Aktivnosti Hrvatskog matematicˇkog druˇstva u ak. god. 2013./2014. Kolokviji i seminari Znanstveni kolokvij Hrvatskog matematicˇkog druˇstva Voditelji: dr. Matija Kazalicki Odrˇzano je 9 predavanja. Popis predavanja: On arithmetically defined hyperbolic manifolds and their Betti numbers, J. Schwermer,University of Vienna; CM values of regu- larized theta lifts, S. Ehlen, TU Darmstadt; Verteks-algebre,W-algebre i njihove reprezentacije, D. Adamovi´c, PMF–Matematiˇcki odsjek; Dif- ferential Operators of arbitrary order between zero and two, M. Kas- smann, Bielefeld Universit¨at; Diracovi operatori u teoriji reprezenta- cija, P. Pandˇzi´c, PMF–Matematiˇcki odsjek; Geometrijska kombinato- rikaikvantitativnatopologija,R.Zˇivaljevi´c,MatematiˇckiinstitutSANU, Beograd; Klasifikacije ireduciblnih unitarnih reprezentacija i reducibil- nost, M. Tadi´c, PMF–Matematiˇcki odsjek; Simultana homogenizacija i redukcija dimenzije u elastiˇcnosti, I. Velˇci´c, Fakultet elektrotehnike i raˇcunarstva; ExistenceofglobalweaksolutionstoNavier-Stokes-Fokker- Planck systems, E. Su¨li, Mathematical Institute, University of Oxford. Kolokvij Inˇzenjerske sekcije Hrvatskog matematicˇkog druˇstva Voditelj: dr. Kristina Sˇori´c Odrˇzano je 7 kolokvija. Popis predavanja: Numeriˇcke metode u kontroli i upravljanju, Z. Drmaˇc, PMF–Matematiˇcki odsjek; Kreditni rizik - Modeliranje i izazovi, V. Krainz, Raiffeisen Bank; Optimal Allocation of Exclusivity Contracts, S. Pekeˇc, Fuqua School of Business, Duke University, SAD; Dinamiˇcki model odrˇzivog razvoja turizma, I. Sever, Institut za turizam Zagreb; Ukratkoooperacijskommanagementu,K.Sˇori´c,Zagrebaˇckaˇskolaekono- mije i managementa; Modeliranje preferencija investitora na hrvatskom trˇziˇstukapitala: trˇziˇsnacijena rizika volatilnosti, P.Posedel,Zagrebaˇcka ˇskolaekonomijeimanagementa; Matematiˇckialatiuupravljanjulancem opskrbe,ZˇeljkaSeniˇci´c,IvanaPezak,JelenaMilojevi´c,AdrianAlajkovi´c, Konzum d.o.o. 471 472 Kolokvijiiseminari Strucˇno-metodicˇke vecˇeri Nastavne sekcije HMD-a Voditeljica sekcije: Tanja Soucie Voditeljice veˇceri: Milena C´ulav Markiˇcevi´ci Marija Miˇsurac Kolokvij je imao 7 predavanja u ukupnom trajanju od 14 sati. Popis predavanja: Matematiˇcko obrazovanje uz pomo´c grafiˇckih kalkulatora u Europi, 2. listopada 2013., Tim Bebensee, CASIO predstavniˇstvo za Europu; Modularna aritmetika, 6. studenoga 2013., Anda Valent; Pri- nos Marina Getaldi´ca razvoju novovjekovne znanosti, 4. prosinca 2013., Marijana Bori´c, Odsjek za povijest prirodnih i matematiˇckih znanosti, Hrvatske akademije znanosti i umjetnosti; Matematiˇcke konstante, 5. veljaˇce 2014., Tihana Strmeˇcki, Tehniˇcko veleuˇciliˇste u Zagrebu; Li- nearna perspektiva i projektivna geometrija, 5. oˇzujka 2014., Zvonimir Sˇiki´c; ProjektIPAQ PETA, 9. travnja 2014.,Zlatko Lobor; Kognitivni procesi prilikom rjeˇsavanja problemskih zadatka, 7. svibnja 2014., Doris Dumiˇciˇc Danilovi´c, Sveuˇciliˇste u Rijeci. Matematicˇki kolokvij u Osijeku Voditelj: dr. Ninoslav Truhar Tajnik: Danijel Grahovac Odrˇzano je 11 predavanja. Originalni radovi: Structured Sylvester and T-Sylvester equations, Ivana Kuzmanovi´c. Gosti