Vom Zählstein zum Computer Herausgegebenvon H.-W.Alten·A.DjafariNaini·H.Wesemüller-Kock InstitutfürMathematikundAngewandteInformatik ZentrumfürFernstudiumundWeiterbildung UniversitätHildesheim InderReihe„VomZählsteinzumComputer“ sindaußerdemerschienen: JahreMathematik Wußing Band.VondenAnfängenbisLeibnizundNewton ISBN---- Band.VonEulerbiszurGegenwart ISBN---- JahreGeometrie Scriba,Schreiber ISBN---- ÜberblickundBiographien, HansWußingetal.ISBN---- VomZählsteinzumComputer–Altertum(Videofilm), H.Wesemüller-KockundA.GottwaldISBN---- VomZählsteinzumComputer–Mittelalter(Videofilm), H.Wesemüller-KockundA.Gottwald · · H.-W. Alten A. Djafari Naini M. Folkerts · · H. Schlosser K.-H. Schlote H. Wußing  Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen MitAbbildungen,davoninFarbe 123 ProfessorDr.Heinz-WilhelmAlten Dr.AlirezaDjafariNaini InstitutfürMathematikund ZentrumfürFernstudium AngewandteInformatik undWeiterbildung(ZFW) UniversitätHildesheim UniversitätHildesheim MarienburgerPlatz MarienburgerPlatz Hildesheim Hildesheim ProfessorDr.MensoFolkerts ProfessorDr.HartmutSchlosser InstitutfürGeschichte InstitutfürMathematik derNaturwissenschaften undInformatik UniversitätMünchen UniversitätGreifswald Museumsinsel Friedrich-Ludwig-Jahn-Str.a München Greifswald ProfessorDr.Karl-HeinzSchlote ProfessorDr.HansWußing SächsischeAkademie SächsischeAkademie derWissenschaftenzuLeipzig derWissenschaftenzuLeipzig Karl-Tauchnitz-Str. Karl-Tauchnitz-Str. Leipzig Leipzig .korrigierterNachdruck ISBN ---- e-ISBN ---- DOI ./---- BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. MathematicsSubjectClassification():-,-,A ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderedie derÜbersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen, derFunksendung,derMikroverfilmungoderderVervielfältigungaufanderenWegenundder SpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwertung, vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEin- zelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBun- desrepublikDeutschlandvom.SeptemberinderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sie istgrundsätzlichvergütungspflichtig.ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungen desUrheberrechtsgesetzes. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesem WerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNa- menimSinnederWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwären unddahervonjedermannbenutztwerdendürften. Einbandgestaltung:deblik,Berlin Herstellung:le-texpublishingservicesoHG,Leipzig Satz:TeX-SatzdurchSylviaVoßundThomasSpeck GedrucktaufsäurefreiemPapier  springer.de Vorwort des Herausgebers AlgebraundArithmetiksindn¨achstderGeometriediejenigenTeilgebieteder Mathematik,mitdenenMenschensichschoningrauerVorzeitbesch¨aftigtha- ben.DieEntwicklungderZahlvorstellungundderZahlzeichenl¨aßtsichbisin die Altsteinzeit vor 20000bis 30000 Jahrenzuru¨ck verfolgen.In dieser Peri- ode entwickelten sich bereits erste Formen elementaren Rechnens, also jenes Gebietes,dasschonindenfru¨henHochkulturenderMenschheit–inA¨gypten und Mesopotamien seit etwa 3000 v. Chr. – zu erstaunlicher Blu¨te gefu¨hrt, sp¨atervondenGriechenalsArithmetikbezeichnetwurdeundnochheuteals LehredervierGrundrechenartendieerstenJahredesMathematikunterrichts beherrscht. MitAlgebrahabensichMenschenindeserstseitetwa4000Jahrenbesch¨aftigt, als Handel, Feldvermessung und andere geometrische Probleme im Vorde- renOrientauflineareundquadratischeGleichungenfu¨hrten. Deshalbhaben wir diesem vornehmlich der Algebra gewidmeten Nachfolger des im Jahre 