LANRUOJ FO ARBEGLA ,111 177-202 )7891( emoS snoitatupmoC of nailebA-noN rosneT stcudorP of *spuorG .R NWORB tnemtrapeD fo eruP ,scitamehtaM ytisrevinU egelloC qf hrroN ,selaW ,rognaB ddenywG LL57 ,WUZ detinU Kingdom .D .L NOSNHOJ tnemrrapeD fq sciramehtuM ehT ,ytisrevinU mahgnittoN 7GN ,DR2 detinU Kingdom DNA .E .F NOSTREBOR lacitamehtaM ,eturirsnI ytisrevinU of St. ,swerdnA ehT htroN ,hguaH St. werdnA KY16 9SS, detinU Kingdom derucinummoC yb .P .M nnamueN devieceR rebotcO I I, 1985 A desilareneg rosnet tcudorp G 0 H of spuorg ,G H sah neeb decudortni yb .R nworB dna .L-.J yadoL ni .]4,3[ tI sesira ni snoitacilppa ni ypotomoh yroeht of a desilareneg naV nepmaK .meroeht ehT nosaer yhw G 0 H seod ton ylirassecen ecuder ot hUG zO ,huH eht lausu rosnet tcudorp revo Z of eht ,snoitasinaileba si taht ti si demussa taht G stca no H no( eht )tfel dna H stca no G no( eht ,)tfel dna eseht snoitca era nekat otni tnuocca ni eht noitinifed of eht rosnet .tcudorp A puorg G stca no flesti yb noitagujnoc g“( = hgh - )‘ dna os eht rosnet erauqs OG G si syawla .denifed ,rehtruF eht rotatummoc pam G x G + G secudni a msihpromomoh of spuorg G 0 G + ,G gnidnes @g h ot :K ,g[ ]h .l-h‘-ghg= We etirw )G(,J rof reK ;CI sti lacigolopot tseretni si eht alumrof ]4,3[ ,G(KSq .)G(,J=)l WNCU* eruP scitamehtaM tnirperP 85.5. 771 0021-8693187 $3.00 thgirypoC Q 1987 yb cimedacA ,sserP .cnI llA sthgir of noitcudorper ni yna nnol .devreser 871 ,NWORB ,NOSNHOJ DNA NOSTREBOR stluseR ni ]4,3[ evig a evitatummoc margaid htiw tcaxe swor dna lartnec snoisnetxe sa :snmuloc 0 0 I I )GJH +--- )'"G(f L--- )G(,J 4 )G(,H - 0 I= I= I I +--)G(,H A)“”G(f +-GOG G A -G 1 )1( I I ,ereH ’G si eht devired puorg fo ,G f si s’daehetihW citardauq rotcnuf [ ,151 dna G A G si a desilareneg roiretxe tcudorp f( dna eht map /cI era denifed ni noitceS .)2 esehT snoitaler htiw nwonk-llew snoitcurtsnoc tseggus eht tseretni ni eht noitatupmoc fo G 0 ,G dna siht si ruo feihc .mia etoN taht margaid ( I ) seilpmi taht G @ G si etinif fi G si ,etinif os taht ticilpxe srewsna nac eb .detcepxe .1 EHT NOITCURTSNOC teL G dna H eb spuorg hcihw tca no sevlesmeht yb ,noitagujnoc ,1-g’ggc’gg dna hcae fo hcihw stca nopu eht rehto ni hcus a yaw taht eht gniwollof ytilibitapmoc snoitidnoc :dloh rgw = RWg,, $q*c = W’h )2( rof lla ,g ’g E G dna ,h ’h E ,H erehw -ghg ,‘ hgh ’- era ereh deterpretni sa stnemele fo eht eerf tcudorp G * .H nehT eht rosnet tcudorp @G H si eht puorg detareneg yb eht slobmys h@g dna denifed yb eht snoitaler =hO’gg ,)hOg()h”O’g“( )3( ,)’hh@gh()hOg(=’hhOg )4( rof lla ,g ’g E G dna ,h ’h E .H