kolokvija: Numerical Solution of the infinite-dimensional LQR/LQG- designproblem,HermannMena,DepartmentofMathematics,University of Innsbruck; Numeriˇcka integracija dinamike viˇse tijela na mnogostru- kostima i Lievim grupama, Zdravko Terze, Fakultet strojarstva i brodo- gradnje,SveuˇciliˇsteuZagrebu; Bogomolovmultipliersofgroups,Primoˇz Moravec, Faculty of mathematics and physics, University of Ljubljana; Modeli nelinearne homogenizirane elastiˇcne ploˇce, Igor Velˇci´c, Fakultet elektrotehnike i raˇcunarstva, Sveuˇciliˇste u Zagrebu; Asimptotiˇcka ana- liza toka polimernog fluida kroz poroznu sredinu, Tomislav Fratrovi´c, Fakultet prometnih znanosti, Sveuˇciliˇste u Zagrebu; Riccati-based feed- backcontrolofthemonodomainequations, TobiasBreiten,Universityof Graz; Accurate eigenvalue decomposition of real symmetric arrowhead matrices and rank-one modifications of diagonal matrices and applicati- ons,NevenaJakovˇcevi´cStor,Fakultetelektrotehnike,strojarstvaibrodo- gradnje, Sveuˇciliˇste u Splitu; Geometrijska svojstva grupa: divergencija geodetskih linija, Nataˇsa Macura, Department of Mathematics, Trinity University; Verteks-algebre, afine Liejeve algebre i njihove reprezenta- cije,DraˇzenAdamovi´c,PMF–Matematiˇckiodsjek,SveuˇciliˇsteuZagrebu; Kolokvijiiseminari 473 Brinkmanov model kao korekcija Darcyjevog, Eduard Maruˇsi´c-Paloka, PMF–Matematiˇcki odsjek, Sveuˇciliˇste u Zagrebu. Znanstveni kolokvij u Splitu Voditelj: dr. Nikola Kocei´c Bilan Odrˇzano je 8 predavanja. Popis predavanja: Relativna pertubacijska teorija za pozitivno definitne ma- triˇcne parove i hiperbolni svojstveni problem, 18. listopada 2013., Ni- noslav Truhar, Odjel za matematiku, Sveuˇciliˇste u Osijeku; Primjena verteks-algebri u strukturnoj teoriji nekih reprezentacija Liejevih alge- bri Virasorovog tipa, 15. studenog 2013., Gordan Radobolja, PMF, Sveuˇciliˇste u Splitu; Interakcija tankog sloja fluida i elastiˇcne ploˇce, 17.sijeˇcnja2014., Andrijana C´urkovi´c,PMF,Sveuˇciliˇsteu Splitu; Eko- nomija straha,14.veljaˇce2014., ZoranMileti´c; Symmetriesofbounded observables and effects, 28. oˇzujka 2014., Peter Sˇemrl, Odjel za mate- matiku, Sveuˇciliˇste u Ljubljani; How indecomposable continua arise in dynamicalsystems, 23.svibnja 2014., Judy Kennedy,LamarUniversity, Texas, SAD; Parametrizacija 3D objekata za numeriˇcku analizu i op- timizaciju oblika i topologije, 12. rujna 2014., Milan C´urkovi´c; Toˇcan svojstveni rastav realnih simetriˇcnih streliˇcastih matrica, dijagonalnih matricasmodifikacijomrangajedaniprimjene,27.rujna2013., Nevena Jakovˇcevi´c-Stor,FESB, Split. Poslijediplomski studij matematike ak. god. 2013./2014. Red predavanja U akademskoj godini 2013./2014. odrˇzana su sljede´ca predavanja na poslije- diplomskom studiju. Voditelj Standardni kolegij Sati N. Bosner Numeriˇcka analiza 60 T. Bosner K. Burazin Realna i funkcionalna analiza 60 M. Vrdoljak M. Hanzer Algebra 60 M. Huzak Vjerojatnost 60 Zˇ. Milin Sˇipuˇs Geometrija i topologija 60 S. Sˇtimac J. Tambaˇca Parcijalne diferencijalne jednadˇzbe 60 Voditelj Napredni kolegij Sati V. Hari Vektorski potprostori i matriˇcni algoritmi 30 Z. Iljazovi´c Izraˇcunljiva