Algebra Lukas Pottmeyer Vorwort Dieses Skript entstand aus der Zusammensetzung von Skripten zu meinen Vorlesungen Algebra I an der TU Darmstadt WS13/14 und Algebra II an der TU Dortmund im WS14/15. Diese einzelnen Skripte dienten lediglich zur Nachbearbeitung zu den jeweiligen Vorlesungen. Das Skript orientiert sich weitestgehend an den Vorlesungen Algebra I+II von Prof. Dr. Wal- ter Gubler an der Eberhardt-Karls-Universit¨at Tu¨bingen in den Semestern WS09/10+SS10. Die Abbildungen 3.1, 4.5, 5.2, 5.3, 7.1, 7.2, 7.4, A.2 sind der Oberwolfach Photo Collection [MFO] des MFO entnommen, die diese Bilder freundlicherweise unter der Creative Commons License Attribution- Share Alike 2.0 Germany zur Verfu¨gung stellen. Die restlichen Abbildungen sind nach meinem bestem Wissen ¨offentliches Eigentum. Fu¨rdieVollst¨andigkeitundFehlerfreiheitkannnichtgarantiertwerden.Feh- ler k¨onnen gerne an meine aktuelle Email-Adresse gesendet werden. Lukas Pottmeyer EINLEITUNG iii Einleitung Um das Jahr 825 verfasste der persische Gelehrte Abu¯ G˘a’far Muh.ammad b. Mu¯s¯a al-Hw¯arazm¯ı das Lehrbuch Al-Kit¯ab al-muhta.sar f¯i h.is¯ab al-˘gabr wa- ˘ ˘ ’l-muq¯abala (etwa: Das kurzgefasste Buch u¨ber die Rechenverfahren durch Erg¨anzen und Ausgleichen). Dieses Buch pr¨asentiert allgemeine Verfahren zum L¨osen von linearen und quadratischen Gleichungen in den positiven reellen Zahlen. Aus dem Wort al-˘gabr leitet sich das Wort Algebra ab. Die klassische Algebra besch¨aftigt sich also mit dem L¨osen von polynomiellen Gleichungen. Der Fall der linearen Gleichungen wurde ausgiebig in der li- nearen Algebra behandelt. (Das Wort Algorithmus stammt u¨brigens vom Namen al-Hw¯arazm¯ı). In der modernen Algebra besch¨aftigt man sich mit ˘ dem Studium von Verknu¨pfungen, wie sie zum Beispiel Gruppen definieren. Dieser abstrakte Zugang hat den Vorteil, dass er nicht auf einen konkre- ten Zahlbereich zum L¨osen von Gleichungen beschr¨ankt ist. Dadurch kann manErgebnisseerlangen,dieweitu¨berdasL¨oseneinerspeziellengegebenen Gleichung hinaus gehen. So werden wir unter anderem sehen, dass es eine algebraische L¨osungsformel fu¨r polynomielle Gleichungen vom Grad n (wie die p,q-Formel falls n = 2) nur gibt, wenn n ≤ 4 gilt. Ein weiteres Highlight ist der Beweis der Unm¨oglichkeit der Quadratur des Kreises. Das heißt, dass es nicht m¨oglich ist nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal aus einem gegebe- nen Kreis ein fl¨achengleiches Quadrat zu konstruieren. Dies sind nur zwei der Anwendungen, die wir in diesem Skript betrachten. Wir werden die Grundlagen der Gruppentheorie voraussetzen, da diese be- reitsinvorangegangenenVorlesungenstudiertwurden.Nichtsdestotrotzwer- den wir die wesentlichen Definitionen und S¨atze ohne Beweise wiederholen. In diesem Skript studieren wir die Verknu¨pfungen in Ringen, K¨orpern und Moduln. Die ersten beiden Strukturen sind bereits aus der linearen Algebra bekannt. Ein Modul ist kurzgesagt ein Vektorraum der u¨ber einem Ring de- finiert ist. Bei Letzterem ist es erstaunlich festzustellen wie viel Allgemeiner dieseStrukturimVergleichzudensehrzahlenVektorr¨aumenist.Mitdiesem Wissen werden wir einen anderen Aspekt der Gruppentheorie betrachten, die sogenannte Darstellungstheorie endlicher