La publication de ces Actes s'inscrit dans le cadre des tâches de notre Association, à savoir le développement de la recherche scientifique dans le domaine de l’histoire des madiématiques, et plus particulièrement des mathématiques arabes. Cette publication fait suite à celle des Actes (en Actes français) du 1er Colloque International sur l'Histoire des Mathématiques du arabes organisé en décembre 1986 à l'Ecole Normale Supérieure de Kouba 3me Colloque Maghrébin (Alger). L'Association a, également, publié les Actes du 1er Colloque National sur l'Histoire des Mathématiques Arabes tenu à Ghardaia en avril sur 1993. rHIstoIro dos Mathématiques Arabes Ces Actes englobent quatre thèmes : Tipaza (Alger, Algérie) t 1er thème : Les mathématiques (comprenant l'algèbre, la géométrie, le 1-3 Décembre 1990 calcul la théorie des nombres, l'analyse combinatoire et la trigonométrie). » 2me thème ; L'astronomie (comprenant les modèles planétaires, les tables astronomiques, les sciences du temps et les instruments astronomiques). » 3me thème ; Les mathématiques appliquées (comprenant les sciences des héritages, l'architecture, l'optique, la mécanique d'agrément ou utilitaire, l'astrologie et la musique). t 4me thème ; Les mathématiques et la société (comprenant les manuels mathématiques les infrastructures d'enseignement, les mathématiques et l'environnement culturel et idéologique, les mathématiques et la philosophie, l'héritage mathématique pré-islamique, la transmission des mathématiques arabes à l'Europe et enfin les mathématiques et la classification des sciences). Ces Actes sortiront en deux volumes Le volume 1 contient les 7 interventions en langue arabe. Le volume 2 contient 6 interventions en anglais et 13 autres en français. Association Algérienne d'Histoire des MathématiC Département de mathématiques Ecole Normale Supérieure 16050- Kouba, Alger, Algérie HiStOirO des Mathématiques AfSbOS Actes du 3^^ Colloque Maghrébin sur r Histoire des Mathématiques Arabes Tipaza (Alger, Algérie), 1-3 Décembre 1990 Actes * Organisé par : du - VAssociation Algérienne d'Histoire des Mathématiques 3/»« Colloque Maghrébin - le Département de mathématiques, Ecole Normale Supérieure de Kouba, Alger sur * Comité d'organisation l'Histoire des Mathématiques Arabes Youcef Atik (E.N.S.) Abdelmalek Bouzari (E.N.S.) . Tipaza (Alger, Algérie) Ahmed Djebbar (Université de Paris -Sud) 1-3 Décembre 1990 Youcef Guergour (E.N.S.) Abdelhafid Mokrane (E.N.S.) Boubaker-Khaled Sadallah (E.N.S.) Touhami Zemouli (E.N.S.) Secrétariat ; Abdelkader Benaziza et Salima Bouras. * Sponsorisé par : • Le ministère des universités tr------------------- • Le ministère de 1'éducation nationale • L'UNESCO Les actes sont édités grâce à l'aide * ** du ministère de la culture ** du ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scientifique ** l'établissement An/S (El-Oued, Algérie) ** l'établissement Wouroud (El-Oued, Algérie) Adresse de l'Association Algérienne d’Histoire des Mathématiques: Département de mathématiques, Ecole Normale Supérieure B.P. 92,16050- Kouba, Alger, Algérie. Tél. (213) 2 58 35 11, Fax: (213) 2 58 31 42 Manuscrit de la couverture: Page du livre la Section du cylindre de Thabit Ibn Qurra (826-901) ® 1998^ by Association Algérienne d'Histoire des Mathématiques 6 Association Algérienne d'Histoire des MathélîiatlC|U S Département de mathématiques E co le N orm ale S u p érieu re 16050- Kouba, Alger, Algérie Après une longue attente, l'Association Algérienne d'Histoire des Mathématiques a le plaisir d'éditer les actes du 3me Colloque Maghrébin sur l'Histoire des Mathématiques Arabes qui s'est tenu à Tipaza (Alger) en décembre 1990. Ces Actes sortiront en deux volumes - Le volume 1 contient les 7 interventions en langue arabe. - Le volume 2 contient 6 interventions en anglais et 13 autres en français. La publication de ces Actes s'inscrit dans le cadre des tâches de notre Association, à savoir le développement de la recherche scientifique dans le domaine de l'histoire des mathématiques, et plus particulièrement des mathématiques arabes. Cette publication fait suite à celle des Actes (en français) du 1er Colloque International sur l'Histoire des Mathématiques