analiza 30 M. Kazalicki Modularne forme 60 H. Kraljevi´c Voganova teorija K-tipova 60 Teorija oscilacija za diferencijalne i funkcionalno M. Paˇsi´c 60 -diferencijalne jednadˇzbe drugog reda D. Svrtan Atiyah Singerov teorem o indeksu 60 Z. Sˇiki´c Matematika politike 60 K. Veseli´c Odabrana poglavlja numeriˇcke linearne algebre 30 474 Doktorati 475 Doktorati Novi doktori znanosti iz matematike – ˇsk. god. 2013./2014. Andrea Sˇvob (obrana, 21. listopada 2013.) Tranzitivni dizajni konstruirani iz konaˇcnih grupa. (Voditelj: prof. dr. sc. Dean Crnkovi´c(Sveuˇciliˇsteu Rijeci)) Saˇzetak: Predmet istraˇzivanja doktorskog rada su tranzitivni dizajni kons- truirani iz konaˇcnihgrupa. U radu je uvedena metoda konstrukcije kombinatoriˇckih struktura koja se temelji na konstrukciji tranzitivnih 1-dizajna i tranzitivnih regu- larnihgrafovakonstruiranihizkonaˇcnihgrupa. Usporedbomspostoje´cim metodama konstrukcije kombinatoriˇckih struktura iz primitivnih grupa pokazano je da uvedena metoda predstavlja njihovu generalizaciju. Po- red konstrukcije primitivnih dizajna, ˇcije su metode konstrukcije otprije poznate, razvijena metoda takodjer obuhva´ca konstrukciju tranzitivnih dizajna iz konaˇcnih grupa, ˇsto predstavlja jedan od glavnih doprinosa doktorskog rada. Primjenom razvijene metode konstruirani su 2-dizajni i jako regularni grafovi. Strukture su definirane na konjugacijskim klasama maksimalnih i drugih maksimalnihpodgrupa pod djelovanjem konaˇcnihgrupa U(3,3)i S(6,2) ili njihovih maksimalnih podgrupa. U radu su opisane i analizi- rane konstruirane strukture i njihove pune grupe automorfizama. Maja Resman (obrana, 29. listopada 2013.) Fixed points of diffeomorphisms, singularities of vector fields and epsilon-neighborhoods of their orbits (Fiksne toˇcke difeomorfizama, singulariteti vektorskih polja i epsilon-okoline njihovih orbita). (Voditelji: prof. dr. sc. Pavao Mardeˇsi´c (Universit´e de Bourgogne, Dijon, Francuska) i prof. dr. sc. Vesna Zˇupanovi´c, (Sveuˇciliˇste u Zagrebu)) Saˇzetak: Disertacijasebaviprepoznavanjemklicadifeomorfizamaizfraktal- nih svojstava diskretnih orbita dobivenih iteracijama tih klica, lokalno u okolini fiksne toˇcke. Pod pojmom fraktalnih svojstava skupova po- drazumijevamo box dimenziju, sadrˇzaj Minkowskog i njihove prikladne generalizacije, ili, u ˇsirem smislu, ε-okoline skupova za male pozitivne parametre. U prvom dijelu disertacije, prouˇcava se veza multipliciteta fiksne toˇcke klica difeomorfizama na realnom pravcu i asimptotskog ponaˇsanja duljine ε-okoline orbita, te se uspostavlja bijektivna veza. Primjena je vezana uz pitanje cikliˇcnosti graniˇcnih periodiˇcnih skupova ravninskih polinomijalnih sustava, ˇcija su preslikavanja povrata upravo takvi dife- omorfizmi. U drugom dijelu disertacije, prouˇcavase veza formalnih i analitiˇckih klasa klica analitiˇckih difeomorfizama f : C C i ε-okolina njihovih → orbita. Dokazuje se da se formalna klasa moˇze oˇcitati iz generaliziranih 476 Doktorati fraktalnih svojstava bilo koje orbite. Rezultati se direktno primjenjuju na formalnu klasifikaciju kompleksnih sedala u C2 preko njihovih holo- nomija. U sluˇcaju analitiˇcke