InstitutzurQualitätsentwicklung imBildungswesen Vergleichsarbeiten 2012 8. Jahrgangsstufe (VERA-8) Mathematik – Didaktische Handreichung Modul C: Testheft I Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1: Fieberthermometer................................................................................................4 Aufgabe 2: Zahlen gesucht......................................................................................................6 Aufgabe 3: Zahlenmauer........................................................................................................10 Aufgabe 4: Kreise färben........................................................................................................13 Aufgabe 5: Harzwanderung....................................................................................................14 Aufgabe 6: Schulstatistik........................................................................................................17 Aufgabe 7: Temperaturen in Frankfurt am Main....................................................................19 Aufgabe 8: Darstellung in Diagrammen.................................................................................22 Aufgabe 9: Bonbons...............................................................................................................24 Aufgabe 10: Chancen.............................................................................................................25 Aufgabe 11: Zählung von Fahrzeugen...................................................................................30 Aufgabe 12: Berechne x.........................................................................................................32 Aufgabe 13: Zahl gesucht......................................................................................................33 Aufgabe 14: Kraftfutter...........................................................................................................34 Aufgabe 15: Maßstabsrechner...............................................................................................36 Aufgabe 16: Tunnelbohrmaschine.........................................................................................37 Aufgabe 17: Geschichte zur Graphik.....................................................................................39 Aufgabe 18: Lineare Funktionen anwenden...........................................................................42 Aufgabe 19: Briefmarkenschachteln......................................................................................45 Aufgabe 20: Verkehrszeichen................................................................................................47 Aufgabe 21: Quader...............................................................................................................51 Aufgabe 22: Geometrische Körper erkennen.........................................................................54 Aufgabe 23: Schulgrundstück................................................................................................55 2 Kompetenz- Kompetenz Leitidee Nr. Name der Aufgabe AB stufe K1 K2 K3 K4 K5 K6 L1 L2 L3 L4 L5 1.1 Fieberthermometer IA x x I 1.2 Fieberthermometer IA x x I 2.1 Zahlen gesucht IB x x I 2.2 Zahlen gesucht IV x x II 3.1 Zahlenmauer IA x x I 3.2 Zahlenmauer II x x x I 3.3 Zahlenmauer IB x x x I 4 Kreise färben IB x x x I 5.1 Harzwanderung IA x x I 5.2 Harzwanderung II x x x II 6 Schulstatistik IA x x I 7.1 Temperaturen in Frankfurt am Main IA x x I 7.2 Temperaturen in Frankfurt am Main IA x x I 7.3 Temperaturen in Frankfurt am Main II x x x II 8 Darstellung in Diagrammen IA x x I 9 Bonbons IB x x I 10.1 Chancen IB x x x I 10.2 Chancen II x x x x x II 11 Zählung von Fahrzeugen IA x x I 12 Berechne x IA x x I 13 Zahl gesucht IA x x I 14 Kraftfutter IB x x x x I 15 Maßstabsrechner II x x x I 16.1 Tunnelbohrmaschine III x x x