Alex Fabiano de Almeida Projeto ótimo baseado em confiabilidade de pórticos planos de concreto armado Tese de Doutorado Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil. Ênfase: Estruturas Orientadora: Marta de Souza Lima Velasco Co-orientador: Luiz Eloy Vaz Rio de Janeiro Março de 2008 Alex Fabiano de Almeida Projeto ótimo baseado em confiabilidade de pórticos planos de concreto armado Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Marta de Souza Lima Velasco Orientadora DEC / PUC-Rio Luiz Eloy Vaz Co-Orientador DME / UFRJ Andréia Abreu Diniz de Almeida DEC / PUC-Rio Sylvia Regina Mesquita de Almeida EEC / UFG Sergio Hampshire C. Santos DME / UFRJ Claudia R. Eboli DME / UFRJ José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro, 05 de março de 2008 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Alex Fabiano de Almeida Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Goiás, UEG, em fevereiro de 2001. Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil (Estruturas) da Universidade Federal de Goiás, UFG, em março de 2002, atuando na área de Otimização de Estruturas. Concluiu o curso de Mestrado em Engenharia Civil em fevereiro de 2004. Ficha Catalográfica Almeida, Alex Fabiano de Projeto ótimo baseado em confiabilidade de pórticos planos de concreto armado / Alex Fabiano de Almeida; orientadora: Marta de Souza Lima Velasco; co-orientador: Luiz Eloy Vaz. – 2008. 147 f. : il. ; 30 cm Tese (Doutorado em Engenharia Civil)– Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008. Inclui bibliografia 1. Engenharia civil – Teses. 2. Concreto armado. 3. Confiabilidade. 4. Otimização. 5. RBDO. I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Vaz, Luiz E l o y . I I I . Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título. CDD: 624 À minha mãe: Maria Madalena Abadias, pelos ensinamentos, compreensão e amor. Agradecimentos A Deus, por ter me concedido o dom da vida, inteligência e sabedoria; À professora Marta e ao professor Eloy, pela paciência, orientação acadêmica e pessoal; Às minhas amigas Maria Fernanda e Paola pela amizade e as muitas vezes que me deixaram falando sozinho; Ao meu amigo Walter Edgley pelo companheirismo; Aos colegas do doutorado; Ao CNPq, pelo apoio financeiro; Aos amigos que fiz nesse período e que foram de fundamental importância; À minha mãe e aos meus irmãos, pelo estímulo, compreensão e amor imensurável, obrigado por serem minha família. Resumo Almeida, Alex Fabiano de; Velasco, Marta de Souza Lima; Vaz, Luiz Eloy. Projeto ótimo baseado em confiabilidade de pórticos planos de concreto armado. Rio de Janeiro, 2008. 147p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Este trabalho compara o projeto ótimo determinístico (DDO) com o projeto ótimo baseado em confiabilidade (RBDO) de pórticos planos de concreto armado. A estrutura é modelada por uma malha de elementos finitos usando elementos de barras e considerando a não-linearidade geométrica e dos materiais. Na formulação do problema de otimização proposto as variáveis de projeto são definidas para cada elemento finito da malha. Elas são as armaduras superior e inferior das seções transversais de extremidade do elemento, a altura da seção do elemento, as áreas de armadura transversal e o parâmetro D usado para descrever os estados limites últimos de acordo com a norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2004). Os algoritmos de otimização utilizados são os de programação quadrática seqüencial (PQS), programação linear seqüencial (PLS) e o método das direções viáveis (MDV). As variáveis randômicas do problema de RBDO são a resistência à compressão do concreto, as resistências à tração e à compressão do aço, assim como as cargas aplicadas. As funções de comportamento são de dois tipos, a primeira é relativa à carga crítica da estrutura e a segunda ao controle de deslocamento para o estado limite de utilização. Para o cálculo da probabilidade de falha de uma função de comportamento, em cada iteração do problema de RBDO, o método FORM (PMA) utilizará o algoritmo HMV para obtenção do ponto de projeto. Análise de sensibilidade é feita pelo método analítico. Palavras-chave Concreto Armado; Confiabilidade; Otimização; RBDO. Abstract Almeida, Alex Fabiano de; Velasco, Marta de Souza Lima (Advisor); Vaz, Luiz Eloy (Co-Advisor). Reliability-based design optimization of reinforced concrete plane frames. Rio de Janeiro, 2008. 