arabes organisé en décembre 1986 à l'Ecole Normale Supérieure de Kouba (Alger). L'Association a, également, publié les Actes du 1er Colloque National sur l'Histoire des Mathématiques Arabes tenu à Ghardaia en avril 1993. Les présents Actes englobent quatre thèmes : * 1er thème : Les mathématiques (comprenant l'algèbre, la géométrie, le calcul la théorie des nombres, l'analyse combinatoire et la trigonométrie). Les interventions autour de ce thème sont celles de ; - Y. Guergour et M. Mawaldi (en arabe) - L. Berggren, S. Brentjes, K. Jaouiche, A. Djebbar, J. Sesiano, A. Taha, M. Folkerts & R. Lorch, M. Guillemot, J. Cassinet, S. Koelblen, J. Hogendijk et J. Hoyrup (en anglais et en français). * 2me thème : L'astronomie (comprenant les modèles planétaires, les tables astronomiques, les sciences du temps et les instruments astronomiques). Les interventions autour de ce thème sont celles de : - B. Saadallah (en arabe). - M. Cornes et C. Martzloff (en anglais et en français). * 3me thème : Les mathématiques appliquées, (comprenant les sciences des héritages, l'architecture, l'optique, la mécanique d'agrément ou utilitaire, l'astrologie et la musique). HERITAGE ARABE DANS LA REDACTION Les interventions autour de ce thème sont celles de ; ET L'EXPLICATION DE TEXTES MATHEMATIQUES - L. Gari (en arabe). - E. Calvo, Z. Laabid (en anglais et en français). * 4me thème : Les mathématiques et la société (comprenant les manuels Rachid BEBBOUCHI mathématiques les infrastructures d'enseignement, les mathématiques et Institut de Mathématiques l'environnement culturel et idéologique, les mathématiques et la philosophie, U.S.T.H.B. Alger (Algérie) l'héritage mathématique pré-islamique, la transmission des mathématiques arabes à l'Europe et enfin les mathématiques et la classification des sciences). Les interventions autour de ce thème sont celles de; La rédaction des textes mathématiques a subi l'influence des différentes époques de l'histoire. - M Souissi, M. Aballagh et M Mesbahi (en arabe). Comme le sujet est trop vaste pour le traiter dans sa globalité, nous nous limiterons à la période - R. Bebbouchi et U. Rebstock (en anglais et en français). arabe et plus particulièrement à partir d'un texte d'Al-Qala^di (1400 ou 1412-1486): "Kashf al-asrar En publiant ces actes L'Association Algérienne d'Histoire des ^an Sim hurûf al ghubâr". A titre de comparaison, on citera d'autres auteurs antérieurs et Mathématiques espère avoir présenté un travail utile à un large public. Tout en postérieurs. reconnaissant que cet ouvrage est loin d'être parfait, notre Association attend Cela nous permettra aussi de faire une approche historique de certains algorithmes de calcul. des lecteurs les critiques et suggestions afin de mieux faire connaître notre Une étude de ce genre ne peut qu'aboutir à des propositions d'amélioration de l'enseignement actuel patrimoine scientifique. qui seront données en guise de conclusion. L'Association tient à remercier M. Youcef Guergour pour tous les efforts 1. Un exemple de texte pédagogique du XVè siècle qu'il a fournis dans la préparation de l'édition de ces Actes. Le texte d'al-Qala^dï "kashf al-asrâr ^an Sim huhif al ghubar" est le type même d'un texte pédagogique qui a circulé énormément au Maghreb et en orient arabe. Abu 1-Hasan ^Ali b. Muhammad b. M .b ^Ali al-Qurashî al-Qala:^di est né à Baza (en 1400 ou Le président de {'Association Algérienne d'Histoire des Mathématiques 1412). n fit ses études dans sa ville natale, ensuite à Grenade. Sur la route du pèlerinage, il s'arrêta dans plusieurs villes: Tlemcen, Tunis, le Caire (où il a Youcef Atik écrit en 1448 le texte qu'on va analyser). Ensuite, il s'installa à Grenade jusqu'à l'exode vers le Maghreb. Il mourut à Beja (Tunisie) en 1486. {Association Algérienne d'Histoire des Mathématiques saisit cette Le texte "Kashf al-asfàr.." est très répandu (Paris, Tunis, Alger, Rabat,...), publié à Fès en 1897 et occasion pour renouveler ses sincères condoléances à la famille du défunt Jamal , * Ed~dine ALAOUI décédé avant la publication de ces actes. au Caire en 1891, traduit en français par M. Souissi en 1988 . Sa disparition a profondément touché la tradition de la tenue des colloques On peut aussi citer un manuscrit trouvé à Tlemcen en Décembre 1988. Ce texte est un précis maghrébins sur l'histoire des mathématiques arabes dans l'un des pays d'arithmétique et d'algèbre vraisemblablement à l'intention de débutants. Il comporte quatre parties maghrébins. Il était responsable du 4me Colloque Maghrébin sur l'Histoire des et deux annexes: Mathématiques Arabes organisé à Fez en décembre 1992. 