LEHRBVCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN MATHEMATISCHE REIHE BAND 18 ÜBUNGEN ZUR PROJEKTIVEN GEOMETRIE Mit 90 Bildern im Text und 4 Raumbildern von DR. HORST HERRMANN Techn. Hochschule Braunscbweig Springer Basel AG 1952 Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten ISBN 978-3-0348-6955-3 ISBN 978-3-0348-6954-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-6954-6 Copyright 1952 Springer Basel AG Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag AG., Basell952. Softcoverreprint ofthe bardeover Istedition 1952 Inhaltsverzeichnis Projektive Ebene I. Additiver Bereich 'Obg. Sei~ l. Projektive Zeiger und vereinigte Lalle . . . . . 1 8 2. Vorkenntnisse über Matrizen ........ . 13 lö 3. Der Einserbereich (Zeigerdreieck und -dreiseit) . 18 17 4. Allgemeiner Punkt und allgemeine GeradP. 29 22 5. Schnittpunkte und Verbindunll"~P"eraden .. 3D 25 6. Die Matrix als Figur . . . . . . . . . . . . 44 30 7. Die Figur als Matrix. Desargues-Figuren . . . . . 51 3:3 8. :Beigeordnete Kurven zweiter Ordnung und zweiter Klasse 62 42 II. Multiplikativer Bereich 9. Matrizen und Determinanten 76 50 10. Matrizen als Dreiecke ...... . 82 52 11. Die Kollineation ~ . . . . . . . 85 53 12. Die Korrelation ~ . . . . . . . . . . 99 58 13. Kurven zweiter Ordnung und zweiter Kla!-lse 102 60 14. Polarität und Beiordnung . . . . . . 114 64 15. Polarität, Korrelation, Inversion . . . . . . 122 68 Projektiver Raum 111. Vereinigte Lage 16. Rückblick und Vorschau ........ . 129 7ö 17. Vierreihige Matrizen und Determinanten .. 136 79 18. Punkt, Gerade, Ebene und vereinigte Lage 140 SI 19. Beziehungen zwischen Geraden . . . . . . . . . . . . . . . 153 85 20. Perspektive Dreiecke und Vierflache. Beispiele für Desargues-Kon figurationen . . . . . . . . . . 157 89 21. Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . 162 92 22. Figuren im Einserbereich . . . . . . . . . . 168 96 IV. Kollineationen und Korrelationen 23. Kollineationen . . . . . . . . . . . . . . . . 175 103 2~. Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 108 25. Schiefe Korrelationen, Nullsysteme ~'l' = -~ .. 196 111 26. Symmetrische Korrelationen, Quadriken ~'l' = ~ . 206 Il3 V. Beispiele zur Beiordnung 27. Polarität und Beiordnung . . . . . . . . . . . . 222 126 28. Die Kurve dritter Ordnung im Raum . . . . . . . 233 129 29. Die Fläche dritter Ordnung mit vier Doppelpunkten 242 133 VI. Konfigurationen 30. Dualität und Dualistik. Desargues-Konfigurationen . . 255 142 31. 'R~>umbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 164 Literaturverzeichnis · · · · · · · · · · · · · · · · · 168 Vorwort Diese Übungen ergänzen insbesondere die in der gleichen Sammlung erschienene "Projektive Geometrie" von W. Blaschke und sind darüber hinaus zum Gebrauch neben Vorlesungen sowie zur selbständigen Arbeit im Zusammenhang mit anderen Lehrbüchern abgefaßt. Bei der Auswahl wurde bewußt auf die Behandlung etlicher sehr wichtiger Fragenkreise verzichtet, die in den Vorlesungen ausführlich und in allen einschlägigen Lehrbüchern gründlich erörtert werden. Es schien mir wichtiger, eine Fülle von anschaulichen Figuren und Zusammenhängen zwischen diesen - vorwiegend analytisch - darzustellen und, wie ich hoffe, zu weiter gehender Beschäftigung mit den berührten Gegenständen anzuregen. In den Fragestellungen und Lösungen wird auch der Kenner einige neue Gesichtspunkte finden, wie z. B. in der Art der Verwendung der Matrizen, die nicht nur zur Abkürzung der ~chreibweise dienen, sondern selbst geometrisch gedeutet werden. Für die Anregung, dieses Buch zu schreiben, habe ich ganz besonders Herrn W. Blaschke zu danken, auch für wertvolle Ratschläge während der Abfassung. Weiter danke ich Herrn W. Haack für einige gern be achtete Hinweise und dem Verlag für die große Sorgfalt bei der Her stellung der Bilder und für Erfüllung vieler Wünsche beim Druck. Braunschweig, 15. 