Gruppen. Diese erlaubt es ab- strakte endliche Gruppen in einem geometrischen Kontext zu untersuchen. Zum Schluß geben wir eine (sehr) kurze Einfu¨hrung in die algebraische Geo- metrie. iv Notation Mit N bezeichnen wir die natu¨rlichen Zahlen, diese enthalten nicht die 0. Die Menge der natu¨rlichen Zahlen mit 0 bezeichnen wir mit N . Fu¨r eine 0 Menge M bezeichnen wir mit |M| die Kardinalit¨at von M. Inhaltsverzeichnis Vorwort ii Einleitung iii Notation iv Kapitel 1. Gruppentheorie 1 1.1. Wiederholung 1 Kapitel 2. Ringtheorie 11 2.1. Ringe 11 2.2. Ideale und Restklassenringe 13 2.3. Beispiele fu¨r Ringe 18 2.4. Lokalisierungen 20 2.5. Teilbarkeit in Monoiden 23 2.6. Hauptideale 27 2.7. Faktorielle Ringe 30 2.8. Polynome u¨ber faktoriellen Ringen 35 Kapitel 3. K¨orper 43 3.1. Grundlagen 43 3.2. K¨orpererweiterungen 46 3.3. Algebraische Zahlen 51 3.4. Zerf¨allungsk¨orper 55 3.5. Algebraisch abgeschlossene K¨orper 58 Kapitel 4. Galois-Theorie 65 4.1. Normale K¨orpererweiterungen 65 4.2. Separable K¨orpererweiterungen 67 4.3. Galois-Theorie 74 4.4. Kreisteilungsk¨orper 82 4.5. Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal 89 4.6. Aufl¨osbarkeit algebraischer Gleichungen 96 Kapitel 5. Modultheorie 107 5.1. Grundlagen 107 v vi INHALTSVERZEICHNIS 5.2. Freie Moduln 111 5.3. Artinsche und noethersche Moduln 117 5.4. Moduln u¨ber Hauptidealbereichen 125 5.5. Einfache und halbeinfache Moduln 131 5.6. Einfache und halbeinfache Ringe 135 5.7. Das Tensorprodukt 143 Kapitel 6. Darstellungstheorie 147 6.1. Die Gruppenalgebra und weitere Grundlagen 147 6.2. Charaktere 155 6.3. Skalarprodukte von Charakteren 158 6.4. Die Charaktertafel 166 Kapitel 7. Kommutative Algebra 171 7.1. Algebraische Unabh¨angigkeit 171 7.2. Grundbegriffe der algebraischen Geometrie 178 7.3. Dimensionstheorie 188 Anhang A. Transzendente Elemente 199 A.1. Die Liouvillekonstante 199 A.2. Die Kreiszahl π 200 Literaturverzeichnis 207 KAPITEL 1 Gruppentheorie 1.1. Wiederholung IndiesemAbschnittfassenwirdiewesentlichenDefinitionenundS¨atzeinder Gruppentheoriezusammen,diewirindieserVorlesungbenutzenwerden.Da der gesamte Inhalt aus der Vorlesung ’Einfu¨hrung in die Algebra’ bekannt seien sollte, werden wir auf Beweise weitestgehend verzichten. Definition 1.1.1. Sei G eine Menge mit einer inneren Verknu¨pfung · : G×G −→ G; (a,b) (cid:55)→ a·b. Wir definieren die folgenden Eigenschaften. (G1) (Assoziativit¨at) (a·b)·c = a·(b·c) (G2) (Neutralelement) ∃e ∈ G mit a·e = e·a = a (G3) (Inverse) ∀a ∈ G : ∃a−1 ∈ G mit a·a−1 = a−1·a = e Ist die Eigenschaft (G1) erfu¨llt, so heißt (G,·) Halbgruppe. Eine Halbgrup- pe die auch (G2) erfu¨llt heißt Monoid. Schließlich heißt ein Monoid, das auch (G3) erfu¨llt Gruppe. Eine Gruppe heißt abelsch, genau dann, wenn sie kommutativ ist, d.h. a·b = b·a ∀a,b ∈ G. Ist aus dem Zusammenhang klar welche Verknu¨pfung gemeint ist, dann schreibenwirkurznurGfu¨reineHalbgruppe,einMonoidodereineGruppe. Bemerkung 1.1.2. Fu¨reinMonoidM definierenwirM∗ = {a ∈ M|∃a−1 ∈ M, mit a−1 ·a = a·a−1 = e}. Es ist offensichtlich, dass M∗ eine Gruppe bzgl. ·“ bildet. ” Ein Homomorphismus ist eine Abbildung ϕ : G −→ G zwischen zwei 1 2 algebraischen Strukturen G und G , die die Struktur von G erh¨alt. Unter- 1 2 1 objekte sind Teilmengen eines gegebenen Objekts mit derselben vererbten“ ” Verknu¨pfung. Fu¨r Gruppen heißt dies explizit: Definition 1.1.3. Sind G ,G Gruppen so ist ein Gruppen-Homomorphis- 1 2 mus eine Abbildung ϕ : G −→ G mit ϕ(a·b) = ϕ(a)·ϕ(b). 