МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ В ВУЗЕ И ШКОЛЕ Материалы всероссийской научно-практической конференции (г. Курган, 2 2 - 2 3 апреля 201 3 года) ISBN 978-5-4217-0200-9 9 785421 702009 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» «Математика. Информатика. Компетентностный подход к обучению в вузе и школе» Материалы всероссийской научно-практической конференции (г. Курган, 22 – 23 апреля 2013 года) Курган, 2013 УДК (51+681.3)(072)(04) ББК 73/74я1 М 34 Математика. Информатика. Компетентностный подход к обучению в вузе и школе: Материалы всероссийской научно-практической конференции. – Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2013. 130 с. Печатается по решению научного совета Курганского государственного университета. Ответственный за выпуск А.Т. Зверева, канд. пед. наук, доцент, декан факультета МиИТ КГУ. ISBN 978-5-4217-0200-9 © Курганский государственный университет, 2013 г. © Авторы, 2013 2 Секция 1. Теоретические исследования в области математики и информатики О РЕАЛИЗАЦИИ ПЛАНИМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО НА СФЕРЕ МНИМОГО РАДИУСА В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Баранова В.А., Челябинск «На современную геометрию, на теорию познания, на механику, физику, космологию – на все отрасли философии и точного знания идеи Лобачевского положили печать, которая не только никогда не сотрется, но сохранит основное значение». Эта емкая характеристика идей Лобачевского была дана российским геометром В.Ф. Каганом в 1946 г. Можно с уверенностью сказать, что и в XXI веке интерес ученых к геометрии Лобачевского не только не ослабевает, но и заметно возрастает. Естественно поэтому изучение элементов геометрии Лобачевского является одной из основных задач курса оснований геометрии на физико-математических факультетов педагогических вузов. Более полное и глубокое знакомство будущих преподавателей математики с планиметрией Лобачевского и различными ее моделями происходит в рамках курсов и семинаров по выбору, а также в процессе подготовки ими выпускных квалификационных работ. В настоящее время имеется ряд учебных пособий, где подробно и вполне доступно рассматриваются модели планиметрии Лобачевского, например, модель Кэли-Клейна в круге, модели Пуанкаре на евклидовой полуплоскости и в круге, а также в гиперболической сети сфер евклидова пространства E . 3 Рассмотрим еще одну модель плоскости Лобачевского. Еще в 1899 году Д. Гильберт доказал, что в E не существует полной регулярной поверхности, 3 внутренняя геометрия которой совпадала бы с планиметрией Лобачевского. Позже выяснилось, что это возможно в псевдоевклидовом пространстве. Для этого необходимо прежде всего ввести понятие псевдоевклидова пространства E1, изучить необходимые факты его геометрии, в том числе сферической 3 геометрии. Для определения псевдоевклидова пространства E1 воспользуемся 3 ««царским путем» в геометрию, ведущим через понятия «векторного пространства» и «скалярного произведения»» (Г. Шоке). E1– это аффинное 3 пространство, где задано скалярное умножение векторов, отличающееся от евклидова всего одной аксиомой: 2 Существуют три линейно независимых вектора p, q, r такие, что p 0, 2 r 0. Следовательно, пространства E иE1 имеют общую базу – аффинную 3 3 геометрию, но существенно отличаются своими метрическими свойствами. В E1 можно выбрать ортонормированный базис i, j, k, где i2  j2 1, 3 2     k 1, ij ik  jk 0. Тогда для векторов a  x; y ; z и b x ; y ; z 1 1 1 2 2 2 3 ab x x  y y  z z , aa a2  x2  y2  z 2, a  a2  x2  y2  z 2 . Отсюда следует, 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 что в E1 имеются векторы трех типов: евклидовы (a2 0), псевдоевклидовы 3 2 2 (a 0) и изотропные (a 0); прямые и плоскости трех типов в зависимости от направляющих векторов: евклидовы, псевдоевклидовы, изотропные. Имеются также три вида сфер – сферы действительного, мнимого и нулевого радиусов.   Уравнения сфер с центром в точке O 0; 0; 0 радиуса r имеют вид x2  y2 z 2 r2. (1). 1 1 1 В случае r qi – x2  y2 z 2 q2 (2), а в случае r 0 – x2  y2  z2 0 (3). 1 1 1 1 1 1 С точки зрения изображения сфер в пространстве E уравнение (1) 3 определяет однополостный гиперболоид, уравнение (2) – двуполостный гиперболоид, уравнение (3) – конус, называемый изотропным конусом, так как радиусы-векторы всех точек конуса за исключением вершины имеют нулевые длины. Ставится задача реализовать планиметрию Лобачевского на полусфере мнимого радиуса в пространстве E1. Особенность состоит в том, что плоскость 3 Лобачевского определяется на базе аксиоматики, представленной в школьном учебнике геометрии под редакцией Л.