2. 1951 Horst Herrmann 4 Einleitung Gründliche Vertrautheit mit den Begriffsbildungen und Fragestellungen der projektiven Geometrie ist eine unerläßliche Voraussetzung für die Beschäftigung mit jeglichem Zweig der Geometrie überhaupt. Dabei kann wirklich inhaltserfüllte Vertrautheit nicht allein durch bloßes Kennenlernen der großen Zusammenhänge erworben werden, sondern erfordert eingehende Beschäftigung mit den einzelnen Figuren, die Beispiele für diese Zusammen hänge und Bindeglieder zwischen ihnen sind. Wegweiser mit trefflichen Beispielen hierzu, in denen zugleich die historische Entwicklung aufgezeigt ist, bilden die "Projektive Geometrie" und die "Analytische Geometrie" von W. Blaschke in dieser Sammlung. Im Interesse eines möglichst um fassenden Einblicks in die wesentlichen Zusammenhänge wurde hier auf alles entbehrliche Beiwerk und aufanregenden Übungsstoff weitgehend verzichtet. Eine große, für den Anfänger fast zu große Fülle von Beispielen enthalten die das Gesamtgebiet der "Höheren Geometrie" mit umspannenden 6Bände der "Principles of Geometry" von H . .F . Baker, auf die auch W. Blaschke an vielen Stellen seiner Bücher verwiesen hat. Die vorliegende Sammlung von Übungen ist zugleich eine Ergänzung zur "Projektiven Geometrie" von W. Blaschke, wie auch zu den ein schlägigen Abschnitten des Werkes von H. F. Baker. Dabei wurden Aus drucksweisen und Bezeichnungen möglichst weitgehend in Anlehnung an W. Blaschke gewählt. Die Lösungen sind vorwiegend analytisch dargestellt. Dabei ist die inhaltlich-anschauliche Bedeutung der Matrizen weit stärker in den Vorder grund gestellt, als dies bisher in diesen Zweigen der Geometrie üblich war. Die gleiche Matrix stellt in der projektiven Ebene ein Dreieck, ein Dreiseit, eine Kurve zweiter Ordnung oder zweiter Klasse, weitere noch zu de finierende Gebilde, eine Kollineation, eine Korrelation und weitere noch zu definierende geometrische Operationen dar. Die Geometrie dieser (ein zelnen!) Matrix besteht in der Gesamtheit der Aussagen über die gleiche Matrix in ihren verschiedenen (als zugleich vorliegend gedachten) Deutungs möglichkeiten. Diese Geometrie kann in sehr verschiedener Weise aufgebaut werden. Man kann formale Matrizeneigenschaften als Richtschnur nehmen und erhält eine "Matrizengeometrie", in der die Matrix nicht nur Schreib aufwand verminderndes Ausdrucksmittel, sondern echte Arbeitshilfe und darüber hinaus sogar selbst das Objekt der Geometrie wird. Ist die Einzel matrix behandelt, so gibt es dann eine Geometrie des Matrizenpaares (der schon durch Kollineation usw. vorgegriffen ist), und man erkennt sogleich, daß eine Einteilung "Additiver Bereich", "Multiplikativer Bereich" (mit Einschluß der Gruppen) sinnvoll ist. Im additiven Bereich hat man es Einleitung vorwiegend mit einfachen Figuren zu tun, der multiplikative Bereich er schließt die Zusammenhänge und liefert Einblicke in den Geltungsbereich von Beziehungen. Für die projektive Ebene; wird im wesentlichen dieses Einteilungsprinzip vorgesehen, allerdings gelegentlich durchbrachen, um der Geometrie keinen Zwang anzutun. Für den projektiven J,laum wird dann eine solche Vertrautheit mit der Denkweise, Symbolik und geometri scher wie matrizenalgebraischer Einsicht erwartet, daß dann immer frei zügiger von allen Mitteln Gebrauch gemacht wird, wie dies einer organischen Verflechtung von Geometrie und analytischer Methode zu ihrer Betrachtung