NAILEBA-NON ROSNET STCUDORP 971 Remark .1 sihT noitinifed sreffid from taht nevig ni ]3[ ta owt :stniop ni ,]3[ noitidnoc )2( si ton demussa ta eht ,testuo dna eht dnah-thgir edis of )3( sdaer 0’8(“ @g()h )h dna( ylralimis rof ,))4( erehw hP@gP=)h@g(“ )5( rof g E ,G h E ,H dna p E .H*G sA detniop tuo yb ,sniggiH siht sevlovni na :ytiugibma )5( lliw enifed a eniuneg noitca ylno fi ti spam )3( dna )4( otni snoitaler gnidloh ni G @ .G noitidnoC )2( seetnaraug ,siht dna os lliw eb demussa .tuohguorht Remark .2 nehW G dna H tca yllaivirt no hcae rehto tub( yb -noc noitaguj no ,sevlesmeht sa ew syawla ,)emussa OG H si eht yranidro rosnet .tcudorp sihT nac eb nwohs gnisu )9( dna )01( ees( noitisoporP 3 ,)woleb ro yb tcerid .noitaluclac Remark .3 teL L eb a .puorg A noitcnuf :4 G x H + L si dellac a dessorc gniriap fi rof lla ,g ’g E ,G ,h ’h E ,H 4kg’, )h = ,’g“(d )h“ ,)h,kd ,s(d )’hh = ,g($ )h 4(k .)’Q A dessorc gniriap 4 senimreted a euqinu msihpromomoh of spuorg :*4 L-H@G hcus taht )h,g(#=)h@g(*d rof lla ,GEg .HE~ sihT tcaf si desu ,yltneuqerf rof ,elpmaxe ni eht foorp of eht gniwollof ,noitisoporp sliated of hcihw era tfel ot eht .redaer NOITISOPORP .1 )i( ehT spuorg G dna H tca no G @ H os taht ,hR@’gg=)h@’g(R ’hh@gh=)’h@g(h rof lla ,g ’g E ,G ,h ’h E .H ecneH na noitca fo H*G no G @ H si .deniatbo )ii( esoppuS :8 G + ,A :4 H + B era smsihpromomoh fo ,spuorg ,A B tca ylbitapmoc no hcae ,rehto dna ,8 4 evreserp eht snoitca ni eht esnes taht )hgh = ,)h4(go )ghQ = )sV“ rof lla g E ,G h E .H nehT ereht si a euqinu msihpromomoh hcus taht h~@gO=)hOg()~@O( f ro lla g E ,G h E .H ,rehtruF fi ,6 4+ era ,otno os osla si 0 0 .4 081 ,NOSNHOJ,NWORB DNA NOSTREBOR )iii( erehT si a euqinu msihpromosi G@H+-H@G:T )6( hcus taht (z g @ )h = h( @ )g - ,‘ rof lla g E ,G h E .H nI eht txen ,noitisoporp )i( dna )ii( era of a railimaf ,epyt elihw )iii( si of a levon dnik dna si tnatropmi ni .snoitaluclac NOITIXYFORP 2 .]4[ )i( erehT era smsihpromomoh fo spuorg ,G+-H@Gk :’A H+-H@G hcus taht ,‘-g*g=)h@g(A =)h@g(’A hg .‘-h )ii( ehT dessorc eludom selur dloh rof .A dna ,’A taht ,si )lMC( Wl) ))t4(g= g ,‘- )2MC( ,tt ’-t = ,,I“(‘ rof lla ,t ,t E G Q ,H g E G dna( ylralimis rof .)’A )iii( ,‘-tht=h@)t(A ,‘-tt“=)t(’l@g dna suht =),t(’A@)t(A ,t[ ],t rof lla ,t ,t E G @ ,H g E ,G h E .H ,ecneH G stca yllaivirt no reK ’1 dna H stca yllaivirt no reK .II tI si yllaitnesse nwohs ni ]4[ taht eseht seiur era secneuqesnoc of eht gniwollof laiceps ,sesac hcihw era sevlesmeht tcerid secneuqesnoc of )5()2( (cf. .)14C ~01TIs0p0RP .3 ehT gniwollof snoitaler dloh rof lla ,g ’g E G dna ,h E’h :H ,)‘-hOg(h=‘-)h@g(=)h@‘-g(“ )7( =’P)h@g()’h@’g()h@g( ,)’hO’g(’h*Rc )8( g( =’h@)‘-gh )h@g( “(gWP’, )9( ,’P)h@g()hOg(’g=)’Phhg(@’g )01( .)