ABSTRACT ALGEBRA AN INQUIRY-BASED APPROACH J K. h onathan odge S S teven chlicKer t S ed undStrom Grand Valley State University Allendale, Michigan, USA CRC Press Taylor & Francis Group 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300 Boca Raton, FL 33487-2742 © 2014 by Taylor & Francis Group, LLC CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business No claim to original U.S. Government works Version Date: 20131025 International Standard Book Number-13: 978-1-4665-6708-5 (eBook - PDF) Visit the Taylor & Francis Web site at http://www.taylorandfrancis.com and the CRC Press Web site at http://www.crcpress.com Contents NotetoStudents xvii Preface xix I The Integers 1 1 TheIntegers:AnIntroduction 3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 IntegerArithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 OrderingAxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 What’sNext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 DivisibilityofIntegers 11 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 QuotientsandRemainders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 TheWell-OrderingPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ProvingtheDivisionAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 PuttingItAllTogether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 GreatestCommonDivisors 23 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CalculatingGreatestCommonDivisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 TheEuclideanAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 GCDsandLinearCombinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Well-Ordering,GCDs,andLinearCombinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 PrimeFactorization 33 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 DefiningPrime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 TheFundamentalTheoremofArithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ProvingExistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ProvingUniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 PuttingItAllTogether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 PrimesandIrreduciblesinOtherNumberSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 II Other Number Systems 43 5 EquivalenceRelationsandZ 45 n CongruenceClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 EquivalenceRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 EquivalenceClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 TheNumberSystemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 n BinaryOperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ZeroDivisorsandUnitsinZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 n ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6 AlgebrainOtherNumberSystems 63 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 SubsetsoftheRealNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 TheComplexNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 CollectionsofSets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 PuttingItAllTogether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 III Rings 77 7 AnIntroductiontoRings 79 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 BasicPropertiesofRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 CommutativeRingsandRingswithIdentity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 UniquenessofIdentitiesandInverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ZeroDivisorsandMultiplicativeCancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 FieldsandIntegralDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8 IntegerMultiplesandExponents 91 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 IntegerMultiplicationandExponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 NonpositiveMultiplesandExponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 PropertiesofIntegerMultiplicationandExponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 TheCharacteristicofaRing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9 Subrings,Extensions,andDirectSums 105 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 TheSubringTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 SubfieldsandFieldExtensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 DirectSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10 IsomorphismandInvariants 121 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 IsomorphismsofRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 RenamingElements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 PreservingOperations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 ProvingIsomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Well-DefinedFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 DisprovingIsomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 IV PolynomialRings 135 11 PolynomialRings 137 PolynomialRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 PolynomialsoveranIntegralDomain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 PolynomialFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Appendix–ProofthatR[x]IsaCommutativeRing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 12 DivisibilityinPolynomialRings 153 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 TheDivisionAlgorithminF[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 GreatestCommonDivisorsofPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 RelativelyPrimePolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 TheEuclideanAlgorithmforPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 13 Roots,Factors,andIrreduciblePolynomials 167 PolynomialFunctionsandRemainders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 RootsofPolynomialsandtheFactorTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 IrreduciblePolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 UniqueFactorizationinF[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 14 IrreduciblePolynomials 179 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 FactorizationinC[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 FactorizationinR[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 FactorizationinQ[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 PolynomialswithNoLinearFactorsinQ[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 ReducingPolynomialsinZ[x]ModuloPrimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Eisenstein’sCriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 FactorizationinF[x]forOtherFieldsF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 TheCubicFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Appendix–ProofoftheFundamentalTheoremofAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 196 15 QuotientsofPolynomialRings 199 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 CongruenceModuloaPolynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 CongruenceClassesofPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 TheSetF[x]/ f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 h i SpecialQuotientsofPolynomialRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 AlgebraicNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 V MoreRing Theory 215 16 IdealsandHomomorphisms 217 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 CongruenceModuloanIdeal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 MaximalandPrimeIdeals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 TheKernelandImageofaHomomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 TheFirstIsomorphismTheoremforRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 17 DivisibilityandFactorizationinIntegralDomains 239 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 DivisibilityandEuclideanDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 PrimesandIrreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 UniqueFactorizationDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Proof1:GeneralizingGreatestCommonDivisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Proof2:PrincipalIdealDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 18 FromZtoC 249 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 FromWtoZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 OrderedRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 FromZtoQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 OrderingonQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 FromQtoR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 FromRtoC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 ACharacterizationoftheIntegers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 VI Groups 269 19 Symmetry 271 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 SymmetriesofRegularPolygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 20 AnIntroductiontoGroups 283 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 ExamplesofGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 BasicPropertiesofGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 IdentitiesandInversesinaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 TheOrderofaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 GroupsofUnits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 21 IntegerPowersofElementsinaGroup 295 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 PowersofElementsinaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 22 Subgroups 303 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 TheSubgroupTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 TheCenterofaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 TheSubgroupGeneratedbyanElement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 23 SubgroupsofCyclicGroups 317 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 SubgroupsofCyclicGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 PropertiesoftheOrderofanElement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 FiniteCyclicGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 InfiniteCyclicGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 24 TheDihedralGroups 325 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 RelationshipsbetweenElementsinD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 n GeneratorsandGroupPresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 25 TheSymmetricGroups 333 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 TheSymmetricGroupofaSet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 PermutationNotationandCycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 TheCycleDecompositionofaPermutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 EvenandOddPermutationsandtheAlternatingGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 26 CosetsandLagrange’sTheorem 347 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 ARelationinGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Lagrange’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 27 NormalSubgroupsandQuotientGroups 359 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 AnOperationonCosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 NormalSubgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 QuotientGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Cauchy’sTheoremforFiniteAbelianGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 SimpleGroupsandtheSimplicityofA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 n ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 28 ProductsofGroups 381 ExternalDirectProductsofGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 OrdersofElementsinDirectProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 InternalDirectProductsinGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391