147p. DSc. Thesis – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. This work compares the Deterministic Design Optimization (DDO) with the Reliability-Based Design Optimization (RBDO) of reinforced concrete plane frames. The structure is modeled by a finite element mesh using bar elements and considering both geometric and material nonlinearities. In the formulation of the proposed optimization problem the design variables are defined for each element of the finite element mesh. They are the areas of tensile and compressive reinforcement at the element ends, the depth of the element rectangular cross-section, the areas of shear reinforcement, and the parameter D used to describe the deformation limit sates for the element cross-sections defined according to the Brazilian code for the design of concrete structures NBR 6118 (ABNT, 2004). The optimization algorithms used are the Sequential Linear Programming (SLP), the Sequential Quadratic Programming (SQP) and the Method of Feasible Direction (MFD). The random variables of the RBDO problem are the concrete compressive strength, the steel compressive and tensile strength, as well as some applied loads. The performance functions are of two types, the first relates to the critical load of the structure and the second to the control of displacements in the serviceability state. For performing the calculation of the probability of failure for the associated performing function in each iteration of the RBDO problem, the method FORM (PMA) will be used in connection with the HMV algorithm for obtaining the project point. The sensitivity analyses are carried out by the analytical method. Keywords Reinforced concrete plane frames; Reliability; Optimization; RBDO. Sumário 1 Introdução 23 1.1. Considerações iniciais e objetivos 23 1.2. Histórico e revisão bibliográfica 25 1.2.1. Otimização via DDO (Deterministic Design Optimization) 25 1.2.2. Análise de confiabilidade 26 1.2.3. Otimização via RBDO 29 1.3. Procedimento proposto neste trabalho 35 1.4. Organização do trabalho 36 2 O conceito de RBDO 38 2.1. Definições necessárias 38 2.2. Exemplo ilustrativo 39 3 Análise de pórticos planos de concreto armado 41 3.1. Introdução 41 3.2. Análise não-linear de pórticos planos 41 3.2.1. Considerações iniciais 41 3.2.2. Características dos materiais 42 3.2.3. Deformação axial e curvatura 44 3.2.4. Esforços internos no elemento 46 3.2.5. Equação de equilíbrio 47 3.2.6. Modelos de elementos finitos 48 3.3. Cargas críticas 50 4 Análise de confiabilidade de estruturas 52 4.1. Conceitos básicos de probabilidade 53 4.1.1. Parâmetros de uma variável aleatória 54 4.1.2. Distribuições probabilísticas 57 4.1.3. Função densidade de probabilidade conjunta 57 4.2. Estado limite 58 4.2.1. Função de falha (função de comportamento ou função de estado limite) 59 4.3. Índice de confiabilidade 61 4.4. Método de simulação de Monte Carlo (MC) 65 4.5. Método de confiabilidade de 1ª ordem (FORM) 66 4.6. Confiabilidade de sistemas 69 4.7. Determinação dos coeficientes parciais de segurança para um projeto específico 71 4.8. Fator de importância 72 4.9. Níveis dos métodos de projeto 72 5 Projeto de Otimização Determinístico (DDO) 74 5.1. Introdução 74 5.2. Dimensionamento ótimo de uma seção de concreto armado à flexão composta reta 74 5.3. Descrição do problema proposto via método DDO 78 5.3.1. Variáveis de projeto 78 5.3.2. Função objetivo 80 5.3.3. Restrições de resistência 81 5.3.4. Restrições para o ELS 83 5.3.5. Restrições com relação à altura das vigas 84 5.3.6. Restrições referentes às armaduras 84 5.3.7. Restrição relativa ao fator de carga crítica 85 5.3.8. Restrições laterais 85 5.3.9. Adimensionalização de variáveis 86 5.3.10. O problema de DDO 87 6 Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO) 89 6.1. Condição de proximidade de projeto 93 6.2. Análise de confiabilidade pelo RIA (Reliability Index Approach) 94 6.3. Análise de confiabilidade por PMA (Performance Measure Approach) 95 6.4. Análise de confiabilidade híbrida por PMA 95 6.4.1. Método do valor médio avançado (AMV) 96 6.4.2. Método do valor médio conjugado (CMV) 96 6.4.3. Método do valor médio híbrido (HMV) 97 6.5. Variáveis aleatórias do problema 98 6.5.1. Propriedades mecânicas do concreto 98 6.5.2. Propriedades mecânicas da armadura longitudinal 99 6.5.3. Carregamento externo 99 6.5.4. Fatores de modelagem 100 6.6. O problema RBDO 101 7 Análise de sensibilidade 104 7.1. Introdução 104 7.2. Esforços internos resistentes 104 7.3. Esforços internos solicitantes 106 7.4. Deslocamentos 107 7.5. Carga crítica 108 7.6. Função objetivo 109 7.7. Restrições 110 7.8. Funções de comportamento 112 8 Aplicação numérica 114 8.1.1. Primeiro exemplo de aplicação 114 8.1.2. Segundo exemplo de aplicação 118 8.1.3. Terceiro exemplo de aplicação 121 8.1.4. Quarto exemplo de aplicação 124 9 Considerações finais 131 9.1. Conclusões 131 9.2. Sugestões para trabalhos futuros 132 10 Referências bibliográficas 133 Apêndice A 139 Apêndice B 145