klasifikacije, iznose se problemi vezani uz iˇsˇcitavanje analitiˇcke klase difeomorfizama iz ε-okolina orbita. Tomislav Beri´c (obrana, 25. studenog 2013.) Parsevalovi bazni okviri Hilber- tovih prostora. (Voditelj: prof. dr. sc. Damir Baki´c (Sveuˇciliˇste u Zagrebu)) Saˇzetak: ParsevalovibazniokviriHilbertovihprostorasuposebnavrstabaz- nih okvira koji pruˇzaju jednostavnu rekonstrukciju istovjetnu onoj koju pruˇzaju ortonormirane baze, ∞ f = X f,fn fn, f H, h i ∈ n=1 ali uz ugradenu redundanciju ˇcime se ostvaruje ve´ca fleksibilnost i ot- pornost na ˇsum i gubitak koeficijenata. Stoga Parsevalovi bazni okviri zauzimaju srediˇsnje mjesto kako u teoriji baznih okvira, tako i u primje- nama zbog jednostavnosti njihovog koriˇstenja. Svrhaovogradaje bila bolje razumijevanjenajkorisnijihrekonstruk- cijskih sustava u Hilbertovim prostorima — Parsevalovih baznih okvira i dualnih baznih okvira. Pokazano je da dualni bazni okviri imaju isti viˇsak te da uvjet dualnosti name´ce neke restrikcije na ograde dualnih baznih okvira, kao i na njihovu udaljenost. Vaˇzna tema koja se provlaˇcila kroz rad su perturbacije Paley– Wienerovog tipa i dobiveni su vrlo jednostavni uvjeti na ograde A B ≤ baznog okvira da bi u svojoj √A–okolini imao Parsevalov bazni okvir. Takoder je dobiven i uvjet za postojanje Parsevalovog baznog okvira s jaˇcom strukturom u toj okolini. I,konaˇcno,prouˇcenojenekolikometodazakonstrukcijuParsevalovih baznih okvira. Kod poop´cenog Gram–Schmidtovog postupka pokazano jedanjegoveiteracijedajuParsevalovebazneokvirekojiimajusveloˇsiju redundanciju. U duhu klasiˇcnog Naimarkovog teorema, opisani su svi operatori koji dani bazni okvir preslikavaju u Parsevalov bazni okvir za potprostor. Takoder je dobivena karakterizacija onih Besselovih nizova kojisemoguproˇsiritidobaznogokviradodavanjemkonaˇcnomnogovek- tora,kaoionihbaznihokvirakojise mogukonaˇcnoproˇsiritido Parseva- lovogbaznogokvira. DokazanojedasvatakvaproˇsirenjadoParsevalovih baznih okvira, iako nisu jedinstvena, moraju imati istu ℓ2–normu. MarcelMareti´c(obrana,16. prosinca2013.) Algoritamska ekvivalencija multi- plarnihprirodnihdedukcijaiBethovihtabl´oa. (Voditelj: prof.dr.sc. Zvonimir Sˇiki´c (Sveuˇciliˇste u Zagrebu)) Saˇzetak: Metoda semantiˇckih stabala je potupni postupak za klasiˇcnu lo- gikuprvogreda. OkretanjesemantiˇckihstabalanaopakodajeGentzenov Doktorati 477 sustav multiplarnih sekventi bez reza. Ovaj dobro poznati rezultat po- kazuje kako su Bethova semantiˇcka stabla ustvari notacijska varijanta Gentzenovog sustava multiplarnih sekventi. No, za sustav prirodnih de- dukcija ne moˇze se re´ci isto. Sustav prirodnih dedukcija motiviran je sintaktiˇckim pristupom logici i nije analitiˇcki raˇcun u istom smislu kao i raˇcun semantiˇckih stabala. Uovomradupokazanojedazadobromotiviranisustavmultiplarnih prirodnih dedukcija (dedukcija s multiplarnom relacijom logiˇcke poslje- dice) postoji jednostavan analitiˇcki postupak potrage za dokazom. Ko- raci u tom postupku motivirani su semantiˇcki. Konaˇcno, pokazano je dajemetodaalgoritamskiekvivalentnametodisemantiˇckihstabala–za- tvoreno Bethovo semantiˇcko stablo moˇze se korak po korak