Roshdi Rashed, Christian Houzel Les Arithme´tiques de Diophante Scientia Graeco-Arabica herausgegeben von Marwan Rashed Band 11 De Gruyter Les Arithme´tiques de Diophante Lecture historique et mathe´matique par Roshdi Rashed et Christian Houzel De Gruyter ISBN 978-3-11-033593-4 e-ISBN 978-3-11-033648-1 ISSN 1868-7172 LibraryofCongressCataloging-in-PublicationData ACIPcatalogrecordforthisbookhasbeenappliedforattheLibraryofCongress. BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschen Nationalbibliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternet überhttp://dnb.dnb.deabrufbar. (cid:2)2013WalterdeGruyterGmbH,Berlin/Boston DruckundbuchbinderischeVerarbeitung:Hubert&Co.GmbH&Co.KG,Göttingen (cid:2)(cid:2)GedrucktaufsäurefreiemPapier PrintedinGermany www.degruyter.com PRÉFACE Ce livre est entièrement consacré à la lecture historique et mathéma- tique d’une œuvre rédigée au IIe siècle à Alexandrie et qui a marqué l’histoire des mathématiques pendant au moins un millénaire et demi : les Arithmétiques de Diophante. Lire une œuvre mathématique ancienne et, qui plus est, fondatrice d’une discipline mathématique, comme les Coniques d’Apollonius, les Sphériques de Ménélaüs ou les Arithmétiques de Diophante, n’est pas un acte simple. À cela, plusieurs raisons. Il arrive qu’au cours de sa transmis- sion le texte ait été mutilé, parfois irrémédiablement, par des accidents de tous ordres. Ces œuvres ont été écrites dans une langue aujourd’hui éteinte, et certaines parties n’ont survécu que dans une traduction arabe, dans la langue du IXe siècle. Tout au long de leur histoire, on a multiplié leurs lec- tures, et il faut en tenir compte. Autant d’événements qui précisément ont accompagné la transmission des Arithmétiques de Diophante : des treize livres qui, à l’origine, composaient l’ouvrage, il n’en demeure que six dans la langue de l’auteur. Quatre nous sont parvenus d’une traduction arabe, qui initialement en comportait sept, faite à Bagdad au IXe siècle – les trois autres existaient encore au XVIIe siècle mais sont aujourd’hui perdus. Les deux versions, ainsi mutilées, ont encore subi d’autres accidents qui sont décrits dans les introductions aux éditions critiques des textes. Les livres grecs et arabes ont été diversement commentés au cours de l’histoire par d’éminents mathématiciens, tels qu’al-Karajī, al-Būzjānī, al-Samaw’al, Planude, Bombelli, Stevin, Viète, Bachet, Fermat et même Lagrange, qui tous ont lu les Arithmétiques à la lumière de mathématiques qui n’étaient pas celles de Diophante. Le nombre et la diversité de ces commentaires sont bien le signe de la richesse mathématique des objets étudiés par le mathématicien alexandrin. À partir du XIXe siècle, les historiens des mathématiques ont eux aussi multiplié les lectures des Arithmétiques et en ont proposé bien des interprétations. Aujourd’hui le débat est encore vif entre les différents interprètes, comme nous le verrons plus loin. Face à cette pluralité d’interprétations, on se demande évidemment s’il est possible d’opter pour l’une d’entre elles – philologique, arithmétique, algébrique, géométrique … – ou s’il existe une lecture plus pertinente que les autres, capable de capter la rationalité de Diophante, d’éclairer une VI Préface mathesis nécessairement différente de toutes celles qui seront inventées par ses successeurs et ainsi de situer les Arithmétiques dans l’histoire. Il n’empêche qu’exhiber une telle mathesis ne revient pas à faire l’économie de toutes les autres lectures. Et, de fait, revendiquer l’unicité de l’une d’entre elles dans le cas d’une œuvre aussi riche et complexe relève davantage de l’exégèse religieuse que de la recherche historique. Car une lecture actuelle du livre de Diophante, sous peine d’être myope ou triviale, se nourrit à toutes celles qui l’ont précédée. Elle oblige l’historien, en quelque sorte, à multiplier ses tâches et à exercer plusieurs métiers. Le prélude nécessaire à tout commentaire mathématique est une édition fiable des textes. Il y a plus d’un siècle, P. Tannery, avec la compétence que l’on sait, a établi les six livres grecs et les a traduits en latin. Plus récemment, A. Allard a passé au crible la tradition grecque et byzantine du texte, dont il a fourni une nouvelle édition critique accompagnée d’une tra- duction française. Quant aux livres que j’ai découverts dans leur traduction arabe, je me suis acquitté de leur édition critique et de leur traduction en français. Une fois cette tâche accomplie, reste à reconstruire l’organisation architectonique des Arithmétiques, à démêler les réseaux des significations mathématiques, à exhiber la structure de l’argumentation de Diophante, à mettre au jour ses présupposés et ses intuitions. En examinant les articula- tions de ces structures syntactiques et sémantiques, on peut reconstituer le texte et l’insérer dans la, ou les traditions, auxquelles il appartient. Mais, puisqu’il s’agit d’une œuvre mathématique, cette tâche est inséparable de l’examen de la vérité des énoncés, des propositions et des solutions de tous les problèmes. Chacun sait en effet que c’est en reprenant les démonstra- tions et en vérifiant les solutions que l’historien des mathématiques effec- tue sa lecture. Or dans le cas des Arithmétiques, il se heurte à une difficulté supplémentaire qui n’est pas l’effet d’un quelconque défaut de l’ouvrage, mais bien au contraire de la richesse de son contenu. C’est en effet préci- sément cette fécondité qui a autorisé la pluralité des traductions dans les langues des mathématiques postérieures, celles de l’algèbre, celles de l’arithmétique et même celles de la géométrie, des 280 problèmes résolus par Diophante et qui nous sont parvenus. Ces traductions ne sont nullement virtuelles, elles sont effectives et jalonnent l’histoire à partir du Xe siècle et jusqu’à nos jours. Confronté à cette difficulté, ainsi qu’à d’autres obstacles que j’ai pu rencontrer lors de l’édition critique de la version arabe des Arithmétiques, j’ai dû élaborer une stratégie de lecture de cette œuvre de Diophante qui me permît de répondre aux questions historiques et mathématiques qui se posaient. Après une étude philologique aussi minutieuse que possible, il a Préface VII fallu multiplier les lectures tout en évitant d’en attribuer aucune à Diophante. En plus d’une transcription algébrique du texte, j’ai conçu un