Claus Scheiderer Algebra Skript, WS 2013/14 Version vom 11. Januar 2014 Universit¨at Konstanz (cid:13)c C. Scheiderer 2014 ii Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis 1 Kapitel 1. Kommutative Ringe 3 1. Multivariate Polynome 3 2. Ringe von Bru¨chen 5 3. Primideale 8 4. Faktorielle Ringe 10 5. Das Gaußsche Lemma und Folgerungen 14 Kapitel 2. K¨orpertheorie I: Endliche K¨orpererweiterungen 19 1. Algebraische und transzendente K¨orpererweiterungen 19 2. Adjunktion von Nullstellen 23 3. Der algebraische Abschluß 27 4. Separable Polynome und vollkommene K¨orper 31 5. Separable K¨orpererweiterungen und Satz vom primitiven Element 34 6. Endliche K¨orper 39 7. Konstruktion mit Zirkel und Lineal 41 Kapitel 3. Gruppentheorie 49 1. Grundbegriffe 49 2. Abelsche Gruppen 52 3. Direkte und semidirekte Produkte 56 4. Operationen von Gruppen auf Mengen 58 5. Permutationsgruppen 65 iii Literaturverzeichnis [A] M.Artin:Algebra.Birkh¨auser,Basel,1998. [Bo] S.Bosch:Algebra.Springer,Berlin,2004. [Fi] G.Fischer:Lehrbuch der Algebra.Vieweg,Wiesbaden,2007. [JS] J.C.Jantzen,J.Schwermer:Algebra.Springer,Berlin,2005. [Ku] E.Kunz:Algebra.ViewegStudium,BraunschweigundWiesbaden,1991. [La] S.Lang:Algebra.Revised3rdedition.GraduateTextsinMathematics211,Springer,New York,2002. [LP] R.Lidl,G.Pilz:Applied Abstract Algebra.2ndedition.Springer,NewYork,1998. [Lo] F. Lorenz: Einfu¨hrung in die Algebra. 2 B¨ande. Spektrum Akademischer Verlag, Heidel- berg,1996,1997. [B1] C.Scheiderer:LineareAlgebraI.VorlesungUniKonstanz,WS2012/13. [B2] O.Schnu¨rer:LineareAlgebraII.VorlesungUniKonstanz,SS2013. 1 KAPITEL 1 Kommutative Ringe Wir bauen zun¨achst die Theorie der kommutativen Ringe aus. Im Mittelpunkt steht dabei der Begriff der Teilbarkeit. 1. Multivariate Polynome 1.1 (Erinnerungen) Wir betrachten Ringe A = (A,+,·). Es bezeichnet 0 das neutrale Element der Additionund 1 die Einsin A. Wir setzen stets voraus, daß A kommutativ ist, d.h. es gilt ab=ba fu¨r alle a, b∈A. Der Ring A heißt integer (oder nullteilerfrei), wenn aus a, b ∈ A und ab = 0 folgt: a=0 oder b=0. Zum Beispiel ist jeder Hauptidealring integer. Jeder Ringhomomorphismus ϕ: A→B bildet 1 auf 1 ab. Der Kern von ϕ ist ker(ϕ) = {a∈A: ϕ(a)=0} und ist ein Ideal in A. 1.2 Sei I ein Ideal von A. Zu I haben wir den Restklassenring (oder Quotien- tenring) A/I = {a: a∈A} konstruiert, mit a := a+I (a ∈ A) und mit den Ringoperationen a+b := a+b und a·b := ab (a,b ∈ A). Die Abbildung π: A → A/I, π(a) = a = a+I (a ∈ A) ist ein Ringhomomorphismus mit ker(π)=I, und es gilt der 1.3 