Scientia Graeco-Arabica Abu Kamil herausgegeben von Algèbre et analyse Marwan Rashed diophantienne Band 9 Édition, traduction et commentaire par Roshdi Rashed De Gruyter De Gruyter PREFACE Dans les années vingt du IX® siècle à Bagdad, Muhammad ibn Mûsâ al- Khwârizmi fait paraître un livre qui marque la naissance d’une nouvelle discipline. Celle-ci ne se confond ni avec l’arithmétique, ni avec la géomé­ trie, les deux disciplines alors connues. Ce nouveau calcul reçoit pour nom de baptême « al-jabr wa-al-muqàbala »' et, bien plus tard, « l’algèbre »^. Ce livre ne tarda pas à s’avérer fondateur, et ceci à plusieurs titres : fondateur de la nouvelle discipline, des mathématiques juridiques (le calcul des legs et des obligations) et, surtout, révélateur des nouvelles possibilités inhérentes à l’algèbre et dont la réalisation par les successeurs d’al- Khwârizmi a entièrement refaçonné la configuration des mathématiques^. Pour tout dire, il suffit d’oublier le livre d’al-Khwàrizmi pour ne plus rien comprendre à l’histoire des mathématiques après le neuvième siècle. Or on sait que l’histoire d’une œuvre mathématique, surtout lorsque celle-ci est fondatrice, est aussi celle des lectures qui en ont été faites par les contemporains et les proches successeurs. Dans le cas du livre d’al- Khwârizmi, c’est d’un accord unanime que ceux-ci ont reconnu l’impor­ tance de l’événement, conscients qu’ils étaient de la nouveauté radicale de la discipline. Sans tarder, ils ont commencé à exploiter l’invention d’al- ISBN 978-3-11-029561-0 Khwârizmi, à consolider les assises de la nouvelle discipline et à la développer. De tous ses proches successeurs (une ou deux générations), e-ISBN 978-3-11-029566-5 c’est Abû Kâmil qui a le plus contribué à cette tâche. ISSN 1868-7172 Dans le préambule de son livre, Abû Kâmil annonce explicitement son Lihrary of Congress Cataloging-in-Publication Data projet : conmienter l’écrit d’al-Khwârizmi. Par « commenter », il est loin A CIP catalog record for this book bas been applied for at the Library of Congress. d’entendre une simple lecture explicative. Il s’agit d’éclairer ce que son prédécesseur a laissé dans l’ombre, de dégager ce qui reste enfoui dans le livre, d’étendre la discipline elle-même au delà des limites initialement Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek fixées, de reprendre les démonstrations sur des bases plus sûres et de les Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. R. Rashed, Al-Khwârizmi : Le commencement de l’algèbre, Paris, 2007, p. 94. ^ Les vocables « algèbre » pour désigner la nouvelle discipline et « algébriste » © 2012 Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin/Boston pour distinguer le mathématicien sont présents dans les écrits des successeurs d’al- Druck und buchbinderische Verarbeitung: Hubert & Co. GmbH & Co. KG, Gôttingen Khwârizmi. oc Gedruckt auf saurefreiem Papier ^ R. Rashed, « Founding Acts and Major Tuming-Points in Arab Mathematics », Printed in Germany dans J. Z. Buchwald (éd.), A Master of Science History : Essays in Honor of Charles Coulston Gillispie, Archimedes 30, Dordrecht, 2012, p. 253-271. www.degruyter.com VI Préface Préface VII multiplier, et de démontrer ce que le mathématicien a laissé sans preuve. Il « les arithméticiens (hussàb) ». Mais il ressort de sa description qu’il s’agit va donc entreprendre de réaliser les normes mêmes d’al-Khwârizmi, en de ces arithméticiens qui traitaient de collections de problèmes, les trans­ approfondissant sa démarche et en la systématisant, pour enfin donner de mettant de génération en génération avec leurs procédés de solution, sans nouvelles frontières à la discipline. Pour ce faire, Abü Kâmil ne s’attachera justifier ces solutions ni se préoccuper de démontrer ce qu’ils affirmaient. en fait qu’au premier livre de l’ouvrage d’al-Khwârizmi, celui que ce der­ Ces collections comportaient des problèmes indéterminés, ainsi que des nier consacre au calcul de l’algèbre et à ses applications en géométrie. Il ne progressions arithmétiques. Si donc l’on en croit la description d’Abü considérera donc pas le second livre, où il est question des legs et des tes­ Kâmil, c’était là une pratique empirique de l’arithmétique et non point une taments et qui servira de base au « calcul juridique ». science arithmétique. Or c’est à ce propos qu’il conçoit un nouveau projet, Ce choix reflète en fait une évolution du projet pensé par al- dont la réalisation modifiera l’extension de l’algèbre : il s’agit de transfor­ Khwârizmi : nous sommes en présence d’une autre conception de l’exten­ mer cette pratique artisanale et empirique - notamment tout ce qui porte sur sion de la discipline. Désormais pour Abù