‘-’hrh’g(O)‘~ghg(=]’hO’g,hOg[ )11( .2 CISAB STLUSER We won tcirtser noitnetta ot eht rosnet erauqs OG ,G dna nigeb yb gnivig rof eht lenrek )G(,J of eht rotatummoc pam ni eht margaid )1( K owt laicurc secneuqesnoc of noitisoporP ,)ii(2 .)iii( NAILEBA-NON ROSNET STCUDORP 181 NOITISOPORP 4 .]4[ )i( )G(,J si a lartnec puorgbus fo G Q .G )ii( ehT stnemele fo )G(,J dexifera rednu eht noitca fo .G rehtonA niam tneidergni ni )1( si s’daehetihW lasrevinu citardauq rotcnuf r ,]Sl[ esohw seitreporp ew won ylfeirb .ebircsed neviG na naileba puorg ,A AT si eht naileba puorg htiw srotareneg ,ay ,AEa dna gninifed snoitaler 1‘-aH = 47 )21( )cba(y ay by CY = )bad )cb(y Xac(y rof lla ,a ,6 c E .A ehT gniwollof seitreporp era ton drah ot ,kcehc dna wolla noitatupmoc of ’I ni eht yletinif detareneg esac [ :151 )a( )B@A(xBfxAT:z)BxA(T n ddo )31( n ,neve erehw ,Z = )e=nx(x( rof 02n os( taht E=,Z si eht etinifni cilcyc .)worg tI si na esicrexe ni eht esu of snoitisoporP 2 dna 3 ot kcehc taht rof yreve puorg G ereht si a denifed-llew msihpromomoh GQG+)baG(W,t )41( hcus taht )’Ggy($ g@g= .]4[ ylraelC mI $ si deniatnoc ni ,)G(,J dna si erofereht lartnec ni G @ .G ehT lenrekoc of tj si nettirw G A ,G dna si dellac eht roiretxe erauqs of .G ehT rotatummoc pam :K OG G + ’G ylraelc srotcaf hguorht :’K G A G +- ;’G eht lenrek of ’cr si cihpromosi ot eht ruhcS rotacilpitlum )G(,H ,4,41[ .]S ehT gniniamer strap of eht tcaxe swor ni )1( evired from s’daehetihW ecneuqes-r rof ,G(KS )1 dna eht desilareneg naV nepmaK meroeht of .]4[ We etats owt etaidemmi secneuqesnoc ees( .)]4[ ,tsriF tel G eb a etinif .puorg nehT htob )G(,H ees( [ )131 dna )baG(r ees( ))31( era .etinif ,ecneH )G(,J si ,etinif dna os si .G@G eeS( osla ).]9[ ,ylralimiS fi G si a etinif puorg-p rof emos emirp ,p neht os si OG .G NOITISOPORP .5 If G si a etinif ,puorg neht os si G Q .G ,fZ ni ,noitidda G si a puorg-p rof emos emirp ,p neht os si G Q .G ,dnoceS tel G eb a eerf ,puorg os taht )G(,H dna )G(,H era laivirt ees( [ .)131 yB 1( ,) $ si .eno-ot-eno ecniS ’G si eerf ,)reierhcS-nesleiN( eht etamitlunep nmuloc of )1( stilps dna gnisu( noitisoporP ))i(4 ew evah eht gniwollof tluser .]4[ 281 ,NWORB ,NOSNHOJ DNA NOSTREBOR NOITISOPORP .6 !f G si a eerf ,puorg neht QG G E ’G x .)”G(’I nI ,ralucitrap fi G si eerf of etinif knar n 3 ,2 ’G si neht eerf of ylbatnuoc etinifni knar dna )haG(f si eerf naileba of knar n(n + .2/)1 nehW G si ,naileba eht eulav of G 0 G si