UZAY ANALİTİK GEOMETRİ 2 2 2 ‰ AB‰ = (x -x ) +( y -y ) +(z -z ) formülünde 2 1 2 1 2 1 Uzayda Koordinat Sistemi ve Uzayda Vektörler: 2 değerler yerine konursa 16+(1-m) +16=36 ⇒ m=-1 Tanım: Uzayda (üç boyutlu) birbirine ikişer ikişer dik sayı eksenlerinin oluşturduğu sisteme üç boyutlu veya m=3 bulunur. uzayda koordinat sistemi denir.Bu üç eksenin kesiştiği O noktasına orijin, eksenlerden birisi Ox Bir Doğru Parçasının Orta Noktası ekseni, diğerlerinden birisi Oy ekseni üçüncüsüne ise Oz ekseni denir. A(x1,y1,z1) ve B(x2,y2,z2) noktaları verilsin.Bu iki noktanın belirlediği [AB] doğru parçasının C orta Uzayda Bir Noktanın Koordinatları: noktasının koordinatları, ikişer ikişer koordinatlarının Uzayda bir P noktasından xOy düzlemine dik aritmetik ortasıdır. Yani; indirelim.Dikme ayağı P' olsun.Bu noktadan Ox ve Oy eksenine dikmeler inelim.Bu noktalara karşılık gelen x1+ x2 y1+y2z1+z2 reel sayılar x ve y olsun.P den Oz eksenine paralel C( 2 , 2 , 2 ) dir. çizelim.Bu doğruyla Oz ekseni bir düzlem oluşturur.P den Oz eksenine inilen dikme ayağı P'' olsun.Bu Örnek: noktaya karşılık gelen reel sayı z olsun.İşte bu üç reel A(-1,7,3) noktasının B(2,-3,5) noktasına göre sayıya P noktasının koordinatları denir ve bu P(x,y,z) simetriği C noktasının koordinatlarını bulalım. ile gösterilir.Buradaki x bileşenine apsis , z bileşenine ordinat ve z bileşenine kot denir. Çözüm: Böylece uzaydaki her bir noktaya (x,y,z) sıralı reel -1+x 7+y sayı üçlüleri karşılık gelir.Böylece uzay RxRxR üçlü C(x,y,z) olsun. =2 ⇒ x=5, =-3 ⇒ y=-13 2 2 3 kartezyen çarpım kümesi ile veya R ile gösterilir. 3+z =5 ⇒ z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur. 2 Kürenin Analitik İncelenmesi: Üç boyutlu uzayda, bir M(a,b,c) noktasına, r kadar uzaklıkta bulunan tüm noktar kümesine (geometrik yerine) bir küre, buradaki M noktasına kürenin merkezi r sayısına da yarıçap uzunluğu denir. Küre Denklemi: Küre üzerinde değişken bir nokta P(x,y,z) olsun.P noktaları değişse de ‰ MP‰ =r değişmeyecektir. 2 2 2 O halde; ‰ MP‰ = (x-a) +(y-b) +(z-c) =r 2 2 2 2 ⇒(x-a) +(y-b) +(z-c) =r bulunur.Bu denklem merkezi M(a,b,c) ve yarıçap uzunluğu r olan küre denklemidir. Bu denklemi açalım: 2 2 2 2 2 2 2 x +y +z -2ax-2by-2cy+a +b +c -r =0 2 2 2 2 Burada A=-2a, B=-2b, C=-2c, D= a +b +c -r alınırsa küre denklemi; İki Nokta Arasındaki Uzaklık: 2 2 2 x +y +z +Ax+By+Cz+D=0 biçimine gelir. A(x ,y ,z ) ve B(x ,y ,z ) noktaları verilsin.Bu iki 1 1 1 2 2 2 A=-2a⇒a=- A/2, B=-2b ⇒b=- B/2, C=-2c ⇒ c=- C/2 nokta arasındaki uzaklık; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D= a +b +c -r ⇒ r = a +b +c -D ‰ AB‰ = (x -x ) +( y -y ) +(z -z ) dir. 2 1 2 1 2 1 2 2 2 A B C 2 1 2 2 2 Örnek: ⇒ r = + + -D = . (A +B +C -4D) 2 2 2 4 A(3,1,5), B(-1,m,1) noktaları veriliyor.‰ AB‰ =6 birim 1 2 2 2 ise a kaçtır? ⇒ r = A +B +C -4D bulunur. 2 Çözüm: Not: 2 2 2 x +y +z +Ax+By+Cz+D=0 denkleminin irdelenmesi: 1 2 2 2 a) A +B +C -4D>0 ise yukarıdaki denklem bir küre =( x - x , y - y , z -z ) dir. 2 1 2 1 2 1 belirtir. 2 2 2 Bir Vektörün Uzunluğu (=Normu): b) A +B +C -4D=0 ise yukarıdaki denklem fi yarıçapı 0 olan bir noktasal küre (kürenin merkezi) Bir vektöre karşılık gelen OP konum vektörünün P uç belirtir. noktasının orijine uzaklığı bu vektörün uzunluğu 2 2 2 fi c) A +B +C -4D<0 ise yukarıdaki denklem gerçek (normu) denir ve bu ‰ OP ‰ ile gösterilir. bir küre belirtmez ( sanal bir küre belirtir.) fi 2 2 2 Yani; P(x,y,z) ise ‰ OP ‰ = x +y +z dir. Örnek: Merkezi M(3,-2,-5) olan ve P(1,2,-2) noktasından Buna göre; A(x ,y ,z ) ve B(x ,y ,z ) noktaları için 1 1 1 2 2 2 geçen küre denklemini bulalım. fi 2 2 2 ‰ AB ‰ = (x2-x1) +( y2-y1) +(z2-z1) dir. Çözüm: 2 2 2 r=‰ MP‰ = (1-3) +(2+2) +(-2+5) = 29 Birim Vektör: Uzunluğu 1 birim olan vektörlere birim vektör denir. O halde küre denklemi; 2 2 2 (cid:1)(cid:2) (x-3) +(y+2) +(z+5) =29 veya Not: Ox ekseni üzerindeki e =(1,0,0), (cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 2 2 2 x +y +z -6x+4y+10z+9=0 bulunur. Oy ekseni üzerindekie =(0,1,0), (cid:1)2(cid:1)(cid:2) Oz ekseni üzerindeki e =(0,0,1) vektörlerine; (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 ‰ e ‰ =‰ e ‰ =‰ e ‰ =1 birim olduğundan Örnek: 1 2 3 2 2 2 standart birim vektörler denir. x +y +z -2x+3y-5z+k=0 denkleminin bir küre belirtiğine göre k nın alacağı değer aralığını bulalım. Örnek: fi Çözüm: u =(1/2, -1/3, a) vektörü veriliyor. 2 2 2 a) Uzunluğu 3 birim ise b) Birim vektör ise a kaç A +B +C -4D>0 olmalıdır. olmalıdır? 4+9+25-4k>0 ⇒ k<19/2 bulunur. Çözüm: Üç Boyutlu Uzayda Vektörler: 2 311 a) 1/4 + 1/9 +a =9 ⇒ a= Üç boyutlu uzayda herhangi bir P(x,y,z) noktasını 6 düşünelim.Başlangıç noktası O, bitim noktası P olan 2 23 fi b) 1/4 + 1/9 +a =9 ⇒ a= 6 bulunur. OP vektörüne konum (yer) vektörü denir.Böylece uzaydaki noktalarla bunlara karşılık gelen konum Vektörler Arasındaki Bağıntılar ve İşlemler: vektörleri arasında bire-bir bir eşleme yapabiliriz. a) İki Vektörün Eşitliği: Bu şekildeki analitik uzaya, üç boyutlu vektör uzayı fi fi denir. a = (x1,y1,z1) ve b = (x2,y2,z2) vektörleri için fi fi P(x,y,z) ise O fi P vektörünün de bileşenleri (x,y,z) a =b (cid:219) x 1=x2 ve y 1= y 2 ve z 1= z 2 dir. fi sıralı üçlüsü ile gösterebiliriz.Yani OP =(x,y,z) b) İki Vektörün Toplamı: fi fi yazabiliriz. a = (x1,y1,z1) ve b = (x2,y2,z2) vektörleri için Tanım: fi fi fi a +b =( x1+x2,y1+y2, z1+z2 ) dir. A(x1,y1,z1) ve B(x2,y2,z2) noktaları için AB Toplama İşleminin Özellikleri: fi fi Vektörler arasında tanımlanan toplama işleminin vektörüne O dan çizilen eş OP vektörüne, AB nün i) Kapalılık ii) Değişme iii) Birleşme özellikleri konum (yer) vektörü denir.Bu iki vektör birbirine eşit vardır.(Bu özellikler klayca gösterilebilir) olarak alınır.Yani; fi 3 fi fi fi fi fi fi iv) " a ˛ R ve 0 =(0,0,0) için; a +0 =a olduğundan; OP =AB =( x2- x1, y2- y1, z2 -z1) dir. fi fi fi fi fi fi 0 toplama işleminin etkisiz elemanıdır. Çünkü; AB =AO +OB =OB -OA =(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) fi 3 fi v)" a =( x1,y1,z1) )˛ R için -a=( -x1,-y1,-z1) dir. 2 fi fi fi fi a + (-a)= 0 olduğundan a nün toplama işlemine Örnek: fi fi fi fi göre ters elemanı -a dır. v =(-5,9,1) vektörünü, v 1=(-1,3,4), v 2=(3,0,1) ve fi c) İki Vektörün Farkı: v 3=(0,1,-2) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak fi fi fi fi yazalım. a - b = a +(-b ) olarak tanımlanır. fi fi Çözüm: Yani; a - b =( x1-x2,y1-y2, z1-z2 ) dir. fi fi fi fi d) Bir Vektörün Skaler (Reel Sayı) İle Çarpımı: k1v 1+k2v 2+k3v 3= v olacak biçimde k1,k2,k3˛ R sayılarını bulmalıyız. fi a = (x1,y1,z1) vektörü ve k˛ R verilsin. k1(-1,3,4)+ k2(3,0,1)+ k3(0,1,-2)= (-5,9,1) kfia =k(x 1,y 1,z 1)=(kx 1,ky 1,kz1 ) dir. ⇒( -k 1+3k 2, 3k 1+k 3,4 k 1+k 2-2k3 )= (-5,9,1)⇒ Bir Vektörün Reel Sayı İle Çarpımının Özellikleri: -k +3k=-5 1 fi fi 3k +k =9 a ve b iki vektör ve k,m˛ R olsun. 1 3 fi fi fi fi 4 k +k -2k =1 denklem sistemi çözülürse; k =2, i) k(a +b )=ka +kb dir. 1 2 3 1 fi fi fi k = -1, k =3 bulunur.O halde aranan lineer bileşim; ii) k(ma )=m(ka )=(km) a dir. 2 3 fi fi fi fi fi fi fi iii) (k+m) a =ka +ma dir. v =2v 1-v 2+3v 3 tür. fi fi fi fi fi fi iv) -1.a = -a ve 1. a =a ve 0.a = 0 dir. Lineer Bağımlılık, Lineer Bağımsızlık: Bu özellikler, vektörler arasındaki toplama işlemi ve Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında, fi fi fi fi reelsayıların özellikleri kullanılarak kolayca ispatlanabilir. k1,k2,k3,...,kn˛ R, v 1, v 2, v 3, ..., v n˛ V olmak fi fi fi fi fi e) İki Vektörün Paralelliği: üzere;k1v 1+k2v 2+k3v 3+...