2000erschienenenBuches 5000JahreGeometrie“ denTitel 4000JahreAl- ” ” gebra“ gegeben. Der Name Algebra entstammt jedoch erst einer wesentlich sp¨ateren Epoche, n¨amlich dem Werk al-Kita¯b al-muhtas.ar f¯ı h.is¯ab al-g˘abr ” ¯ wa-l-muqa¯bala“ des aus Choresmien stammenden persischen Gelehrten al- Hw¯arizm¯ı, in Europa meist als Mohammed ben Musa bekannt und zitiert. ˘ DasindiesemBuchtitelenthaltene al-ˇgabr“bedeutetw¨ortlichdas Ausu¨ben ” ” von Zwang“, in der Gleichungslehre jedoch das Erg¨anzen“ einer Gleichung ” durchAdditiongleicherTermeaufbeidenSeitenzurEliminationsubtraktiver Glieder. Was esnun mitdieserAlgebraaufsichhat,wasausden erstenBemu¨hungen der A¨gypter und Babylonier um das Aufl¨osen vonGleichungen im Laufe der Jahrtausendegewordenist,wiegriechischeMathematikeralgebraischenGlei- chungen mit geometrischenMethoden zu Leibe ru¨ckten, wie chinesische und indischeGelehrteVerfahrenzurBerechnungderWurzelnsolcherGleichungen ersannen, wie islamische Wissenschaftler die geometrische Algebra der Grie- chendurchU¨bersetzungbewahrtenundweiterentwickelten,wieAlgebraerst wieder im hohen Mittelalter in Europa betrieben wurde und Rechenmeister der fru¨hen Neuzeit kaufm¨annisches Rechnen lehrten, wie sich Cardano und Tartagliaim 15.Jahrhundertum die Priorit¨atfu¨r die Aufl¨osungsformeln fu¨r kubische Gleichungen gestritten haben, wie der nur 27 Jahre alt gewordene Norweger Niels Henrik Abel nach zun¨achst vergeblichen Versuchen bewies, daß es allgemeine L¨osungsformeln fu¨r Gleichungen h¨oheren als vierten Gra- des nicht gibt, wie der im Alter von 20 Jahren im Duell gefallene Franzose EvaristeGaloisdieGrundlagenfu¨rdienachihmbenannteTheorieschuf,wie CarlFriedrichGaußdenFundamentalsatzderAlgebrabewies undwiesich– beginnend im 19. Jahrhundert – die Algebra von der Lehre der Gleichungen zur Theorie algebraischer Strukturen im 20. Jahrhundert wandelte und als ComputeralgebraindenletztenJahrzehntenneueTriumphefeierte–alldies und vieles mehr k¨onnen Sie in diesem Buch erfahren. VI Vorwort Mit diesem Buch legt die Projektgruppe Geschichte der Mathematik der Universit¨at Hildesheim den dritten Band ihrer Reihe Vom Z¨ahlstein zum ” Computer“ vor.Zur Einfu¨hrung erschien 1997 der erste Band mit dem Titel U¨berblick und Biographien“ im Franzbecker-Verlag Hildesheim. Ihm folgte ” 1998 ein Begleitfilm zur Geschichte der Mathematik im Altertum; ein ent- sprechender Film zum Mittelalter wird demn¨achst erscheinen. Der im Jahr 2000 beim Springer-Verlag herausgebrachte Band 5000 Jahre Geometrie“ ” tr¨agt–wiederneueBand 4000JahreAlgebra“–denUntertitel Geschichte, ” ” Kulturen,Menschen“.DamitwilldieProjektgruppeihrbesonderesAnliegen ausdru¨cken, die Geschichte der Mathematik als einen wesentlichen Teil der Kulturgeschichte der Menschheit darzustellen. Die Autoren sind diesem An- liegen auch im vorliegendenBande vorzu¨glichgerechtgeworden.Wenngleich dieAlgebragegenu¨berderGeometrieweitwenigeranschaulichist,mitihrem Formalismus manchen zun¨achst abschrecken mag und sich im letzten Jahr- hundertzuh¨ochsterAbstraktionentwickelthat,istesdenAutorengelungen, dieGenesederalgebraischenBegriffeundMethodenalskulturgeschichtliches Ph¨anomen zu beschreiben, ihre Entstehung und Auspr¨agung einzubetten in die politische und wirtschaftliche Situation und die Besonderheiten der Kul- tur der jeweiligen Periode. Dies ersch¨opft sich nicht in den jedem Kapitel vorangestelltenTabellen,dieeinenU¨berblicku¨berdiewichtigstenpolitischen und kulturellen Ereignisse der jeweiligen Kultur bzw. Epochen vermitteln, sondern wird im ersten Abschnitt jedes Kapitels