Satz. (Homomorphiesatz fu¨r Ringe) Sei I ⊆ A ein Ideal von A, sei ϕ: A→B ein Ringhomomorphismus mit I ⊆ker(ϕ). Dann existiert ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus ϕ: A/I →B mit ϕ=ϕ◦π: A(cid:82)(cid:82)(cid:82)(cid:82)ϕ(cid:82)(cid:82)(cid:82)(cid:41)(cid:41) π (cid:54)(cid:54)B (cid:15)(cid:15) A/I ∃1ϕ Dabei ist ker(ϕ)=ker(ϕ)/I. Beweis. Wir mu¨ssen definieren ϕ(a) := ϕ(a) (a ∈ A). Aus a = a folgt 1 2 a −a ∈ I ⊆ ker(ϕ), also ϕ(a ) = ϕ(a ). Daher ist ϕ wohldefiniert. Man sieht 1 2 1 2 leicht, daß ϕ ein Ringhomomorphismus ist, sowie die Aussage u¨ber ker(ϕ). (cid:3) 1.4 (Erinnerung) Zu jedem Ring A hatten wir den Polynomring A[x] definiert ([B1] I.4.2). Seine Elemente sind die endlichen Summen f = (cid:80)n a xi mit n ≥ 0 i=0 i und a ∈ A, wobei x eine “Unbestimmte” ist. Ist a (cid:54)= 0, so heißt deg(f) = n i n der Grad von f und a der Leitkoeffizient von f. Ist A integer, so gilt deg(fg) = n 3 4 1. KOMMUTATIVE RINGE deg(f)+deg(g) fu¨r alle f, g ∈A[x]. Daraus folgt, daß mit A auch A[x] integer ist ([B1] I.4.3). Polynomringe sind durch folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: 1.5 Lemma. Sei ϕ: A → B ein Ringhomomorphismus, und sei b ∈ B ein beliebiges Element. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus ψ: A[x] → B mit ψ| =ϕ und mit ψ(x)=b. A (cid:16) (cid:17) Beweis. Man muß definieren ψ (cid:80) a xi :=(cid:80) ϕ(a )bi, das tut’s. (cid:3) i i i i 1.6 Definition. (Erinnerung) Ist A ein Ring, so ist A∗ := {u ∈ A: ∃u(cid:48) ∈ A mit uu(cid:48) = 1} eine abelsche Gruppe bezu¨glich Multiplikation, die Einheitengruppe von A. Zu u ∈ A∗ ist u(cid:48) ∈ A mit uu(cid:48) = 1 eindeutig bestimmt, und man schreibt u−1 :=u(cid:48). Beispiele: K∗ =K(cid:114){0} fu¨r K K¨orper, Z∗ ={1,−1}, A[x]∗ =A∗, wenn A ein integrer Ring ist. Fu¨rPolynomringeu¨berK¨orpernhattenwirDivisionmitRestbetrachtet.Eine abgeschw¨achte Version gilt auch fu¨r Polynomringe u¨ber Ringen: 1.7 Satz. (DivisionmitRestfu¨rPolynomeu¨berRingen)SeiAeinRing,seien f, g ∈A[x]. Es sei g (cid:54)=0, und der Leitkoeffizient von g sei eine Einheit in A. Dann gibt es q, r ∈A[x] mit f =qg+r und deg(r)<deg(g). Ist A integer, so sind q und r eindeutig bestimmt. Beweis. Genau wie im Fall A=K¨orper ([B1] Satz I.4.4). (cid:3) U¨ber Ringen kann man Division mit Rest 1.7 nicht zu einem euklidischen Al- gorithmus iterieren wie bei K¨orpern, da die Voraussetzung an den Leitkoeffizient von g nach dem ersten Schritt i.a. verloren geht. 1.8 Korollar. Ist A ein Ring und f ∈ A[x], und ist a ∈ A mit f(a) = 0, so gibt es g ∈A[x] mit