Василий Кравчук Галина Янченко х - З у = - 3 5 х - 2 у = 11 УДК 51 ББК 22.1 я721 К 77 Перевод с украинского Сергея Мартынюка Редакторы Ярослав Гстюк, Ярослав Гринчишип, Сергей Мартынюк Литературное редактирование Оксаны Давыдовой, Маргариты Бильчук Художественное оформление Елены Соколюк, Светланы Демчак Макет Андрея Кравчука 4 Рекомендован Министерством образования и науки Украины (письмо №1/11-2153 от 28.04.2007 года) Кравчук Василий, Янченко Галина К 77 Алгебра: Учебник для 7 класса. — Тернополь: IНаручники i поабни- ки, 2007. — 224 с. ISBN 978-966-07-0897-6 УДК 51 ББК 22.U721 ISBN 978-966-07-0897-6 © Кравчук В., Янченко Г., 2007 © Мартынюк С., перевод с укр., 2007 ЮНЫЕ ДРУЗЬЯ! Вы начинаете изучать одну из основных математических дисцип­ лин алгебру. Надеемся, что учебник, который вы держите в руках, поможет вам не потеряться в лабиринтах этой пока еще непознанной науки. Что касается особенностей учебника, то материал, который вы будете изучать, разделен на четыре раздела, семь параграфов, а параграфы — на пункты. Каждый пункт начинается изложением теоретического материа­ ла. Некоторые пункты содержат дополнительный материал под руб­ рикой «Для тех, кто хочет знать больше». Далее следует рубрика «Примеры решения упражнений». Это подсказка. Она поможет вам ознакомиться с основными видами уп­ ражнений, способами их решения и научит правильно записывать решение. Прочитав теоретический материал и поразмыслив над примерами решения задач, стоит сначала решать устные упражнения и более про­ стые задачи (уровень А), а потом переходить к более сложным (уровень Б). Задачи уровня В — для самых смекалистых — тех, кто хочет уметь и знать больше и иметь самые высокие оценки. Для неко­ торых задач этого уровня приведены решения. Для самостоятельной работы дома рекомендуются задачи, номера которых выделены (например, 343). Рубрика «Упражнения для повторения» поможет периодически повторять основные виды упражнений. После изучения параграфа вы сможете повторить и систематизи­ ровать материал, ответив на вопросы и решив задачи в конце парагра­ фа. Свои знания вы сможете проверить, решив задания для самопро­ верки. Искренне желаем успеха! ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Алгебра длительное время была частью арифметики — одной из древнейших мате­ матических дисциплин. Слово «арифметика» в переводе с греческого означает «искусство чисел». Алгебру же после выделения ее в отдельную науку рассматривали как искус­ ство решать уравнения. В даном разделе мы выясним, что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение, как решать задачи с по­ мощью уравнений. X К Г 4л: = 2 х + 1 6 §1. Линейные уравнения с одной переменной § 1. ЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В О Л Понятие уравнения 1. Что такое уравнение. Рассмотрим задачу. Масса 4 больших и 15 малых деталей равна 270 г. Масса большой детали в три раза больше массы малой. Какова масса малой детали? Пусть масса малой детали равна * г, тогда масса большой — За-г. Масса 15 малых деталей равна 15* г, а 4 больших — 4*3* = \2х (г). По условию задачи сум­ ма этих масс равна 270 г: 15* + 12* = 270. Мы пришли к равенству, которое содержит неизвестное число, обозна­ ченное буквой * (еще говорят: равенство содержит переменную х). Чтобы ре­ шить задачу, нужно найти значение *, при котором равенство 15*+ 12* = 270 является верным числовым равенством. Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или уравнением с одним неизвестным). 2. Корень уравнения. Рассмотрим уравнение 3* = * + 6. Подставляя вместо переменной *. некоторые числа, будем получать числовые равенства, которые могут быть верными или неверными. Например: при х = 3 получим равенство 3 • 3 = 3 + 6, которое является верным; при * = 4 получим равенство 3 4 = 4 + 6, которое является неверным. Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения. Итак, число 3 является корнем уравнения 3* = х + 6, а число 4 — нет. 3. Количество корней уравнении. Уравнения могут иметь разное коли­ чество корней. Например: уравнение 3* = 9 имеет только один корень — число 3; уравнение (*- 2)(лг — 6) = 0 имеет два корня — числа 2 и 6; уравнению х + 0 = * удовлетворяет любое число *; говорят, что это урав­ нение имеет бесконечно много корней. Уравнение может и не иметь корней. Рассмотрим, например, уравнение дг + 1 = х. Для любого числа х значение левой части уравнения на 1 больше значения правой части. Следовательно, какое бы число х мы не взяли, равен­ ство х + 1 = * будет неверным. Поэтому это уравнение не имеет корней. Решить уравнение — значит найти все его корпи или доказать, что корней нет. Решим уравнение, составленное выше по условию задачи о больших и малых деталях: 15*+12л: = 270; 27* = 270; * = 270:27; *=10. Таким образом, масса малой детали равна 10 г. /. Понятие уравнения 7 N — Ч С• | 0щS С uа mж nн IоrTнlFиlBйl Пример 1. Является ли число 2,5 корнем уравнения 3*-0,5 = 2(* + 1)? • Если х — 2,5, то: значение левой части уравнения равно: 3 • 2,5 - 0,5 = 7,5 - 0,5 = 7; значение правой части равно: 2(2,5 + 1) = 2 • 3,5 = 7. Значения обеих частей уравнения равны, поэтому х = 2,5 — корень дан­ ного уравнения. • Пример 2. Решить уравнение: а) 3(* - 7) = 12; б) (2* + 1 )(2* - 4) = 0; в) *2 + 7 = 3. • а)3(*-7) = 12; *-7=12:3; *-7= 4; * = 4 + 7; * = 11. Ответ. 11. б) Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множи­ телей равен нулю. Следовательно, 2х +1=0 или 2* - 4 = 0; * = -0,5 или * = 2. Ответ. -0,5; 2. в)*2 + 7 = 3; *2 = 3 -7; *2 = -4. Квадрат числа не может быть равен отрицательному числу. Поэтому данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение корней не имеет. • У С T r l i 1. Какие из записей являются уравнениями: а) 4* + 7; б) 4* - * = 15; в) 14-2,5= 11,5; г) 8(* - 3) = 34; д) 5* - 2* + 5; е) * > 2? . 2 Является ли число 2 корнем уравнения: а) 5* = 3* + 4; б) 2* + 8 = 7*; в) \Ъ-у=у{у + 2)1 3. Сколько корней имеет уравнение: а)2*=1; б) 2* = 0; в)*=* + 3; г) 2 + * = * + 2; д)*(*-5) = 0; е )(|-0 ,4 )(* -2 )-0 ? г +-Д-+ \j A Уp u >BfcIHfc.A nM if \ 4. Докажите, что число 1,5 является корнем уравнения: а) 4*-3 =* + 1,5; 6)2(1-2*)+* = -5*+ 5. 5. Докажите, что число 8 является корнем уравнения: а) 0,5* + 6 = 2* - 6; б) 4(* + 3) = 49 - (* - 3). 6. Укажите уравнение, для которого число 3 является корнем: а) 7*- 12 = 3*; б) Ъс-Лх + 8 = 1; в) 3(8-.у) = 5>>. 8 §1. Линейные уравнения с одной переменной 7. Укажите уравнение, для которого число 2 является корнем: a) 6jc = -2 ч-7дг; б) 2(у-5) + 7 = 1; в) 5- ( 6-х) = *. Решите уравнение: 8. a) 5jc + 3 = 18; б) 1,7*-2 = 3,1; в) 4 - 4у = 6; г) -1,2у = 0,03; д) -4(* + 8) = -108; е) 5(2^+ 1)=-1; ж) 12,6 = 6(* + 2,5); з )z: 1,5 =-7; и) (0,7*+ 1): 0,5 = 4. 9. а) 6 + 3z = 15; 6 )2 v -ll= -3 ; в) 7 - 6*= 10; г) 4(2* + 3) = -4; д) -2(3 +>0=10,06; е) (5z + 4): 3 = -17. -1— 7-* УУ рр о0с[ .с, .L Б & ь ___ ■ ___ 10. Запишите уравнение, которое имеет: а) единственный корень — число 4; б) два корнА — числа -4 и 4. 11. Является ли число 1,5 корнем уравнения: а) * — 1 = 11 — *|; б) * + |-*| = 0? 12. Докажите, что число 2 является корнем уравнения 4 - * = |-*|. Решите уравнение: 13. а) (3* + 7)(3* - 2) = 0; б)*2 + 8 = 4. 14. а) (4* - 6)(2* + 6) = 0; 6) 2*2 + 7=1. 1 I “ _LL V)nUinUlno pclwn.ub RD яr. ___ ___ ___ 15. Найдите такое число а, чтобы корнем уравнения 2х + а - -1 было число 1. 16. Уравнение 5*=d-3 имеет тот же корень, что и уравнение 2хг — 7=1. Найдите а. 17. Не выполняя вычислений, докажите, что число 2 не является корнем уравнения 135*(1297* - 468) - 114(273* + 575) - 2125 = 0. 18. Решите уравнение: а) (* - 1 )(2* - 1 )(3* - 1) = 0;б ) *2(* - 1 )(* - 2)(* - 3)(* - 4) = 0. 19. Найдите: a) от 2,1; б) 0,4 от 4; в) 28% от 2,5. 20. Магазин закупил товар на 50 000 грн., продал его и получил 7,5% при­ были. Сколько прибыли (в гривнях) получил магазин? 21. Заготовленные в карьере 400 т руды вывезли 3 самосвала. Первый само­ свал вывез 30% всей руды, второй — на 12 т больше, чем первый. Сколько тонн руды вывез третий самосвал? 