ausfu¨hrlicher dargestellt undfindetsichinengerVerflechtungimlaufendenTextbeiderBeschreibung der Verh¨altnisse und Lebensumst¨ande der sch¨opferischen Menschen, denen wir die Entwicklung der Algebra verdanken. Die Kapitel1bis 3stammenimwesentlichenausder FederdesMathematik- historikers und Mitherausgebers Dr. Alireza Djafari Naini, mitgestaltet und erg¨anzt durch Beitr¨age des Verfassers dieses Vorworts. Die Kapitel 4 und 5 sindzumgroßenTeildasWerkvonProf.Dr.HansWußing,langj¨ahrigerLei- terdesKarl-Sudhoff-InstitutesderUniversit¨atLeipzig,erweitertunderg¨anzt durchdetailreicheBeitr¨agevonProf.Dr.MensoFolkerts,LeiterdesInstituts fu¨r Geschichte der Naturwissenschaftender Ludwig-Maximilians-Universit¨at Mu¨nchen. Die sorgfa¨ltige Aufarbeitung und ausfu¨hrliche Darstellung der Entwicklung der Algebra in der Neuzeit in den Kapiteln 6 – 10 verdanken wir Herrn Dr. Karl-Heinz Schlote, Mathematikhistoriker an der S¨achsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. Den Abschnitt 10.4 u¨ber Computeralgebra ver- faßte Herr ProfessorDr. Hartmut Schlosser,Ernst-Moritz-Arndt-Universit¨at Greifswald. Auch die Vorschl¨age fu¨r die zahlreichen Abbildungen stammen von den Au- toren, ebenso die Vorlagen fu¨r die ohne Quellenangabe eingefu¨gten Figuren und Tabellen, die Vorschl¨age fu¨r Aufgaben und die Auflistung der wesentli- chen Inhalte und Ergebnisse der Algebra in der jeweiligen Epoche am Ende eines jeden Kapitels. Vorwort VII Die Aufgaben sind von sehr unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad und ver- langen auch sehr unterschiedliche Vorkenntnisse. Fu¨r die Bew¨altigung der AufgabenindenKapiteln1–5du¨rftenimallgemeinendieaufderMittelstufe der Gymnasien erworbenen Kenntnisse ausreichen, w¨ahrend fu¨r die Aufga- ben zu den Kapiteln 6–10 Begriffe und Methoden vonn¨oten sind, die erst in der Oberstufe der Gymnasien oder im Grundstudium der Mathematik be- handelt werden. Dies liegt in der Natur der Sache, weil gerade die Algebra imLaufederJahrhundertezueinemderartkomplexenGeb¨audemith¨ochster Abstraktion gewachsen ist, daß es wohl kaum noch Fachleute gibt, die das riesige Gebiet vollst¨andig beherrschen. Umso mehr danke ich den Autoren, die es verstanden haben, diese so kom- plizierte Materie – von Außenstehenden oft als trocken empfunden und hin- sichtlichmodernerAbstraktionenalsintellektuelleSpielereimitBegriffenbe- zeichnet – in lebendiger und verst¨andlicher Weise darzustellen. Die den Kapiteln vorangestellten Bildseiten mit den Portr¨ats herausragen- derAlgebraikerderjeweiligenPeriodeunddieKartenentwarfundgestaltete derMedienwissenschaftlerundMitherausgeberHeikoWesemu¨ller-Kock.Ihm danke ich fu¨r seine tatkr¨aftige Unterstu¨tzung bei der Entwicklung und Ge- staltung dieses Bandes, dem Historiker Hubert Mainzer fu¨r seine Vorschl¨age zu den Karten und zur Geschichte des alten China. Fu¨reinigeAbbildungenindiesemBuchistesunsnichtgelungen,dieRechts- inhaberzuermittelnbzw.unsereAnfragenbliebenunbeantwortet.Betroffene und Personen,die zur Kl¨arungin einzelnenF¨allenbeitragenk¨onnen,werden gebeten, sich beim Verlag zu melden. Fu¨r die kritische Durchsicht von Texten danke ich den Kollegen Folkerts, Kahle,Purkert,ScribaundSesiano,fu¨rdieUmsetzungderManuskripte,Ab- bildungen,TabellenundFigurenzudruckfertigenVorlagenaufdemCompu- terWolframSchobertunddemDipl.