f =(x−a)g. Beweis. Dividieref mitRestdurchx−agem¨aß1.7(siehe[B1]Kor.I.4.7). (cid:3) 1.9 Korollar. Sei A integer, sei f ∈A[x], und seien a ,...,a ∈A paarweise 1 r verschiedeneNullstellenvonf.Danngibtesg ∈A[x]mitf =(x−a )···(x−a )·g. 1 r Insbesondere hat jedes f (cid:54)=0 h¨ochstens deg(f) viele verschiedene Nullstellen in A. Falls A Nullteiler hat, wird dies im allgemeinen falsch. Beweis. Nach 1.8 gibt es f ∈A[x] mit f =(x−a )f . Einsetzen x=a zeigt 1 1 1 i f (a ) = 0 fu¨r i = 2,...,r wegen A integer. Die erste Aussage folgt also mit 1.8 1 i durch Induktion nach r. Fu¨r die letzte Aussage vergleiche die Grade. (cid:3) DieBildungdesPolynomringskannmaniterieren.Soerhaltenwirmultivariate Polynome, also Polynome in mehreren Variablen: 1.10 Definition. Sei A ein Ring, sei n ∈ N. Betrachte n Variable x ,...,x , 1 n fasse sie zu einem Tupel x=(x ,...,x ) zusammen. 1 n 2. RINGE VON BRU¨CHEN 5 (a) Sei Z = N∪{0} = {0,1,2,...}. Fu¨r α = (α ,...,α ) ∈ Zn sei xα := + 1 n + xα1···xαn. Jedes solche xα heißt ein Monom. 1 n (b) DerPolynomringA[x ,...,x ]=A[x]indenVariablenx ,...,x besteht 1 n 1 n aus allen endlichen Summen ∞ ∞ (cid:88) (cid:88) (cid:88) a xα = ··· a xα1···xαn α (α1,...,αn) 1 n α∈Zn+ α1=0 αn=0 mit a ∈A (α∈Zn) und a =0 fu¨r fast alle α. α + α (c) Addition und Multiplikation sind erkl¨art durch (cid:16)(cid:88) (cid:17) (cid:16)(cid:88) (cid:17) (cid:88) a xα + b xα := (a +b )xα, α α α α α α α (cid:16)(cid:88) (cid:17) (cid:16)(cid:88) (cid:17) (cid:88)(cid:16) (cid:88) (cid:17) a xα · b xβ := a b ) xγ. α β α β α β γ α,β: α+β=γ 1.11 Lemma. A[x ,...,x ] ist ein kommutativer Ring, und es besteht ein 1 n kanonischer Isomorphismus A[x ,...,x ]∼=A[x ,...,x ][x ]. 1 n 1 n−1 n Beweis. Klar. (cid:3) 1.12 Korollar. Ist A integer, so ist auch A[x ,...,x ] integer, und es gilt 1 n A[x ,...,x ]∗ =A∗. 1 n Beweis. Folgt wegen A[x ,...,x ] ∼= A[x ,...,x ][x ] (Lemma 1.11) aus 1 n 1 n−1 n dem Fall einer Variablen durch Induktion nach n. (cid:3) Fu¨r Polynomringe in mehreren Variablen hat man eine zu 1.5 analoge univer- selle Eigenschaft: 1.13 Korollar. Sei ϕ: A → B ein Ringhomomorphismus, seien b ,...,b ∈ 1 n B. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus ψ: A[x ,...,x ] → B mit 1 n ψ| =ϕ und mit ψ(x )=b (i=1,...,n). A i i Beweis. Induktion nach n mit 1.5. (cid:3) 1.14 Beispiel. Seien a ,...,a ∈A. Der nach 1.13 eindeutige Homomorphis- 1 n musψ: A[x ,...,x ]→Amitψ| =idundψ(x )=a (i=1,...,n)istEinsetzen 1 n A i i von a fu¨r x fu¨r i=1,...,n. Man schreibt deshalb f(a ,...,a ):=ψ(f). i i 1 n Ist A=K ein K¨orper, so haben wir in [B1] gesehen, daß K[x] ein Hauptideal- ringist.DagegenistK[x ,...,x ]fu¨rn≥2keinHauptidealringmehr.Wirwerden 1 n bald diskutieren, was stattdessen noch bleibt. 