x I 16.2 Tunnelbohrmaschine III x x x x I 17 Geschichte zur Graphik III x x x x II 18 Lineare Funktionen anwenden II x x x II 19.1 Briefmarkenschachteln IB x x II 19.2 Briefmarkenschachteln II x x II 20.1 Verkehrszeichen IV x x I 20.2 Verkehrszeichen IA x x x I 20.3 Verkehrszeichen II x x I 20.4 Verkehrszeichen II x x I 21.1 Quader II x x x I 21.2 Quader III x x x I 22 Geometrische Körper erkennen II x x I 23.1 Schulgrundstück IV x x x x I 23.2 Schulgrundstück IV x x x x I 3 Aufgabe 1: Fieberthermometer 36 38 40 42 35 37 39 41 Teilaufgabe 1.1 Auswertung RICHTIG 36,8 °C Teilaufgabenmerkmale Leitidee Zahl (L1) Allgemeine Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Anforderungsbereich I Kompetenzstufe 1A Teilaufgabe 1.2 Auswertung RICHTIG 40,2 °C Teilaufgabenmerkmale Leitidee Zahl (L1) Allgemeine Kompetenz Mit symbolischen/formalen/technischen Elementen umgehen (K5) Anforderungsbereich I Kompetenzstufe 1A Hinweise zur Bearbeitung Beide Teilaufgaben gehören zur Leitidee Zahl (L1). Teilaufgabe 1.1 liegen Vorstellungen von rationalen Zahlen zugrunde und in Teilaufgabe 1.2 wird ein vertrauter Algorithmus genutzt. In Teilaufgabe 1.1 gehen die Schülerinnen und Schüler mit einer Darstellung um (K4). Sie übertragen die vertraute und geübte Darstellung eines Zahlenstrahls auf den Anwendungs- kontext Thermometer und lesen die dargestellte Temperatur ab. In Teilaufgabe 1.2 motiviert der gegebene Kontext zwar die erforderliche Addition, bleibt aber ansonsten praktisch unberücksichtigt. Die Formulierung „steigt um“ kann unmittelbar in „ad- dieren“ übersetzt werden, um dann die gesuchte Temperatur zu berechnen (K5). Beide Teilaufgaben erfordern die direkte Anwendung vertrauter Verfahren. Sie werden daher beide dem Anforderungsbereich I zugewiesen. 4 Mögliche Schwierigkeiten Zu 1.1:  Die Temperatur wird ungenau abgelesen [Fehllösung z. B. 36,6 °C] (Defizit bzgl. K4).  Der Skalierung wird eine Hundertsteleinteilung zugrunde gelegt [Fehllösung 36,08 °C] (Defizit bzgl. K4).  Der mittige Strich zwischen 36 °C und 37 °C wird missachtet, sodass 36,5 °C mit 36,0 °C verwechselt wird [Fehllösung 36,3 °C] (Defizit bzgl. K4). Zu 1.2:  Die Maßzahlen werden subtrahiert. Möglicherweise wird „steigt an“ mit „fällt um“ ver- wechselt [Fehllösung 35,6 °C] (Defizit bzgl. K5). Weiterarbeit und Förderung Bereitet das Ablesen der Temperatur vom Fieberthermometer Schwierigkeiten, so kann dies an anderen Skalen, die ebenfalls nicht digital sind, geübt werden. Hierzu bieten sich u. a. Tankanzeigen, Küchenwaagen oder Skalen, die Füllstände anzeigen, an. Im Sinne des ope- rativen Durcharbeitens können wechselseitig sowohl Werte von Skalen abgelesen als auch auf diesen eingetragen werden, wobei der Detaillierungsgrad der einzelnen Skalen variiert werden kann. Man vergleiche hierzu etwa auch den didaktischen Kommentar zur Aufgabe „Milchmenge“ aus VERA-8 2010. Gelingt in Teilaufgabe 1.2 die Deutung der die Temperaturänderung beschreibenden fach- sprachlichen Begriffe nicht, so können diese zunächst bewusst gemacht und ihre Bedeutung graphisch am Fieberthermometer veranschaulicht werden. Auch ein Kontrastieren mit ver- wandten Begriffen, z. B. mit „fällt um“, liegt nahe. Diese Teilaufgabe kann ebenfalls im Sinne des operativen Durcharbeitens variiert werden, indem je zwei der drei Angaben Anfangszu- stand, Temperaturänderung und Endzustand genannt werden. Die jeweils zugehörigen Rechnungen können dann aufgestellt, im Sachkontext verbalisiert und schließlich rechne- risch und/oder graphisch gelöst werden, wobei sich der Schwierigkeitsgrad durch die Hinzu- nahme negativer Temperaturen auch erhöhen lässt. Alternativ können auch je zwei dieser drei Angaben am Thermometer visualisiert, passende Situationen daran verbalisiert und in Rechnungen übersetzt werden. Einige solcher Aufgaben seien nachfolgend exemplarisch genannt: - Zu einem anderen Zeitpunkt beträgt die Körpertemperatur 37,9 °C. Sie