Kâmil, en effet, l’algèbre à les problèmes indéterminés et les progressions arithmétiques - en une proprement parler comprend la théorie des équations, le calcul algébrique véritable science mathématique ; et c’est au moyen de l’algèbre que va et la résolution à l’aide de ces moyens des problèmes de géométrie et s’opérer cette transformation. Ainsi, en appliquant les procédés de l’algèbre d’arithmétique. L’application de l’algèbre au domaine juridique - legs, aux problèmes indéterminés, Abù Kâmil conçoit, pour la première fois testaments, etc. - relève d’une autre discipline, celle des « obligations » (al- dans l’histoire, l’analyse indéterminée rationnelle, ou l’analyse diophan- Farâ’id). Ne relèvent donc de l’algèbre que ses applications menées dans tienne rationnelle comme on la nomme aujourd’hui. Et, en appliquant les deux autres disciplines mathématiques : la géométrie et l’arithmétique. l’algèbre à l’étude des progressions arithmétiques, il introduit dans cette Abù Kâmil traite d’ailleurs des legs et des testaments dans un livre indé­ étude les normes de la démonstration. pendant, preuve supplémentaire qu’il entendait bien les isoler d’un traité Rappelons à ce propos qu’al-Khwârizmi n’aborde pas dans son livre d’algèbre. l’analyse indéterminée. Quant à Diophante, il ne distingue pas dans ses Or ce nouveau tracé des frontières de l’algèbre n’est en fait pas en Arithmétiques entre analyse indéterminée et analyse déterminée. Il fallait totale rupture avec celui d’al-Khwârizmi, lequel ne traitait des legs et des pour que cette séparation s’opère attendre l’institution de l’algèbre comme testaments que dans le second des deux volumes qui composent son science mathématique, avec la théorie des équations. Abü Kâmil effectue ouvrage. Le choix d’Abü Kâmil est donc pour ainsi dire annoncé en fili­ cette distinction et intègre pour la première fois - et pour longtemps - grane dans la construction de son prédécesseur. Et c’est bien à cette tradi­ l’analyse indéterminée comme chapitre à part entière d’un traité d’algèbre. tion qu’Abü Kâmil revendique haut et fort appartenir. Pour lui, c’est al- Ainsi, tout en commentant al-Khwârizmi et en se réclamant de lui, Abü Khwàrizmî et nul autre qui a inventé l’algèbre. Il écrit par exemple qu’il a Kâmil va plus loin et dessine d’autres frontières pour la discipline. Même établi, dans son second livre, « la preuve de l’autorité et de la préséance en lorsqu’il s’emploie à éclairer le texte de son prédécesseur, notamment dans algèbre et al-muqàbala de Muhammad ibn Müsâ al-Khwârizmi »'*. C’est les chapitres sur la théorie des équations et sur le calcul algébrique, il dans l’ouvrage d’al-Khwârizmi qu’Abü Kâmil a appris son métier s’occupe des équations biquadratiques (et non plus seulement quadrati­ d’algébriste, et c’est ce livre qu’il entend « commenter », même s’il est vrai ques), il intègre les irrationnels quadratiques non seulement comme incon­ que ce « commentaire » s’est nourri des moyens supplémentaires offerts nues (ce qu’al-Khwârizmi avait commencé à faire) mais comme coeffi­ par les géomètres et les arithméticiens. Non seulement Abü Kâmil connais­ cients, il donne de chaque algorithme plusieurs démonstrations à l’aide des sait, et de première main, les Eléments d’Euclide, mais il adhère sans théorèmes des Eléments d’Euclide, il développe le calcul algébrique et réserve aux normes de la démonstration qui s’y trouvent consignées. Il cite recourt plus fréquemment aux démonstrations algébriques. Tout est donc plus d’une fois les Eléments, et emprunte des propositions aux différents en place pour que naisse un autre projet, conçu et formulé presqu’un siècle livres du traité. plus tard par le successeur d’Abü Kâmil, al-Karaji : l’arithmétisation de Mais, si nous connaissons les géomètres évoqués par Abü Kâmil, nous l’algèbre. Il ne faut donc pas s’étonner que ce dernier, ainsi que ses suc­ ne savons rien des « arithméticiens (hussàb) ». Abü Kâmil ne cite aucun cesseurs comme al-Samaw’al, ne cessent de revenir au premier livre nom ni aucun titre, et ne les évoque que collectivement sous le vocable d’algèbre d’Abü Kâmil, pour lui emprunter propositions, problèmes et méthodes. Ainsi al-Karaji n’emprunte pas moins d’une cinquantaine de Cité dans Hâjji Khalifa, Kashf al-zunun, éd. M. §. Yaltkaya, vol. II, p. 1469-1470. VIII Préface Préface IX problèmes à VAlgèbre d’Abü Kâmil. Al-Samaw’al, plus tard, aussi bien que livre d’Abù Kâmil et des Arithmétiques de Diophante qu’al-Karaji a pu Fibonacci, en feront de même^. concevoir son projet, tel qu’il se présente notamment dans ses deux livres : La contribution d’Abù Kâmil, on vient de le voir, enrichit le contenu al-Fakhri et al-BadV. Dans