Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра гидравлики И.В. Качанов В.В. Кулебякин В.К. Недбальский МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА Курс лекций В 4 частях Ч а с т ь 2 Минск БНТУ 2011 УДК 532.5 – 533.6 ББК 30.123я7 К 30 Рецензенты: доктор технических наук, профессор В.И. Байков, доктор физико-математических наук В.А. Бабенко Качанов, И.В. К 30 Механика жидкости и газа: курс лекций: в 4 ч. / И.В. Качанов, В.В. Кулебякин, В.К. Недбальский. – Минск: БНТУ, 2011. – Ч. 2. – 44 с. ISBN 978-985-525-511-7 (Ч. 2). Издание содержит изложение основных разделов механики жид- кости и газа в объеме курса лекций, предусмотренных учебным пла- ном для строительных специальностей БНТУ. Может быть исполь- зовано в самостоятельной работе студентов, для подготовки к экза- менам и зачетам, при проведении лабораторных работ и практиче- ских занятий, окажет большую помощь студентам других специаль- ностей, изучающим гидравлику. Часть 1 настоящего издания вышла в 2010 г. в БНТУ. УДК 532.5 – 533.6 ББК 30.123я7 ISBN 978-985-525-511-7 (Ч. 2)  Качанов И.В., ISBN 978-985-525-261-1 Кулебякин В.В., Недбальский В.К., 2011  БНТУ, 2011 1. ДВИЖЕНИЕ ДЕФОРМИРУЕМОЙ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ Движение жидкой частицы является более сложным, чем в случае твердого тела, которое, как известно из механики, мо- жет складываться из поступательного движения полюса и вращательного движения тела относительно этого полюса. Особенностью частиц жидкости, как уже неоднократно отме- чалось, является текучесть, т. е. легкая их деформируемость под действием самых ничтожных сил. Поэтому, помимо по- ступательного и вращательного жидкая частица может участ- вовать также в деформационном движении. Это положение и составляет суть так называемой первой теоремы Гельмгольца, к рассмотрению которой мы приступаем. Важнейшим досто- инством приводимых ниже выкладок и рассуждений, доста- точно простых, но требующих внимания, является то, что они раскрывают физический смысл и вносят ясность в ряд каза- лось бы совершенно абстрактных понятий. z y Рассмотрим жидкую частицу в x форме прямоугольного паралле- лепипеда (рис. 1.1). Длина его ребер dx, dy, dz. Деформация та- dz кой жидкой частицы может быть dx dy как линейной (ребра удлиняются Рис. 1.1 и укорачиваются), так и угловой (возникает перекос граней). Наиболее удобно рассматривать каждый из этих видов деформаций раздельно. Угловые деформации Из рис. 1.1 следует, что угловая деформация (перекос граней и углов между ними) может возникнуть из-за разности скоро- стей, перпендикулярных ребрам. Для упрощения ограничим рас- смотрение лишь одной гранью, показанной на рис. 1.2. 3 y B B C Пусть компоненты скорости в d точке A равны u , u , u . Найдем x y z dy скорости в точке B, считая, что D движение установившееся и, сле- d довательно, все производные по A dx D времени равны нулю. Приращение x компоненты скорости при переходе Рис. 1.2 из одной точки пространства в дру- гую можно представить как u + du. Так, для проекции u мо- x жем записать u du , где, очевидно, что x x u u u x x x du  dx dy dz. x x y z Аналогичные выражения можно записать и для других про- екций. Рассмотрим приращение u при переходе от точки A к точ- x ке B. В этом случае dxdz 0, т. е. u x u u du u  dy. x(B) x(A) x x(A) y Предположим, что за время dt из-за разности скоростей в точках A и B ребро займет положение AB'. Аналогично рассуждая относительно компоненты скоро- сти u в точках A и D, получим: y точка A: u (по условию); y u y точка D: u u  dx. y(D) y(A) x В связи с разностью этих скоростей точка D займет пози- цию D'. Таким образом, получим 4 u x u u  dy; x(B) x(A) y u y u u  dx. y(D) y(A) x Путь, который проходит точка B за время dt, попадая в по- ложение B', определяет величину перекоса, которую можно найти как u BB x dydt. y Угловая деформация характеризуется тангенсом угла d: BB u   x tg d   dt d AB y (при этом считаем, что AB dy).   