UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA: Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais, por Lucas Máximo Alves CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007 LUCAS MÁXIMOALVES TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA: Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais, CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007 2 LUCAS MÁXIMOALVES TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA: Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais, Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Maurício Gobbi Orientador: Prof. Dr. CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007 3 Dedicatória Dedico, 4 Agradecimentos Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades que a vida me trouxe. Quero também agradecer: À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. ....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC. 5 Epígrafe “Não é possível provar uma verdade a partir de uma mentira, mas é possível provar uma mentira a partir de uma verdade” (citado por Mauricio Gobbi em Março de 2007) 6 Sumário Lista de Figuras........................................................................................................................16 Lista de Tabelas........................................................................................................................18 Lista de Siglas...........................................................................................................................19 Lista de Símbolos.....................................................................................................................20 Resumo ...................................................................................................................................21 Abstract ...................................................................................................................................22 Capítulo – I...............................................................................................................................23 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................23 1. 1 – Apresentação do curso....................................................................................................23 1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos.................................................24 Capítulo – II..............................................................................................................................26 SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES...................................................26 2. 1 – Introdução.......................................................................................................................26 2. 2 – Definição de um Sistema de Equações...........................................................................27 2. 3 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................28 2. 4 – Exercícios e Problemas...................................................................................................29 Capítulo – III............................................................................................................................30 MATRIZES.............................................................................................................................30 3. 1 – Introdução.......................................................................................................................30 3. 2 – Definição de uma Matriz................................................................................................31 3.2.1 - Matriz Linha..................................................................................................................32 3.2.2 - Matriz Coluna................................................................................................................32 3.2.3 - Diagonal Principal.........................................................................................................33 3.2.4 - Diagonal Secundária.....................................................................................................33 3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes......................................................................................34 3.3.1– Igualdade de Matrizes....................................................................................................34 3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes...............................................................................35 3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes..................................................36 3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes.........................................................37 3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes..............................................................................38 3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das Matrizes....................................40 3.8.1 - Definição.......................................................................................................................40 3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz.........................................................40 3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz..........................................................................40 3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz..................................................................41 3.8.5 - Propriedades dos Determinantes...................................................................................42 3.8.6 – Matriz Inversa...............................................................................................................43 3. 9 – Tipos de Matrizes...........................................................................................................45 3.9.1 – Matriz Simétrica...........................................................................................................45 3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica...................................................................................................45 3.9.3 – Matriz Real...................................................................................................................45 3.9.4– Matriz Complexa...........................................................................................................45 3.9.5 – Matriz Imaginária Pura.................................................................................................46 3.9.6 – Matriz Hermitiana.........................................................................................................46 3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana................................................................................................46 7 3.9.8 – Matriz Normal..............................................................................................................46 3.9.9 – Matriz Ortogonal..........................................................................................................46 3.9.10 – Matriz Unitária...........................................................................................................46 3.9.11 – Matriz Identidade........................................................................................................47 3.9.12 – Matriz Diagonal..........................................................................................................47 3.9.13 – Matriz Adjunta............................................................................................................47 3.9.14 – Matriz Transposta.......................................................................................................47 3.9.15 – Matriz Elementar........................................................................................................47 3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado.....................................................................................47 3.9.17 – Matriz Associada........................................................................................................48 3.9.18 – Matriz Idempotente.....................................................................................................48 3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores............................................49 3. 11 – Álgebra dos Comutadores............................................................................................50 3. 12 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................52 3. 13 – Exercícios e Problemas.................................................................................................53 Capítulo – IV............................................................................................................................54 ESPAÇO VETORIAL LINEAR.............................................................................................54 4. 1 – Objetivos do Capítulo.....................................................................................................54 4. 2 – Introdução.......................................................................................................................54 4. 3 – Definição de Espaço Vetorial.........................................................................................56 I) Definição da Operação de Adição de Vetores......................................................................56 II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores.........................................................57 III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores...........................................................57 IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores.........................................................58 V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores........................................................59 4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial...................................................................................60 4.4.1 – Geradores......................................................................................................................60 4. 5 – Dependência Linear........................................................................................................61 4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear.............................................................................61 4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial..............................................................................62 4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial.......................................................................................63 4.6.1 - Corolário – 1.................................................................................................................63 4.6.2 – Mudança de Base..........................................................................................................64 4.6.3 – Transformações de Coordenadas..................................................................................67 4. 7 – Espaço Euclidiano..........................................................................................................69 4.7.1 – Produto Escalar.............................................................................................................69 4.7.2 – Ortogonalidade.............................................................................................................69 Teorema 1.1.............................................................................................................................70 Prova ...................................................................................................................................70 Teorema 1.2.............................................................................................................................70 4.7.3 – Desigualdade de Cauchy-Schwartz..............................................................................71 4. 8 – Bases Recíprocas............................................................................................................72 4.8.1 – Observação importante.................................................................................................73 4. 