1) sur le nomfM^ entier (règles de calcul), 2) sur les fractions, 3) sur le calcul des radicaux, 4) sur la recherche d'une inconnue dans une équation algébrique. 5) résolution d'équations du l" et 2® degré. 6) Séries. * Qalasâdi Kashf al-asràr ^an Sim huruf al-ghubàr, texte établi par M. Souissi, Maison arabe du livre (1988) Tunis. Le premier chapitre montre déjà le souci pédagogique de l'auteur. Après avoir présenté les unité différents chiffres selon l’écriture utilisée de nos jours, il explique l’écriture des nombres à deux, dizaine trois, jusqu’à cinq chiffres à travers des exemples concrets. Dans sa présentation des opérations centaine élémentaires, il illustre chacune par deux exemples ou plus. De plus, il présente plusieurs mille dix mille algorithmes de calcul pour une même opération, certains de ces algorithmes n’ayant d'ailleurs plus cent mille subsisté de nos jours. Les égyptiens utilisent une base décimale (ce qui semble naturel puisqu'on a dix doigts). Pour la multiplication, il cite quatre procédés et chacun est illustré par des exemples. On Exemple d'écriture : 541 donnera plus loin de plus amples détails. Une écriture de droite à gauche existe aussi. Les autres chapitres sont tout aussi bien présentés et illustrés. Le symbolisme naissant lui permet Pour la multiplication, on utilise la duplication. Par exemple, pour calculer 12xl2=(4+8)xl2, de clarifier certains algorithmes (méthodes par tableaux, trait de fraction, méthode de fausse on consulte le tableau position,...). 1 X 12= 12 Les phrases utilisées sont courtes, le style dépouillé. Il utilise la 2è personne pour les exemples, peut-être pour inciter le lecteur à les traiter lui- 2 X 12 = 24 même. 4 X 12 = 48 La redondance est très rare. Les "locutions religieuses", mises à part le "bismalla" et la fin, sont 8 X 12 = 96 et on écrit: 12 x 12 = 48 + 96 = 144 très rares dans le texte. Pour calculer Axl7, on fait Axl6 par 4 duplications et on ajoute A. Ce procédé est depuis peu Dans le manuscrit de Tlemcen, on a dénombré une dizaine seulement de notes dans la marge, réutilisé dans la machine à calculer de grande puissance. probablement faites vers 1810 (1225H) par quelqu’un qui fait référence à un autre texte En 1617, Neper l'utilise pour un calcul rapide par jetons dans sa "Rabdologie". pédagogique: Pour la division, on procède aussi par duplications. Pour calculer par exemple 329 : 12, on "bughyat at-Tull^...’’ d’Ibn Gh'azi Al-Miknâsî (1437-1513). consulte le tableau Dans la majcMité des cas, ces notes n’ajoutent en fait rien de plus au texte initial. 1 X 12= 12 Essayons maintenant de donner une approche historique des algorithmes de calcul élémentaire (addition, soustraction, multiplication et division) pour comparer et situer une partie du texte d’Al- 2 X 12 = 24 Qalasàdi dans le temps. 4 X 12 = 48 8 X 12 = 96 2. Petite histoire d'algorithmes de calcul 16 X 12= 192 32 X 12 = 384 Dans une école primaire à Paris on apprend aux enfants à pratiquer la soustraction de la manière et on compare ; 329 se trouve entre 192 et 384. Par conséquent, suivante : 329 = 16 X 12 + A avec A = 137. 1 On reconsulte le tableau et on trouve A = 137 = 8x 12 + B. et ainsi de suite, jusqu'à obtenir 25 8 Oté de 15 il reste 7 et je retiens 1. Mais au lieu 329 = (16+8+2+1) X 12+5=27x12+5. -18 d'ajouter ce 1 au 1 de la deuxième ligne, on l’enlève du 2 de la première ligne. Le résultat est 27. 