entspricht. In den ersten Abschnitten sind die Fragestellungen der Übungen im wesentlichen inhaltlich sehr genau festgelegt und sollen eine Anleitung für den Anfänger geben, besonders auch zum Erwerb der für die analytische Geometrie nützlichen Rechentechnik. Die Rechnungen müssen, auch wenn sie gelegentlich langwierig werden, notwendiges Übel bleiben und dürfen keinesfalls den Blick auf die geometrischen Zusammenhänge trüben. Daher ist die Rechnung als Handwerkzeug anzusehen, das nur dient. Der wird nicht Geometrie erlernen können, dem das Rechnen als die Hauptarbeit erscheint. Man muß sich stets darum bemühen, einfache Ergebnisse auf möglichst einfachen Wegen zu erzielen. Ein guter Rechengang muß in jedem seiner einzelnen Schritte anschaulich inhaltserfüllt sein. Das gelingt nicht immer beim ersten Versuch, der zu einer Lösung führt. Welche Be deutung der "richtige" Ansatz für ein Ergebnis hat, wird in der Sammlung auf verschiedene Weise gezeigt. Einmal wird die gleiche Aufgabe an gleicher Stelle auf verschiedene Weise oder an verschiedenen Stellen behandelt, zum anderen werden bei schwierigeren Lösungsgängen auch Ungeschicklichkeiten mitgeteilt, die dem ·Verfasser bei seiner erstmaligen Lösung unterlaufen sind und daher wohl auch auf Anfängerschwierigkeiten hinweisen. Die ge samte Folge von Übungen soll den Leser, der sie aufmerksam durcharbeitet, Schritt für Schritt immer freier und selbständiger machen. Deshalb sind auch Übungen eingestreut, in denen Ziel und Weg, gelegentlich sogar ein vorkommender Begriff noch nicht scharf vorgeschrieben sind. So sollen diese Aufgaben vom Üben zum freien geometrischen Schaffen hinlei.ten, dessen wesentlichstes Merkmal die schöpferische Phantasie ist. Den meisten Abschnitten sind kurze Übersichten vorangestellt, für deren Bearbeitung die dann folgenden Übungen als Wegweiser dienen. Der Leser kann das Maß seiner Selbständigkeit daran beurteilen, in welchem Umfange er auf Grund dieser Vorbemerkungen selbst Fragestellungen und Lösungen der folgenden Übungen findet, ohne vorher von deren Wortlaut Kenntnis zu nehmen. Zu den meisten Übungen sind mehr oder weniger vollständige Lösungen angegeben. Hierbei ist zu beachten, daß es keine Aufgabe gibt, die nur auf eine einzige Weise gelöst werden könnte. Auch wenn für die gleiche Aufgabe auf mehrere Lösungen hingewiesen ist, kann hier keine Vollständigkeit in einem irgendwie definierbaren Sinne angestrebt werden. In der Regel sind die Lösungswege bevorzugt, die den Fortgang der geome- 6 Einleitung trisehen Entwicklung fördern. Daher ist mitunter nicht die einfachste, sondern die am besten zur Verallgemeinerung hinleitende Lösungsweise bevorzugt. Etliche Lösungen schon erledigter Aufgaben ergeben sich im Laufe der späteren Entwicklung nochmals und zeigen, wie die Lösung durch tieferen mathematischen Einblick oft ganz erheblich vereinfacht werden kann. Die Betrachtungsweise der im ganzen recht einfachen und anschaulichen Übungen soll zugleich ein Abbild des Entstehens geometrischer oder überhaupt mathematischer Erkenntnisse sein. Hierbei ist es immer wieder notwendig (sofern nicht eine nachträgliche axiometrisehe Gestaltung eines inhaltlich schon vorhandenen Gebietes beabsichtigt ist), neue Begriffe, neue Worte, neue mathematische Zeichen und Symbole zu prägen. Die Kunst des Mathematisierens zeigt sich in der Zweckmäßigkeit dieser Er gänzungen im· Laufe der Entwicklung der Theorie. Bezeichnungsweise und Symbolik sind mitunter für den Erfolg ausschlaggebend und haben starken Einfluß auf den Erkenntnisweg. Schon zweckmäßiges Bezeichnen ist eine schöpferische Tätigkeit, gelegentlich sogar eine mathematische