Processos com Mem´oria Longa 1. Introdu¸c˜ao O processo ARMA(p, q) ´e considerado um processo de “mem´oria curta”, uma vez que a f.a.c. ρ decresce rapidamente para j zero. Na realidade, pode-se demonstrar que, para tal processo, −j |ρ | ≤ Cr , j = 1, 2, . . . (1) j onde C > 0 e 0 < r < 1. A express˜ao (9.1) garante que a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao de- cai para zero exponencialmente. Um processo de mem´oria longa ´e um pro- cesso estacion´ario em que a fun¸c˜ao de au- tocorrela¸c˜ao decresce hiperbolicamente para zero, isto ´e, −α ρ ∼ Cj , j → ∞, (2) j 1 onde C > 0 e 0 < α < 1. Pode-se usar o coeficiente de Hurst H = 1 − α/2, de modo que 1/2 < H < 1. Quanto maior H, maior a mem´oria longa do processo. Pode- se provar que o espectro f(λ) do processo, cuja fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao ´e como em α−1 (9.2), tende a C λ , para λ → 0, onde f C > 0 constante. Ou seja, a fun¸c˜ao densi- f dade espectral de um processo de mem´oria longa diverge para +∞ na freq¨uˆencia zero. Estudos emp´ıricos, principalmente em Cli- matologia e Hidrologia (d´ecada de 50) rev- elaram a presen¸ca de mem´oria longa (ML) em dados de s´eries temporais e espaciais. Estas s´eries apresentam persistˆencia nas autocorrela¸c˜oes amostrais, isto ´e, dependˆencia significativa entre observa¸c˜oes separadas por um longo intervalo de tempo. Estas auto- correla¸c˜oes apresentam o comportamento dado por (9.2). Outra caracter´ıstica desse tipo de s´erie ´e que sua fun¸c˜ao densidade es- pectral ´e n˜ao limitada na freq¨uˆencia zero, o que equivale a dizer que sua fun¸c˜ao de au- tocorrela¸c˜ao n˜ao ´e absolutamente som´avel. Formalmente, temos a Defini¸c˜ao 9.1. Suponha que X tenha au- t tocorrela¸c˜ao ρ . Dizemos que X possui j t mem´oria longa se n X lim |ρ | (3) j n→∞ j=−n ´e n˜ao-finita. O fenoˆmeno de ML foi notado por Hurst (1951, 1957), Mandelbrot e Wallis (1968) e McLeod e Hipel (1978), em conjun¸c˜ao com problemas na ´area de Hidrologia. Mod- elos de ML tamb´em s˜ao de interesse na an´alise de estudos clim´aticos, como no es- tudo da aparente tendˆencia crescente em temperaturas globais devido ao efeito est- ufa. Veja Seater (1993), por exemplo. Recentemente (d´ecada de 80), os economis- tas notaram que h´a evidˆencias que proces- sos de ML descrevem de modo satisfat´orio dados econˆomicos e financeiros, tais como taxas de juros e de inflac¸˜ao. Estudos re- centes na modelagem da volatilidade de ativos financeiros mostram que tais pro- cessos s˜ao de grande utilidade. Uma ex- celente revis˜ao sobre processos de ML em econometria ´e feita por Baillie (1996). Exemplo 9.1. A Figura 9.1 mostra a con- hecida s´erie de´ındices de pre¸cos de trigo de Beveridge (1925) e suas autocorrela¸c˜oes amostrais, notando o seu lento decaimento. Exemplo 9.2. Temos, na Figura 9.2 as auto-correla¸c˜oes amostrais das s´eries de val- ores absolutos dos retornos di´arios do Ibovespa, Dow Jones, Banespa e Petrobr´as. Estes valores absolutos representam a volatilidade da s´erie. O lento decaimento das auto- correla¸c˜oes mostra claramente a persistˆencia da volatilidade. As figuras mostram, tamb´em, as auto-correla¸c˜oes de modelos auto-regressivos AR(p) ajustados `as s´eries. Os valores de p paras as s´eries do Ibovespa, Dow, Banespa e Petrobr´as s˜ao, respectivamente, 12, 12, 6 e 17. A s´erie de volatilidades menos per- sistente ´e a do Banespa. Vemos que as auto-correla¸c˜es dos modelos auto-regressivos s˜ao boas estimativas para “lags” baixos. Notamos, ainda, o n´umero excessivo de parˆametros do modelo auto-regressivo necess´arios para capturar a dependˆencia nas s´eries. Uma outra