1 2 Wir definieren eine Untergruppe H einer Gruppe G als Teilmenge H ⊆ G mit den folgenden 3 Axiomen: (i) e ∈ H 1 2 1.GRUPPENTHEORIE (ii) a,b ∈ H =⇒ a·b ∈ H (iii) a ∈ H =⇒ a−1 ∈ H Durch diese Axiome erreicht man wie gewu¨nscht, dass H selbst eine Gruppe bezu¨glich der von G vererbten Verknu¨pfung ist. Definition/Satz1.1.4. Seiϕ : G −→ G einGruppen-Homomorphismus. 1 2 Wir definieren den Kern von ϕ als ker(ϕ) := ϕ−1(e2) = {a ∈ G1(cid:12)(cid:12)ϕ(a) = e2}. Dann ist ker(ϕ) eine Untergruppe von G und ϕ(G ) ist eine Untergruppe 1 1 von G . Weiter ist ϕ genau dann injektiv, wenn ker(ϕ) = {e } ist. 2 1 Ein Isomorphismus ist ein Homomorphismus der eine beidseitige Umkehrab- bildung besitzt, die selbst wieder ein Homomorphismus ist. Man kann sogar zeigen, dass eine Abbildung genau dann ein Gruppen-Isomorphismus ist, wenn sie ein bijektiver Gruppen-Homomorphismus ist. Beispiel 1.1.5. Sei X eine Menge. Wir definieren M(X) als die Menge aller Abbildungen f : X −→ X und wir benutzen die Hintereinanderausfu¨hrung ◦“ als Verknu¨pfung auf M(X). Dann ist M(X) ein Monoid mit Neutral- ” element id, und M(X)∗ ist die Menge der bijektiven Selbstabbildungen von X. Wir nennen S(X) := M(X)∗ die symmetrische Gruppe auf X. Ist X endlich, so k¨onnen wir stets X = {1,...,n} annehmen. In diesem Fall wird S(X) auch Permutationsgruppe genannt und wir schreiben hierfu¨r kurz S . n Jedes σ ∈ S hat ein Signum sig(σ) ∈ {−1,1}. Die Abbildung sig : S −→ n n {±1}isteinGruppen-Homomorphismus,dessenKernnach1.1.4eineUnter- gruppe von S ist, die wir mit A bezeichnen und die Alternierende Gruppe n n heißt. Fu¨r n ≥ 4 sind S und A keine abelschen Gruppen. n n Theorem 1.1.6 (Satz von Cayley). Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe von S(X) fu¨r eine geeignete Menge X. Falls n = ord(G) < ∞, dann kann man S(X) = S w¨ahlen. n Beweis. Sei g ∈ G beliebig. Betrachte die Abbildung τ : G → G;h (cid:55)→ gh. g Da τ ein beidseitiges Inverses zu τ ist, wissen wir dass τ bijektiv ist. g−1 g g Damitistτ einElementdersymmetrischenGruppeS(G).Natu¨rlichistdas g Neutralelement in S(G) gegeben durch τ . Die Abbildung ϕ : G → S(G); e g (cid:55)→ τ ist damit wohldefiniert. Weiter gilt fu¨r beliebige g,g(cid:48) ∈ G: g ϕ(gg(cid:48))(h) = τ (h) = (gg(cid:48))h = g(g(cid:48)h) = τ ◦τ (h) = (ϕ(g)◦ϕ(g(cid:48)))(h)∀h ∈ G gg(cid:48) g g(cid:48) Also ist ϕ ein Gruppen-Homomorphismus. Dieser ist injektiv, da aufgrund der Eindeutigkeit des Neutralelements der Kern von ϕ trivial ist. Also ist G 1.1.WIEDERHOLUNG 3 isomorph zu ϕ(G). Letzteres ist als Bild einer Gruppe unter einem Homo- morphismus wieder eine Gruppe, also eine Untergruppe von S(G). (cid:3) Abbildung 1.1. DerenglischeMathematikerArthurCa- yley (1821 - 1895) fu¨hrte 1854 als erster die Definition und den Begriff einer abstrakten Gruppe ein. Von 1846 bis 1863 arbeitete er als Anwalt. Er gab die Mathematik jedoch nie auf und publizierte auch in dieser Zeit starke mathematische Arbeiten. Definition 1.1.7. Sei (G ) eine Familie von Gruppen. Dann betrachten