2. Ringe von Bru¨chen Wir diskutieren nun die Frage: Welche Ringe lassen sich in einen K¨orper ein- betten?Esistklar,daßjedersolcheRingintegerseinmuß,undwirzeigen,daßdies auch schon genu¨gt. Zun¨achst betrachten wir eine allgemeinere Situation: 2.1 Definition. Sei A ein Ring. Eine multiplikative Teilmenge von A ist eine Teilmenge S ⊆A mit 1∈S und mit (s, t∈S ⇒ st∈S). 6 1. KOMMUTATIVE RINGE 2.2 Beispiele. 1. s∈A heißt Nullteiler von A, falls es 0(cid:54)=a∈A gibt mit sa=0. Die Menge S ={a∈A: a ist kein Nullteiler von A} aller Nichtnullteiler ist eine multiplikative Teilmenge von A. Ist A integer, so ist S =A(cid:114){0}. 2. S = {1,s,s2,...} mit beliebigem s ∈ A ist eine multiplikative Teilmenge von A. 3. Fu¨r p eine Primzahl ist S = {n ∈ N: p (cid:45) n} eine multiplikative Teilmenge von Z. 2.3 Konstruktion. Sei S ⊆A eine feste multiplikative Teilmenge von A. Wir definieren eine A¨quivalenzrelation auf A×S durch (a,s)∼(a(cid:48),s(cid:48)) :⇔ ∃t∈S tas(cid:48) =ta(cid:48)s. WirzeigendieTransitivit¨at:Aus(a,s)∼(a(cid:48),s(cid:48))und(a(cid:48),s(cid:48))∼(a(cid:48)(cid:48),s(cid:48)(cid:48)),etwatas(cid:48) = ta(cid:48)s und t(cid:48)a(cid:48)s(cid:48)(cid:48) =t(cid:48)a(cid:48)(cid:48)s(cid:48), folgt s(cid:48)tt(cid:48)·as(cid:48)(cid:48) =t(cid:48)s(cid:48)(cid:48)·tas(cid:48) =t(cid:48)s(cid:48)(cid:48)·ta(cid:48)s=ts·t(cid:48)a(cid:48)s(cid:48)(cid:48) =ts·t(cid:48)a(cid:48)(cid:48)s(cid:48) =s(cid:48)tt(cid:48)·a(cid:48)(cid:48)s, also (a,s)∼(a(cid:48)(cid:48),s(cid:48)(cid:48)). Die A¨quivalenzklasse von (a,s) ∈ A × S wird mit a bezeichnet, und man s schreibt (cid:110)a (cid:111) A := (A×S)/∼ = : a∈A, s∈S S s fu¨r die Menge aller A¨quivalenzklassen.Diese Bru¨che kann man addieren und multi- plizieren wie in der Schule: a b at+bs a b ab + = , · = . s t st s t st Dabei muß man natu¨rlich pru¨fen, daß diese Operationen wohldefiniert sind. Wir tun dies hier fu¨r die Addition: Ist a = a(cid:48) und b = b(cid:48), etwa s as(cid:48) = s a(cid:48)s und s s(cid:48) t t(cid:48) 0 0 t bt(cid:48) = t b(cid:48)t, so ist s t (at+bs)s(cid:48)t(cid:48) = s t (a(cid:48)t(cid:48)+b(cid:48)s(cid:48))st, also at+bs = a(cid:48)t(cid:48)+b(cid:48)s(cid:48), ok. 0 0 0 0 0 0 st s(cid:48)t(cid:48) Die Wohldefiniertheit des Produkts sieht man noch direkter. 