Tutorial para la estimación de Modelos ARMA Julio César Alonso C. No. 24 Septiembre de 2010 Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA APUNTES DE ECONOMÍA ISSN 1794-029X No. 24, Septiembre de 2010 Editor Julio César Alonso C. [email protected] Luis Eduardo Jaramillo Vanessa Ospina López Asistentes de Edición Gestión Editorial Departamento de Economía - Universidad Icesi Apuntes de Economía es una publicación del Departamento de Economía de la Universidad Icesi, cuya finalidad es divulgar las notas de clase de los docentes y brindar material didáctico para la instrucción en el área económica a diferentes niveles. El contenido de esta publicación es responsabilidad absoluta del autor. www.icesi.edu.co Tel: 5552334 ext: 8398. Fax: 5551441 Calle 18 # 122-135 Cali, Valle del Cauca, Colombia Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA TUTORIAL PARA LA ESTIMACIÓN DE MODELOS ARMA EMPLEANDO EASYREG Julio Cesar Alonso C1. Septiembre de 2010 Resumen Este documento de carácter pedagógico, discute la estimación de modelos ARMA(p,q) y muestra paso a paso cómo efectuar dicha prueba empleando el paquete estadístico EasyReg International. Este documento está diseñado para estudiantes de un curso introductorio al análisis de series de tiempo. Por su simplicidad, puede ser útil para economistas que estén trabajando con series de tiempo y quieran empezar el estudio de los modelos ARMA. Se supone un conocimiento previo de los conceptos básicos de series de tiempo. Palabras Clave: EasyReg, ARMA, test de cointegración de Johansen, Cointegración. Abstract This tutorial presents a brief introduction to the estimation of ARMA(p,q) models using the statistical package EasyReg International. This document is designed for students in an introductory course on time series analysis. Thanks to its simplicity, the tutorial can be useful for economists who are working with time series and want to begin the study of ARMA models. This tutorial assumes a prior knowledge of the basic concepts of time series. Keywords: EasyReg, ARMA, Johansen cointegration test, Cointegration 1 Profesor del Departamento de Economía y Director del Centro de Investigación en Economía y Finanzas (CIENFI) de la Universidad Icesi, [email protected]. 2 Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA Al terminar este tutorial usted estará en capacidad de:  Encontrar y hacer inferencia sobre las funciones de Autocorrelación y Autocorrelación parcial de una serie.  Estimar un modelo ARMA(p,q) Para este tutorial nos basaremos en el ejemplo presentado por Enders (1995) en la sección 10, capítulo 2 (Página106). En este ejemplo Enders, estudia las propiedades del índice de precios al por mayor de los Estados Unidos (Wholesale Price Index – WPI) para el período 1960:I – 1992:II. Los datos para este ejercicio serán encontrados en la página Web del curso. Antes de iniciar, cargue los datos en EasyReg International. 1 Gráficos de las series y Transformación de las variables. El primer paso en el estudio de las características de una serie de tiempo es graficar la serie contra el tiempo. Esto nos permite observar de forma intuitiva si los supuestos de estacionariedad se cumplen o no, v.g., media y varianza constantes en el tiempo y la covarianza no depende del tiempo. Por lo menos, las dos primeras características si pueden ser chequeadas visualmente a partir de un gráfico. Para graficar la serie de tiempo, emplee la opción “Menu/Data Analysis/Plot time series”. 3 Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA Como en este momento sólo contamos con una serie(WPI), EasyReg la preseleccionará automáticamente. Haga clic en el botón “Continue”. En la siguiente ventana, tendrá la opción de seleccionar una submuestra ; en este caso emplearemos toda la muestra, así que haga clic en el botón “No” e inmediatamente haga clic en el botón “Continue”2. Observará el siguiente gráfico. Gráfico 1-1. Índice de Precio al por Mayor de los Estados Unidos. (WPI) (1985=100) Recuerde que siempre existe una opción de grabar el gráfico dibujado por EasyReg si se hace clic en el botón “Save Picture”. El dibujo queda grabado como un archivo .bmp en el fólder C:\Archivos de Programas \EasyReg International\EASYREG.DAT o en su defecto en el fólder donde usted halla inicializado EasyReg. Los gráficos se pueden consultar rápidamente por el menú “Menu/Output/View bitmap files”. Haga clic en el botón “Done” y luego en “Cancel” para regresar a la ventana inicial. Como se puede observar en el Gráfico 1-1, la serie tiene una tendencia positiva a crecer, reflejando una media creciente, por tanto no cumple las propiedades de una 2 En caso de seleccionar más de una serie para ser graficada, EasyReg ofrecerá la opción de graficar las variables estandarizadas (Standardize variables), o sin estandarizar. Si las variables no están medidas en la misma escala, por lo general, es mejor hacer el gráfico en escala estandarizada. También se puede elegir si queremos tener todas las series en el mismo gráfico o cada una en uno diferente. Habitualmente se observan mejor las relaciones con todas en uno. Si ese es el caso, escogemos “All charts in one box”. También se nos dan varias opciones para el tipo de líneas. 