Manfred Hahn · Rafael D. Jarzabek 3D-Spannungsanalyse von linear elastisch homogenen Körpern Analytische Lösungsmethoden für kontinuumsmechanische Probleme essentials essentials liefern aktuelles Wissen in konzentrierter Form. Die Essenz dessen, worauf es als „State-of-the-Art“ in der gegenwärtigen Fachdiskussion oder in der Praxisankommt.essentialsinformierenschnell,unkompliziertundverständlich (cid:129) als Einführung in ein aktuelles Thema aus Ihrem Fachgebiet (cid:129) als Einstieg in ein für Sie noch unbekanntes Themenfeld (cid:129) als Einblick, um zum Thema mitreden zu können Die Bücher in elektronischer und gedruckter Form bringen das Expertenwissen von Springer-Fachautoren kompakt zur Darstellung. Sie sind besonders für die Nutzung als eBook auf Tablet-PCs, eBook-Readern und Smartphones geeignet. essentials:WissensbausteineausdenWirtschafts-,Sozial-undGeisteswissenschaf- ten, aus Technik und Naturwissenschaften sowie aus Medizin, Psychologie und Gesundheitsberufen.VonrenommiertenAutorenallerSpringer-Verlagsmarken. Weitere Bände in dieser Reihe http://www.springer.com/series/13088 Manfred Hahn Rafael D. Jarzabek (cid:129) 3D-Spannungsanalyse von linear elastisch homogenen Körpern Analytische Lösungsmethoden für kontinuumsmechanische Probleme ManfredHahn Rafael D.Jarzabek Institut für Institut für Statik undDynamikder Maschinenbau, Festkörpermechanik Luft-undRaumfahrtkonstruktionen Technische UniversitätDresden UniversitätStuttgart Dresden,Deutschland Stuttgart, Deutschland ISSN 2197-6708 ISSN 2197-6716 (electronic) essentials ISBN978-3-658-17273-2 ISBN978-3-658-17274-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-658-17274-9 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbiblio- grafie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerVieweg ©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem WerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamen im Sinneder Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebungals frei zu betrachten wären und dahervonjedermannbenutztwerdendürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind.WederderVerlagnochdieAutorenoderdieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoder implizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehleroderÄußerungen.DerVerlagbleibt imHinblickaufgeografischeZuordnungenundGebietsbezeichnungeninveröffentlichtenKarten undInstitutionsadressenneutral. GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerViewegistTeilvonSpringerNature DieeingetrageneGesellschaftistSpringerFachmedienWiesbadenGmbH DieAnschriftderGesellschaftist:Abraham-Lincoln-Str.46,65189Wiesbaden,Germany Was Sie in diesem essential finden können (cid:129) GeschichtlicheEntwicklungvonSpannungsfunktionennachMAXWELL,MORERA undanderen (cid:129) Verschiebungsansatz nach PAGANO für räumliche Probleme (cid:129) DiskussionverschiedenerSpannungsfunktionenmachMAXWELLfür3D-Probleme (cid:129) Spannungsanalyse dicker Platten mittels einer Spannungsfunktion und Verschiebungsfunktionen (cid:129) Analytische Lösungen zur Verifikation von numerischen Modellen (cid:129) Nachweis überdieÄquivalenz vonVerschiebungsfunktionen undSpannungs- funktionen V Vorwort Seit der Einführung und Etablierung numerischer Methoden haben analytische Lösungen in der Kontinuumsmechanik an Bedeutung verloren. Jedoch sind die analytischenMethodenundLösungenzurErgebnisevaluierungundParameterstu- die von numerischen Ergebnissen von essentieller Bedeutung. ImletztenJahrhundertwurdenverschiedeneLösungsmöglichkeitenzurBestim- mungvonSpannungeninlinearelastischenKörpernvorgeschlagen.Dabeiwurden Lösungsmethoden für den 2D-Raum intensiv diskutiert. Wegen der Komplexität