Leistung. Mitunter wird es notwendig, die Bezeichnungsweisen mit fortschreitendem Einblick in den Sachverhalt zu ändern. Auch hierfür bringen die Lösungen dieser Sammlung einige Beispiele. Tritt eine Verknüpfung verschiedener Teilgebiete der Mathematik ein, in unserem Falle sind dies Geometrie und Matrizenalgebra, so werden durch den Fortgang der Entwicklung alle diese Teilgebiete gefördert, d. h. zwangs läufig stellen sich für die verknüpften Teilgebiete Fragestellungen ein, die ohne diese Verknüpfung als inhaltsleere Spielerei erscheinen müßten und daher ohne diese Verknüpfung nur durch erkenntnismäßig nicht durch sehaubare Spekulation zum Problem werden könnten. So wird hier die Geometrie durch die Matrizenrechnung, diese durch die Geometrie zu neu artigen Denkweisen angeregt. Dabei wird auch an Aufgaben herangeführt, die noch zum Feld geometrischer schöpferischer Tätigkeit werden können. Es ist reizvoll, d~n in dieser Sammlung bevorzugten Behandlungs weisen Darstellungen mit den Mitteln der GraBmannsehen Ausdehnungs lehre gegenüberzustellen und so Einblicke in die Vorzüge und Nachteile verschiedenartiger Methoden zu gewinnen. Einige Hinweise hierfür finden sich in den Büchern von W. Blaschke. Die wohl übersichtlichste, leicht verständlichste und zugleich umfassendste Darstellung der Ausdehnungs lehre und ihrer Anwendungsmöglichkeiten ist das Buch von H. G. Forder, "The Calculus of Extension" (1941). Es enthält über die allgemeinen Grundlagen hinaus Anwendungen auf die verschiedensten Gebiete der Geometrie mit Punkten, Geraden, Ebenen, Kreisen, Kugeln usw. als Raumelemente sowie eine Fülle von Einzelbeispielen hierzu. Gewiß wird es den GraBmannsehen Methoden mehr Freunde zuführen als GraB manns eigene Darstellung und die in Anlehnung an ihn früher ent standene deutsche Literatur. 7 Projektive Ebene I. Additiver Bereich 1. Projektive Zeiger und vereinigte Lage Die analytische Geometrie beruht darauf, daß man die geometrischen Gebilde durch Zahlwerte oder Symbole kennzeichnet und mit diesen rechnen kann. Für die analytische Geometrie in der projektiven Ebene und im projektiven Raum kann man die projektiven Zeiger (Koordinaten) von metrischen Vorstellungen ausgehend einführen (P. G. 5), [7, 24], [8, 299)1), es ist jedoch auch möglich, die projektive Geometrie hiervon unabhängig ganz selbständig aufzubauen. Dies ist formal und anschaulich möglich. Die Voraussetzungen hierfür schuf v. Staudt (P. G. 2), [4, 153], [5, 159]. Die folgenden Übungen zeigen einen Weg, bei dem die Anschauung und die analytische Intuition den Vorrang vor dem Formalismus haben. 1. Die projektive Skala auf der Geraden ist durch drei Grundpunkte ein deutig bestimmt. a) Zur KOn8truktion einer projektiven Skala auf einer Geraden u, zu welcher in deren Punkten e0, e01, e1 die Parameterwerte 0, 1, oo gehören sollen, legen wir nach Bild 1 durch den Punkt e1 ( oo) eine Hilfegerade g und wählen auf ihr zwei Punkte, a und b, etwa b zwischen a und e1. Es ist bequem, e0 als Anfangspunkt, -1 Bild 1. Projektive Skala. auf der Gera.den. e a.ls Einheitspunkt und e als Fernpunkt der Teilung zu bezeichnen. Die Geraden 01 1 durch a und e01, b und e0 schneiden sich in V1• Durch V1 und e1 wird die Gerade ~ gelegt. Die Gerade durch den Einheitspunkt I und b schneidet ~ in V , und aV ergibt auf u den Teilpunkt 2. Entsprechend weitergehend kann die Skala der ganzen posi tiven Zahlen erzeugt werden. Für negative Werte ist sinngemäß zu verfahren, fJ1:r 1) HlUweise auf die Literatur: P. G. 5 bedeutet .,Projektive Geometrie" von W. Blaschke, Abschnitt Nr. 5; eckige Klammern verweisen auf die Nummer im Literaturverzeichnis S. 168 und Seitenzahl. · 8