+knv n = 0 eşitliğini Doğrultuları paralel olan vektörlere paralel vektörler denir.İki konum vektörü paralel ise doğrultuları sağlayan en az biri sıfırdan farklı, k ,k ,k ,...,k ˛ R 1 2 3 n çakışık olur.Bu durumda birisi diğerinin (k„ 0 olmak fi fi fi fi fi fi varsa { v 1, v 2, v 3, ..., v n } kümesi lineer üzere) k katı olur.Yani; a =(x1,y1,z1), b =(x2,y2,z2) vektörleri ile k„ 0 reel sayısı verilsin. bağımlı aksi halde (yani k1=k2=k3=...=kn=0 olmak fi fi fi fi fi fi fi fi a //b (cid:219) a =k.b zorunda ise) { v 1, v 2, v 3, ..., v n } kümesi lineer (cid:219) (x ,y ,z )=k(x ,y ,z )=(kx ,ky ,kz ) bağımsızdır denir. 1 1 1 2 2 2 2 2 2 (cid:219) x = kx ve y = ky ve z =kz Taban ve Boyut: 1 2 1 2 1 2 Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında, (cid:219) x1/ x2 = y1/ y2 = z1/z2 bulunur. fi fi fi fi { v 1, v 2, v 3, ..., v n } kümesi verilsin. Bu küme; O halde iki vektör paralel ise bileşenleri a) lineer bağımsız, fi orantılıdır. (Paralellik şartı) b) V uzayını geriyorsa (yani " x ˛ V vektörü bu Vektörlerin Lineer Bileşimi: vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılabiliyorsa) fi fi fi fi Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında, fi fi fi fi { v 1, v 2, v 3, ..., v n } kümesi V uzayının bir k1,k2,k3,...,kn˛ R, v 1, v 2, v 3, ..., v n˛ V olmak tabanı (baz), n sayısına da V uzayının boyutu denir fi fi fi fi fi ve dim(V)=boy(V)=n yazılır. üzere; v = k1v 1+k2v 2+k3v 3+...+knv n vektörüne Örnek: fi fi fi fi a) {(1,-2,-3), (-3,6,9)} v 1, v 2, v 3, ..., v n vektörlerinin bir lineer bileşimi b) {(1,3,-2),(2,6,2)} denir. c) {(1,1,0),(-2,3,5),(0,5,5)} 3 d) {(1,2,-5),(0,0,0),(7,1,-3)} 2. Yol: e) {(1,1,0),(2,1,1),(0,1,1)} k (1,1,0)+k (-2,3,5)+k (0,5,5)}=(0,0,0)⇒ f) {(1,1,1),(-1,2,0),(2,2,3),(1,1,2)}kümelerinin lineer 1 2 3 bağımlı olup lmadıklarını araştıralım. k -2k =0 g) Yukarıdaki kümelerden hangileri üç boyutlu vektör 1 2 3 uzayının (R ün) bir tabanıdır. k +3k +5k =0 1 2 3 Çözüm: 5k +5k =0 Denklem sisteminin sıfır çözümünden 2 3 farklı çözümlerinin olması denklem sisteminin a) k (1,-2,-3)+ k (-3,6,9)=(0,0,0) 1 2 katsayılarından oluşan determinantın değerinin (veya vektörleri alt alta yazarak oluşturulan determinantın) ⇒ k -3k =0 1 2 sıfır olması gerekir.Gerçekten; 1 1 0 -2k +6k =0 1 2 - 2 3 5 =0 olduğu görülür.yani bu vektörler lineer -3k +9k =0 denklem sistemielde edilir. 1 2 0 5 5 Halbuki bu denklemlerin üçü de birbirine denktir. bağımlıdır. Aslında burada tek denklem vardır yani; k -3k =0 1 2 d) {(1,2,-5),(0,0,0),(7,1,-3)} ⇒ k =3k Buna göre k , k nin 3 katı olmak üzere 1. Yol: Vektörleri sırasıyla hepsi birden sıfır olmayan 1 2 1 2 (örneğin, 0, 2007 ve 0) sayılarıyla çarpıp toplayalım; sıfırdan farklı sonsuz çözüm bulabiliriz.O halde 0.(1,2,-5)+2007.(0,0,0)+0.(7,1,-3)=(0,0,0) olduğundan {(1,-2,-3), (-3,6,9)} kümesi lineer bağımlıdır. fi bu küme (genel olarak içinde 0 vektörü bulunan her Not: Vektörlerin bileşenlerine dikkatlice küme) bakarsakorantılı olduğunu görürüz. lineer bağımlıdır. Yani iki vektörün lineer bağımlı olması, biri diğerinin 2. Yol:Her bir vektörü bir satıra yazarak oluşturulan bir katı olması, birbirine paralel olması aynı anlama determinantın değeri sıfır olacağından bu küme lineer gelir. bağımlıdır. b) {(1,3,-2),(2,6,2)} e) {(1,1,0),(2,1,1),(0,1,1)} 1/2=3/6„ -2/2 Her bir vektörü bir satıra yazarak oluşturulan Bu iki vektörün bileşenleri orantılı olmadığından lineer determinantın değeri bağımsızdır. 