-InformatikerThomasSpecksowievielen nicht namentlich erw¨ahnten Helfern, ganz besonders aber Kathrin Vornkahl und Sylvia Voß,die den gr¨oßtenTeil dieser kompliziertenArbeit ausfu¨hrten. Fu¨r die U¨berpru¨fung meiner U¨bersetzung der Textpassagen von Cardano, Tartaglia und Bombelli aus dem Lateinischen bzw. Italienischen danke ich HerrnDr.JohannesK¨ohlervomInstitut fu¨r Philosophieder Universit¨atHil- desheim,fu¨rdie Unterstu¨tzung desProjektsderLeitung derUniversit¨atHil- desheim, sowie dem Dekan Prof. Dr. Klaus-Ju¨rgen F¨orster und dem Leiter des Zentrums fu¨r Fernstudium und Weiterbildung, Dr. Erwin Wagner. HerzlichenDanksageichFrauM¨oller-MeyerundderUniversit¨atsgesellschaft Hildesheimfu¨r ihrefinanzielleUnterstu¨tzungzur HerausgabefarbigerAbbil- dungen. Nicht zuletzt gilt mein Dank dem Springer-Verlagfu¨r das Eingehen auf unsere Wu¨nsche und die hervorragendeAusstattung dieses Buches. M¨oge auch dieser Band viele anregen, sich intensiver mit der Geschichte der Mathematikundderin4000JahrenentwickeltenAlgebrazubesch¨aftigenund dazufu¨hren,daßdieseszuenormerGr¨oßeundBedeutunggewachseneGebiet nicht nur als Stolperstein in der Schule angesehen, sondern als wichtiger Be- VIII Vorwort standteil unserer Kultur und Zivilisation gewu¨rdigt und als unentbehrliche Grundlage fu¨r die L¨osung der Probleme in unserer von moderner Technik gepr¨agten Welt begriffen und gef¨ordert wird. Im Namen der Herausgeber Hildesheim, im Jaunar 2003 Heinz-Wilhelm Alten Hinweise fu¨r den Leser In denKapiteln1 – 5 sinddie Lebensdatender Gelehrtenauchim laufenden Text enthalten, in den Kapiteln 6 – 10 wegen der großenAnzahl nur verein- zelt. Im Personenregistersind alle Lebensdaten (soweit bekannt) aufgefu¨hrt. Runde Klammern (...) enthalten erg¨anzende Einschu¨be oder Hinweise auf Abbildungen oder Aufgaben. Eckige Klammern [...] enthalten – im laufenden Text Hinweise auf Literatur – unter Abbildungen Quellenangaben. Abbildungen sind nach Teilkapiteln nummeriert, z.B. bedeutet Abb. 7.4.1 die erste Abbildung in Teil 4 von Kapitel 7. Aufgaben sind am Ende jedes Kapitels zusammengefaßt,aber wie die Abbil- dungen nach Kapiteln nummeriert, z.B. bedeutet Aufgabe 7.4.2 die zweite Aufgabe zu Teil 4 von Kapitel 7. Die Transskriptionen chinesischer bzw. indischer Namen und Begriffe erfolg- ten entsprechend [Martzloff 1997] bzw. [Tropfke 1980]. Die Schreibweise von Namen und Werken islamischer Gelehrter entspricht der wissenschaftlichen Transskription aus dem Arabischen. Inhaltsverzeichnis 1 Anf¨ange von Arithmetik und Algebra ...................... 1 1.1 Z¨ahlen, Zahlen und Rechnen am Beginn..................... 2 1.2 Arithmetik und Algebra im alten A¨gypten ................... 6 1.2.0 Abriß der kulturgeschichtlichen Entwicklung im Niltal ... 8 1.2.1 Alt¨agyptische Zahlzeichen ............................ 12 1.2.2 Arithmetik im alten A¨gypten.......................... 13 1.2.3 Primitive Algebra.................................... 15 1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra ..................... 20 1.3.0 Entwicklung fru¨her Hochkulturen in Mesopotamien ...... 21 1.3.1 Zahlzeichen in Keilschrift ............................. 27 1.3.2 Die Methode des einfachen falschen Ansatzes............ 29 1.3.3 Lineare Gleichungssysteme............................ 30 1.3.4 Nichtlineare Systeme und quadratische Gleichungen...... 34 1.3.5 Kubische Gleichungen: Der Beginneines 3500Jahre alten Problems ........................................... 38 √ 1.3.6 N¨aherungswerte von 2 ............................. 39 1.4 Aufgaben zu Kapitel 1..................................... 43 2 Die geometrische Algebra der Griechen .................... 45 2.0 Einfu¨hrung............................................... 48 2.1 Beginn des abstrakten Denkens ............................. 