2. Решение уравнений. Свойства уравнении 9 22. Упростите выражение: а) Ах - 1х + 8 + 11дг — 3; б) &а + 56 - 2 - 9а - 46; в) 7(3с+ 1)-5с + 2; г) 26-4(1 -2*); д) * - (4 + х) - (х - 3); е) 2я-26-4(36 + 1) + а. И И Решение уравнений. Свойства уравнений Решение любого уравнения сводится к выполнению определенных пре­ образований, в результате которых данное уравнение заменяют более про­ стым. Решим, например, уравнение: 5(jc-2)+ 11 =3jc + 9. (1) 1. Раскроем скобки: 5лг-10+11 =Зл + 9. * (2) 2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: 5х+ 1 = Злг+9. (3) 3. Перенесем слагаемые с переменной х в левую часть уравнения, а без переменной — в правую, изменив их знаки на противоположные: 5jc - 3* = 9 - 1. (4) 4. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения: 2х = 8. (5) 5. Разделим обе части уравнения на 2: х = 4. Таким образом, уравнение (I) имеет единственный корень — число 4. При решении уравнения (1) мы выполняли некоторые преобразования: раскрывали скобки, приводили подобные слагаемые, переносили слагаемые из одной части уравнения в другую, делили обе части уравнения на число. С этими преобразованиями связаны следующие основные свойства уравнений: Свойство 1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые. Свойство 2. Любое слагаемое можно перенести из одной части урав­ нения в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Свойство 3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Если в некотором уравнении выполнить одно из преобразований, ука­ занных в свойствах 1, 2 или 3, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и начальное уравнение. Решая уравнение (1), мы последовательно получали уравнения (2), (3), (4), (5). Все они вместе с уравнением (1) имеют один и тот же корень — число 4. 10 §1. Линейные уравнения с одной переменной Свойства уравнений можно обосновать, используя следующие свойства число­ вых равенств: Если а - b — верное числовое равенство и с — некоторое число, то: Если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получим верное числовое равенство. Если обе части верного числового равенства умножить на одно и ас = Ьс то же число, то получим верное числовое равенство. Если обе части верного числового равенства разделить на одно и то а : с — Ь: с, же чиспо, отличное от нуля, то получим верное числовое равенство. где с * 0 Из первого свойства числовых равенств можно получить такое следствие: если из одной части верного числового равенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим верное числовое равенство. Используя свойства числовых равенств, докажем, например, что уравнение Зл= дг + 2 (6) имеет те же корни, что и уравнение Зх-х = 2. (7) (Это свойство 2 для уравнения Зх = дг + 2.) • Пусть х - а — произвольный корень уравнения (6). Тогда За = а + 2 — верное числовое равенство. Перенесем слагаемое а в левую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство Ъа-а-2, из которого следует, что х — а является корнем уравнения (7). Мы доказали, что произвольный корень уравне­ ния (6) является корнем уравнения (7). Наоборот, пусть х = b — произвольный корень уравнения (7). Тогда числовое равенство 2Ь-Ь = 2 является верным. Перенесем слагаемое -Ь в правую часть равен­ ства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство 3b = Ь + 2, из которого следует, что х = Ь является корнем уравнения (6). Мы доказа­ ли, что произвольный корень уравнения (7) является корнем уравнения (6). Таким образом, уравнения (6) и (7) имеют одни и тс же корни. • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Следова­ тельно, уравнения (6) и (7) являются равносильными. ---f— — ! | Т Т Л 1.. W ! П р и м е р ы р е ш е н и я упр.а ж н е н и и 1 1 . Пример 1. Решить уравнение у (х -8)= ^-(З.т-31). • Умножив обе части уравнения на 14, получим: 14~(д-8) = 14~(3jc-31): 2(*-8) = 3*-31; 2х- 16 = 3х-31; 2г-3х = -31 + 16; -х - -15; х=15. Ответ. 15. •