1 1 0 c) {(1,1,0),(-2,3,5),(0,5,5)} 2 1 1 =-1„ 0 olduğundan bu üç vektör lineer 1. Yol: 0 1 1 k (1,1,0)+k (-2,3,5)+k (0,5,5)}=(0,0,0) 1 2 3 bağımsızdır. f) {(1,1,1),(-1,2,0),(2,2,3),(1,1,2)} ⇒ k -2k =0 1 2 k (1,1,1)+k (-1,2,0)+k (2,2,3)+k (1,1,2)=(0,0,0) 1 2 3 4 k +3k +5k =0 1 2 3 eşitliği bizi 4 bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir denklem sistemine götürür.Böyle bir denklemin her 5k +5k =0 2 3 zaman sıfır çözümlerinden başka (sonsuz tane) 1. denklemden k =2k çözümü vardır.Örneğin k =t diyerek diğer 1 2 4 bilinmeyenleri t parametresine göre çözümlerini 3. denklemden k =-k değerleri 2. denklemde yerine 3 2 bulabiliriz.O halde 4 (veya daha fazla) vektörden oluşan her küme lineer bağımlıdır. konursa; 5k +5k =0 elde edilir.Bu ise 3. denklemdir. 2 3 O halde gerçekte farklı olarak iki denklem g) Vektörlerden oluşan bir kümenin taban olabilmesi vardır.Burada bilinmeyenlerden birine örneğin k =t 3 için lineer bağımsız ve ilgili vektör uzayını germesi fi 3 diyelim.Böylece k2= -t ve k1=-2t olmak üzere (yani " x ˛ R vektörü bu vektörlerin bir lineer (k ,k ,k )=(-2t, -t, t), t˛ R olmak üzere sıfır çözümden bileşimi olarak yazılabilmesi ) gerekir. 1 2 3 {(1,-2,-3), (-3,6,9)}, {(1,1,0),(-2,3,5),(0,5,5)}, {(1,2,-5),(0,0,0),(7,1,-3)}, farklı sonsuz tane (k ,k ,k ) üçlüsü bulunur. 1 2 3 {(1,1,1),(-1,2,0),(2,2,3),(1,1,2)} kümeleri lineer O halde {(1,1,0),(-2,3,5),(0,5,5)} kümesi lineer bağımlı olduklarından taban olamaz. bağımlıdır. {(1,3,-2),(2,6,2)} kümesi lineer bağımsızdır. 4 (cid:2) (cid:2) 3 Acaba bu küme R ü gerer mi?Bakalım: Tanım: a=( a ,a ,a ), b=( b ,b ,b ) vektörleri için 1 2 3 1 2 3 (cid:2) (cid:2) fi 3 m(a,b)=a olmak üzere; x =( x1,x2,x3)˛ R olsun. <a(cid:2) ,b(cid:2)>=a(cid:2) .b(cid:2)=‰ a(cid:2) ‰‰ b(cid:2)‰ cosa çarpımına "a(cid:2) ile b(cid:2) ( x ,x ,x )= k (1,3,-2)+ k (2,6,2) nin skaler(=iç) çarpımı" denir. 1 2 3 1 2 ⇒ k +2k = x 1 2 1 Teorem: (cid:2) (cid:2) 3k +6k = x 1 2 2 a=( a ,a ,a ), b=( b ,b ,b ) vektörleri için; 1 2 3 1 2 3 (cid:2) (cid:2) -2k +2k = x 1 2 3 a.b= a b +a b +a b tür. 1 1 2 2 3 3 Denklem sisteminde ilk iki denklemden bulunan k ,k İspat: 1 2 değerleri her zaman üçüncü denklemi 3 sağlamayacağından bu iki vektör R ü germez.O halde bu küme bir taban olamaz. {(1,1,0),(2,1,1),(0,1,1)} kümesi lineer bağımsızdır. 3 Acaba bu küme R ü gerer mi?Bakalım: fi 3 x =( x1,x2,x3)˛ R olsun. OAB üçgeninde cosinus teoremi uygulayalım; ( x ,x ,x )= k (1,1,0)+ k (2,1,1)+k (0,1,1) 1 2 3 1 2 3 fi 2 fi 2 fi 2 fi fi ‰ AB ‰ =‰ OA ‰ +‰ OB‰ -2‰ OA ‰‰ OB‰ cosa k +2k = x 1 2 1 2 2 2 (b - a ) +( b -a ) +( b - a ) 1 1 2 2 3 3 k +k +k = x 1 2 3 2 (cid:2) (cid:2) 2 2 2 2 2 2 =a + a + a +b + b +b -2a.b k +k = x 1 2 3 1 2 3 2 3 3 Üç bilinmiyenli bu denklemin çözümü vardır ve tektir. Gerekli işlemle yapılırsa; 3 3 (cid:2) (cid:2) O halde bu küme R ü gerer. Buna göre bu küme R a.b= a b +a b +a b bulunur. 1 1 2 2 3 3 ün bir tabanıdır. Skaler Çarpımın Özellikleri: Not: V vektörlerden oluşan bir vektör uzayı olsun. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi lieer bağımsız üç (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 3 vektör R ün bir tabanıdır. 1. " a,b˛ V için a.b˛ R olduğundan; skaler (iç) çarpım fonksiyonu f ise; S(cid:1)(cid:2)tandart Ta(cid:1)b(cid:1)(cid:2)an Vektörl(cid:1)e(cid:1)(cid:2)ri: f:VxV(cid:2)fi (cid:2)R olan bir (cid:2)fon(cid:2)ksi(cid:2)yon(cid:2)dur. e =(1,0,0), e =(0,1,0), e =(0,0,1) vektörleri lineer 2. " a,b˛ V için a.b=b.a dir.(Simetri özelliği) 1 2 3 (cid:2) (cid:2) fi (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) fibağımsızdır. 