 – Determinantes _________________________________________ 49 Luiz Manoel Figueiredo Aula 6 – Sistemas lineares _______________________________________ 59 Luiz Manoel Figueiredo Aula 7 – Discussão de sistemas lineares _____________________________ 73 Luiz Manoel Figueiredo Aula 8 – Espaços vetoriais _______________________________________ 83 Luiz Manoel Figueiredo Aula 9 – Subespaços vetoriais ____________________________________ 95 Marisa Ortegoza da Cunha Aula 10 – Combinações lineares _________________________________ 105 Marisa Ortegoza da Cunha Aula 11 – Base e dimensão _____________________________________ 115 Luiz Manoel Figueiredo Aula 12 – Dimensão de um espaço vetorial _________________________ 123 Luiz Manoel Figueiredo Aula 13 – Soma de subespaços __________________________________ 135 Luiz Manoel Figueiredo Aula 14 – Espaços vetoriais com produto interno ____________________ 149 Marisa Ortegoza da Cunha Aula 15 – Conjuntos ortogonais e ortonormais ______________________ 161 Marisa Ortegoza da Cunha Aula 16 – Complemento ortogonal _______________________________ 173 Isabel Lugão Rios Aula 17 – Exercícios resolvidos __________________________________ 181 . x1. Vetores, matrizes e sistemas lineares O que (cid:19)e A(cid:19)lgebra Linear? Por que estuda(cid:19)-la? (cid:19) A Algebra Linear (cid:19)e a a(cid:19)rea da Matema(cid:19)tica que estuda todos os aspectos relacionados com uma estrutura chamada Espac(cid:24)o Vetorial. Estrutura matema(cid:19)tica (cid:19)e um conjunto no qual sa~o de(cid:12)ni- Devido a(cid:18)s suas caracter(cid:19)(cid:16)sticas, essa estrutura permite um tratamento das operac(cid:24)o~es. As proprie- alg(cid:19)ebrico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computa- dades dessas operac(cid:24)o~es \es- truturam"o conjunto. Tal- cional. A A(cid:19)lgebra Linear tem aplicac(cid:24)o~es em inu(cid:19)meras a(cid:19)reas, tanto da mate- vezvoc^eja(cid:19)tenhaouvidofalar ma(cid:19)ticaquantodeoutroscamposdeconhecimento, comoComputac(cid:24)a~oGra(cid:19)(cid:12)ca, em algumadas principaises- truturas matema(cid:19)ticas, como Gen(cid:19)etica, Criptogra(cid:12)a, Redes El(cid:19)etricas etc. grupo, anel e corpo. Voc^e estudara(cid:19)essasestruturasnas Nas primeiras aulas deste mo(cid:19)dulo estudaremos algumas ferramentas disciplinasdeA(cid:19)lgebra. para o estudo dos Espac(cid:24)os Vetoriais: as matrizes, suas operac(cid:24)o~es e proprie- dades; aprenderemos a calcular determinantes e, (cid:12)nalmente, aplicaremos esse conhecimento para discutir e resolver sistemas de equac(cid:24)o~es lineares. Muitos dos principais problemas da f(cid:19)(cid:16)sica, engenharia, qu(cid:19)(cid:16)mica e, (cid:19)e claro, da ma- tema(cid:19)tica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de equac(cid:24)o~es lineares. A partir da Aula 8, estaremos envolvidos com A(cid:19)lgebra Li- near propriamente dita e esperamos que voc^e se aperceba, ao longo do curso, de que se trata de uma das a(cid:19)reas mais lu(cid:19)dicas da Matema(cid:19)tica!!. 7 CEDERJ