prepisati u uspjeˇsnu potragu za multiplarnom dedukcijom koja dokazuje isti skup semantiˇckih zahtjeva (vrijedi i obrat). Loredana Simˇci´c (obrana, 16. prosinca 2013.) Kodovi iz blokovnih dizajna i njihovih orbitnih matrica. (Voditelj: prof. dr. sc. Dean Crnkovi´c (Sveuˇciliˇste u Rijeci)) Saˇzetak: Predmet istraˇzivanja disertacije su linearni kodovi konstruirani iz blokovnih dizajna i njihovih orbitnih matrica. Prouˇceno je pod kojim uvjetima orbitna matrica blokovnog dizajna za djelovanje automorfizma prim reda stupcima generira samoortogonalan kod. Dobiveni rezultati poop´cenje su metode konstrukcije samoortogonalnih kodova iz orbitnih matrica blokovnih dizajna s obzirom na djelovanje automorfizma prim reda bez fiksnih toˇcaka i blokova, objavljene u ˇclanku M. Harada, V. D. Tonchev, Self-orthogonalcodes from symmetric designs with fixed-point-free automorphisms, Discrete Math. 264 (2003), no.1-3, 81–90. U disertaciji je prikazana metoda konstrukcije samoortogonalnihko- dova iz orbitnih matrica blokovnih dizajna s obzirom na automorfizme kojima je red prim broj i koji mogu djelovati s fiksnim toˇckama i bloko- vima. Razmotren je i sluˇcaj kada automorfizam dizajna nije prim reda. Dobiveni rezultati su iskoriˇsteni za konstrukciju samoortogonalnih ko- dova odredenih duljina i dimenzija. Kada je to bilo mogu´ce, pronadeni susamodualnikodoviukojimasusadrˇzanidobivenisamoortogonalniko- dovi. Konstruirani su i kodovi iz incidencijskih matrica nekih blokovnih dizajna i prouˇcena su njihova svojstva. Takoder je prouˇcena mogu´cnost permutacijskog dekodiranja za neke od konstruiranih kodova, odnosno pronadeni su tzv. PD-skupovi u grupama automorfizama tih kodova. Anamarija Peruˇsi´c (obrana, 17. prosinca 2013.) Poop´cenja Steffensenove ne- jednakosti. (Voditelj: doc. dr. sc. Julije Jakˇseti´c (Sveuˇciliˇste u Zagrebu)) Saˇzetak: U doktorskom radu dana su poop´cenja poznate Steffensenove ne- jednakosti za n konveksne funkcije, za bilo koji prirodni broj n, te za − 478 Doktorati bilo koja dva podintervala po kojima se integrira. Pokazano je kako se koriˇstenjempoznatihidentitetaurazlicidvajuintegralamogudobitinova poop´cenja Steffensenove nejednakosti prouˇcavanjemintegralne jezgre. Rad je podijeljen u pet poglavlja. U prvom su poglavlju izneseni os- novnipojmoviirezultatikojisekoristedaljeuradu. Udrugompoglavlju dobivenasuprofinjenjaPeˇcari´cevihiMercerovogpoop´cenjaSteffensenove nejednakosti, te je dobiveno poop´cenje Ceroneovogrezultata. U tre´cem je poglavlju dano poop´cenje Steffensenove nejednakosti koriˇstenjemMontgomeryjevogidentitetasjednomteˇzinskomfunkcijom,a potomisnteˇzinskihfunkcija. Novapoop´cenjadobivenasuikoriˇstenjem srodnog Finkovog identiteta. U ˇcetvrtom i petom poglavlju poop´cenja Steffensenove nejednakosti dobivena su koriˇstenjem Taylorove formule i integralne formule u jednoj toˇcki,teLidstonovih,HermiteovihiAbel-Gontscharoffljevihinterpolacij- skih polinoma. Nadalje, dobivena poop´cenja se koriste za konstruiranje eksponencijalno konveksnih funkcija. Azra Tafro (obrana, 31. sijeˇcnja 2014.) Extremal properties for weakly depen- dent sequences and arrays (Ekstremalna svojstva slabo