3." a˛ V (a„ „„„ 0 ) için a.a=a 2=‰ a‰ 2>0 (Pozitif 3 x =( x1,x2,x3)˛ R olsun. tanım(cid:2)lılı(cid:2)k ö(cid:2)zelliği) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) fi 4. " a,b,c˛ V için a.(b+c)=a.b+a.c dir. (cid:2) (cid:2) x =( x1,x2,x3)=( x1,0,0)+(0, x2,0)+(0,0,x3) 5. a ve bvektörleri sıfır vektörlerinden farklı olsun. = x (1,0,0)+ x (0,1,0)+ x (0,0,1) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)2 (cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 a .b=0 (cid:219) a^ bdir. (Diklik şartı) = x e + x e + x e 1 1 2 2 3 3 (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 O halde {e ,e ,e } kümesi de R ü gerer. 1 2 3 (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 Buna göre {e ,e ,e } R ün bir tabanıdır.Bu tabana 1 2 3 standart taban denir. Skaler (=İç ) Çarpım: 5 İZMİR FEN LİSESİ UZAY ANALİTİK GEOMETRİ fi fi ÇALIŞMA SORULARI AB//CD ise ave b yi bulunuz. (Küre ve Uzayda Vektörler) (Kasım 2012) fi 01. A(-5,3,2), B(1,3,5) ve C(-2,-1,a) noktaları 12. a =(3,-1,2) vektörü ile aynı doğrultudaki birim veriliyor. vektörleri bulunuz. a) [AB] nın D orta noktasının koordinatlarını bulunuz. b) ‰ AB‰ =‰ AC‰ ise a kaçtır? 13. (-1,2,-2) vektörünü {(2,1,0),(3,0,1),(0,-2,1)} vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazınız. 02. Bir tabanı ABCD, diğer tabanı A'B'C'D' olan ABCDA'B'C'D' pirizması göz önüne alınıyor. fi A(3,1,0), B(3,5,0), C(1,5,0) ve D'(1,1,4) tür. 14. A(3,2,-1) noktası ile AB =(5,-7,6) vektörü veriliyor.B noktasını bulunuz. a) Bu pirizmanın tüm yüzleri paralelkenar (paralelyüz ) ise diğer köşelerinin koordinatlarını 15. A(-1,3,2), B(5,-1,1) noktaları ile bulunuz. fi fi fi v =(p-1,3-k,-3) vektörü veriliyor. AB // v ise b) Bu pirizma dikdörtgenler pirizması olabilmesi için D fi köşesinin koordinatlarını bulunuz. Bu durumda cismin v vektörünün uzunluğunu (normunu) bulunuz. hacmini, yüzey alanını ve cisim köşegenini hesaplayınız. 16 . fi fi fi 03. Merkezi M(3,3,1) olan ve a) =(0,-2,5) vektörünü =(1,-1,0), =(2,0,1) ve v a b a) P(3,-1,5) noktasından geçen; fi b) xOy düzlemine teğet olan; =(-2,2,2) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak c 2 2 2 c) x +y +z -2z=7 küresine teğet olan küre ifade ediniz. fi denklemini bulunuz. b) Uzayın herhangi bir =(x,y,z) vektörü a) şıkkında w verilen vektörlerin bir lineer bileşimi olarak ifade 04. A(-1,8,3) ve B(11,4,-7) noktaları verilyor.[AB] edilebilir mi? çaplı küre denklemini bulunuz. fi fi fi 05. P(1,1,2) noktasından geçen ve her üç koordinat c) =(0,-2,5) vektörünü =(1,-1,0), =(2,0,1) ve v a b düzlemlerine teğet olan küre denklemini bulunuz. fi =(0,-2,-1) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak c 2 2 2 06.x +y +z +2x-10y+(m+1)z=m küresi xOy ifade edilebilir mi?Edilemezse neden? düzlemine teğetse kürenin merkezini ve yarıçap fi fi fi uzunluğunu bulunuz. 17. =(x,0,1), =(2,y,3) ve =(2,1,z) vektörleri u v w lineer bağımlı ise x,y,z arasında hangi bağıntı 2 2 2 07.(x-2) +(y-5) +(z+7) =81 küresinin P(-2,-1,5) olmalıdır? noktasına en kısa ve en uzun uzaklıklarını bulunuz. fi fi fi 18. =(3,-1,4), =(m,2,-1) ve =(2,4,1) vektörleri fi A B C 08. AB =(3,-1,4) vektörü ile B(1,4,2) noktası fi fi veriliyor. olduğuna göre m kaçtır? fi AB ^ C veriliyor.A noktasının koordinatlarını ve OA vektörü 19. A(8,2,0), B(4,6,-7), C(-3,1,2),D(-9,-2,4) noktaları ve bu vektörün normunu bulunuz. veriliyor. fi fi fi fi 09. a =(m-1,2,n) ve b =(n+4,p,3-m) vektörleri Buna göre; AB ile CD vektörleri arasındaki açının fi fi fi veriliyor. a =b ise v =(m,n,p) vektörünün normunu kosinüsünü bulunuz. bulunuz. fi fi fi fi fi fi 20. ‰ a ‰ =2 3 br, ‰ b ‰ =2 br m(a ,b )=30(cid:176) olduğuna 10. a =(m-3,2,-6) ve b =(2,n+5,-3) vektörleri paralel fi fi fi fi ise m ve n kaçtır? göre; a +b ile a -b vektörleri arasındaki açının 11. A(-1,3,5), B(a,-2,3), C(3,4,-7) ve D(1,2,b) kosinüsünü hesaplayınız. noktaları veriliyor. 