4 Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA serie estacionaria. Debido a lo anterior, debemos transformar la variable hasta obtener una serie que, por lo menos gráficamente, parezca una serie estacionaria. Para esto, diferenciemos la serie una vez3. Es decir, creemos la serie WPI WPI WPI . Para crear esta nueva variable, haga clic en “Menu / Input / t t t1 Transform Variables” . En la siguiente ventana haga clic en el botón “Time Series Transformation”. Observará la siguiente ventana. En esta ventana EasyReg proporciona la opción de diferentes transformaciones para las series de tiempo: diferenciación, sumas parciales, promedios móviles, cambios porcentuales, etc. Para generar la nueva serie, WPI WPI WPI 1LWPI , t t t1 t haga clic en el botón “Difference: x(t) – x(t-m)”. Con el botón “m-up” y “m-down”, puede seleccionar el orden de diferenciación. Dado que sólo necesitamos las primeras diferencias, haga clic de nuevo en el botón “Difference: x(t) – x(t-m)”. Como se mencionó anteriormente, sólo tenemos una variable en la base de datos de EasyReg por tanto la serie WPI será preseleccionada. Haga clic en “Continue” y nuevamente en “OK”. La serie ha sido creada. Observará la siguiente ventana. 3 En clase discutimos que está no es la mejor opción, primero deberíamos probar que en efecto la serie contiene una raíz unitaria o se trata de una serie estacionaria alrededor de una tendencia. Aquí, obviaremos este paso. Más adelante aprenderemos como hacer esto. Es importante anotar que si se tratase de una serie estacionaria alrededor de una tendencia, diferenciar la serie no generaría un proceso estacionario. 5 Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA Haga clic en “Done” para regresar a la ventana inicial. Ahora, veamos el comportamiento de las primeras diferencias del WPI (WPI ). Con tal t fin, grafique esta nueva serie contra el tiempo, siguiendo los pasos descritos arriba. Obtendrá un gráfico como el Gráfico 1-2. En este, se puede observar que si bien la serie parece tener una media constante, la variabilidad de la serie tiende a aumentar con el tiempo. Por tanto, se esperaría que esta serie no sea estacionaria. Debemos entonces considerar otro tipo de transformación de la serie original, en especial, una transformación que estabilice la variabilidad. 6 Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA Gráfico 1-2. Primeras Diferencias del Índice de Precio al por Mayor de los Estados Unidos. (WPI ) t Una práctica muy común para disminuir la varianza de una serie es considerar el logaritmo de la serie o en su defecto, las primeras diferencias del logaritmo de la serie4. Para generar esta nueva serie, seleccione “Menu / Input / Transform Variables”. Observará la siguiente ventana. 4 Esta diferencia es aproximadamente igual al cambio porcentual en la serie original. Es decir, %WPI lnWPI lnWPI . t t t1 7 Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA Ahora, haga clic en el botón “LOG transformation: x ->ln(x)” y seleccione la serie WPI, haga clic en “Continue” y nuevamente en “Continue”. La serie ha sido creada. Puede constatar que esta serie no presenta una media constante, por tanto, es necesario transformar la serie de tal forma que tengamos una serie aparentemente estacionaria. Genere la serie lnWPI lnWPI lnWPI  y grafíquela. Obtendrá la siguiente t t t1 gráfica. Gráfico 1-3 Primeras Diferencias del Logaritmo del Índice de Precio al por Mayor de los Estados Unidos. (lnWPI lnWPI lnWPI ) t t t1 Note que de acuerdo al Gráfico 1-3 la serie parece tener una varianza constante y la media más o menos constante. Esta serie ya puede ser analizada para encontrar el correspondiente proceso generador de los datos. 2 Estimación de la Función de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial. Para determinar qué tipo de proceso ha generado la muestra que estamos analizando, estimemos la función de autocorrelación para esta muestra. Para esto, escoja “Menu / Data analysis / Auto/Cross correlations” y posteriormente escójala serie DIF1(LN(WPI)) haciendo doble clic sobre ella. 8 Apuntes de Economía No. 24_________________________________________ DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA Ahora haga clic en el botón “Selection OK”, posteriormente en el botón “No” y en “Continue”. Observará la siguiente ventana. En esta ventana, usted tendrá que escoger el número de rezagos para los cuales quiere estimar las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales. Pueden escoger el número 9