07 Ce procédé apparait lourd mais pédagogique et on l'utilise dans certaines classes expérimentales de l'école française. Il reste que cette méthode ne fait appel qu’à l’opération soustraction alors que celle qui nous est Le système babyloien est de base 60 et la notation numérique des mathématiciens grecs est alphabétique, ce qui rend difficile la compréhension des procédés. habituelle met en jeu deux opérations, addition et soustraction. D’où l’idée de comparer les différents algorithmes de calcul que l’histoire nous enseigne et d’en b) Chez les Chinois : dégager les plus performants et les plus pédagogiques, l’un n’étant pas tocément l’autre. Les calculs s'effectuaient avec des baguettes à calculer. On commençait par les unités d'ordre le plus a) Chez les Egyptiens : élevé, ce qui permettait de connaître de prime abord l'ordre de grandeur du résultat. Pour la multiplication (cheng zhi fa la "montée" car le multiplicateur se place au-dessus du La principale source d'information est le papyrus Rhind (1650 av J.C), multiplicande et le monte comme un cheval), regardons l'exemple 81x81. On utilise une table de multiplication qui ne contient qu'un seul des produits axb ou bxa et qui Pour la multiplication, le nombre d’algorithmes proposés est impressionnant (4 principales débute par 9x9 (d’où son nom de table "nquf-neuf', jiu-jiu). méthodes qu'Ibn Ghâzï raffinées dans son Bugyat at-tull9b en 15 types d'opérations). multiplicateur 81 81 1 1 position médiale 64 648 656 -¥ 6561 -> 6561 multiplication ailée multiplicande 81 81 81 81 Soit à calculer 73x52 La division (chu zhi fa, "méthode de réduction") est considérée comme l'inverse de l'opération on multiplie successivement 2225 multiplication donc demande une disposition symétrique : 7 par 5 et 3 par 5 ; on translate mulüplicatiQn division pour multiplier 7 par 2 et 3 par 2 multiplicateurquotient produit dividende 14 multiplicande diviseur et on ajoute 15 et le résultat fînal de la division se présente ainsi 25 52 quotient 73 reste 73 diviseur multiplication suivant les indices Par exmple, calculons 93: 4 c'est la multiplication qu’on utilise actuellement 93 2 23 --------> 13 --------> 1 multiplication avec semi-transposition 4 4 4 Elle concerne uniquement les facteurs identiques. En plus de ces procédés, nous trouvons des règles spéciales pour faciliter les calculs sur boulier Soit à calculer 438x438 avec des techniques à mémoriser : ère l'^^ étape on fait 4x4=16 24 par exemple, et 4+4=8 et on les écrit ainsi en mettant i5_ "3 et 2 font 31", ce qui veut dire 10: 3=3 reste 1. 8 X 3 = 24 comme indiqué 4.-3 .-.8 "2 et 1 font 5", ce qui veut dire 10 : 2=5. 8 "3 et 2 font 62", ce qui veut dire 20: 3=6 reste 2. 2^*"® étape on fait 3x3=9 48 c) Chez les Arabes : et 3+3=6 64 et on pousse le précédent Prenons comme illustration le texte déjà cité d'al-Qala^i. On fait ainsi 8x8 = 64et6x8 = 48 24 Pour l'addition, on écrit de la manière suivante : 15. 655 4.-3 .-3 432 + 231 » 432 8 231 86 24 + 76 > lûÛ 24 3^*”® étape enfin on fait 8 x 8 = 64 191844 76 et on ajoute le tout pour avoir le résultat 64 1 191844 48 On effectue les additions de droite à gauche et les retenues s'écrivent en bas. 64 Pour la soustraction, on commence par la droite et on mélange addition et soustraction, al- 9 Qalasâdi propose aussi de commencer à partir du dernier ordre ; par exemple, pour calculer 725 - 24 387 , on fait : 15_ 425 J45 m 4.-3 .-3 725 --------> 425 --------> 345 8 300 80 86 Il est à remarquer qu'al-Qala^dî illustre cette méthode de 3 exemples au lieu de deux comme élémentaires ont été une fois pour toutes "canonisées" et très peu savent qu'on peut trouver d’autres pour les autres. Est-ce à cause de la difficulté de son algorithme ou est-ce que c'est une nouvelle algorithmes. Est-ce vraiment par souci pédagogique que ce raccourci a été adopté ? méthode qu'il expérimente ? Le fait que, dans certains pays, on essaie de revenir à d'anciennes méthodes, semble nous prouver le contraire. Il est donc temps en Algérie de reprendre le programme de l’école primaire à la multiplication par tableaux lumière de ce que nous enseigne l'histoire et de réfléchir sur les algorithmes de calcul les plus soit à calculer 534x342 simples pour l'élève. — ^ 1 1 8 8 Ce tableau peut être écrit de plusieurs façons différentes comme le montre Ibn Ghâzi et il est vraiment dommage qu'on n'ait plus conservé cette méthodologie, à mon sens très performante du point de vue de la rapidité de calcul. Il est vrai qu'on trouve un exercice de ce genre dans le livre de 7è année fondamentale mais quel enseignant en a-t-il