J ua n A nt o ni o C Universidad Autonóumaé dle lNuaevro LCeóan rvajal Revisión Técnica M. en E. Ing. Gerardo Aguilera González Universidad Autonóma de Nuevo León MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO Publisher de división escolar: Jorge Rodríguez Hernández Director editorial y de ventas. División Bachillerato: Ricardo Martín del Campo Mora Editora sponsor: Sergio G. López Hernández Supervisora de producción: Marxa de la Rosa Pliego Diseño de portada: Víctor Ortíz Iconografía: Saúl Martín del Campo Núñez Formación tipográfica: Juan Castro (TROCAS) Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 2010, 2003 respecto a la segunda edición por: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Punta Santa Fe, Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN: 978-607-15-0380-0 (ISBN: 970-10-4199-2 primera edición) 1234567890 109876543210 Impreso en México Printed in Mexico Con el amor de siempre, para mi hijo Carlos Enrique Cuéllar Aldaco Índice de contenido 1. Conjuntos 1 Notación de conjuntos 1 Formas de especifi car un conjunto 2 Clases de conjuntos 5 Conjunto vacío 5 Conjuntos fi nitos 5 Conjuntos infi nitos 5 Conjunto unitario 5 Cardinalidad de un conjunto fi nito 5 Relaciones entre conjuntos 6 Conjuntos equivalentes 6 Conjuntos iguales 6 Subconjuntos 6 Subconjunto propio 6 Conjuntos comparables 7 Conjunto potencia 7 Operaciones con conjuntos 12 Intersección de conjuntos 12 Conjuntos ajenos o disjuntos 13 Unión de conjuntos 13 Diferencia de conjuntos 13 Conjunto complemento 14 Diagramas de Venn 15 Producto cartesiano de conjuntos 18 Representación gráfi ca de un producto cartesiano 18 Sistema de coordenadas cartesiano 19 2.Sistemas de numeración 29 Características y principios de los sistemas de numeración 29 Principio repetitivo 30 Principio aditivo 30 Principio sustractivo 30 Principio multiplicativo 31 Principio de posición o de valor relativo 31 Base de un sistema de numeración 31 Sistema de numeración egipcio 38 Sistema de numeración maya 40 Sistema de numeración romano 42 vi Índice de contenido Sistema de numeración babilónico 43 Sistema decimal 40 Escritura de un número en el sistema decimal 46 Lectura de un número del sistema decimal 48 3. Propiedades de los números reales 61 Representación de los números reales en una recta numérica 62 Relación de orden entre los números reales 62 Intervalos 62 Operaciones fundamentales con los números reales 65 Propiedades de la suma o adición 65 Suma y valor absoluto de números reales 66 Suma de números reales 66 Regla de los signos cuando se suman números con signos iguales 66 Regla de los signos cuando se suman números con signos diferentes 66 Sustracción o resta 67 Propiedades de la sustracción 68 Signos de agrupación 68 Multiplicación 69 Propiedades de la multiplicación 69 Reglas de los signos para la multiplicación 71 División 71 Propiedades de la división 72 Potenciación 78 Propiedades de los exponentes 78 Radicación 83 Exponentes racionales 85 Notación científi ca 88 4. Divisibilidad, múltiplos y divisores 97 Divisibilidad 97 Principios de divisibilidad 97 Características de la divisibilidad 98 Números primos 99 Descomposición de un número en sus factores primos 101 Máximo común divisor 102 Algoritmo de Euclides 103 Primos relativos 104 Mínimo común múltiplo 106 Índice de contenido vii 5. Números racionales 113 Interpretación de un número racional 113 Fracciones 114 Fracciones propias e impropias 114 Número mixto 114 Expresión de un número mixto en forma de fracción 114 Fracciones homogéneas y fracciones heterogéneras 115 Fracciones equivalentes 115 Simplifi cación de fracciones 119 Operaciones con números racionales 121 Suma de fracciones 121 Suma de fracciones homogéneas 121 Suma de fracciones heterogéneas 121 Resta de fracciones 125 Resta de fracciones homogéneas 125 Resta de fracciones heterogéneas 125 Multiplicación de fracciones 127 División de fracciones 129 Expresión de una fracción en forma de número decimal 134 Expresión de un número decimal fi nito en forma de fracción 135 Expresión de un número decimal periódico en forma de fracción 136 Densidad de los números racionales 137 6. Operaciones con polinomios 147 Terminología algebraica 147 Expresión algebraica 148 Elementos de un término 148 Signo de un término 148 Coefi ciente numérico 148 Parte literal 148 Grado 149 Lenguaje algebraico 149 Términos semejantes 151 Reducción de términos semejantes 151 Operaciones con polinomios 153 Clasifi cación de los polinomios 153 Suma de polinomios 154 Resta de polinomios 157 viii Índice de contenido Multiplicación de polinomios 158 Multiplicación de monomios 159 Multiplicación de un monomio por un polinomio 160 Multiplicación de un polinomio por un polinomio 162 Productos notables 164 Producto de dos binomios conjugados 164 Cuadrado de un binomio 166 El producto de dos binomios que tienen un término común 167 Cubo de un binomio 168 División de polinomios 173 División de un monomio entre un monomio 173 División de un polinomio entre un monomio 173 División de polinomios 174 Simplifi cación de expresiones algebraicas que tienen signos de agrupación 179 Evaluación de expresiones algebraicas 182 7. Factorización 193 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un monomio factor común 193 Diferencia de cuadrados 197 Trinomio cuadrado perfecto 200 Factorización de trinomios cuadráticos de la forma x2 1 bx 1 c 201 Regla del discriminante para verifi car si un trinomio cuadrado se puede factorizar 204 Factorización por agrupamiento 206 Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 1 bx 1 c, por agrupación, con a, b y c enteros y a 0 210 Factorización de suma y diferencia de cubos 215 Recomendaciones generales para la factorización de polinomios 217 Teorema del binomio 217 Factorial 218 Coefi cientes binomiales 219 Teorema del binomio 220 Uso del teorema del binomio para encontrar el r-ésimo término de un desarrollo binomial 220 8. Teorema del residuo y del factor 227 Teorema del residuo 227 División sintética 228 Índice de contenido ix Teorema del factor 230 Factorización de polinomios de tercer grado 231 9. Expresiones racionales 239 Fracciones algebraicas 239 Signos de una fracción algebraica 239 Propiedades de las fracciones algebraicas 240 Simplifi cación de fracciones algebraicas 241 Multiplicación de fracciones algebraicas 245 División de fracciones algebraicas 248 Suma y resta de fracciones algebraicas 250 Suma y resta de fracciones homogéneas 250 Suma y resta de fracciones heterogéneas 251 Fracciones complejas 257 10. Radicales 265 Exponentes fraccionarios 265 Propiedades de los radicales 266 Simplifi cación de radicales 267 Suma y resta de radicales 272 Multiplicación de radicales 275 División de radicales 280 Racionalización del denominador 282 11. Ecuaciones 289 Defi nición de conceptos 289 Ecuación 289 Incógnitas de una ecuación 289 Dominio de defi nición en una ecuación 289 Identidad 289 Ecuación condicional 289 Conjunto solución 290 Ecuaciones equivalentes 290 Solución de ecuaciones 290