6 21. Köşe koordinatları A(8,3,-5), B(2,3,-4), C(3,5,2) fi fi fi nün vektörü üzerindeki izdüşüm vektörü olan ABC üçgeninin dik üçgen olduğunu ispatlayınız. AB AC AD olsun. 22. A(a,1,-1), B(2a,0,2), C(2a+2,a,1) noktaları fi fi fi fi AC boyunca birim vektör e ise veriliyor. AB^ BC ise A, B ve C noktalarını bulunuz. fi fi fi =‰ ‰ olmalıdır. AD AD e fi fi fi fi 23. ‰ a ‰ =6 br, ‰ b ‰ =4 br dir. fi fi fi AB .AC ‰ AD ‰ =‰ AB ‰‰ cos‰a =‰ AB ‰‰ fi fi ‰ fi fi fi fi ‰ ‰‰ ‰ AB AC a) a +kb ile a -kb fi 0+10+60 70 ‰ AD ‰ =13. 13. 33 = 33 O halde; vektörleri dik ise k kaçtır? fi 70 -2 2 -5 70 fi fi fi fi = ( , , - ) = (-2, 2, -5) bulunur. b) m(a ,b )=60(cid:176) ise a +2b nün uzunluğu kaçtır? AD 33 33 33 33 33 fi fi fi fi fi fi fi f) m(BAC)=a olsun.Buna göre; 24. a +b +c =0 , ‰ a ‰ =‰ b ‰ =‰ c ‰ =1 ise ‰ AB‰‰ AC‰ sin a A(ABC)= 2 fi fi fi fi fi fi sin a = 1 - cos²a a . b +b .c +c .a değerini bulunuz. fi fi . fi (cid:1)(cid:2) fi (cid:1)(cid:1)(cid:2) fi AB AC 70 cos a= = 25. ‰ a ‰ =4 br, cos(e1,a )=3/4 ve m(e2 ,a )=60(cid:176) ise ‰ fi ‰‰ fi ‰ 13 33 AB AC fi 677 a nü bulunuz. A(ABC)= 2 br² bulunur. 26. A(3,-3,5) , B(3, 2,-7) ve C(1,-1,0) noktaları fi fi fi fi fi 27. =(2,1,1) ve =(3,4,-1) vektörlerine dik olan p q a) AB b) ‰ AB ‰ c) AB boyunca birim vektörü birim vektörleri bulunuz. fi fi d) nün üzerindeki dik izdüşüm vektörünü AB AC e) ABC üçgeninin B açısı için sinB değerini f) ABC üçgeninin alanını bulunuz. Çözüm: fi a) =(0,5,-12) AB fi b) ‰ ‰ = 0²+5²+(-12)² = 13 br AB fi fi c) boyunca birim vektörü =(x,y,z) olsun. AB e fi fi x y z // ⇒ = = = k (katsayıları orantılı olmalı) AB e 0 5 -12 fi x=0, y=5k, z=-12k ve ‰ ‰ =1 olmalıdır. e 0²+25k²+144k² =1 ⇒ k=1/13 dir. fi 5 12 O halde =(0, , - ) bulunur. e 13 13 d) 7 3 R te (Üç Boyutlu Uzayda) Vektörel Çarpım: (cid:2) (cid:2) Uzayda a=( a ,a ,a ), b=( b ,b ,b ) vektörleri için; 1 2 3 1 2 3 (cid:2) (cid:2) ax b=(a b -a b , a b -a b , a b -a b ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) =( a b -a b )e -( a b - a b )e + (a b -a b )e 2 3 3(cid:2)2 1(cid:2) 1 3 3 1 2 1 2 2 1 3 vektörüne aile b vektörlerinin vektörel çarpımı (dış çarpım) denir. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) Not 1: Tanımdan yola çıkarak ax b= - bxaolduğu görülebilir. Not 2: (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (ax b).a=0 (yani (ax b)^ a ) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (ax b).b=0 (yani (ax b)^ b ) Uzayda a=( a ,a ,a ), b=( b ,b ,b ) vektörleri için; (cid:2) 1(cid:2) 2 3 1 2 3 olduğunu vektörel çarpım ve skaler çarpım tanımları uzunluğu ave bvektörleri üzerine kurulu OAMB (cid:2) kullanılarak ispatlanabilir. paralelkenarın alanına eşit, doğrultusu ave (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) bvektörlerinin belirttiği düzleme dik ve yönü sağ elin Bu sonuç bize; ax b vektörünün aile b (cid:2) (cid:2) vektörlerinin belirttiği düzleme dik olduğunu gösterir. dört parmağı avektöründen b vektörüne doğru yönlendirdiğimizde; başparmağın gösterdiği yönde (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) Not 3: aile b vektörleri arasındaki açı a olmak (sağ el kuralı) olan vektöre “aile b vektörlerinin (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) üzere; ax b nin uzunluğu, aile b vektörleri üzerine vektörel çarpımı” denir ve bu ax bile gösterilir. kurulu paralelkenarın alanına eşit olduğu yani; (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ‰ ax b‰ =‰ a‰ .