le premier, il emprunte à Abû Kâmil pas moins même de l’algèbre d’al-Khwârizmi, applique celle-ci à la rationalisation de cinquante problèmes, et à Diophante les quatre premiers livres des d’une pratique empirique et artisanale des arithméticiens et aboutit ainsi à Arithmétiques. Sans le livre d’Abü Kâmil, on n’est donc pas en mesure de la conception de ce nouveau chapitre sur l’analyse indéterminée ration­ restituer l’histoire de la tradition algébrique inaugurée par al-Khwârizmi, nelle. Mais elle ne se limite pas à cela : elle participe aussi à la constitution tradition qui a progressé par les extensions successives des différents chapi­ de ce qu’on a coutume d’appeler « l’algèbre géométrique ». Abü Kâmil, tres, et aussi par les remaniements des programmes de recherche et par comme Thâbit ibn Qurra (826-901), tous deux familiers de la géométrie l’invention de nouveaux chapitres : l’analyse indéterminée, par exemple. euclidienne et de l’algèbre d’al-Khwârizmi, ont recours aux propositions du La contribution d’Abü Kâmil en analyse indéterminée ne se borne pas à second livre des Éléments (II.5 et II.6 notamment) ainsi qu’à la théorie des ce chapitre sur l’analyse indéterminée rationnelle de son traité d’algèbre. Il proportions pour démontrer les algorithmes de solution des équations compose un autre livre où il applique l’algèbre à des problèmes arithméti­ quadratiques. Abû Kâmil pour sa part suit al-Khwârizmi en appliquant ques qui circulaient à son époque. Dans ce second livre intitulé Sur les l’algèbre aux problèmes de géométrie. Mais, alors que ce dernier ne volatiles, il développe l’analyse indéterminée en nombres entiers du considère dans ses problèmes que des quadrilatères, des triangles et des premier degré. cercles, Abû Kâmil consacre un chapitre entier au pentagone et au Le lecteur trouvera ici Veditio princeps du livre d’algèbre d’Abü Kâmil décagone. et de son autre livre. Sur les volatiles, ainsi que leur traduction intégrale. Tout au long de la rédaction de son livre, Abü Kâmil ne procède ni par Les deux textes ont été établis selon les normes les plus exigeantes de images, ni par schèmes. C’est en appliquant l’algèbre aux problèmes des l’édition critique. La traduction est littérale, respectueuse autant qu’il est arithméticiens qu’il donne à ces problèmes et aux procédés de leur solution possible du génie des langues. La démarche est d’autant plus nécessai­ une dimension véritablement mathématique ; et c’est par son application rement scrupuleuse que, du livre d’Abü Kâmil, nous n’avons qu’une aux problèmes géométriques qu’il investit un nouveau domaine, celui de traduction latine médiévale, partielle, et une autre, hébraïque. Quant à son l’algèbre géométrique. Dans un cas comme dans l’autre, Abü Kâmil pensait livre sur les volatiles, on n’en a qu’une traduction allemande provisoire. pouvoir accéder à un statut de généralité que problèmes et procédés Reste à dire quelques mots du commentaire mathématique des textes n’avaient pas auparavant. Mais la langue standard et uniforme de l’algèbre d’Abü Kâmil. Rédigés il y a plus de onze siècles, ces traités le furent dans non symbolique était une entrave à l’accomplissement de cet espoir. On un contexte totalement étranger au nôtre, que nous ne connaissons pas et examinera comment le mathématicien a tenté par sa pratique de surmonter qui ne nous est que partiellement accessible. La tentation la plus immé­ un tel obstacle. diate, à laquelle certains n’ont pas résisté, est d’interpréter Abü Kâmil à Observons enfin que, malgré les différences considérables qui séparent l’aide de ses propres mots. Illusion d’un apprenti-philologue. Si en effet la Abü Kâmil de son prédécesseur de deux générations tout au plus - al- philologie - maîtrisée - est indispensable à la restitution du contexte, elle Khwârizmi -, son livre demeure la voie obligée d’accès à l’œuvre de ce doit, pour être efficace, être orientée par une compréhension en profondeur dernier. Il permet en effet de préciser sa place dans l’histoire de la des mathématiques du texte et de leur histoire. discipline, d’éclairer la signification de sa contribution ainsi que ses Or cette compréhension ne peut naître que de nos connaissances néces­ limites, souvent mal perçues par les demi-habiles amateurs de précurseurs, sairement datées, elles-mêmes insérées dans des contextes différents et dif­ séduits par des comparaisons hasardeuses et anhistoriques. férents de celui de l’auteur : c’est toujours, qu’on le veuille ou non, dans la L'Algèbre d’Abù Kâmil est aussi la voie obligée pour pleinement saisir langue d’une autre mathématique et avec les notions de celle-ci qu’on lit un le projet de son successeur du dixième