Département automatique 2002-2003 HEI3 TC REGULATION INDUSTRIELLE TRAVAUX DIRIGES, EXERCICES, ANNALES DS TRAVAUX DIRIGES TD N°1 DE REGULATION INDUSTRIELLE EXECICE N°1 : Positionnement d’une tête de lecture d’un disque dur Un moteur linéaire est composé d’une bobine mobile guidée par translation sur un circuit magnétique. Des aimants permanents assurent le flux magnétique. Une tête de lecture (non représentée) est entraînée par la bobine mobile. Un ressort de raideur k positionne la partie mobile en x=0. Ressort Aimants x Bobine Aimants On donne : R : Résistance électrique de la bobine mobile e : f c e m due au déplacement de la bobine a : coefficient de la f.c.e.m k : coefficient de raideur du ressort m : masse de l’ensemble mobile (bobine + tête de lecture). b Coefficient de la force appliquée à la bobine et le courant i qui la parcourt x : position de la bobine dx On considère que : e=a et fa=bi dt On néglige l’influence de l’inductance et du frottement visqueux. On suppose que les conditions initiales sont nulles. 1. On applique une tension u(t) aux bornes de la bobine. Ecrire l’équation électrique régissant le système. 2 Ecrire l’équation fondamentale de la dynamique appliquée au système. 3 Que deviennent ces deux équations après transformation de Laplace ? Donner le schéma bloc. 4. Calculer la fonction de transfert 5. On mesure les valeurs numériques suivantes : R=8WW, k=50N/m, m=200g, a=5Vs/m2, b =5N / A. 5.1 Ecrire numériquement la fonction de transfert. 5.2 Donner les valeurs de la pulsation propre non amorti et le coefficient d’amortissement. En déduire la pseudo-période du système, le dépassement, le temps de réponse et la bande passante du système. Conclure. 5.3 Donner la réponse impulsionnelle de x(t). EXERCICE N°2 : Réglage de la température d’un four Un four industriel identifié en boucle ouverte a été modélisé par la fonction de transfert : . Consigne Thermocouple - + s(p) e- 10p Pétrole Pchéatruoflfeé G(p) = e(p) =1,5(30p+1) brut Régulateur Gaz combustible Vanne de réglage A ce système, on associe un gain K=2 en série et on boucle le système comme le montre la figure suivante : e + e e- 10p s K 1,5 - (30p+1) ess 1.. Calculer le module et l’argument de la F.T.B.O pour plusieurs valeurs de w convenablement choisies. On mettra les résultats sous forme d’un tableau. 2. Tracer le diagramme de Nyquist de la F.T.B.O. 3. Tracer le diagramme de Black Nichols pour les valeurs de w données précédemment. 4. Déterminer le module et l’argument pour chaque valeur de w de la fonction de transfert en boucle fermée en utilisant l’abaque de Black Nichols. 5. Déduire graphiquement la pulsation de résonance w et le facteur de résonance Q. r TD N°2 DE REGULATION INDUSTRIELLE Régulation de la température d’une enceinte à chauffage indirecte. On désire réguler la température q d’une enceinte à chauffage indirecte représentée par la figure suivante : u échangeur q 1 enceinte q vanne q pompe u(t) représente la tension de commande de la vanne, q(t) le débit dans l’échangeur et q la température en 1 sortie de l’échangeur. (cid:239)(cid:236) q(t) = k (cid:215) (cid:242) tu(t).dt q(t)+t (cid:215) dq1(t) = k (cid:215) q(t) (cid:239) o 1 1 dt 1 On donne les relations suivantes : (cid:237) 0 (cid:239) dq(t) (cid:239) q(t)+t (cid:215) = k (cid:215) q(t) (cid:238) 2 dt 2 1 On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles. Pour les applications numériques, on prendra : t =600s, t =6000s, k =1, k =20 S.I., k =2.10-4 S.I. On posera l = k k .k . 1 2 2 1 o o. 1 2 1. Donner le schéma bloc du système et en déduire la fonction de transfert du système d’entrée u et de sortie q qu’on notera H(p). 2. Etude d’une régulation proportionnelle u(t) =Ke (t)= K.( q (t) - q (t)) où q (t) est la température de consigne. ref ref 2.1 Représenter le schéma bloc du système 2.2Pour déterminer k, on va négliger un des pôles du système. 2.2.1 A partir des valeurs numériques, quel est le pôle à négliger ? 2.2.2 Donner l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte approchée H . BOa 2.2.3 Calculer à partir de H . la fonction de transfert en boucle fermée approchée H . BOa BFa 1 2.3.4 On écrira H sous forme d’un second ordre normalisé : . Donner ù et î . BFa 1 x 0 p2 + 2 p+1 w2 w 0 0 2 2.2.5 Calculer la valeur de K pour avoir un coefficient d’amortissement x = . Application 2 numérique. 2.2.6 Déterminer le temps de réponse à 5% du système asservi (faire l’application numérique). 2.2.7 Calculer la valeur finale et le dépassement en réponse à un échelon de q de 10° et représenter ref l’allure de la courbe. Dans la suite du problème, on ne fait plus d’approximations pour H . BO 2.4 La valeur de K étant égale à 0,02 , on va regarder ce qui se passe pour le système sans approximation. 2.4.1 Déterminer la marge de gain. Conclure ? 