nevig yb krameR 2 .evoba We edulcnoc siht noitces yb gnilaed htiw eht etisoppo ,emertxe ,yleman eht esac nehw G si ,tcefrep taht ,si G = .’G ehT yek ot siht si eht gniwollof tluser of .]4[ NOITISOPORP .7 teL G eb yna puorg dna tel l-G&K&A-l eb a lartnec .noisnetxe nehT ereht si a msihpromomoh :4 G @ G + K hcus taht YCI si eht rotatummoc map .CI fI G si ,tcefrep neht 5 si .euqinu :foorP neviG ,g E ,G kcip Eik K hcus taht )ik(n ig= rof i = ,1 ,2 dna enifed a pam ,ig( )2g H [k,, k2]. sihT si tnednepedni of eht eciohc of k,, k, ecnis( eht noisnetxe si )lartnec dna si a dessorc .gniriap tI erofereht secudni a msihpromomoh :4 G Q G +- ,K hcihw ylsuoivbo seifsitas 4n = .K fI owt smsihpromomoh ,5 :’5 OG G + K yfsitas =lrr ,‘[rr neht )’r([ ’~ = ,qr erehw :v G @ G +- A si a msihpromomoh hcihw srotcaf hguorht eht -cejorp noit G 0 G +- bUG @ .‘”G ehT sseneuqinu of 5 rof tcefrep G .swollof i ehT noitinifed of a gnirevoc puorg G of a puorg G si llew nwonk fi G si etinif [ ,21 .pahC ,V .tceS .132 We tpoda a ralimis noitinifed ni eht lareneg .esac oS a gnirevoc puorg 6 of a puorg G si a lartnec noisnetxe -G-Ga)G(,H-l ,1 erehw )G(,H si eht ruhcS rotacilpitlum dna mI I c .6 etoN ,taht elihw 6 si ton yleuqinu denimreted yb ,G eht rotatummoc puorgbus ’6 si os -reted .denim tI swollof taht nehw G si ,tcefrep G si euqinu dna( osla .)tcefrep We won tsil emos secneuqesnoc of noitisoporP ,7 of hcihw eht tsrif si ni ,6C .1473 YRALLOROC .1 nehW G si ,tcefrep G 0 G si eht )euqinu( gnirevoc puorg foe .G foorP nehW G = ,’G bUG si laivirt dna os si mI ./II ,ecneH from margaid ( 1 ,) G 0 G si a lartnec noisnetxe of G yb ,)G(zH dna ti si tneiciffus ot evorp taht G 0 G si a tcefrep puorg rof( neht )G(,H c G( @ ’)G .)yllacitamotua ,woN G @ G si detareneg yb stnemele g 0 ,’g erehw g dna ’g era stcudorp of .srotatummoc tI swollof from )3( dna )4( taht G 0 G si detareneg yb eht g @ ’g htiw g dna ’g elpmis .srotatummoc tuB ti swollof from ( )11 taht hcus NAILEBA-NON ROSNET STCUDORP 381 na tnemele si a rotatummoc ni G 0 .G ,ecneH G @ G si ,tcefrep dna suht si cihpromosi ot .G 1 YRALLOROC .2 fZ e si a gnirevoc puorg fo ,G neht ereht si a map :q G A G + ,‘?I( hcihw si na msihpromosi fi )G(,H si yletinif .detareneg .foorP A pam :5 OG G +- G si nevig yb noitisoporP .7 ylraelC )g@g(t = 1 rof lla eg .G oS ew evah a msihpromomoh :q G A G + ’G gnicudni a msihpromomoh :’I‘ )G(,H + .)G(,H ehT noitidnoc mI z s ’G seilpmi taht ’q si .evitcejrus ecniS )G(,H si yletinif ,detareneg ti swollof taht ’u si na .msihpromosi ehT ammel-evil seilpmi taht q si na .msihpromosi 1 Remark. tI dluow mees