siècle, al-Karajï, projet que j’avais texte. Tous les historiens qui ont écrit sur l’algèbre d’Abü Kâmil ont désigné comme l’arithmétisation de l’algèbre^. C’est en effet à partir du emprunté la langue de l’algèbre symbolique tardive. Mais, ce faisant, on quitte le contexte de l’auteur. Le symbolisme autorise en effet des générali­ sations, des itérations, des déductions, etc., que la langue naturelle est sou­ ^ Voir Introduction et les notes à l’édition. vent inapte à opérer. Et, qui plus est, ce modèle interprétatif élaboré à partir ^ Voir R. Rashed, « L’arithmétisation de l’algèbre au xii^ siècle », dans Actes du XIIF Congrès international d’histoire des sciences, Moscou, 1974, p. 3-30. X Préface Préface XI de l’algèbre symbolique s’avère parfois inefficace. Le chapitre sur a fait profiter de ses remarques et de ses corrections. Madame Aline Auger l’analyse indéterminée rationnelle, par exemple, sera mieux éclairé et a préparé ce livre à l’édition et a composé les glossaires et les index ; expliqué par un modèle conçu à partir de la géométrie algébrique, qui per­ qu’elle trouve ici l’expression de ma reconnaissance. mettra d’identifier les algorithmes appliqués et de comprendre en profon­ deur le sens des conditions auxquelles le mathématicien a soumis les solu­ Roshdi Rashed tions. Qu’il s’agisse d’Abù Kâmil ou des algébristes des siècles suivants, Bourg-la-Reine, janvier 2012 l’interprétation à l’aide de l’algèbre symbolique n’est pas moins anachroni­ que que celle qui part de la géométrie algébrique. Toute la difficulté de l’interprétation d’un texte mathématique ancien réside, à l’évidence, dans ce dilemme : comment, avec des modèles empruntés à d’autres mathématiques, inventés dans d’autres contextes inconnus de l’auteur, restituer les significations que ce dernier a déposées dans son texte ? Sur ce point, je me suis expliqué plus d’une fois^. Il s’agit, selon le domaine, de combiner une analyse philologique sûre, une histoire de l’élaboration du texte et des pratiques et procédés mis en œuvre par son auteur pour le rédiger, et, enfin, des modèles mathématiques construits à partir des disciplines que ce texte a contribué à fonder et, donc, appartenant à des mathématiques postérieures à celui-ci, modèles aptes à révéler la mathesis de l’auteur. Dans le cas qui nous occupe ici, ces modèles sont l’algèbre et la géométrie algébrique. Mais le recours à ces modèles n’est qu’instrumental : indispensable, en raison de ce rapport diffus d’identité et de différence qui relie les contextes, l’algèbre d’Abü Kâmil aux disciplines modernes, l’instrument ne se substitue pas à l’objet, cela va de soi. Il relève d’une tout autre mathesis. L’historien doit donc le manier avec prudence et sagacité, pour ne pas attribuer au texte ancien les notions véhiculées par l’instrument : le modèle. Un dernier mot sur l’histoire de notre édition. Achevée, ainsi que la traduction de sa majeure partie, il y a un quart de siècle environ, elle a cédé le pas à d’autres projets. Cet état de choses se serait sans doute prolongé si M. Erwan Penchèvre n’avait proposé de m’aider à reprendre ce chantier pour mettre un point final à ce travail. Si je raconte cette histoire, c’est pour lui dire ma gratitude. C’est toujours un plaisir de remercier Christian Houzel qui a relu les commentaires historiques et mathématiques et qui les ^ R. Rashed, Apollonius : Les Coniques, tome 1.1 : Livre /, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe, Berlin / New York, 2008 et « Lire les anciens textes mathématiques ; le cinquième livre des Coniques d’Apollonius », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. XXVII, fasc. 2, 2007, p. 265-288. SOMMAIRE Préface.......................................................................................................................... Avertissement .............................................................................................................. xv INTRODUCTION 1. Abu Kâmil: algébriste et ingénieur ......................................................................... 1 2. Les écrits mathématiques d’Abü Kâmil ................................................................. 7 2.1. L’algèbre et al-muqàbala ............................................................................... 7 2.1.1. Le témoignage d’al-Karaji....................................................................... 11 2.1.2. Le témoignage d’al-Samaw’al ................................................................ 14 2.1.3. La traduction latine.................................................................................. 14 2.1.4. La lecture de Fibonacci ........................................................................... 