gradiva Euler olhou em 1750 para onde todos tinham olha do e viu o que ninguém tinha visto. Assim nasceu a sua pérola, uma das equações mais belas da Ma temática: a Fórmula de Euler para os poliedros. A irreal Fórmula de Euler parece possuir vida e in teligência próprias, contendo mUito mais do que o ser humano nela poderia ter colocado. Richeson revela-nos toda a riqueza desta pérola: observada à luz correcta, ela revela camadas sucessivas de ideias cada vez mais fascinantes, entre as quais a moderna Topologia - a «geometria das folhas de borracha». Das pontes de Kõnigsberg ao mundo dos nós, das bolas de futebol às cúpulas geodésicas, da Topolo gia à Conjectura de Poincaré, Richeson conduz-nos de forma brilhante - e quase sem equações! - por uma viagem que fascinará qualquer amante da ·M atemática. Contemple a pérola! DAVID S. RICHESON - A FÓRMULA DOS POLIEDROS E O NASCIMENTO DA TOPOLOGIA TRADUÇÃO CARLOS FLORENTINO REVISÃO CIENTÍFICA JORGE BUESCU Título original Euler's gem: The polyhedron formula and the birtlz of topology © Princeton University Press, 2008 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro pode ser reprodu zida ou transmitida sob qualquer forma ou por quaisquer meios, electró nicos ou mecânicos, incluindo a fotocópia, a gravação ou qualquer outro sistema de armazenamento e recuperação de informação, sem a prévia autorização escrita do editor. Tradução Carlos Florentino Revisão científica Jorge Buescu Revisão de texto Sandra Flores Capa Armando Lopes (concepção gráfica)/© Thinkstock (imagens) Fotocomposição, impressão e acabamento Multitipo-Artes Gráficas, L.dª Reservados os direitos para a língua portuguesa, excepto o Brasil, por Gradiva Publicações, S. A. Rua Almeida e Sousa, 21 - r / c esq. - 1399-041 Lisboa Telef. 21 393 37 60 - Fax 21 395 34 71 Dep. comercial Telefs. 21 397 40 67 /8 - Fax 2139714 11 [email protected] 1.' edição Março de 2015 Depósito legal 388 307 /2015 ISBN 978-989-616-634-2 gradiva Editor GUILHERME VALENTE Colecção «O Prazer da Matemática» dirigida por JORGE BUESCU Criada e dirigida por Guilherme Valente, a colecção «O Prazer da Matemática» passou a ser dirigida a partir do n.º 39 por Jorge Buescu. Dedicado ao Be11 e à Nora As vossas faces E as vossas arestas Amo-vos dos vértices aos pés , Indice Prefácío................................................................................................................... 9 Introdução.............................................................................................................. 13 1. Leonhard Euler e os seus Três «Grandes» Amigos ............................. 23 2. O que é um Poliedro?................................................................................. 39 3. Os Cinco Sólidos Perfeitos........................................................................ 43 4. A Fraternidade Pitagórica e a Teoria Atómica de Platão.................... 48 5. Euclides e o seu Ele111entos........................................................................ 56 6. O Universo Poliédrico de Kepler............................................................. 63 7. A Pérola de Euler........................................................................................ 75 8. Sólidos Platónicos, Bolas de Golfe, Fulerenos e Cúpulas Geodésicas... 88 9. Ultrapassado por Descartes?..................................................................... 94 10. A Demonstração de Legendre .................................................................. 100 11. Um Passeio por Kõnigsberg ..................................................................... 113 12. Os Poliedros Achatados de Cauchy........................................................ 126 13. Grafos, Geoplanos e Couves-de-bruxelas.............................................. 133 14. É um Mundo Colorido ............................................................................... 146 15.Novos Problemas e Novas Demonstrações ........................................... 161 16. Membranas de Borracha, Donuts Ocos e Garrafas Loucas................ 173 17. São Iguais, ou são Diferentes?................................................................. 