réellement compris le sens? Dans le Kashf al-asrâr d'al-Qalasâdî, on trouve aussi des régies spéciales de multiplication: - tout nombre multiplié par zéro donne zéro, - tout nombre multiplié par 1 donne ce nombre, -2xa=a+a -3 xa = a + 2xa -4xa=2xa+2xa - 5 X a = aO/2 (exemple 5x 16= 160/2 = 80) - 5 X 13 = (13 - 1) 0/2 + 5 = 120/2 + 5 = 65 donc 5 X a = (a -1)0/2 + 5 - 6 X a = aO/2 + a -7xa = a0-3xa - 9 X a = aO - a - 99 X a = aOO - a Ces règles, aussi élémentaires soient-elles, restent-elles enseignées de nos jours? Pour la division, on utilise l’algorithme habituel. On trouve aussi dans le texte d'El-Qalasadi le moyen de faire la preuve par 7 ou par 9 pour vérifier le résultat. Conclusion : On peut continuer à tracer l'historique de ces opérations de calcul et constater que Simon Stévin (en 1585) introduit le calcul au moyen de jetons, très pénible pour la multiplication, que lazore Schôner (en 1586) utilise le calcul à la plume. Mais, pour la multiplication, la méthode que nous utilisons actuellement s’est imposée très vite, bien que Chuquet et Pacioli (1484), Tartaglia (1557) continuèrent à utiliser la méthode des tableaux qu'ils appelaient méthode par parallélogramme ou par jalousie. Il y a encore quelques remous pour la division pendant les séances de l’école normale è è de l'an III (XVIII siècle) entre Laplace et Lagrange. Mais, au XX siècle, ces opérations 10 11 GEOMETRIC METHODS IN MEDIEVAL ISLAM: THE CASE OF THE AZIMUTH CIRCLES J. Len Berggren Simon Fraser University - Burnaby (Canada) Introduction My purpose in this paper is to illustrate the variety of medieval geometric methods with an account of two such methods used by Muslim astronomers for drawing azimuth circles on the astrolabe, one of the most useful scientific instruments of the time. Azimuth circles were important to medieval Muslims, since they provided one means of finding the direction of Mecca, the qibla, relative to a given locality. To understand these methods, however, one needs to know something of what an astrolabe is. In his Making the Astrolabe with Proof, Abu Sahl al Kuhi, a great mathematician of the fourth hijra century, explained to his readers that "The astrolabe is an instrument on which is drawn the likeness of two surfaces, one of which moves circularly on top of the other.” Each of these surfaces represents certain parts of the celestial sphere, which the medievals thought of as containing Earth, Sun, Moon and planets and bearing on its surface all of the fixed stars. The astrolabe we will be concerned with is the planispheric astrolabe, whose surfaces are planes and which is drawn by stereographic projection of the sphere (discussed later). A spherical astrolabe was known and studied, but since it was solid it was not so easily portable, and so it seems not to have been much made. And Abu Sahl even mentions the possibility of making an astrolabe on other kinds of surfaces. I. Introduction of the celestial sphere As a mathematical model for arriving at explanations of observed celestial phenomena the celestial sphere was first formalized by Eudoxus, who worked at Plato's Academy in the early fourth century B.C. and who saw the universe as a great sphere with a spherical earth at the center. (We do not know who first conceived of the earth as a sphere, but some sources say that the Pythagoreans - who conceived of the cosmos as spherical - thought by analogy that the earth must also be spherical. In any case the idea of a spherical earth was common to all educated people from the time of Aristotle onward and was as much believed in the middle ages as it was in the ancient world.) A poetic treatment of one of Eudoxus's works, the Phœnomena, which contains a description of the constellations of the celestial sphere, survives in the work of Aratus of Soli, who lived in the late fourth century and first half of the third centuries B.C.. Mathematical neatments of the celestial sphere are found in the works On the Moving Sphere and On Risings and Settings of Autolycus, Euclid's Phœnomena and Theodosius of Bithynia's Sphœrika. 