17 2.1.5. La traduction hébraïque........................................................................... 26 2.2. Sur les volatiles ............................................................................................... 27 2.3. La mensuration des terrains............................................................................ 30 PREMIERE PARTIE CHAPITRE I : La théorie des équations et la démonstration des algorithmes......... 35 CHAPITRE II ; Le calcul algébrique et ses applications............................................ 53 1. Problèmes des six premiers types........................................................................ 55 2. Problèmes divers................................................................................................. 57 CHAPITRE III : L’application de l’algèbre à la géométrie plane : les pentagones et les décagones réguliers .................................................................. 113 CHAPITRE IV : L’analyse indéterminée rationnelle................................................ 145 1. Introduction ......................................................................................................... 145 2. Équations et systèmes d’équations du second degré......................................... 148 2.2. Problèmes 1 à 25 ......................................................................................... 148 2.2. Problèmes 26 à 38 ...................................................................................... 159 3. Systèmes d’équations indéterminées du premier degré : problèmes 39 à 43............................................................................................... 172 CHAPITRE V : Problèmes arithmétiques................................................................... 183 1. Problèmes divers ................................................................................................ 183 2. Quelques progressions arithmétiquese t géométriques....................................... 192 XIV Sommaire CHAPITRE VI ; Analyse indéterminée entière du premier degré............................. 197 CHAPITRE VII : La démonstration aux commencements de l’algèbre..................... 221 AVERTISSEMENT SECONDE PARTIE TEXTES ET TRADUCTIONS < > Ces crochets isolent dans le texte arabe ce qui est ajouté pour combler une lacune du manuscrit. Dans la traduction française, ils sont maintenus seulement pour les Livre d’algèbre et d’al-muqàbala............................................................................... 242 titres ; par ailleurs, ils sont introduits pour isoler un ajout au texte arabe, Préambule .................................................................................................................... 242 nécessaire à l’intelligence du texte français. Les six équations ......................................................................................................... 246 [] Ces crochets sont utilisés seulement dans le texte arabe pour indiquer que le mot ou le passage ainsi isolés doivent être supprimés pour la cohérence du texte. Le calcul algébrique et ses applications ...................................................................... 280 Multiplication, addition et soustraction des termes .............................................. 280 Ce signe indique la fin du folio d’un manuscrit. Multiplication et division des racines ................................................................... 298 Addition et soustraction des racines ...................................................................... 312 Pour distinguer les termes mal (le carré de l’inconnue) et murabba' (le carré Les six problèmes................................................................................................... 320 géométrique), tous deux nécessairement rendus en français par « carré », nous avons dii Chapitre sur des problèmes divers ......................................................................... 334 recourir à une simple différence d’impression, en notant carré (en italique) pour mal. Equations à coefficients irrationnels ...................................................................... 414 Le pentagone et le décagone régulier.......................................................................... 522 Analyse indéterminée rationnelle ............................................................................... 578 Équations et systèmes d’équations du second degré ............................................ 578 Systèmes d’équations indéterminées du premier degré ......................................... 654 Problèmes numériques et progressions ....................................................................... 