3. Etude d’une régulation proportionnelle et dérivée : u(p) = K(1+T p)(è (p)- è(p)). d ref On compense T par la plus grande constante de temps. d 3.1 Représenter le système sous forme d’un schéma bloc. 3.2 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée. 2 3.3 Calculer la valeur de K, pour avoir un amortissement x = . 2 3.4 Déterminer le temps de réponse à 5% du système asservi. (faire l’application numérique). 3.5 Calculer la valeur finale et le dépassement en réponse à un échelon de 10° et représenter l’allure de la courbe. 3.6 Conclure sur l’avantage par rapport au régulateur proportionnel. 4. Etude d’un régulateur cascade. On asservit d’abord la température q avec un régulateur PD : u(p) = K.(1+T .p).( q (p) - q (p)). 1 d 1ref 1 4.1 Représenter le schéma bloc de cette partie du système. q (p) 4.2 Choisir T de façon que 1 soit un système du premier ordre. d q (p) 1ref 4.3 Choisir K pour avoir un temps de réponse de q (t) égale à t lorsque q (t) est un échelon. 1 1 1ref (1+T (cid:215) p) ( ) 4.4 On réalise une deuxième boucle avec un régulateur PI. q (p) = K (cid:215) i (cid:215) q (p)- q(p) 1ref i p ref 4.4.1 Représenter le schéma bloc de l’ensemble de l’installation. 4.4.2 On choisit T = t . Réduire ce schéma bloc. i 2 4.4.3 Montrer que le système est un second ordre. 2 4.4.4 Calculer la valeur de k, pour avoir un amortissement x = . i 2 4.4.5 Déterminer le temps de réponse à 5% du système asservi (faire l’application numérique). 4.4.6 Calculer valeur finale et dépassement en réponse à un échelon de 10° et représenter l’allure de la courbe. 4.5 Conclure sur l’avantage de cette régulation cascade. EXERCICES DE REGULATION INDUSTRIELLE EXERCICE N°1 : Régulation PID d’un système . On désire asservir un système noté S d'entrée e(t) et de sortie s(t) avec les objectifs suivants: • suppression de l'erreur statique, • pas de dépassement en réponse à un échelon, • choix du temps de réponse. Pour connaître le système on applique à son entrée un échelon d'amplitude 1, on obtient en sortie le résultat de la figure suivante : reponse à un échelon unitaire 1 0 8 6 4 2 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 1. Dans une première étape, on modélise le système par une fonction de transfert G(p). Calculer G(p)(on arrondira la valeur de la constante de temps T au nombre entier de seconde le plus proche). 1 k 2. On décide de boucler le système avec un correcteur intégrateur R(p)= i p 2.1 Montrer que l'erreur statique est nulle 2.2 Montrer que si l'on s'impose le dépassement alors on ne peut plus choisir le temps de réponse. 1+Tp 3. On utilise alors un régulateur PI: R (p) =G i i r p 3.1 Montrer qu'il est possible de choisir T de façon que le système bouclé soit un premier ordre. i 3.2 Choisir G de façon à avoir un temps de réponse de 0,2 secondes. r 4. On effectue alors un essai du régulateur avec le correcteur R(p). On constate avec surprise que le i système présente un dépassement important en réponse à un échelon. Montrer qu'un modèle d'ordre 2 pour le système S permet d'expliquer le phénomène. 5.Pour déterminer la deuxième constante de temps du système S, on le boucle avec le régulateur intégral de la question 2. On augmente alors lentement le gain et on constate que le système est instable pour G =0,51. Calculer alors la deuxième constante de temps T du système S. r 2 6. On asservi le système avec un correcteur PID : (1+Tp)(cid:215) (1+T p) R (p) =G (cid:215) i d avec T =T et T =T pid r p d 2 i 1 6.1 Est-il possible théoriquement de choisir G très grand? r 6.2 Que devient alors le temps de réponse du système? Est-ce raisonnable en pratique? EXERCICE N°2 : ASSERVISSEMENT D’UN SYSTEME DU TROISIEME ORDRE La fonction de transfert G(p) d’un système d’entrée E(p) et de sortie S(p) est une fonction de troisième ordre, de gain statique K positif et de constante de temps q positive : 0 Y(p) K G(p) = = 0 U(p) (1+qp)3 Ce système est inséré dans une boucle de régulation comme le montre le schéma suivant: Consigne E(p) Sortie S(p) + H(p) R(p) - Régulateur Système A.1. ASSERVISSEMENT PROPORTIONNEL On choisit un régulateur de type proportionnel R(p)= G . (G>0). r r * A.1.1. Déterminer la valeur du gain G qui donne la limite de stabilité par deux méthodes r différentes: a) par le critère de Routh-Hurwitz b) par le critère de Nyquist On notera cette valeur critique G . Quelle remarque peut-on faire sur cette valeur ? rC * A.1.2. Pour quelle valeur du gain G, le système présente une marge de phase de 45°. Comparer r cette valeur à la valeur critique. * A.1.3. Pour la valeur du gain G qui donne une marge de phase de 45°, calculer l'erreur statique de r position en % pour une variation de consigne en échelon unité. Conclure ? * A.1.4 Calculer la valeur de G qui donne une erreur statique de position de 20%. En déduire la r marge de phase? Conclure. A.2. ASSERVISSEMENT PROPORTIONNEL-INTEGRAL-DERIVEE On remplace le régulateur proportionnel par un régulateur PID de fonction de transfert :