‰ b‰ .sin a ispatlanabilir. Vektörel Çarpımın Özellikleri: (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1) ax b= - bxa dir. Not 4: Uzayda A(a ,a ,a ), B( b ,b ,b ), 1 2 3 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) C( c ,c ,c ) noktaları verildiğinde; 2) ax0=0 1 2 3 (cid:190)fi (cid:190)fi (cid:2) (cid:2) (cid:2) AB x AC 3) axa=0 A(ABC) =‰ ‰ dir. 2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 4) k˛ R olmak üzere; (ka)xb=ax(kb)=k(ax b) dir. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 5) ax (b+c) = ax b+axc dir. e e e (cid:2) (cid:2) 1 2 3 Not 5: axb = a a a dir. (Bunların doğruluğu yukarıdaki özelliklerden uygun 1 2 3 olanları kullanılarak kolayca gösterilebilir.) b b b 1 2 3 (Bunun doğruluğu, determinant açıldığında, vektörel çarpımın tanımındaki ifadeyi verdiği kolayca görülebilir.) (cid:2) (cid:2) Örnek: a=(5,6,4) ve b=(2,-2,3) vektörleri için; (cid:2) (cid:2) Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu: ax b yi hesaplayalım. Çözüm: (cid:2) (cid:2) (cid:2) e e e (cid:2) (cid:2) 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) axb = 5 6 4 =26e - 7e- 22e =(26, -7, -22) 1 2 3 2 - 2 3 bulunur. Örnek: A(1, -3, 5) , B(0,-1, 4) ve C(3, 3, -2) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin alanını bulalım. 8 (cid:190)fi (cid:190)fi Bu üç vektörün üzerine kurulu (belirlediği) Çözüm: Önce AB x AC yi hesaplayalım; paralelyüzün hacmini (paralelkenar eğik pirizma) (cid:190)fi (cid:190)fi düşünelim. AB x AC =(-1,2,-1)x(2,6,-7)= (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) e e e cnin C uç noktasından axb nün taşıyıcı doğrusuna 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) - 1 2- =1- 8- e - 9e 10e CH dikmesi inelim. 1 2 3 2 6 - 7 Paralelyüzün hacmi ; V= Alan(OAKB)(cid:2) .|O(cid:2)H| (cid:2) (cid:190)fi (cid:190)fi Alan(OAKB)=| axb| ve |OH|=|c|.cos(COH) AB x AC 245 olduğundan; A(ABC) =‰ ‰ = birim kare bulunur. 2 2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) V=|axb|.|c|.cos(COH) = (axb).c =<axb,c> 3 R te (Üç Boyutlu Uzayda) Karma Çarpım: (cid:2) (cid:2) (cid:2) Bu da a ile b vektörlerinin vektörel çarpımının cile (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) skaler çarpımıdır. Uzayda a, b c vektörleri için; aile b nin vektörel (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) çarpımı ile c nin skaler çarpımına yani; (axb).cına (cid:2) (cid:2) (cid:2) İşte bu çarpım da a, b, c vektörlerinin karma (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) “a,b,c vektörlerinin karma çarpımı “ denir ve bu (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) çarpımı olup [a,b,c] (veya (a,b,c) ) ile gösterilir. [a,b,c] veya (a,b,c) ile gösterilir. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) Örnek: a =(1, -3, 0) , b =(0,-1, 2) ve c =(3, 1, -2) O halde a, b, c vektörleri üzerine kurulu vektörlerinin karma çarpımını bulalım. paralelyüzün hacmi (hacim değeri pozitif ya da 0 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) olabileceğinden) [a,b,c] karma çarpımının Çözüm: Önce axb yi bulalım. mutlak değerine eşittir. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) e e e (cid:2) (cid:2) 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) Not 2: Üç boyutlu uzayda a=( a1,a2,a3), axb = 1 - 3 0=- 6e-1 2- e2 e3=(-6, -2,-1) (cid:2) (cid:2) b=( b ,b ,b ), c=( c ,c ,c ) vektörlerinin karma 0 - 1 2 1 2 3 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) a a a Sonra da axb=(-6, -2,-1) vektörü ile c =(3, 1, -2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 2 3 nün skaler çarpımını hesaplayalım; çarpımı aynı zamanda [a,b,c]=b b b dir. 