680 Problèmes numériques divers ............................................................................... 680 Sur les progressions arithmétiques et géométriques.............................................. 718 Livre sur les volatiles : Analyse indéterminée entière du premier degré.................. 732 APPENDICE : Extrait d’al-Bâhir en algèbre d’al-Samaw’al..................................... 763 NOTES COMPLÉMENTAIRES ............................................................................... 769 GLOSSAIRE ARABE-FRANÇAIS ........................................................................... 775 INDEX Index des noms propres.................... 805 Index des concepts ................................................................................................. 807 Index des traités ...................................................................................................... 811 Index des manuscrits .............................................................................................. 812 OUVRAGES CITÉS................................................................................................... 813 INTRODUCTION 1. ABÜ KÀMIL : ALGÉBRISTE ET INGÉNIEUR Aucune source historique ne consacre un article vraiment détaillé aux dates et faits d’Abû Kàmil. Les anciens biobibliographes, tels qu’al- Nadim', al-Qifti^, etc., sont brefs ; quant aux anciens auteurs d’annales historiques, s’il leur arrive d’évoquer les mathématiciens et les astronomes, c’est seulement en fonction des Califes et des Princes que servaient ces derniers. Nous allons essayer de recueillir le peu d’informations que les uns et les autres ont transmises sur Abù Kàmil et sur son œuvre. Tous les anciens biobibliographes et historiens, al-Nadim comme, plus tard, Ibn Khaldûn^, s’accordent sur le nom et l’origine du mathématicien. Son nom est Shujà' ibn Aslam ibn Muhammad ibn Shujà', dit Abû Kàmil, selon l’usage arabe de désigner l’homme par le nom de son fils aîné, ou simplement par respect. Il est égyptien et a vécu à al-Fustàt'^, qui était alors la capitale du pays, avant la fondation du Caire. C’est parce que tous reconnaissent son éminence dans les mathématiques, et particulièrement dans les disciplines numériques, qu’ils le surnomment « al-Hàsib », de « hisàb » (calcul et algèbre). Les biobibliographes et certains historiens, Al-Nadim, Kitâb al-Fihrist, éd. R. Tajaddud, Téhéran, 1971, p. 339 : . ULc bUili ijLSj I d* ^ ^3 ^«.^1 I j-JaJI i J -1^« " I iLlÂilj I I i l^l , i.jlzS' 1 .y I ^ I 'J I I I J ^ Al-Qifti, Ta’rikh al-hukamâ’, éd. J. Lippert, Leipzig, 1903, p. 211 : aJj «Ljljl <jL«j *3isj jjj ilH 1 ijjl ... On peut également lire dans la notice de 'Ali ibn Ahmad al-'Imrâni de Mosoul : « Parmi ses livres : un commentaire du livre de l’algèbre et à.'al-muqâbala de l’arithméticien égyptien, Abü Kàmil Shujà' ibn Aslam » (p. 233). ^ Ibn Khaldün écrit : « le premier qui a écrit dans cet art (l’algèbre) est Abû 'Abd Allàh al-Khwàrizmi ; et, après lui, Abû Kàmil Shujà' ibn Aslam » (Muqaddima, Le Caire, s.d., p. 484). ^ Sur ce qu’était al-Fustàt à l’époque, voir par exemple al-Qalqashandi, Subh al- A'shà, repr. Bûlàq, Le Caire, 1963, vol. III, p. 331-334. 2 Introduction Abü Kâmil : algébriste et ingénieur 3 comme Ibn Khaldün, lui attribuent un traité substantiel en algèbre et, dans cela, il fallait ajouter la fonction de chef du personnel, qui devait choisir les leur hiérarchie, le placent en compagnie de l’inventeur de la discipline : al- artisans, inspecter les bateaux au mouillage dans les ports, etc.^ Cette pré­ Khwârizmi. Al-Nadim, au x* siècle, établit pour sa part une liste de ses occupation d’ingénieur se manifeste d’ailleurs dans un livre de géométrie écrits mathématiques^. élémentaire, géométrie pratique sans démonstration, destiné aux artisans’®. Sans plus d’informations sur l’homme, les historiens récents des Pour retracer le contexte, rappelons qu’Ibn Tûlûn a régné sur l’Égypte mathématiques qui ont écrit sur Abû Kâmil - H. Suter, L. Karpinski, au nom du Calife de Bagdad entre 254/868 et 270/883. Mais ses rapports J. Weinberg, M. Levey^, parmi d’autres - ont opté pour les dates approxi­ avec Bagdad ne tardèrent pas à se détériorer, en raison de ses désirs d’indé­ matives suivantes : né vers 850, mort en 930. Ils ont fait ce choix en fonc­ pendance et de sa volonté d’établir sa propre dynastie, qui l’ont amené à tion d’al-Khwàrizmi - le prédécesseur d’Abû Kâmil - et des dates des constituer une armée puissante, ainsi qu’une flotte de guerre. C’est donc au commentateurs de VAlgèbre d’Abü Kâmil. D’autres historiens, pour éviter cours de son règne, en 263/876, que, dans la crainte d’une