13 II. Two principal reference systems on the celestial sphere points, is another link between the Equator and horizon systems. A. The Equator with its North and South Poles Since the angle of inclination of the horizon to the Equator varies with the observer it becomes In order to locate stars on the celestial sphere it is convenient to use certain fixed points and a mathematical problem, completely solved in the ancient world, to find ways of converting reference circles. The two systems we shall mention were used by Ptolemy, but we do not claim he coordinates in one system to those in another . An important use of the astrolabe is to convert had anything like our modern notion of "coordinates", even though we shall use that word in coordinates from one system to another without any computation. describing them. As early as Autolycus we find a study of the celestial sphere rotating daily from East to West II. The astrolabe about its axis through the poles'. And we get one reference system by taking the North and South A. Description. To the definition we quoted from Abu Sahl we need only add that the astrolabe (Figure 4“') Poles and the celestial equator, the intersection of the plane through the Earth's Equator with the celestial sphere. (Figure 1) consists of a circular body, usually made of brass, with a shallow raised rim surrounding it. Fitting The system of Equator and poles on the Earth defines longitude (distance in degrees east or west snugly inside this rim is a fixed circular plate (safïha ), on which is engraved a projection of the along the Equator from some fixed meridian, and latitude (the distance in degrees above or below two systems we described above^ Fitting over this is a circular plate, called the rete, which the Equator toward the Poles).' On the celestial sphere the same system defines quantities called contains the stereographic projection of the celestial sphere with important stars and the Ecliptic* right ascension (corresponding to longitude) and declination (corresponding to latitude). (Other parts of the rete are cut away so that one can see the safiha underneath.) The fixed and moveable plates are the same size, and the rete rotates over the fixed plate around a pin going B. Horizon with its poles, Zenith and Nadir through their centers. A second system of coordinates on the celestial sphere necessary for understanding the astrolabe is that of the zenith (from the Arabic word for the point directly overhead) and nadir (from the B. History of the astrolabe Arabic word for the point opposite the feet) together with the horizon of a given locality (Figure The astrolabe has a continuous history since Hellenistic times. The first relevant treatise is 1). Such a system is useful for observation, since the great circle of the horizon is what we see, day Ptolemy's Planispherium, which was translated into Arabic and describes a star map on a map of or night, separating earth and sky. Corresponding to the meridians through the North and Sou th the horizon and Equator systems made according to a system thought to go back to Hipparchus. Celestial Poles in the equatorial system are the vertical circles through the zenith and nadir in the However, Ptolemy's treatise does not describe the astrolabe as we know if, and the first person horizon system. And using these circles it is easy to imagine how to measure both the height in to have done so seems to be Theon of Alexandria. From his description, preserved in later writings, degrees of a star above the horizon - called the altitude of the star - and the distance north or south it is clear that his instrument had a sighting ruler as well, something not found on Ptolemy's of the East or West points that we see the star on the horizon, its azimuth. instrument. C - -- In fact, if we take some star above the horizon then the vertical circle passing through the star Theon's treatise was known to the Arabic authors, for example al-Ya qubi, and some other early has a certain arc between the star and the horizon. This arc is called the altitude of the star. The treatises on the astrolabe written in Arabic are those of Mâshâ^ allâh, the chief astronomer of al- same circle cuts off from the horizon a certain arc North or South of the East or West point, and Mansjm, Jabir b. Hayyan, cited by al-Majritf and Muhammad al-Khwarizmf. In fact, there is a this arc is called the azimuth of the star\ Since the horizon intersects the Equator at the East and West points these are handy reference points on the horizon, for they enter into both the horizon and the Equator systems. 