С. Атанасяна. Составляется интерпретационный словарь, содержащий определения всех основных понятий школьной аксиоматики в терминах модели. В качестве наложений используются движения группы Лоренца. Проверяется выполнение всех групп аксиом: принадлежности (3), порядка (4), наложения (7), непрерывности (2), а также аксиомы параллельных Лобачевского. Список использованных источников 1. Подран В.Е. Модели в геометрии. – Новгород, 1992. – 77с. 2. Совертков П.И. Модели геометрии Лобачевского: Учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2007. – 143 с. 3. Фетисов А.И. Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии. М.: «Просвещение», 1965. – 233 с. 4. ЭЭМ: – М.: Наука, 1966. – с. 420-452. МАТЕМАТИКИ И УРАЛЬСКОЕ ОБЩЕСТВО ЛЮБИТЕЛЕЙ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Гаврильчик М.В., г. Курган В конце декабря 1870 г. в Екатеринбурге было создано общество любителей математики (УОЛЕ). Инициатором его создания стал уроженец Швейцарии Онисим Егорович Клер. О.Е. Клер родился в 1845 г. в небольшом селении вблизи города Невшаль. В 19-летнем возрасте он переехал в Россию, первоначально в Ярославль, а в 1867 г. в Екатеринбург. Там О.Е. Клер и высказал идею создания научного общества и нашел единомышленников. Инициативу поддержали инженеры, врачи, ученые. Наркиз Константинович Чупин, ученый – энциклопедист, большой знаток природы Урала, управляющий Уральского горного училища помог в разработке устава и программы деятельности общества. 4 Основными целями общества были: 1. Изучение и исследование уральского края в естественнонаучном отношении. 2. Распространение естественноисторических знаний в этом крае. Учредителями общества были представители уральской интеллигенции. Почетными членами были Д.И. Менделеев, Ф. Нансен, Н.М. Пржевальский, К.А. Тимирязев и др., а также екатеринбургские священники. Первоначально общество существовало за счет членских взносов и пожертвований. При обществе были созданы музей и библиотека. С 1873 г. начали выходить «Записки УОЛЕ». За годы существования УОЛЕ издано более 100 выпусков. Позднее на базе музея в Екатеринбурге организовали областной краеведческий музей, а на базе художественной коллекции – свердловскую картинную галерею. Отделение УОЛЕ было открыто в Перми, обсуждался вопрос и об открытии челябинского отделения УОЛЕ. В 20-х годах XX века было проведено два съезда. В работе съездов принимали участие краеведы Челябинска, Тюмени, Уфы, Перми, а также представители Центрального бюро краеведения. Известно, что на заседаниях общества выступали и математики. 14 марта 1898 года выступил уральский математик А.Ф. Яковкин, который изложил свой метод для приближенного вычисления интегралов. Метод для вычисления определенного интеграла схож с методом Симпсона. А.Ф. Яковкин получил следующую формулу для вычисления интеграла b 3h  f(x)dx  y  y ... y 3y  y ... y , 4 0 2 2n2 1 2 2n1 a   2 где y , y , | y значения функции на отрезке x; x в точках x , x x , i i1 i2 i i2 i 3 i2 i x . i2 Оценивая погрешность, удалось установить, что формула Яковкина дает точное значение для многочлена второй степени. Членом УОЛЕ был священник из с. Мехонское Шадринского уезда И.М.Первушин, талантливый математик. Для УОЛЕ он составлял таблицы. Таблицы простых чисел являются его крупнейшим достижением. К сожалению, этот труд Первушина забыт, но для того времени таблицы имели значительную ценность. В 1929 г. УОЛЕ было закрыто решением органов советской власти. В 80-х годах были попытки возрождения общества, но пока безуспешны. Список использованных источников 1. Яковкин А.Ф. О квадратуре тел, ограниченных кривыми поверхностями с 1 табл. Чертежей. Записки состоящего под августейшим покровительством Высочества Великого Князя Михаила Николаевича уральского общества любителей естествознания. – т.XXI -Екатеринбург, 1899. 5 К ПРОБЛЕМЕ ОБ УПАКОВКЕ ШАРОВ Гаврильчик М.В., Пакулич Д.В., г. Курган Сколько единичных кругов могут одновременно касаться единичного круга, не пересекаясь друг с другом? Если расположить 3 равных круга так, чтобы они соприкасались друг с другом, то центры кругов образуют равносторонний треугольник. Из одной точки можно построить не более 6 равносторонних треугольников. Следовательно, максимальное число попарно непересекающихся единичных кругов, касающихся данного единичного круга, равно шести. Пусть радиусы внутреннего круга r , внешних – r , тогда данные центры 1 2 кругов располагаются в вершинах равнобедренного треугольника с боковой стороной r +r и основанием 2r . Несложно получить, что наибольшее 1 2 2 количество кругов, окружающих внутренний круг, равен целой части от деления π на arcsin(r /(r +r )). 