fällt dann um 2,3 °C. Gib an, wie viel °C die Temperatur anschließend beträgt. - Ein Außenthermometer zeigt morgens 15 °C. Gegen Mittag zeigt es bereits 23 °C a) Beschreibe die Temperaturänderung in Worten. b) Skizziere ein Thermometer. Trage beide Temperaturen darauf ein und kenn- zeichne die Temperaturänderung. - An einem heißen Tag fällt die Temperatur nach einem Gewitter um 11 °C und beträgt anschließend nur noch 18 °C. Ermittle die Temperatur vor dem Gewitter. - Veranschauliche folgende Situation an der Anzeige des Heizöltanks (s. Abbildung): Im Tank befinden sich noch ungefähr 600 Liter. Beim Betanken werden 2300 Liter eingefüllt. Kennzeichne die Veränderung und markiere zusätzlich den neuen Füll- stand. 5 Als Erweiterung von Teilaufgabe 1.2 kann auch die Aufgabe „Außenthermometer“ aus VERA-8 2010 behandelt werden (vgl. auch den didaktischen Kommentar hierzu). In der folgenden weiteren Teilaufgabe von „Fieberthermometer“ wird eine Funktion als Mittel zur Beschreibung eines quantitativen Zusammenhangs genutzt. Sie ist geeignet, die hier gegebene Aufgabe inhaltlich auszuweiten. 9  5 Die Unterscheidung proportionaler und linearer funktionaler Zusammenhänge kann anhand der jeweiligen Funktionsterme und durch Gegenüberstellung der zugehörigen Funktionsgra- phen geschehen, um so die Bedeutung des Absolutglieds und der Steigung der Geraden zu thematisieren. Häufig vernachlässigen Schülerinnen und Schüler den Faktor vor C, was zur Fehllösung 40 °C + 32 °C = 72 °C führt. Oft ergeben sich aber auch Probleme auf technischer Ebene, etwa indem nach dem Einsetzen der gegebenen Temperatur das Malzeichen als Pluszeichen fehlgedeutet wird. Dies führt zu der Fehllösung 9 °C + 40 °C + 32 °C = 73,8 °C. 5 Besonders die Auswirkungen des ersten beschriebenen typischen Fehlers (Fehllösung 9 72 °C) können am Graphen besprochen werden. Würde der Faktor keine Rolle spielen, so 5 würden sich alle in °C angegebenen Temperaturen um 40 °C von den in Fahrenheit umgerechneten Temperaturen unterscheiden. Dass dies nicht so ist, lässt sich schon anhand eines Gegenbeispiels, z. B. für 0 °C, zeigen. Wird diese Teilaufgabe als inhaltliche Erweiterung hinzugenommen, bieten sich auch Ver- knüpfungen zur Aufgabe „Lineare Funktionen anwenden“ an (vgl. auch den didaktischen Kommentar hierzu). Aufgabe 2: Zahlen gesucht Teilaufgabe 2.1 Auswertung 123; 132; 213; 231; 312; 321 RICHTIG Anm.: Die Reihenfolge der Zahlentupel ist irrelevant. FALSCH Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Antworten. 6 Teilaufgabenmerkmale Leitidee Zahl (L1) Allgemeine Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) Anforderungsbereich I Kompetenzstufe 1B Teilaufgabe 2.2 Auswertung 120 ODER 5! RICHTIG ODER 5  4  3  2  1 ODER 24  5 Teilaufgabenmerkmale Leitidee Zahl (L1) Allgemeine Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) Anforderungsbereich II Kompetenzstufe 4 Hinweise zur Bearbeitung Diese Aufgabe gehört der Leitidee Zahl (L1) an, da die Schüler kombinatorische Überlegun- gen durchführen, um die Anzahlen der jeweiligen Möglichkeiten zu ermitteln. Zur Bearbeitung der Teilaufgabe 2.1 ist es erforderlich, alle Permutationen der Ziffern 1, 2 und 3 zu finden. Hierzu bietet es sich an, die Ziffern von einer anfänglichen Kombination systematisch zu vertauschen. Alternativ kann die gesuchte Anzahl berechnet werden, indem man die für die einzelnen Ziffern zur Verfügung stehenden Anzahlen von Plätzen miteinander multipliziert (3·2·1) (K2). Bei Teilaufgabe 2.2 ist ein systematisches Notieren aller einzelnen Permutationen aufgrund der hohen Anzahl von 120 verschiedenen Möglichkeiten kaum machbar. Somit ist bei dieser Teilaufgabe der bereits beschriebene rechnerische Ansatz naheliegender (5·4·3·2·1). Zweckmäßigerweise kann auch die im Text angegebene Anzahl von Permutationen bei vier verschiedenen Ziffern genutzt werden, 24·5 = 120. Die Überlegung ist dabei, dass die Ziffer 5 an jeder der 5 Positionen