2.4 Satz. (A ,+,·) ist ein kommutativer Ring. S Beweis. Leichte Rechenu¨bung. Die Null in A ist 0, die Eins ist 1, und es ist S 1 1 −a = −a. (cid:3) s s 2.5 Bemerkung. Besteht S aus Nichtnullteilern von A, so gilt fu¨r Bru¨che die vereinfachte Gleichheitsregel a a(cid:48) = ⇔ as(cid:48) =a(cid:48)s. s s(cid:48) Enth¨altdagegenSeinenNullteilervonA,sowu¨rdedieseDefinitionkeineA¨quivalenz- relation ergeben. 2.6 Satz. (a) Die Abbildung ϕ: A→A , ϕ(a):= a (a∈A) ist ein Ringhomomorphis- S 1 mus, und es gilt ϕ(S)⊆(A )∗. S 2. RINGE VON BRU¨CHEN 7 (b) ϕ ist universell fu¨r diese Eigenschaft, d.h.: Ist ψ: A → B ein beliebiger Ringhomomorphismus mit ψ(S)⊆B∗, so gibt es genau einen Ringhomo- morphismus ψ(cid:101): AS →B mit ψ =ψ(cid:101)◦ϕ: A(cid:82)(cid:82)(cid:82)ψ(cid:82)(cid:82)(cid:82)(cid:40)(cid:40) ϕ (cid:54)(cid:54)B (cid:15)(cid:15) AS ∃1ψ(cid:101) Beweis. (a) ϕ Homomorphismus ist klar. Fu¨r s∈S ist ϕ(s)· 1 = s =1, also s s ϕ(s)∈(A )∗. S (b) Wegen s · a = a folgt fu¨r jedes ψ˜ wie in (b): 1 s 1 (cid:16)a(cid:17) (cid:16)s a(cid:17) (cid:16)a(cid:17) ψ(s)·ψ(cid:101) = ψ˜ · = ψ˜ = ψ(a). s 1 s 1 NachVoraussetzungistψ(s)∈B∗,alsok¨onnenundmu¨ssenwirdefinierenψ(cid:101)(a):= s ψ(s)−1 · ψ(a) (a ∈ A, s ∈ S). Nachrechnen zeigt, daß ψ(cid:101) wohldefiniert und ein Homomorphismus ist. (cid:3) 2.7 Bemerkung. DiemultiplikativeTeilmengeS ⊆Abestehtgenaudannaus Nichtnullteilern, wenn der kanonische Homomorphismus ϕ: A → A injektiv ist. S Das folgt aus (cid:110) a 0(cid:111) (cid:110) (cid:111) ker(ϕ)= a∈A: = = a∈A: ∃s∈S sa=0 . 1 1 2.8 Korollar. Sei A ein integrer Ring, sei S = A(cid:114){0}. Dann ist A ein S K¨orper, und ϕ: A → A ist injektiv. Man schreibt Quot(A) := A und nennt S S Quot(A) den Quotientenk¨orper von A. Beweis. ϕ ist injektiv nach 2.7. Ist a ∈ A mit a (cid:54)= 0, so ist a (cid:54)= 0, also s S s 1 s ∈A , und a · s =1. (cid:3) a S s a 2.9 Korollar. Ein Ring ist genau dann isomorph zu einem Teilring eines K¨orpers, wenn er integer ist. Beweis. Ist A integer, so ist ϕ: A → Quot(A), ϕ(a) = a ein Isomorphismus 1 von A auf den Teilring ϕ(A) von Quot(A). Die Umkehrung ist klar. (cid:3) 2.10 Beispiele. 1. Fu¨r A=Z ergibt sich die u¨bliche Konstruktion von Q=Quot(Z). Die klas- sische Bruchrechnung ist in der allgemeinen Konstruktion von A imitiert worden. S 2. Sei K ein K¨orper. Der Polynomring K[x ,...,x ] ist integer. Man schreibt 1 n (cid:110)f (cid:111) K(x ,...,x ) := QuotK[x ,...,x ] = : f, g ∈K[x ,...,x ], g (cid:54)=0 . 1 n 1 n g 1 n MannenntK(x ,...,x )denrationalenFunktionenk¨orper indenVariablenx ,..., 1 n 1 x (u¨ber K), und seine Elemente die rationalen Funktionen in x ,...,x . n 1 n