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) c c c 1 2 3 (axb). c =[a,b,c]=(-6, -2,-1).(3, 1, -2) = -18-2+2 = -18 bulunur. (Bunun doğruluğu karma çarpımın tanımı kullanılarak kolayca yapılabilir.) Not 1: (Karma Çarpımın Geometrik Yorumu:) (cid:2) (cid:2) Karma Çarpımın Özellikleri: Üç boyutlu uzayda a=( a1,a2,a3), b=( b1,b2,b3), (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1) (axb). c=a.(bx c) dir c=( c ,c ,c ) vektörleri alalım.Bu konum vektörlerin 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) uç noktaları A, B, C olsun. 2) [a,b, c] = [b, c,a] = [c,a,b] dir. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 3) [a,b, c] = -[c,b,a] = -[a,c,b] = -[b,a,c] dir. (cid:2) (cid:2) (cid:2) 4) [a,0, c] = 0 dır. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 5) [a,a, c] =[a,b, b] = [c,b, c] = 0 dır. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 6) [ka,b, c] = [a,kb, c] = [a,b, kc] =k[a,b, c] dir. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) 7) [a,b, c+d ] = [a,b, c] + [a,b, d ] dir. 9 Bu üçlü eşitliğe A ( a ,a ,a ) noktasından geçen ve 1 2 3 (cid:2) (Bunların ispatı determinantların özellikleri veya u=( u ,u ,u ) doğrultu vektörüne paralel olan d karma çarpımın geometrik yorumu kullanılarak 1 2 3 kolayca yapılabilir.) doğrusunun parametrik denklemi denir. x- a y-a z-a 1 2 3 ⇒ = = = k 3 u u u R te (Üç Boyutlu Uzayda) Doğru: 1 2 3 Uzayda bir doğrunun belirtilebilmesi için Son bulduğumuz üçlü orantı da A ( a ,a ,a ) 1 2 3 (cid:2) a) Bir noktası ve doğrultusu, noktasından geçen ve u=( u ,u ,u ) doğrultu 1 2 3 b) İki farklı noktası bilinmesi yeterlidir. vektörüne paralel olan d doğrusunun kartezyen denklemidir. Bir noktası ve doğrultusu bilinen doğru denklemi: Örnek: (cid:2) A(1, -2, 4) noktasından geçen ve u=(2, 0, -5) vektörüne paralel olan doğrunun; a) Vektörel denklemini, b) Parametrik denklemini c) Kartezyen denklemini bulalım. d) d doğrusu üzerinde öyle bir nokta bulunuz ki koordinatları toplamı 2013 olsun. Çözüm: a) P˛ d ,P(x,y,z) olsun. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) AP =ku ⇒(x-1, y+2, z-4) =k(2, 0, -5) b) x=2k+1, y=-2, z=4-5k (cid:2) Uzayda A ( a ,a ,a ) noktası ile u=( u ,u ,u ) 1 2 3 1 2 3 (cid:2) x-1 y+2 z-4 c) = = =k verilsin. A dan geçen u vektörüne paralel olan doğru 2 0 -5 da d olsun. d˛ P olacak biçimde herhangi bir x-1 z-4 veya = =k, y = -2 değişken P(x,y,z) noktası alalım. d doğrusunun 2 -5 denklemini bulmak demek x, y, z değişkenleri arasında bir bağıntı bulmak demektir. d) x+y+z=2013 ⇒2k+1-2+4-5k=2013 ⇒ 3k= -2010 ⇒ k= -670 ⇒ x=-1339, y= -2, z= 3354 Şekilden görüleceği gibi;k˛ R olmak üzere; O halde aranan nokta K ise K( -1339, -2, 3354 ) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) bulunur. AP //u ⇒ AP =ku dir. (Bu eşitlik d doğrusunun vektörel denklemi, Örnek: (cid:2) A(1, 1, -2) , B(3,-4, 11) noktalarından geçen u=( u1,u2,u3) vektörüne d doğrusunun doğrultu doğrunun kartezyen denklemini bulalım. vektörü denir.) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) AP //u ⇒ AP =ku ⇒ (x- a , y-a , z-a ) = k(u ,u ,u ) = (ku ,ku ,ku ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Çözüm: ⇒ x- a = ku , y-a = ku , z-a = ku (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 1 2 2 3 3 Doğrunun doğrultu vektörü olarak u=AB alınabilir. ⇒ x= a +ku , y = a +ku , z = a +ku Buna gör(cid:1)e(cid:1)(cid:1) (cid:2)doğruyu ister A dan geçen ve doğrultu 1 1 2 2 3 3 vektörü AB olan veya B den geçen ve doğrultu (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) vektörü AB olan doğru olarak düşünebiliriz. (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) u=AB =(2, -5, 13 ) 10