49 2.1.1 Ionische Periode (ca. 600 – 450 v. Chr.)................. 50 2.1.2 Athenische Periode (450 – 300 v. Chr. ) ................ 52 2.1.3 Hellenistische Periode (ca. 300 v. Chr. – ca. 150 n. Chr.).. 56 2.1.4 Sp¨atantike (ca. 300 – ca. 500 n. Chr. ).................. 57 2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra ............. 59 2.3 Lineare und quadratische Gleichungen....................... 62 2.3.1 Die Elemente“ des Euklid............................ 62 ” 2.3.2 Die Methode der Fl¨achenanlegung ..................... 66 2.3.3 Lineare Gleichungen ................................. 67 2.3.4 Rein quadratische Gleichungen ........................ 69 2.3.5 Ein Diorismos ....................................... 69 2.3.6 L¨osung quadratischer Gleichungen nach Euklid .......... 72 2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen.................... 74 2.4.1 Kubische Gleichungen in Kugel und Zylinder“ von ” Archimedes ......................................... 75 X Inhaltsverzeichnis 2.4.2 Konstruktion des regelm¨aßigen Siebenecks durch Einschiebung“ von Archimedes ....................... 80 ” 2.4.3 Dreiteilung des Winkels nach Archimedes ............... 83 2.4.4 Archimedes und die biquadratischen Gleichungen ........ 84 2.4.5 Das Delische Problem – die Wu¨rfelverdopplung.......... 86 2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix............. 90 2.6 Formale Algebra“ ........................................ 94 ” 2.6.1 Formale Algebra vor Diophant ........................ 94 2.6.2 Synkopierte Algebra ................................. 95 2.6.3 Arithmetika“ von Diophant .......................... 97 ” 2.7 Aufgaben zu Kapitel 2..................................... 103 3 Algebra im Orient ......................................... 105 3.1 Algebra in China ......................................... 106 3.1.0 Geschichtlicher Abriß................................. 107 3.1.1 Zahlzeichen ......................................... 116 3.1.2 Quadrat- und Kubikwurzeln .......................... 118 3.1.3 Der doppelte falsche Ansatz (U¨berschuß und Fehlbetrag) . 120 3.1.4 Lineare Gleichungssysteme............................ 122 3.1.5 Algebra im 13. Jahrhundert........................... 124 3.2 Algebra in Indien ......................................... 128 3.2.0 Geschichtlicher Abriß ................................ 130 3.2.1 Zahlzeichen und das dezimale Stellenwertsystem ......... 134 3.2.2 Algebraische Ausdrucksweise .......................... 137 3.2.3 N¨aherungsverfahrenfu¨r Wurzeln ...................... 138 3.2.4 Lineare Gleichungen ................................. 139 3.2.5 Quadratische Gleichungen ............................ 141 3.3 Algebra in den L¨andern des Islam........................... 146 3.3.0 Geschichtlicher Abriß ................................ 148 3.3.1 Die Verbreitung der indischen Ziffern in den islamischen L¨andern ............................................ 161 3.3.2 Algebraische Ausdrucksweise .......................... 162 3.3.3 Lineare und unbestimmte Gleichungen ................. 165 3.3.4 Quadratische Gleichungen ............................ 166 3.3.5 Arithmetisierung der Algebra ......................... 173 3.3.6 Die (geometrische) Theorie von cUmar Hayya¯m fu¨r die ˘ Gleichungen dritten Grades ........................... 175 3.3.7 Eine Abhandlung von Hayya¯m u¨ber Algebra ............ 180 ˘ 3.3.8 Gleichungen vierten Grades ........................... 183 3.3.9 Numerische Aufl¨osung algebraischer Gleichungen ........ 185 3.4 Aufgaben zu Kapitel 3..................................... 193