modèle interprétatif propre à expliquer comment Diophante a construit ses problèmes et choisi ses coefficients, quelles méthodes il a appliquées, comment il a obtenu les transformations qu’il opère et les algorithmes qu’il utilise. Il fallait pour forger ce modèle exposer les notions géométriques qui le sous-tendent ; ce qui fut fait dans un chapitre à part, intitulé « La méthode de la corde », où le lecteur est averti qu’il ne doit pas prendre le modèle proposé pour l’objet commenté. Pourtant bien des lecteurs pressés sont restés sourds à cet avertissement maintes fois réitéré. Une fois paru ce travail, en 1984, je l’ai poursuivi en commentant les livres grecs, d’abord les trois premiers, communs aux deux versions, grecque et arabe, puis les trois livres qui ne sont connus qu’en grec (IV, V et VI). C’est alors que le projet de commenter l’ensemble des livres des Arithmétiques transmis s’est fait jour, sous la forme d’une première lecture complète de l’ouvrage. Christian Houzel a trouvé que l’idée en valait la peine et a bien voulu m’accompagner dans cette entreprise. Nous avons donc repensé le chapitre sur la méthode de la corde pour remédier à ses manques et lui donner davantage de consistance et d’extension et nous avons complété et corrigé les commentaires déjà rédigés et achevé l’ensemble. Le résultat visé est une étude plus complète et plus homogène des Arithmétiques. On trouvera dans un chapitre introductif une discussion détaillée du projet arithmétique de Diophante ainsi que des lectures qui en ont été faites. Ce chapitre synthétique est suivi d’un autre où l’on explicite les notions géométriques nécessaires à la construction du modèle interprétatif que nous proposons, puis d’un troisième qui traite de l’identification des méthodes de Diophante. Vient ensuite un commentaire historique et mathématique de tous les livres des Arithmétiques. Nous insistons une fois encore pour dire que nous n’attribuons à Diophante que son propre texte, tel qu’il a été établi dans les éditions cri- tiques. Nous ne répéterons jamais assez que les Arithmétiques ne sont ni un livre d’algèbre ni un livre de géométrie algébrique, mais bien un livre d’arithmétique où sont appliqués des procédés algébriques avant la lettre. Je remercie vivement Madame Aline Auger qui, avec scrupule et compétence, a préparé le manuscrit à l’impression et composé les index. Roshdi Rashed Bourg-la-Reine, mars 2013 SOMMAIRE Préface ................................................................................................................... v INTRODUCTION : LES ARITHMÉTIQUES DE DIOPHANTE ............................ 1 1. Les mathématiques de Diophante ................................................................... 8 2. Le projet de Diophante ................................................................................... 20 3. Diophante et Euclide ...................................................................................... 31 4. Deux lectures des Arithmétiques : algébrique et géométrique ......................... 34 CHAPITRE I : LA MÉTHODE DE LA CORDE 1. Le vocabulaire de la géométrie algébrique ..................................................... 47 2. Multiplicité d’intersection .............................................................................. 74 3. La méthode de la corde .................................................................................. 83 4. Equations quasi-homogènes ........................................................................... 102 5. La méthode de la corde pour la courbe de genre 1 .......................................... 106 6. La double équation du second degré ............................................................... 115 CHAPITRE II : LES MÉTHODES DE DIOPHANTE 1. Problèmes déterminés et problèmes indéterminés ........................................... 121 2. Élimination .................................................................................................... 124 3. La méthode « de la corde » ........................................................................... 125 4. Extension de la méthode de la corde aux degrés supérieurs ............................ 127 5. Identités remarquables ................................................................................... 132 6. Double équation ............................................................................................. 136 7. Homogénéité et triangles rectangles numériques ............................................ 140 8. Inégalités et recherche d’approximations ........................................................ 143 9. Enchaînements ............................................................................................... 148 CHAPITRE III : COMMENTAIRE MATHÉMATIQUE DES ARITHMÉTIQUES Livre I ............................................................................................................... 155 Livre II .............................................................................................................. 179 Livre III ............................................................................................................. 219 Livre 4 ............................................................................................................... 265 Livre 5 ............................................................................................................... 301 Livre 6 ............................................................................................................... 317 Livre 7 ............................................................................................................... 343 Livre IV ............................................................................................................. 369 Livre V .............................................................................................................. 445 Livre VI ............................................................................................................. 527 APPENDICE : La connaissance de Diophante dans l’Antiquité .............................. 595 INDEX ................................................................................................................... 607 OUVRAGES CITÉS .............................................................................................. 621