attaque mari­ de donner des dates somme toute arbitraires, ont préféré rester dans le time, il a restauré la citadelle et agrandi l’arsenal qui se trouvaient dans vague en situant Abû Kâmil dans la seconde moitié du neuvième siècle. rîle de Rûda”, proche de la capitale al-Fustât (aujourd’hui une partie du Seul A. Anbouba a affirmé avec précision qu’en 265/878, « et probable­ Caire) ; et, comme l’écrit al-Kindi l’historien, à l’époque de cette dynastie : ment avant, Abû Kâmil était déjà un homme de science reconnu »^. Reve­ Ahmad ibn Tûlûn a activement travaillé pour bâtir les bateaux militaires’^. nons à notre tour sur cette question des dates d’Abû Kâmil, à partir des propos que lui attribuent deux historiens anciens. Deux ans plus tard, en 878, il mène une expédition en Syrie et charge Le premier, l’historien de la dynastie qui gouvernait l’Égypte à son fils aîné - al-'Abbâs - de le remplacer pendant son absence. Mais ce l’époque, al-Balawi, attribue à Abû Kâmil, dans son livre composé vers le dernier, influencé par ses officiers, tente de s’emparer du pouvoir. A son milieu du x*" siècle, La vie (Sîrat) d’Ahmad ibn Tülün (fondateur de la retour en Égypte, Ahmad ibn Tûlûn punit son fils et fait exécuter les offi­ dynastie), les propos suivants : ciers. Or, parmi ces derniers, se trouvait Ahmad ibn Aslam’^. S’agit-il d’un parent proche d’Abû Kâmil, comme l’indique le nom ? Faut-il voir dans cet Abû Kâmil a dit : quand Ahmad ibn Tûlûn m’a libéré (c’est-à-dire de pri­ éventuel lien de parenté la raison de l’emprisonnement, de courte durée son), il m’a chargé de l’Arsenal. II m’a appelé un jour et m’a dit : quant à sans doute, d’Abû Kâmil ? Nous n’avons aucun moyen de répondre. Quoi l’équipement que tu as fait pour moi, un peu moins aurait suffi, tant mon qu’il en soit, innocent, il ne tarda pas à recouvrer la liberté et à être chargé prestige a progressé dans le cœur des gens ; excepté pour les bateaux : la mer de l’arsenal. ne me craint pas et ne redoute pas ma puissance, et pour la mer on ne cons­ Ainsi, en 878 et vraisemblablement avant, Abû Kâmil était un person­ truit que des choses fermes et d’excellente technique®. nage important, un ingénieur réputé qui avait déjà donné des preuves, pro- Il ressort de ces propos qu’Abû Kâmil s’est occupé de l’équipement militaire d’Ibn Tûlûn, qu’il a fait de la prison pour des raisons inconnues et ® Voir al-Sayyid Abü Sidüra, Les métiers et les industries dans l’Égypte Islamique que, une fois libéré, il a été nommé directeur de l’Arsenal. (en arabe). Le Caire, 1991, p. 202-203. Le portrait d’Abû Kâmil tel que le suggère la citation précédente est ’® Voir plus loin. celui d’un mathématicien ingénieur. À cette époque, diriger l’Arsenal reve­ ” Sur cette île et sur l’arsenal, voir al-Maqrizi, Kitâb al-mawà'iz wa-al-i'tibàr, éd. nait à faire le travail d’un ingénieur en chef, chargé de contrôler la cons­ Ayman Fü'âd Sayyid, London, 2002, vol. III, p. 568 sqq. Voir aussi Ibn Duqmâq, Kitâb truction des bateaux et de perfectionner les instruments de navigation. A al-intisâr li-wàsitat 'aqd al-amsâr fi tàrikh Misr wa-jughràfiyyatihâ, éd. Bûlâq, Le Caire, s.d., vol. I, p. 109-110 ; Ibn Taghribardi, Abü al-Mahâsin, al-Nujüm al-zàhira fi mulük Misr wa-al-Qâhira, 4 vol.. Le Caire, 1933, vol. III, p. 12. ^ Voir note 1 et, plus loin, p. 6. Abü 'Umar al-Kindi, Kitâb al-Wulâh wa-Kitâb al-Qudâh (The Govemors and ^ Voir la Bibliographie à la fin du livre. Judges of Egypt), éd. Rhuvon Ouest, repr. Le Caire, s. d., p. 218. On y trouve un ^ A. Anbouba, « L’algèbre arabe aux ix' et siècles », Journal for the History of chapitre sur Ibn Tülün et sa dynastie, p. 212-258. Voir aussi Ibn al-Athir, al-Kâmil fi al- Arabie Science, vol. 2, n° 1, 1978, p. 66-100. Voir également « Un algébriste arabe : târikh, Beyrouth, 1979, vol. VII, p. 324-325 ; Ibn Kathir, al-Bidâya wa-al-Nihâya, Le Abu Kâmil Sugâ' ibn Aslam », Horizons techniques du Moyen-Orient, 1® année, n° 2, Caire, s.d., vol. XI, p. 45. 1963, p. 6-15 (à la p. 8), qui est l’article le plus informé sur Abu Kâmil. Abü 'Umar al-Kindi, Kitâb al-Wulâh wa-Kitâb al-Qudâh, p. 220-223. Parmi les ® Al-Balawi (Abu Muhammad 'Abd Allâh ibn Muhammad al-Madinï), Sirat Ahmad chefs de l’armée qui ont incité al-'Abbâs, le fils d’Ibn Tülün, à la désobéissance, figure ibn Tülün, éd. Muhammad Kurd 'Ali, Le Caire, s.d., p. 208. en effet Ahmad ibn Aslam (p. 220). 