Вследствие малости угла d можно принять, что tg d d. Аналогично рассуждая, можно записать, что DD u   y tg d   dt d. AD x Полный перекос первоначально прямого угла A соответ- ственно определится как сумма: u u  x y dd  dt. (1.1)    y x  5 Здесь следует обратить внимание на одно весьма суще- ственное обстоятельство, а именно: рассматриваемое переме- щение ребер вызвано не только деформацией, но и вращением частицы. Действительно, если бы грань только деформирова- лась без вращения, то ребра повернулись бы на одинаковый угол навстречу друг другу. Наоборот, в случае если бы проис- ходило только вращение, ребра поворачивались бы на одина- ковый угол в направлении вращения. Таким образом, в общем y случае движение жидкого элемента d можно рассматривать как сумму де- d формационного и вращательного дви- жений и таким образом определить d d и d. Рассмотрим деформацию прямого угла A, считая, что враще- d d ние происходит против часовой стрел- d ки. Чисто деформационное движение x будем характеризовать углами d, а Рис. 1.3 чисто вращательное d (рис. 1.3). Из рис. 1.3 следует, что ddd и ddd т. е. dd2d, откуда 1   d  dd . 2 Вычитая, получим 1   d dd . 2 6 Таким образом приходим к выводу, что деформация харак- теризуется полусуммой углов, а вращение – их полуразно- стью. В соответствии с соотношением (1.1) можно записать: 1u u  x y d    dt.   2 y x  Таким образом получим скорость угловой деформации, про- исходящей вокруг оси z: d 1u u  x y      . z   dt 2 y x  И по аналогии относительно других осей: 1u u  x z y    ; 2 z x  1u u  z y     . x   2 y z  d По определению,  есть угловая скорость вращения dt жидкой частицы. Проекции угловых скоростей при этом определятся из формул 1u u  z y     ; (1.2) x   2 y z  1u u  x z y    ; (1.3) 2 z x  1u u  y x     . (1.4) z   2 x y  7 Соотношения (1.2)–(1.4) играют исключительно важную роль в механике жидкости и газа. Они устанавливают связь между угловой и поступательной скоростями деформируемой жидкой частицы. Вопрос о знаках – это вопрос выбора. В гид- ромеханике поворот против часовой стрелки обычно считает- ся положительным, по часовой – отрицательным. В векторной форме выражение для угловой скорости может быть записано как e  e  e  . x x y y z z Заменяя  ,  и  их выражениями из (1.2)–(1.4), полу- x y z чаем 1 uz uy  ux uz  uy ux   ex  ey  ez  . 2  y z   z x   x y  Учитывая соотношения векторной алгебры (применительно к вектору скорости жидкой частицы), можем записать 1  rotu (1.5) 2 либо rotu 2. (1.6) Формула (1.6) раскрывает гидромеханический смысл вихря (ротора) векторного поля скоростей. Если u характеризует поле мгновенных скоростей, то векторное поле rotu представ- ляет собой поле удвоенных угловых скоростей частиц жидко- сти этого поля. 8 Линейные деформации Очевидно, что линейные деформации жидкой частицы мо- гут возникнуть в результате различия скоростей в точках, сов- падающих с направлением ее ребер. Как и ранее полагаем компоненты скорости в точке A равными u , u , u . x y z Вдоль оси x: точка A: u ; x(A) u x точка D: u u  dx. x(D) x(A) x Разность скоростей, вызываю- y B C щая удлинение ребра AD (рис. 1.4): dy u x dx. Удлинение частицы DD" x dx D'' за время dt A D x u x Рис. 1.4 DD" dxdt. (1.7) x Относительное удлинение DD" u x  dt d . x AD x Скорость относительного удлинения d u x x   . x dt x Аналогичные выражения можно получить для других осей: u u y z   ;   . y z y z 9 Если процесс происходит одновременно вдоль всех осей, то это приводит к объемному расширению либо сжатию части- цы. Таким образом, объемная деформация сводится к измене- нию первоначального объема параллелепипеда dV dxdydz на величину V V V V за счет растяжения либо сжатия x y z ребер. При этом V DD"dydz, x и с учетом (1.7) u x V  dVdt. x x К аналогичным выводам можно прийти, рассматривая из- менения по другим осям координат: u u y z V  dVdt и V  dVdt. y z y z Таким образом: u u u  x y z V    dVdt.    x y z  Скоростью относительной объемной деформации назовем отношение изменения объема к его первоначальному объему и времени, за которое это изменение произошло, т. е. V u u u x y z    divu. dVdt x y z Если divu 0, то это означает, что V 0, т. е. деформа- ция жидкой частицы происходит без изменения ее объема. В 10