stehen kann und die anderen 4 Ziffern jeweils beliebig permutie- ren können (K2). Aufgrund der einfachen Strategie des Hinschreibens aller Möglichkeiten gehört Teilaufgabe 2.1 noch zu Anforderungsbereich I. Da es die Bearbeitung von Teilaufgabe 2.2 erforderlich macht, eine geeignete heuristische Strategie zu finden, gehört sie Anforderungsbereich II an. 7 Mögliche Schwierigkeiten Zu 2.1:  Es wird nur die Anzahl 6 aller Permutationen notiert. Die Zahlen selbst werden nicht an- gegeben. Zu 2.1, 2.2:  Es werden verschiedene Zahlenkombinationen mit den angegebenen Ziffern notiert, ohne jedoch auf die Einschränkung hinsichtlich der Stellenanzahl oder des Zahlenbe- reichs zu achten. So wird beispielsweise 12,3 als Zahl angegeben.  Es werden Permutationen vergessen oder aber doppelt aufgezählt (Defizit bzgl. K2). Zu 2.2:  Die Ziffer 5 wird als Anzahl möglicher neuer Zifferkombinationen aufgefasst und somit zu den 24 verschiedenen Zahlen bei vier Ziffern addiert (Fehllösung 29; Defizit bzgl. K2)  Die Anzahl möglicher Kombinationen wird mit 30 angegeben. Dies kann auf verschiede- nen Überlegungen basieren. o Vermutlich verbirgt sich dahinter die Überlegung, dass es pro Ziffer 6 verschiedene Kombinationsmöglichkeiten gibt (24 : 4 = 6). Demzufolge gibt es bei 5 verschiedenen Ziffern insgesamt 30 verschiedene Zahlen, wie die fol- gende Schülerlösung illustriert (Defizit bzgl. K2). 8 o Es wird festgestellt, dass sich die Anzahl der Möglichkeiten bei vier statt drei Ziffern vervierfacht. Daraus wird geschlossen, dass es nun bei fünf Ziffern fünfmal so viele sein müssen. Fälschlicherweise wird nun jedoch als Aus- gangspunkt die 6 statt der 24 verwendet und 5 · 6 = 30 gerechnet (Defizit bzgl. K2). Weiterarbeit und Förderung Schwierigkeiten beim Lösen der Aufgabe können sicherlich des Öfteren auf noch zu geringe Erfahrungen beim Lösen mathematischer Probleme zurückgeführt werden. Aus diesem Grund bietet es sich an, die Aufgabe in Kleingruppen bearbeiten zu lassen, so dass sich die Schülerinnen und Schüler gegenseitig helfen können. Dabei können beispielsweise Tipp- karten zur Verfügung gestellt werden, um als Lehrkraft Zeit zur Beobachtung und Unterstüt- zung der einzelnen Gruppen nach dem Prinzip der minimalen Intervention zu haben. Auf den Tippkarten könnten beispielsweise folgende Hinweise stehen: 1. Legt euch eine Tabelle nach folgendem Muster an. 1. Position 2. Position 3. Position 2. Notiert verschiedene Zahlenkombinationen. Versucht sie nach einem bestimmten Krite- rium zu sortieren. Welche Zahlenkombinationen fehlen euch noch? 3. Übertragt das Problem auf einen anderen Kontext. z. B. das dreimalige Ziehen einer Kugel mit den Ziffern 1, 2, 3 aus einer Urne ohne zurücklegen. Werden die Arbeitsergebnisse der Kleingruppen anschließend im Plenum vorgestellt, können die verschiedenen Herangehensweisen sowie die genutzten Hilfsmittel herausgearbeitet und zusammengestellt werden. Dabei sollte zunächst das systematische Notieren der verschie- denen Zahlenkombinationen angesprochen werden. Dies kann unter Rückgriff auf eine Ta- belle oder auch auf ein Baumdiagramm erfolgen. Im Anschluss an dieses Vorgehen kann leicht überlegt werden, wie viele Plätze für die einzelnen Ziffern zur Verfügung stehen und durch welche Rechnung sich die Anzahl möglicher Zahlen ermitteln lässt. Hierauf aufbauend kann nun betrachtet werden, wie sich die Anzahl an Zahlenkombinationen durch das Hinzu- fügen einer weiteren Ziffer verändert. 9 Aufgabe 3: Zahlenmauer Teilaufgabe 3.1 Auswertung RICHTIG Alle anderen fehlerhaften, unvollständigen oder falschen Antworten. Insbesondere, wenn nur zwei FALSCH statt drei Steine richtig ausgefüllt wurden. Teilaufgabenmerkmale Leitidee Zahl (L1) Allgemeine Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) Anforderungsbereich I Kompetenzstufe 1A Teilaufgabe 3.2 Auswertung x = 20 RICHTIG Anm.: Die Steine der Zahlenmauer müssen nicht ausgefüllt werden. 10