4 Introduction Abü Kâmil ; algébriste et ingénieur 5 che du pouvoir, né très probablement dans les années trente du neuvième D’autre part, dans son Algèbre, Abü Kâmil cite ses sources : al- siècle. Khwârizmi et Euclide ; mais jamais Diophante. Or ce livre comprend tout Un autre littérateur de l’époque, Abû Ja'far Ahmad ibn Yûsuf al- un chapitre sur l’analyse indéterminée rationnelle. S’il avait connu les Baghdâdï al-Misri, rapporte dans son livre al-Mukàfa'a d’autres propos Arithmétiques de Diophante, Abû Kâmil n’aurait sûrement pas manqué de d’Abù Kâmil : les exploiter pour enrichir son chapitre, comme il a tiré parti des Eléments d’Euclide dans sa rédaction d’un autre chapitre, sur les pentagones et les J’ai (Abû Kâmil) demandé à Sanad ibn 'Ali : qui t’a introduit auprès d’al- décagones réguliers convexes. Mais ce n’est que dans les années soixante- Ma’mün (le calife) pour que tu sois en rapport avec lui et au nombre des dix que les Arithmétiques de Diophante ont été traduites, par Qustâ ibn savants de sa cour''^ ? Lüqâ*^. Abü Kâmil rapporte alors la longue réponse de Sanad ibn 'Ali, laquelle On peut en tout cas conjecturer sans trop de risques qu’Abû Kâmil ne manque pas d’intérêt pour une histoire sociale de la science de l’époque. avait pour dates 830, environ, et 900, tout au plus, et certainement pas 850 Or Sanad ibn 'Ali est un fameux mathématicien et astronome de la et 930 ; que cet homme du neuvième siècle est postérieur à al-Khwârizmi génération d’al-Khwârizmi et d’al-Kindi le philosophe ; et al-Ma’mûn d’à peu près une génération, et qu’il a rédigé son livre avant 870. régnait entre 813 et 830. Ce dernier a d’ailleurs rejoint sa capitale -Bagdad - où résidait Sanad, en 819. Sanad a fait des observations Sur la formation d’Abü Kâmil, sur ses maîtres, sur ses faits, les sources astronomiques avec al-'Abbâs al-Jawhari, entre autres, en 829 et en 832. historiques sont silencieuses. Les seules informations nous viennent de ses Tout indique donc qu’Abû Kâmil, jeune mathématicien, a rencontré écrits, ceux qui nous sont parvenus et les titres de ceux qui n’existent plus. quelque part Sanad ibn 'Ali, alors mathématicien confirmé et plus âgé. En On sait toutefois, grâce aux témoignages déjà mentionnés, qu’il appartenait effet Sanad ibn 'Ali, jeune mathématicien sous al-Ma’mùn, avait à la tradition des mathématiciens-ingénieurs. On sait également que, déjà suffisamment de prestige pour intervenir dans le conflit qui opposa les au IX® siècle, les échanges entre les mathématiciens des différentes contrées Banü Müsâ et al-Kindi (mort vers 860), sous le règne du calife al- du monde islamique n’étaient pas rares ; les voyages scientifiques entre les Mutawakkil. Il devait être alors dans sa soixante-dixième année. Si donc centres du monde islamique étaient pratique courante chez les savants en Abü Kâmil l’a rencontré, ce ne peut être qu’avant 860. Plus jeune que tous domaines - Abû Kâmil était en effet en contact direct avec les mathé­ Sanad ibn 'Ali d’une génération au moins, Abû Kâmil interroge donc son maticiens de Bagdad comme Sanad ibn 'Ali ; il connaissait les traductions aîné sur sa carrière. des Éléments d’Euclide ainsi que des travaux d’al-Khwârizmi, réalisées Cela confirmerait le témoignage précédent : Abü Kâmil est très vrai­ environ une génération avant lui à Bagdad. On peut donc en conclure qu’en semblablement né vers le début des années trente du neuvième siècle. mathématiques Abû Kâmil était formé à la géométrie euclidienne et à Reste à savoir quand il a rédigé son livre en algèbre. Nous ne pouvons l’algèbre d’al-Khwârizmi, tout au moins. Mais, à plusieurs reprises, il évo­ ici avancer que des conjectures. Il semble que ce livre soit bien antérieur que dans ses écrits, à côté de ces derniers, « les arithméticiens »'^. Ce sont aux années soixante-dix du neuvième siècle, avant en tout cas l’épisode de leurs travaux qu’il a voulu algébriser. Or sur ces « arithméticiens » et sur la libération et de la direction de l’arsenal : Abû Kâmil, étant donné les leurs travaux, nous ne savons rien. Abû Kâmil n’en cite aucun ; il ne men­ usages de l’époque, n’aurait sûrement pas manqué de faire référence à tionne aucun titre, mais seulement des problèmes, et notamment des pro­ Ahmad ibn Tülûn, son bienfaiteur. Or le livre ne mentionne ni patron ni blèmes indéterminés'^. Ce silence, et le genre des problèmes, laissent dignitaire. Il est donc vraisemblable qu’il a été rédigé à une époque où Abü l’historien perplexe et enclin aux conjectures. S’agit-il des survivances Kâmil n’était pas encore proche du pouvoir. d’une tradition alexandrine ? après tout, le grec n’avait pas complètement Abu Ja'far Ahmad ibn Yusuf al-Baghdâdi al-Misri, al-Mukàfa'a, éd. Ahmad Sur la traduction par Qustâ ibn Lüqâ des Arithmétiques de Diophante, voir R. Amin et 'Ali al-Jàrim, Le Caire, 1941, p. 119 : Rashed, Diophante : Les Arithmétiques, Livre IV, vol. 3, Collection des Universités de France, Paris, 1984. Voir plus loin, p. 282 et Glossaire. Voir plus loin.