i i∈I wir (cid:89) (cid:8) (cid:12) (cid:9) Gi = (xi)i∈I(cid:12)xi ∈ Gi i∈I (cid:81) Wir definieren dann das Produkt der Gruppen (G ) als G versehen i i∈I i∈I i mit der Verknu¨pfung (x ) ·(y ) := (x ·y ) i i∈I i i∈I i i i∈I Es folgt sofort, dass das Produkt von Gruppen wieder eine Gruppe ist. Dieses direkte Produkt von Gruppen ist nicht zu verwechseln mit dem Pro- duktvonTeilmengeneinergegebenenGruppe.IstGeineGruppeundsindY undZ beliebigeTeilmengenvonGsoschreibenwirYZ = {yz|y ∈ Y,z ∈ Z}. Insbesondere ist HH = H fu¨r jede Untergruppe H von G. Definition 1.1.8. Eine Untergruppe N der Gruppe G heißt Normalteiler von G, genau dann wenn gNg−1 = N gilt fu¨r alle g ∈ G. Ist dies erfu¨llt so schreiben wir N (cid:47)G. Fu¨r eine beliebige Untergruppe H von G sind die Mengen gH, g ∈ G, die Linksnebenklassen von H. Die Menge aller Linksnebenklassen von H bezeichnen wir mit G/H. Die Anzahl der verschiedenen Linksnebenklassen von H ist der Index von H in G und wird mit [G : H] bezeichnet. Bemerkung 1.1.9. Jeder Linksnebenklasse von H in G k¨onnen wir ein (nicht eindeutiges) Element g aus G zuordnen, so dass gH die gew¨ahl- te Linksnebenklasse darstellt. Die Verknu¨pfung (g H)(g H) = (g g H) ist 1 2 1 2 wohldefiniert genau dann wenn H(cid:47)G und dies ist genau dann der Fall wenn G/H eine Gruppe bzgl. dieser Verknu¨pfung bildet. G/H heißt dann Faktor- gruppe. 4 1.GRUPPENTHEORIE In Linksnebenklassen zu rechnen ist dasselbe wie modulo einer Untergruppe H zu rechnen. Das heißt, wir schreiben a ≡ b mod H fu¨r a,b ∈ G genau dann wenn ab−1 ∈ H ist. Manchmal schreiben wir hierfu¨r auch a ∼ b. H Beachte, dass ∼ eine A¨quivalenzrelation ist und die A¨quivalenzklasse von H g ∈ G genau die Linksnebenklasse g = gH ist. Bemerkung 1.1.10. DieQuotientenabbildungπ : G −→ G/N ;g (cid:55)→ g istein surjektiver Gruppen-Homomorphismus, weil wir in G/N repr¨asentantenweise rechnen du¨rfen. Dann ist ker(π) = N. Proposition 1.1.11. Sei ϕ : G −→ G ein Gruppen-Homomorphismus, 1 2 dann ist ker(ϕ) ein Normalteiler von G . 1 Theorem 1.1.12 (Homomorphiesatz). Sei ϕ : G −→ G ein Gruppen- 1 2 Homomorphismus und N ein Normalteiler von G mit N ⊆ ker(ϕ). Dann 1 1 1 gibt es genau einen Homomorphismus ϕ : G1/N1 → G2 so, dass ϕ(x) = ϕ(x). Weiter ist der Kern von ϕ gleich ker(ϕ)/N1. Korollar1.1.13(Isomorphiesatz). WirbetrachteneinensurjektivenGrup- pen-Homomorphismus ϕ : G → G . Dann gibt es genau einen Isomorphis- 1 2 mus ϕ : G1/ker(ϕ) → G2 so, dass ϕ(x) = ϕ(x). Theorem 1.1.14 (1. Isomorphiesatz). Sei G eine Gruppe, H eine Unter- gruppe und N (cid:47)G. Dann gilt: (a) HN ist eine Untergruppe von G mit Normalteiler N (cid:47)HN (b) H ∩N (cid:47)H (c) H/H∩N −→ HN/N; x(H ∩N) (cid:55)→ xN ist ein Isomorphismus Theorem 1.1.15 (2. Isomorphiesatz). Sei H(cid:47)G, N(cid:47)G, N ⊆ H ⊆ G. Dann gilt (a) N (cid:47)H (b) H/N (cid:47)G/N ∼ (c) (G/N)/(H/N) −→ G/H, gN (cid:55)→ gH ist ein Gruppen-Isomorphismus. Definition 1.1.16. Fu¨reineendlicheGruppeGistdieOrdnung ord(G) ∈ N die Anzahl der Elemente von G. Theorem 1.1.17 (Lagrange). Sei H eine Untergruppe der Gruppe G. Dann gilt ord(G) = ord(H)[G : H] Korollar 1.1.18. ord(H) ist ein Teiler von ord(G). Mitdenu¨blichenRechenregelnfu¨rdasSymbol∞,erweitertsichdiesesTheo- rem auch auf unendliche Gruppen.