elbanosaer ni eht lareneg esac ot enifed a -revoc gni puorg sa evoba tub htiw eht lanoitidda tnemeriuqer taht eht pam q of yralloroC 2 si na .msihpromosi ehT gniwollof tluser saw detseggus yb eht lanoitatupmoc stluser of noitceS .6 NOITISOPORP .8 Zf G si a puorg ni hcihw ’G sah a cilcyc tnemelpmoc ,C neht G(rG@G A .Cx)G YjoorP teL C = ;)x( yb ,noitpmussa eht noitcejorp G +- bUG spam C yllacihpromosi ot ,baG os ew nac etirw C = .baG ehT tcaxe ecneuqes &)C(-Z ,mGQG AG -G 1 swohs taht preK si detareneg yb .x0x oS eht lacinonac pam x@xneht,nredrosahxfI.C@CotnopreKspamCrC@C+G@G:t sah redro ta tsom ,n sa x( @ ”)x = x 0 .nx oS t spam reK p yllacihpromosi ot OC .C ecneH ereht si a noitcarter G 0 G +- reK ,p dna os G @ G si eht tcerid tcudorp G( )G .C A x # .ELPMAXE nI eht selbat ni noitceS 6 ti si detats taht 04A ,A z ,Z x .zQ sihT nac eb deniatbo from eht suoiverp owt ,stluser erehw eht ,Z rotcaf si detareneg yb a @ a gnisu( eht noitaton of elbaT )I elihw eht 2Q rotcaf sah srotareneg Qa b dna a@a - ab‘ gnidnopserroc ot eht srotareneg ba dna ab rof ,&a erehw 4a = ,a( b 1 3a = 3b = .)2)ba( .3 LAIROTCNUF SEITREPORP tI si raelc taht yna msihpromipe :cr K + G secudni na msihpromipe 481 ,NWORB ,NOSNHOJ DNA NOSTREBOR ees( noitisoporP .))ii(l nI eht elbaruovaf esac nehw reK c7 d ,)K(Z ew nac yas gnihtemos tuoba eht lenrek of 017 .cr ehT gniwollof ,tluser hcihw si a laiceps esac of 3.1.3 of ]7[ dna si detaler ot noitisoporP 1 of ,]8[ saw osla dnuof yb .L-.J yadoL .fc( [ 1 .)I NOITISOPORP .9 neviG a lartnec noisnetxe ereht si na tcaxe ecneuqes +-f-)A@K(x)K@A( K@K ,z@n -G@G 1 ni hcihw mI I si .lartnec :JoorP yB noitisoporP )ii(l dna )8( ereht si a msihpromomoh z hcihw sdnes gnittuP =C mI ,I ti si raelc taht <C )rr@n(reK dna taht @n ~7 si .otno ,eromrehtruF ecnis A ,)K(Z< ew evah C < )K(,J < ,)K@K(Z yb noitisoporP ,)ii(4 dna ni ralucitrap C si lamron ni .KOK tI si suht tneiciffus ot evorp taht eht decudni pam :’II +C/)K@K( GOG si na ,msihpromosi dna siht si enod yb gnitcurtsnoc na esrevni p sa :swollof roF hcae eg G esoohc ’g E K hcus taht )’g(a .g= teL :v @K K + C/)K@K( etoned eht tneitouq .pam enifeD :’p G x G + C/)K@K( yb (’p ,g )h = ’g(v @ .)’h yB )3( dna ,)4( ’p si .denifed-llew We evorp taht ’p si a dessorc .gniriap teL ,g ,h k E .G nehT (’o, ,hg gk) (’p ,g k) = ’h’g(v @ g’k’) (v ’g @ k’) = (v ’h’g( @ g’k’)( ’g 0 k’)) = )’k@’h’g(v = .)kkk’P sihT seifirev eht tsrif elur rof a dessorc ,gniriap dna eht rehto elur si devorp .ylralimis ehT msihpromomoh :p G @ G + OK( C/)K denimreted yb ’p ylraelc seifsitas p’z = .,,@,l ,oslA fi k,, k, E ,K neht NAILEBA-NON