3- It is a good beinning exercise of your geometrical imagination to convince yourself that the angle The vertical circle through the East and West points is called the First Azimuth (Circle), since between the horizon and Equator is the same as the angle between the zenith and the visible (North or South) Pole and that this angle is the same as the complement of the latitude of the observer. the azimuths are counted from it (Figure 2). It defines the beginning of the measurements of 4- The astrolabe shown is an 18th century Maghribi astrolabe. On top is the rete with 19 named stars, azimuths, for the azimuth of an object is measured by the angle between the vertical circle through each indicated with a pointer and a silver knob. The plate underneath shows the azimuths radiating from the object and the First Azimuth (Figure 3). the projection of the zenith, with the almucantars surrounding the projection of the zenith. Below the The vertical circle at right angles to the First Azimuth is the local meridian, for it also passes horizon is inscribed "For the Latitude of Fez". through the North and South poles. (It also passes through the North and South points on the 5- Since this plate records the relationship between the equatorial and horizon systems, and this relation horizon, so any point on it would have azimuth 90°.) This circle, along with the East and West changes with the latitude of the observer, one needed different plates for different latitudes. Hence this plate could be easily removed from the astrolabe and another fitted in. 6- The Ecliptic (in modern astronomy the plane of the Earth's orbit) defines a third coordinate system, 1- Astronomically we know this is mistaken, since it is the earth that turns on its axis, from West to which we need not discuss here. East, not the celestial sphere on its axis. But mathematically this makes no difference, so we shall take 7- In particular he does not mention two plates and, what is relevant to our subject here, he does not the Greek, and medieval Muslim, jxjint of view in this pap>er. discuss azimuth circles. 2- Some authors measured azimuths from th North and South points on the horizon. 14 15 continuous Arabic tradition of study of this instrument, and one of the great treatises on it was that meridian the image of the meridian bisects the images of these circles. Thus (Figure 6 and 6a‘“) the of Abii'l Hasan al-Murakkushr The medieval works on the subject were copied, reworked and images of these circles intersect the image of the meridian (a straight line through the center) in the summarized right through the last century diameters of the images, so all that is necessary to project the two points where one of these circles intersects the meridian circle, for the projections of these two points define the diameter of the III. constructing the astrolabe image circle. A. Basis of the Instrument 1. In the case of the horizon these two points are two of the points having distance ^ from the The basis for construtcing the instrument is stereographic projection from the South Pole of the North and South Poles, and the rule is easy to extend to almucantars. celestial sphere onto a plane perpendicular to the axis of of the sphere and passing through the 2. In the case of the First Azimuth these two points are the zenith and nadir, which have distance (() Equator. According to this system (Figure 5) a line through the South Pole and a given point, P, from the Equator. on the sphere cuts the Equator plane at a unique point P*, the image of P under stereographic projection’. D. Projecting Circles Perpendicular to the Horizon It is easy to see that any point on the Equator projects onto itself and that the North Pole These (azimuth) circles wre introduced to the astrolabe by the Arabic scientists, who discovered projects onto the center of the Equator. Points south of the Equator project