2 1 2 Возникает вопрос: Сколько единичных шаров могут одновременно касаться данного единичного шара? Эта проблема известна как проблема Ньютона-Грегори или проблема тринадцати шаров. Теорема. Максимальное число попарно непересекающихся единичных шаров, касающихся данного единичного шара, равно двенадцати. Пусть шар лежит на горизонтальной плоскости. Приложим к нему 6 равных ему шаров (на ту же плоскость). При этом сверху и снизу от данного шара образуется шесть выемок. Положим теперь в три несмежные из шести верхних выемок 3 шара так, чтобы каждый из них касался трех нижних шаров – в том числе и данного шара. Если, далее расположить подобным образом еще 3 шара снизу от данного, то он окажется окруженным 12 равными ему шарами. Подобное расположение тринадцати равных шаров впервые было описано в 1611 г. одним из создателей современной астрономии и математики знаменитым Иоганном Кеплером. Но можно ли расположить шары так, чтобы их количество было более 12? В 1694 г. по этому вопросу разгорелась даже довольно оживленная полемика: естествоиспытатель Дэвид Грегори утверждал, что к шару можно приложить 13 равных ему шаров, а Исаак Ньютон – что нельзя, но доказать свою правоту ни одному из них не удалось. Первым кому удалось доказать гипотезу Ньютона, утверждающую, что количество шаров равно 12, был немецкий геометр Рудольф Гоппе в 1874 г. однако оно еще оставалось сложным. Считается, что первое безупречное доказательство этой гипотезы дали в 1953 г. голландский алгебраист Бартель Леендерт ван дер Вардер и немецкий логик Карл Шютте. Когда четыре шара касаются, их центры являются вершинами треугольной пирамиды. Эта конфигурация является самой плотной упаковкой четырех шаров в пространстве. Эта идея была положена при создании программы об упаковке шаров. Написанная программа позволяет вычислять не только количество внешних шаров, но координаты их центров, считая, что центр внутреннего шара находится в начале координат. 6 Так максимальное число попарно непересекающихся шаров радиуса 10, касающихся данного шара радиуса 100, равно 356 и только 2 шара радиуса 100 могут касаться шара радиуса 10. МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА СЕГМЕНТАЦИИ БИНАРНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ Змызгова Т. Р., г.Курган, Тупицина Ю.В., г.Курган, Подавляющее большинство методов исследования различных изображений основано на выделении информативных объектов и дальнейшем их анализе. Поэтому одной из главных задач автоматизации исследования изображений является разработка алгоритмов автоматического обнаружения и сегментации информативных объектов. Под сегментацией изображения понимается процесс его разбиения на составные части, имеющие содержательный смысл: объекты, их границы или другие информативные фрагменты, характерные геометрические особенности и т.д. Сегментацию следует рассматривать как начальный этап построения формального описания сцены, качество выполнения которого во многом определяет успех решения задачи распознавания изображений, интерпретации и идентификации визуально наблюдаемых объектов. Основная идея предлагаемого метода заключается в классификации отдельных объектов бинарного изображения по принципу их связности и последующей автоматической сегментации изображения на основе маркировки выделенных связных компонент, причем под объектом на изображениях подразумевается ограниченная и непрерывная область с одним уровнем (цветом). Применение маркировки приводит к тому, что исходное бинарное изображение, содержащее несколько «черных» компонент на «белом» фоне, преобразуется в изображение, на котором элементы каждой компоненты получают значение, равное ее порядковому номеру. Таким образом, указанный алгоритм позволяет «пересчитать» компоненты изображения, присвоив каждому объекту свой неповторяющийся порядковый номер. Изображение сегментируется на отдельные компоненты по принципу их связности и затем может использоваться для оценки параметров каждой компоненты отдельно. При разделении данного множества объектов на непересекающиеся кластеры естественным показателем является понятие метрики, которая служит критерием близости или расстояния между объектами и их характеризует взаимное расположение. В общем случае выбор конкретного вида метрики представляет собой узловой момент исследования, от которого решающим образом зависит разбиение исходного множества. Учитывая особенности решаемой задачи, была предпринята попытка построения алгоритма классификации, близкого по своим параметрам к иерархическому, но не требующего введения метрики пользователем и способного работать при большом количестве объектов. Тогда для формальной постановки частной задачи иерархического разбиения исследуемого дискретного множества объектов данного цифрового изображения на непересекающиеся области 7 достаточно обобщить на этот случай понятие класса (кластера). Таким обобщением является понятие связной компоненты. Пусть исходное бинарное изображение содержит множество компонент, имеющих значение 1, и одну компоненту со значением 0, соответствующую фону, т.