9 – Bases Ortonormais..........................................................................................................75 4. 10 – ................................................................................................................................76 4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt...........................................................77 4. 12 – Operadores Lineares....................................................................................................80 4.12.1 - Definição.....................................................................................................................80 8 4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores.......................................................................................89 4. 14 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................96 4. 15 – Exercícios e Problemas.................................................................................................97 Capítulo – V.............................................................................................................................98 ESPAÇO TENSORIAL LINEAR...........................................................................................98 5. 1 –Introdução........................................................................................................................98 5. 2 – Definição de Tensores....................................................................................................99 5.2.1 - Formas Funcionais Lineares..........................................................................................99 5. 3 – Cálculo Tensorial de Funções ......................................................................................101 5. 4 – Aplicação a Redes-Neurais Matemáticas.....................................................................102 5. 5 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................103 5. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................104 Capítulo – VI..........................................................................................................................105 ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES.................................................................................105 6. 1 –Introdução......................................................................................................................105 6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço Funcional Linear......................106 6.2.1 – Equivalência entre o Operador Matricial e o Operador Funcional no Espaço de Funções ..............................................................................................................................108 6.2.2 – Notação de Dirac........................................................................................................109 6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções...........................................................................110 6. 3 –Transformações de Coordenadas...................................................................................111 6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções..................................................................112 6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares.........................................113 6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções.............................................................................113 6.5.2 – Operadores Lineares no Espaço de Funções..............................................................116 6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções .............................117 6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções.................................................117 6. 6 – Mudança de Base para funções....................................................................................121 6. 7 – Transformação de Funções...........................................................................................122 6. 8 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt..........................................................123 6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores......................................................................................124 6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores.............................................................126 6.10.1 - Ortogonalidade das Auto-funções que pertencem a auto-valores diferentes............128 6. 11 – Espaço das Funções Quadráticas L2...........................................................................129 6. 12 – Serie de Funções Ortogonais......................................................................................130 6. 13 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................131 6. 14 – Exercícios e Problemas...............................................................................................132 Capítulo – VII.........................................................................................................................133 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS..133 7. 1 – Introdução.....................................................................................................................133 7. 2 – Funções Pares e Ímpares ..............................................................................................134 7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares.....................................................................135 7.2.2 - Teorema.......................................................................................................................135 7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares:...........................................................................136 7. 3 – Funções Periódicas.......................................................................................................137 7.3.1 – Teorema de Bloch.......................................................................................................137 7. 4 – Cálculo em RN..............................................................................................................138 7.4.1 - Conectividade..............................................................................................................138 7.4.2 - Pontos Limítrofes........................................................................................................138 9 7.4.3 - Derivadas Parciais.......................................................................................................138 7.4.4 - Exemplo......................................................................................................................139 7.4.5 – Série de Taylor no RN.................................................................................................139 7. 5 – Funções Implícitas........................................................................................................141 7.4.1 –Teorema da Função Implicita......................................................................................141 7.4.2 - Caso Multivariado.......................................................................................................143 Análogo para n dimensões......................................................................................................145 Ex. Sistema de Coordenadas Polares......................................................................................147 Solução ..............................................................................................................................147 7.4.3 – Teorema dos Extremos...............................................................................................150 7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo ...........................................................151 7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt...............................................................................151 7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange..................................................................152 7.5.3 – Exemplo......................................................................................................................154 7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz...................................................................................155 7.6.1 - Exemplos.....................................................................................................................158 7. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................159 7. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................160 Capítulo – VIII.......................................................................................................................161 CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES .............................................................................161 8. 1 - Introdução .....................................................................................................................161 8. 2 –Diferenciação de funções escalares...............................................................................162 8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais............................................................163 8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco..............................................................................164  8.3.2 - Cálculo da variação da Função R ao longo de um comprimento de arco.................165 8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais.........................................................167 8.4.1 – Integral de linha de funções escalares........................................................................167 8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais.........................................................................168 8.4.3 - Cálculo do Comprimento de Arco..............................................................................171 8.4.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................172 8.4.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................173 8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais.................................................174 8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares...............................................................174 8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais.................................................................175 8.5.3 - Cálculo do Comprimento de Arco..............................................................................178 8.5.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................179 8.5.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................180 8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais.....................................................181 8.6.1 – Integral de volume de funções escalares....................................................................181 8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais.....................................................................182 8.6.3 - Cálculo do Comprimento de Arco..............................................................................185 8.6.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................186 8.6.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................187 8. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................188 8. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................189 Capítulo – IX..........................................................................................................................190 TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES...........190 9. 1 - Introdução .....................................................................................................................190 9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial..................................................................191 10