to points outside of the so many ways of representing them on thr planispheric astrolabe that the famous tenth century Equator and points north of the Equator project onto points inside the Equator. astronomer, Abu Nasr Mansur b. Iraq decided to survey the methods in a book entitled The Book of Al-Farghanf proved that this projection maps any circle on the sphere not containing the South Azimuths.'' One of the azimuth circles is the First Azimuth and another is the meridian, and both Pole onto a circle and any circle containing the South Pole onto a straight line. Circles which are easy to draw. Ap -it from these however they are the most difficult circles on the celestial sphere contain both the South and North Poles map onto straight lines through the center of the sphere, to draw, since they are not symmetric relative to the meridian. However, the key to the solution of which is the center of the astrolabe. These facts make the astrolabe relatively easy to draw. the problem lies in the fact that the images of the azimuth circles are circles, and a circle is What makes the astrolabe work is that circles parallel to the Equator map onto circles centered determined either by on the center of the astrolabe. Thus as the plate of he astrolabe turns these circles turn on (1) Three points on it, or themselves and a point on such a circle keeps a constant distance from the fixed center, which (2) Its center and a point on its circumference. represents the North Pole, just as the corresponding point on tlie sphere does. Moreover, the image In the remainder of this paper we shall discuss two methods of drawing azimuth circles, of a point turning through some fraction of its circle corresponds to the star itself turning through corresponding to (1) and (2) above. the same fraction of its circle. 1. The method of Abu Sahl al-Kuhi B. The Image of the Equatorial System The first is that of Abu Sahl al-Kûhi who begins the section on azimuth circles (Chapter 4 of The image of the equatorial system (Figure 5) is easy to draw, and in fact we have already Book I) of his treatise we mentioned above with the words "We want to draw on the surface of the described it. It consists of the circles concentric witli the center of tlie astrolabe and the lines astrolabe circles that are the projections of known azimuths for a known horizon." His method is as through the center. The former represent the circles parallel to tlie equator, of constant declination, follows (Figure 7) : and the latter represent the circles perpendicular to the equator, of constant right ascension (the Let circle BGDE represents the Equator on the surface of the astrolabe and let two of its meridians). diameters, BD and GE, intersect at right angles. Let the poles of the known horizon be points Z C. Image of the Horizon System Since the horizon and the circles parallel to it, the almucantars, are symmetric relative to the 10- Figure 6a shows on the top a view of the meridian of the sphere, so the equator, horizon and almucantar appear as the straight lines in which their planes intersect the meridian of the sphere. Each of these has its semicircles on either side of the meridian, perpendicular to it. The lines from the South Pole (S) show the points on these circles and the meridian being projected onto the equator plane. Now if you imagine the equator plane is turned 90° around its diameter (labelled "Equator") so the projections on it are facing you then the circles in the lower part of the diagram show what you would see. White circles show points on the sphere and black circles show their projected images. 11- And, in fact, Kushyir b. Labbân, in his Kitâb al-asturlâb does not mention these circles, and several 8- For a good brief account see A. J. Turner's The Time Museum (Vol. 1) Time Measuring Instruments astrolabes in Turner [1985] do not have azimuth circles on their plates. It also appears from a remark of (Part \) Astrolabes, Astrolabe Related Instruments, Rockford, IL (1985). al-Biruni in the section on azimuth circles in his K. Isti ab that these circles were not completely 9- Notice that the South Pole has no image under this map. standard at his time. 16 17