е. фактически изображение представляет собой дискретную матрицу   F  f , i 1,m, j 1,n, элементы которой могут принимать значения 0 или 1. ij Назовем элементы локальной окрестности каждого элемента изображения смежными ему элементами. Для 8- и 4-связной окрестности соответственно вводятся понятия 8- и 4-смежности. Отношение смежности является отношением эквивалентности, т.е. если элемент а смежен b, то и b смежен а. Путь от элемента а до элемента b определим как последовательность элементов (пикселов) а , i 1,k, а  a, а b, имеющих одинаковые значения, i 1 k таких, что а смежно а . Путь может быть 8- и 4-связным. Тогда элементы а и i i1 в, имеющие одинаковые значения, назовем связными, если существует путь из а в b. Связной компонентой назовем максимальное множество элементов, связанных друг с другом. Другими словами, связная компонента изображения – это такое его подмножество максимально возможного размера, любые два пиксела которого могут быть соединены связной кривой, целиком принадлежащей данному подмножеству. Условие максимальности множества означает, что нет других элементов, удовлетворяющих условию связности с элементами данной компоненты. Обработка осуществляется с использованием локальной окрестности     следующего вида: N* f  f , f , f , f , f . ij i1,j1 i1,j i1,j1 i,j1 i,,j Сканирование ведется в направлении сверху вниз, слева направо. Кроме максимальной связной компоненты в алгоритме рассматриваются неполные компоненты, представляющие собой любое, не обязательно максимальное множество связных компонент. Для обработки изображения в оперативной памяти организуется таблица F , которая ставит в соответствие порядковому 1 номеру каждой связной компоненты изображения номер той неполной компоненты (составляющей), в которую она входит. Элементы, имеющие значение 0, считаются фоновыми и не маркируются, т.е. их значения не изменяются. 1. Первое сканирование изображения. На этом этапе изображение классифицируется на неполные составляющие, которым присваиваются индивидуальные порядковые номера. Это объединение является предварительным, поскольку в зависимости от особенностей каждой максимальной компоненты в ней могут быть объединены одна или несколько неполных составляющих, т.е. разным частям одной компоненты могут быть присвоены различные номера. Например, если максимальная компонента имеет петли, возвращающиеся на ранее обработанные участки изображения, то первый этап алгоритма присваивает разные номера разным частям этой компоненты. Вся информация о соответствии разных номеров одному связному объекту изображения сохраняется в таблице F . Нумерация отдельных 1 8 компонент, согласно таблице F , получается не сквозная, из нее выпадают 1 номера, присвоенные разным частям одной компоненты. 2. Второе сканирование изображения. Неполные компоненты объединяются для получения максимальных связных компонент. Осуществляется обработка таблицы F с целью ее сокращения и получения 1 окончательного перечня номеров для маркировки связных компонент изображения. При этом для каждой неполной компоненты вводятся два номера: ее собственный номер, определяемый при первом проходе по изображению, и номер максимальной компоненты, в которую она входит. Эти номера должны совпадать в конце работы алгоритма, но могут различаться в ходе выполнения алгоритма. В результате таблица F «сжимается» для получения непрерывной 1 последовательности номеров компонент изображения. 3. Третий этап представляет собой простую перекодировку изображения в   соответствии с таблицей F , которая выполняется за один проход: f  F f , 1 ij 1 ij т.е. каждому элементу изображения присваивается номер максимальной компоненты, в которую она входит. Результат применения данного алгоритма приведен на рис. 1, где указаны некоторые геометрические характеристики объектов изображения (общее число связных объектов, минимальная, максимальная и средняя их площадь). Рис. 1. Сегментация изображения при помощи алгоритма маркировки Промаркированное изображение может служить основой для подсчета ряда морфологических параметров объектов изображения. При этом оно используется в качестве маски, т.е. при обработке k-го объекта рассматриваются только те элементы, которые имеют значение k на промаркированном изображении. В результате ряд параметров, таких как, например, площадь и периметр, длина и ширина, координаты центра масс и моменты инерции можно рассчитать непосредственно по изображению. Эти характеристики объектов изображения могут служить основой для формирования признакового пространства объекта. Кроме того, к указанному списку параметров можно применить различные методы классификации и распознавания объектов. 9