räumlicherProblemewurden 3D-Ansätzelediglich kurzangerissen,davieleThe- orien und Ansätze zu keinen Ergebnissen geführt haben. Deshalb werden in die- ser Veröffentlichung die existierenden 3D-Lösungsverfahren dargelegt und weiter entwickelt, sodass die vorgestellten analytischen Methoden und deren Ergebnisse zurVerifikationundValidierungvonnumerischenMethodenherangezogenwerden können. Dresden, Deutschland Manfred Hahn Technische Universität Dresden Stuttgart, Deutschland Rafael D. Jarzabek Universität Stuttgart April 2017 VII Inhaltsverzeichnis 1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Fundamentale Gesetzmäßigkeiten der linear elastischen Kontinuumsmechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Spannungs-, Dehnungs- und Verschiebungsfunktionen. . . . . . . . 13 4 Analytische Lösungen im 3D-Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 IX 1 Einführung Dieses essential gibt dem Leser die Möglichkeit, die vorgestellten analytischen Lösungen von linear elastischen Körpern im 3D-Raum nachzuvollziehen und ei- genezuentwickeln.DieseanalytischenLösungensindwichtig,dasiezurVerifi- kation,ValidierungundParameterstudievonneuenundbestehendennumerischen Lösungsmethodendienenkönnen.FürdenFall,dasskeineanalytischenLösungen fürräumlicheProblemevorliegen,istmanaufteureundlangwierigeExperimente angewiesen.AlsBasisfürdieEntwicklungvonräumlichenanalytischenLösungen dienenverschiedenestateoftheart-Ansätze,welchehieraufgeführtunderläutert werden. ZurSpannungsberechnungwerdenheutzutagenumerischeMethodenbzw.Com- puterprogrammeherangezogen.DabeiwirddennumerischenLösungenmeistblind vertraut,wasnichtimmergutist.AlsIngenieursolltemandieGrenzenbzw.Schwä- chendernumerischenVerfahrenkennen.Abb.1.1zeigtanhandeinerGegenüber- stellungderanalytischenunddernumerischenLösung,dassfüreinigeSpannungen numerischeFehlerentstehenkönnen.WoherdieseFehlerkommenundwiediese beseitigtwerdenkönnen,istdemProgrammiereroderdemAnwenderdesnumeri- schenProgrammsüberlassen.WichtigistjedochdieRealisierungbzw.Wahrneh- mung,dassnumerischeFehlerentstehen. VorErfindungundEinsatzdesComputerslagderFokusaufdenanalytischen Methoden.TrotzallerAnstrengungensindnursehrwenigeräumlicheanalytische LösungeninderKontinuumsmechanikbekannt,hingegenabervieleim2D-Raum. DiegeringeAnzahlanalytischerLösungenim3D-Raumistdarinbegründet,dass imstationärenFallder3D-Kontinuumsmechanik15Gleichungenvorliegen,dieal- leerfülltwerdenmüssen.DabeiwirdbereitsdieSymmetriedesSpannungstensors vorausgesetzt.OhnedieSymmetriedesSpannungstensorswären18Gleichungen und 18 Unbekannte vorhanden. Von den 15 Gleichungen stammen drei aus dem Gleichgewicht, sechs aus den kinematischen Beziehungen und sechs weitere aus ©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH2017 1 M.HahnundR.D.Jarzabek,3D-Spannungsanalysevonlinearelastisch homogenenKörpern,essentials,DOI10.1007/978-3-658-17274-9_1 2 1 Einführung Abb.1.1 VergleichderanalytischundnumerischberechnetenSpannungen.ZurGenerierung derErgebnissewurdefürdieAbmaßea = 22,5mm,b = 15mm,h = 4,5mm,fürdie bisinusförmigeLastaufderOberseiteq0 = 10MPa,fürdasElastizitätsmodulE =75MPa undfürdieQuerkontraktionν = 0,25verwendet.AufdieBerechnungsmethodenderana- lytischenKontinuumsmechanikwirdinAbschn.4.4.1eingegangen.DienumerischeLösung wurdemittelsquaderförmigenfinitenElementenerzeugt,wobeiinx-Richtung60Elemente, iny-Richtung40Elementeundinz-Richtung12Elementeverwendetwurden.AlsVerschie- bungsansatzdienteeinlinearerAnsatz.EinVergleichderanalytischundnumerischberechne- tenSpannungenzeigt,dassdieLängsspannungeninx-undy-Richtunggutübereinstimmen. DieLängsspannunginz-RichtungunddieSchubspannungτyz zeigenjedochvoralleman denPlattenober-und-unterseitenFehlerauf.