191 7 18. Um Problema Enredado............................................................................. 205 19. Penteando o Pêlo de um Coco.................................................................. 222 20. Quando a Topologia Condiciona a Geometria ..................................... 240 21. A Topologia das Superfícies Curvas....................................................... 254 22. Navegando em n Dimensões.................................................................... 264 23. Henri Poincaré e o Desenvolvimento da Topologia ........................... 277 Epz1ogo - O Problema que Vale um Milhão de dólares ..................................... 290 Agradecimentos ..................................................................................................... 299 Apêndice A - Construa os seus Próprios Poliedros e Superfícies...................... 300 Apêndice B - Leituras Recomendadas .......................................... ,. .................... 310 Créditos das Ilustrações ......................................................................................... 313 Notas ...................................................................................................................... 314 Bibliografia ............................................................................................................. 322 Índice Re1nissivo .................................................................................................... 337 Prefácio Um matemático é uma máquina que transforma café em teoremas. - Alfréd Rényi, frase frequentemente repetida por Paul Erdõs1• Na Primavera do meu último ano de universidade, disse a um meu conhecido que tencionava inscrever-me num programa de doutoramento em matemática no Outono seguinte. Ele perguntou-me: «O que vais fazer realmente, estudar números enormes, ou calcular mais alguns dígitos de pi?» A minha experiência é de que o grande público tem uma ideia muito vaga do que é a matemática e certamente não tem noção do que significa a investigação em matemática. As pessoas ficam estupefactas ao descobrir que há matemática nova que está ainda a ser desenvolvida. Pensam que a matemática é apenas o estudo de números ou que é uma sequência de disciplinas que termina no cálculo. A verdade é que nunca me interessei muito por números. A aritmética mental não é o meu ponto forte. Consigo dividir a factura e calcular a gor jeta num restaurante sem ter que usar uma calculadora, mas faço isso com a mesma rapidez que qualquer outra pessoa. E o cálculo foi a disciplina matemática que menos me entusiasmou na faculdade. Eu gosto de olhar para padrões - quanto mais visuais melhor - e ana lisar argumentos lógicos intrincados. As prateleiras do meu gabinete • As notas numeradas estão agrupadas, por capítulo, no final do livto, a partir da página 314. As notas de autor e de tradutor estão assinaladas com asterisco e encontram-se em rodapé. (N. do E.) 9 estão cheias de livros de enigmas e quebra-cabeças com os meus aponta mentos de infância, nas margens, a lápis. Mover três fósforos de modo a formar um certo padrão, encontrar um caminho através duma rede que satisfaz uma dada lista de regras, cortar esta forma e reorganizá-la para se tornar um quadrado, adicionar três linhas a esta imagem para criar nove triângulos, e outros quebra-cabeças. Para mim, ísto é matemática. Devido ao meu gosto por enigmas espaciais, visuais, e lógicos, a geo metria sempre me cativou. Mas, no meu último ano da faculdade, desco bri o campo fascinante da topologia, geralmente entendido como sendo o cshldo das formas não rígidas. A combinação de belas teorias abstrac tas com manipulações espaciais concretas ajustou-se perfeitamente às minhas preferências matemáticas. A visão topológica maleável e flexível do mundo assentou-me como uma luva. Em comparação, a geometria parecia cerimoniosa e conservadora. Se a geometria se veste com um fato, a topologia veste-se de jeans e T-shirt. Este livro é uma história e uma celebração da topologia. A história começa com a respectiva pré-história - a geometria dos matemáticos gregos e dos renascentistas, e o seu estudo dos poliedros. Atravessa os séculos xvm e x1x, altura em que os estudiosos tentaram entender