zavisnih vremenskih i prostornih nizova). (Voditelj: prof.dr.sc. B.Basrak(SveuˇciliˇsteuZagrebu)) Saˇzetak: Teorija ekstremalnih vrijednosti je podruˇcje od velikog interesa u statistici, posebno sa prostornim i prostorno-vremenskim primjenama. Jedan od alata koji se koriste pri prouˇcavanju ekstremalnog ponaˇsanja nizasluˇcajnihvarijabli(X ) je teorijatoˇckovnihprocesa. Primjerice, n n≥1 promatra se proces n Nn =Xδa−n1Xi, i=1 za neki prigodni skaliraju´ci niz (a ). Kada je utvrdeno graniˇcno n ponaˇsanje toˇckovnih procesa, mogu´ce je odrediti razdiobu ekstrema, za- jedniˇckurazdiobugornjihidonjihekstrema,ekstremalniindeks,razdiobu ekstremalnog procesa i mnoga druga svojstva poˇcetnog niza. Rezultati ovog tipa za nizove nezavisnih jednako distribuiranih sluˇcajnihvarijablisudobropoznati. Medutim,zapraktiˇcneprimjenepo- trebna je generalizacija i proˇsirenje tih rezultata. Jedan mogu´ci pristup je da nezavisnostzamijenimo pretpostavkomslabe zavisnosti medu vari- jablama. Takoder,mogu´ceje dodativremenskukoordinatuutoˇckovnom procesu te time odrediti i ”lokaciju”, a ne samo vrijednost ekstrema. Tre´cemogu´ceproˇsirenjejeprouˇcavanjevarijablipromatranihuprostoru, primjerice promatranje matrice, odnosno ”prostornog niza” (X ) . i,j i,j∈Z Ova radnja bavi se tim trima tipovima proˇsirenja. U radnji, nizovi i matrice sluˇcajnih varijabli koje promatramo su stacionarni i zajedniˇckiregularno variraju´cis indeksom α>0. U prvom Doktorati 479 dijelu analiziramo graniˇcno ponaˇsanje toˇckovnihprocesa n Nn =Xδ(ni,a−n1Xi), i=1 gdje je (a ) niz za koji vrijedi n nP(X >a ) 1. 0 n | | → Za nizove varijabli koji zadovoljavaju uvjete slabe zavisnosti ′(a ) i n A (a ) pokazujemo konvergencijutoˇckovnihprocesa. n AC Udrugomdijeluradnjeprouˇcavamosluˇcajnevarijablenacjelobrojnoj mreˇzi i traˇzimo graniˇcne karakteristike procesa Nn = X δ(ni,nj,a−n1Xi,j) i,j∈Z zaodredene tipovevarijabli. Kadasupodaciregularnovariraju´ciistaci- onarni, mogu´ce je definirati Hillov procjenitelj indeksa regularne varija- cije,analognojednodimenzionalnojdefiniciji. Uradnjipokazujemojedan uvjet dovoljan za konzistenciju procjenitelja. Posebno, prouˇcavamo ek- stremalno ponaˇsanje procesa prostornih pomiˇcnih prosjeka i prostornih pomiˇcnih maksimuma na cjelobrojnoj mreˇzi. Za takve procese poka- zujemo graniˇcni teorem za toˇckovne procese i pokazujemo da je Hillov procjenitelj konzistentan. Ivana Geˇcek Tuden (obrana, 19. veljaˇce 2014.) Vjerojatnost propasti za gene- ralizirane procese rizika. (Voditelj: prof. dr. sc. ZoranVondraˇcek(Sveuˇciliˇste u Zagrebu)) Saˇzetak: U ovoj disertaciji pokazana je Pollaczek-Khinchinova formula za razne sluˇcajevegeneraliziranogprocesarizika, s posebnim osvrtomna to kakodobivenirezultatiutjeˇcunadistribucijusupremumadualnogprocesa rizika. Prvo promatramo generalizirani proces rizika X modeliran spek- tralno negativnim L´evyjevim procesom, X(t) = ct + Z(t) C(t), − t 0, gdje je c > 0 drift, Z spektralno negativan L´evyjev proces ≥ s oˇcekivanjem nula i C s njim nezavisan subordinator bez drifta i s konaˇcnim oˇcekivanjem. Uz pretpostavku uvjeta ˇcistog profita, EC(1)< c, dokazujemoPollaczek-Khinchinovuformuluzavjerojatnostpropastiu