caracter´ıstica de s´eries com mem´oria longa ´e que as autocorrela¸c˜oes da s´erie original indicam n˜ao-estacionariedade, ao passo que a s´erie diferen¸cada pode parecer ser “super-diferen¸cada”. Ou seja, proces- sos de ML situam-se entre processos I(0) e I(1). Procurando respeitar as caracter´ısticas de uma s´erie de mem´oria longa, citadas an- teriormente, foram definidos dois modelos importantes, nos quais a fun¸c˜ao de densi- −r dade espectral ´e proporcional a λ , 1 < r < 2, para λ pr´oximo de zero e o de- caimento da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao ´e do tipo (9.2). Primeiro foi introduzido o ru´ıdo gaussiano fracion´ario por Mandelbrot e Van Ness (1968). Mais tarde Granger e Joyeux (1980) e Hosking (1981) intro- duziram o modelo ARIMA fracion´ario (ou ARFIMA), que ´e uma generaliza¸c˜ao do mod- elo ARIMA. H´a trabalhos recentes incorporando ML a processos GARCH, como nos processos FI- GARCH (“fractionally integrated general- ized autoregressive conditional heteroskedas- ticity”), introduzidos por Baillie at al. (1996). Tamb´em, processos de ML associados a modelos de volatilidade estoc´astica foram considerados por Harvey (1998) e Breidt et al. (1993). 2. Estima¸c˜ao e Testes para Mem´oria Longa Nesta se¸c˜ao apresentaremos dois proced- imentos para testar se uma s´erie tempo- ral apresenta mem´oria longa e estimar o parˆametro de longa dependˆencia. Um ´e baseado na estat´ıstica R/S e outro no pe- riodograma, que ´e um estimador do espec- tro de um proceso estacion´ario. O modelo proposto para a s´erie X ´e o pro- t cesso integrado fracion´ario d (1 − B) (X − µ) = u , (4) t t onde u ´e um processo estacion´ario, com t espectro f (λ), e para qualquer n´umero u real d > −1, define-se o operador de diferen¸ca fracion´aria ∞ d d X (cid:16) (cid:17) k (1 − B) = (−B) (5) k k=0 1 1 2 3 = 1 − dB + d(d − 1)B − d(d − 1)(d − 2)B + · · · , 2! 3! ou seja, d d! Γ(d + 1) (cid:16) (cid:17) = = . k k!(d − k)! Γ(k + 1)Γ(d − k + 1) A rela¸c˜ao existente entre d e H ´e d = H − 1/2. Se 0 < d < 1/2, ent˜ao X ´e esta- t cion´ario com mem´oria longa. Se −1/2 < d < 0, dizemos que X ´e estacion´ario com t memo´ria curta, ou anti-persistente. • Estat´ıstica R/S A estat´ıstica R/S foi introduzida por Hurst (1951) com o nome “rescaled range” (ou “range over standard deviation”), com o prop´osito de testar a existˆencia de mem´oria longa numa s´erie temporal. Dadas as observa¸c˜oes X , . . . , X , a es- 1 T tat´ıstica R/S ´e dada por " # k k 1 X X Q = max (X − X) − min (X − X) , T 1≤k≤T j 1≤k≤T j S T j=1 j=1 (6) 2 onde X ´e a m´edia amostral e S ´e a T variˆancia amostral. Pode-se demonstrar que se X s˜ao i.i.d. √ t normais, ent˜ao Q / T converge fraca- T mente para uma v.a. que est´a no dom´ınio de atra¸c˜ao de uma ponte browniana. Lo (1991) fornece os quantis desta vari´avel limite. Ele nota que a estat´ıstica definida por (9.6) n˜ao ´e robusta `a dependˆencia de curta mem´oria e prop˜oe substituir Q T por " # k k 1 X X Q˜ = max (X − X) − min (X − X) , T 1≤k≤T j 1≤k≤T j σˆ (q) T j=1 j=1 (7) onde σˆ (q) ´e a raiz quadrada do esti- T mador da variˆancia de longo prazo de Newey-West, com largura de faixa q, dado por q 2 2 2 X σˆ (q) = S (1 + w r ), T T qj j T j=1 sendo w = 1−j/(q +1), q < T e r s˜ao qj j as auto-correla¸c˜oes amostrais usuais de X . Newey and West sugerem escolher t 2/9 q = [4(T/100) ]. Se o processo X n˜ao tiver ML, a es- t tat´ıstica S/L converge para sua distribui¸c˜ao 1/2 limite `a taxa T , mas se h´a ML pre- H sente, a taxa de convergˆencia ´e T . Estes fatos sugerem construir gr´aficos (na escala log-log) de R/S contra o tamanho amostral. Para uma s´erie com MC os