ROSNET STCUDORP 581 ,k((’p 0 4 )C = PW, 0 )b )44Q),k4(P= = v(k, ),kO = ,k( Q )*k c. ,ecneH ’R si na ,msihpromosi dna eht foorp si .etelpmoc 1 sihT tluser lliw eb desu ni eht txen noitces ot evired eht eulav of GOG rof lardehid spuorg from sti eulav no cinoinretauq ,spuorg gniwollof a noitseggus of .yadoL rednU niatrec elbaruovaf ,snoitidnoc eht naileba-non rosnet tcudorp setubirtsid revo tcerid .stcudorp esehT snoitidnoc niatbo rof eht rosnet erauqs of a tcerid ,tcudorp dna siht secuder eht krow ni gniugolatac eht seulav of G 0 G rof spuorg of llams redro ees( noitceS 6 .)woleb NOITISOPORP .01 teL ,A ,B C eb ,spuorg htiw nevig snoitca fo A no B dna ,C dna fo B dna C no .A esoppuS taht eht rettal snoitca 4( :etummoc a“ = ,ab‘ os taht B x C stca no ,A )b( ecudni eht laivirt noitca fo B no A @ :C a(‘ @ )c = a @ ,c dna )c( ecudni eht laivirt noitca fo C no A Q :B a(“ @ )b = a I@ ,6 rof ,AEalla ,BEb .CEC nehT .)C@A(x)B@A(r)CxB(@A .foorP enifeD )C@A(x)B@A(+)CxB(@A:cc ,)cQa,bQa(~)c,b(Qa dna kcehc taht )3( dna )4( era .devreserp roF )3( @’aa(@ ,b( ))c = @’aa( ,b ,)c@’aa yb ,noitinifed ,)b@a()b“@’a“((= ))c@a()cUO’a“( )c@a,b@a()c“@’a“,b“@’a“(= = Q’a(“(cc ,b( )))c 0ad 6( .)1~ roF )4( @a(a ,6(( ,’b()c )))’c = a(rc @ ,’bb( ))’cc ,’bb@a(= )’cc@a ,)’bb@ab()b@a((= ))’ccOac()c@a( = ,b@a( ,)’b@a(b()c@a .))’c@a(‘ 681 ,NWORB ,NOSNHOJ DNA NOSTREBOR ehT tsrif rotcaf si @~(a ,h( ,))c elihw eht dnoces dluohs eb ,’h(@uqb((a =)))’c ,)’C@a,’h@u(“.b‘ hcihw ti ,si gnisu )b( dna .)c( ehT esrevni map tsum eb dna ti tsum eb dekcehc taht )i( snoitaler )3( dna )4( era ,devreserp )ii( eht segami rednu p fo a 0 b dna a @ c ,etummoc )iii( @c dna MP era ytitnedi .spam ,tsriF )ii( swollof yb gniylppa )4( ot ))e,b()c,e((Ou=))c,e()e,h((Ou=)c,h(Ou dna gnisu )b( dna .)c( sihT osla swohs taht rclf = ,1 elihw BZC = 1 si .suoivbo ,yllaniF )3( seirrac revo ,yllacitamotua elihw rof ,)4( ,’bb@u(if ,’hh(Ou=)e ,h(@u=)e ,’h()e )e = (08 (h ))e @a(‘ (h’, ,))e saerehw )bOU((D ,)’bOU(“ )e = @a( ,b( ,uh())e ,’h‘( ,))e sa ,deriuqer dna ylralimis rof ,e( a 0 .)’cc 1 ehT evitubirtsid wal rof rosnet serauqs si a drawrofthgiarts ecneuqesnoc fo ;siht ni ,ti spuorg G dna H era dootsrednu ot tca yllaivirt nopu hcae rehto dna no sevlesmeht yb ,noitagujnoc os taht eht ssorc smret no eht dnah-thgir edis era yranidro rosnet .stcudorp NOITISOPORP ,11 .)H@H(x)G@H(x)H@G(x)G@G(=)HxG(@)HxG( :JoorP sihT lliw wollof from eht suoiverp tluser rehtegot( htiw noitisoporP ))iii(l dedivorp ew nac wohs taht snoitidnoc )b( dna )c( dloh noitidnoc( )a si ,)citamotua taht ,si G stca yllaivirt no G( x )H @ ,H G @ ,H