a ideia de forma e de como classificar objectos sem as rígidas condi ções impostas pela geometria. A história culmina na moderna área da topologia, que foi desenvolvida nos primeiros anos do século xx. Enquanto alunos, aprendemos matemática através de manuais. Nes tes livros, a matemática é apresentada de uma forma rigorosa e lógica: definição, teorema, demonstração, exemplo. Mas a matemática não é descoberta desta forma. Um assunto matemático demora muitos anos a ser entendido de forma que um livro coerente sobre ele possa ser escrito. A matemática é criada através de um progresso lento e incremental, às vezes com grandes saltos, passos em falso, correcções e ligações. Este livro mostra o emocionante processo da descoberta matemática em acção - mentes brilhantes pensando, questionando, refinando, desenvolvendo, e alterando o trabalho dos seus antecessores. Em vez de apresentar uma simples história da topologia, escolhi a fórmula para poliedros de Euler como um guia turístico. Descoberta em 1750, a fórmula de Euler marca o início do período de transição da geo metria para a topologia. O livro persegue a fórmula de Euler e de como ela evoluiu de uma mera curiosidade a um útil e profundo teorema. Esta fórmula de Euler é um guia ideal, pois dá-nos acesso a maravi lhosos quartos que raramente são vistos por outros visitantes. Seguindo a fórmula de Euler vemos algumas das áreas mais fascinantes da matemá tica, geometria, combinatória, teoria dos grafos, teoria dos nós, geometria 10 diferencial, sistemas dinâmicos e topologia. Estes são assuntos de grande beleza que um estudante típico, até mesmo um esh1dante de uma licen ciatura em matemática, pode nunca encontrar. Além disso, nesta visita eu tenho o prazer de apresentar ao leitor alguns dos maiores matemáticos da história: Pitágoras, Euclides, Kepler, Descartes, Euler, Cauchy, Gauss, Riemann, Poincaré, e muitos outros - todos eles deram importantes contribuições para este tema e para a matemática em geral. Este livro não tem pré-requisitos formais. A matemática que um aluno aprende na sequência típica de álgebra, trigonometria e geometria dos programas dos primeiros três ciclos do ensino básico e no ensino secundário é suficiente, embora a maior parte seja irrelevante para esta discussão. O livro é auto-suficiente, e nos raros casos que serão neces sários, eu recordarei o leitor dos factos relevantes dessas matérias de matemática. No entanto, não se iluda - algumas das ideias aqui apresentadas são muito sofisticadas, abstractas e difíceis de visualizar. O leitor deve estar disposto a ler cuidadosamente através de argumentos lógicos e a pensar abstractamente. Ler matemática não é como ler um romance. O leitor deve estar preparado para parar e reflectir, por si próprio, sobre cada frase; para voltar a ler um argumento, tentar chegar a outros exemplos, examinar cuidadosamente as figuras que acompanham o texto, procurar e distinguir as ideias fundamentais, e usar o índice remissivo para perceber o significado exacto de cada termo técnico. É claro que não existe nenhum trabalho de casa nem exame no final deste livro. Não há grande problema se saltar as partes mais difíceis. Se um argumento particularmente complicado se revela difícil de entender, salte para o próximo tópico. Se o fizer, não estará a prejudicar a leitura de outras partes do livro. O leitor pode também optar por marcar uma página mais sofisticada e voltar a ela mais tarde. É minha convicção que o público-alvo deste livro é auto-selectivo. Qualquer pessoa que o quiser ler, será capaz de lê-lo. O livro não é para todos, mas aqueles que não compreendem e não apreciam a matemática são precisamente aqueles que nunca o iriam escolher para ler. Eu tive a preciosa vantagem de não ter escrito um manual. Claro que fiz todos os esforços para ser correcto e rigoroso nas minhas descrições da matemática, mas tive a liberdade de passar por cima de alguns detalhes técnicos que confundem mais do que iluminam. Dessa forma eu pude escrever num nível elevado e concentrar-me em ideias, intuição e na visão geral dos assuntos. Necessariamente, apenas consegui dar um tratamento superficial de muitas das ideias fascinantes deste livro. Quem estiver 11