sluˇcaju kada proces gledamo na [0,τ], gdje je τ neko nezavisno ekspo- nencijalno vrijeme. Takoder su prikazani rezultati koji se mogu dobiti za distribuciju supremuma dualnog procesa, X := X, u sluˇcaju kada b − problemu pristupamo preko Laplaceovih transformacija. Nadalje je taj modelpoop´cen,usmisluispuˇstanjapretpostavkiokonaˇcnostioˇcekivanja i uvjeta ˇcistog profita, te je ponovno pokazana Pollaczek-Khinchinova formulazavjerojatnostpropastiutakvomop´cenitijemsluˇcaju. Dodatno 480 Doktorati surezultatiza tajop´cenitijisluˇcajobjaˇsnjeniiz perspektive ljestviˇcastog procesa. U diskretnom sluˇcaju generalizirani proces rizika promatramo kao neprekidnuzdesna(skip-free)sluˇcajnuˇsetnjunaZ . Utomjeokruˇzenju + takoder dokazana formula Pollaczek-Khinchinovog tipa za vjerojatnost propastislijede´cidvapristupa-metodudekompozicijesupremumakaou neprekidnom sluˇcaju i kombinatornumetodu (koriste´ciTak´acseve rezul- tate). U posljednjem dijelu vra´camo se na generalizirani proces rizika X(t)=ct+Z(t) C(t)=:Y(t) C(t), t 0,zakojipretpostavljamoda − − ≥ vrijedi uvjetˇcistogprofita te dajemo alternativnidokaz i objaˇsnjenjeza- nimljive distribucijske jednakosti sup Y(t) =d sup X(t), gdje 0≤t<∞ 0≤t<σ b b je σ prvovrijeme kadase postignenovisupremumprocesaX zbogskoka b subordinatora C. U sluˇcaju kada je Y sloˇzeniPoissonov proces, pokazu- jemo da je ovajednakostposljedica Tak´acsevogkombinatornogrezultata te jednog rezultata poznatog za spektralno negativne procese. Op´ceniti paksluˇcajslijediaproksimacijomspektralnonegativnogprocesaY nizom sloˇzenih Poissonovih procesa u Skorohodovom prostoru D = D[0, ) te ∞ prelaskom na pripadaju´ci limes. Drago Sˇpoljari´c (obrana, 25. oˇzujka 2014.) Limiting behaviour of random variables observed in random times (Graniˇcno ponaˇsanje sluˇcajnih varija- bli opaˇzenih u sluˇcajnom vremenu). (Voditelji: prof. dr. sc. Bojan Basrak (SveuˇciliˇsteuZagrebu)idoc.dr.sc.PavleGoldstein(SveuˇciliˇsteuZagrebu)) Saˇzetak: Teorija ekstrema opisuje ponaˇsanje ekstremalnih vrijednosti fami- lije sluˇcajnih varijabli. U mnogim problemima u primjeni vaˇzno je razu- mijeti asimptotsko ponaˇsanje uredajnih statistika velikog, ali sluˇcajnog, broja sluˇcajnih varijabli. U raznim primjenama, kao npr. u osiguranju, seizmologiji ili hidrologiji, taj sluˇcajan broj opaˇzanja ˇcesto se modelira procesom obnavljanja (τ(t)) . Cilj ove radnje je doprinijeti dubljem t≥0 razumijevanju spomenutog tipa problema. Preciznije, osnovni problem je opisati distribuciju sluˇcajne varijable M(t)= max X , i i=1,...,τ(t) gdje, u radnji pretpostavljamo da je τ(t) proces obnavljanja, koji nam daje informacijukolikoje bilo opaˇzanjaX do trenutka t. Stoga,cilj ove n radnje je opisati graniˇcno ponaˇsanje svih velikih vrijednosti u nizu (X ) n koji su se dogodili prije trenutka t. Pokazalo se kako analiza asimptot- skog ponaˇsanja i oblik graniˇcne distribucije za uredajne statistike jako ovisi o oˇcekivanom vremenu ˇcekanja izmedu dva opaˇzanja. Naˇs pristup problemuse zasniva na teoriji toˇckovnihprocesa,ˇsto je,ˇcini se, potpuno novi pristup ovom tipu problema. S obzirom da toˇckovni procesi sadrˇze