Diplomarbeit Hochschildkohomologie von EI-Kategorienalgebren Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Mathematik Reiner Hermann Matrikelnummer: 6298920 15. März 2010 Erklärung der Selbstständigkeit Ich versichere, dass ich die folgende Diplomarbeit ohne Hilfe Dritter und aus- schließlich unter Zuhilfenahme der angegeben Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe. Die den benutzten Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen habe ich als solche kenntlich gemacht. Paderborn, den 15. März 2010 Danksagung Ich danke Henning Krause, der durch eine Vielzahl von Vorlesungen und Semi- naren zur Darstellungstheorie mein Interesse für diesen mathematischen Zweig geweckt und gefördert hat. Danken möchte ich ihm auch für die Vergabe die- ses Themas und die Betreuung während des Entstehungsprozesses dieser Arbeit. Viele seiner zahlreichen Hinweise führten maßgeblich dazu, dass ich mir gewisser Sachverhalte bewusst wurde. FürRatschlägebeikonkretenRechnungen unddasLesendesManuskriptes möch- te ich meinen Dank gegenüber Karsten Dietrich, Neele Drangmeister und Jan Möllers ausprechen. Bei Fei Xu bedanke ich mich für anregende Konversationen. Schließlich danke ich meiner Familie und meinen Freunden für all ihren nichtma- thematischen Rückhalt. Insbesondere geht dieser Gruß an meine Eltern, die mir meine Ausbildung ermöglichten und mich dabei unaufhaltsam unterstützten. Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 I Grundlagen 7 §1 Graduierte Algebren und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §2 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §3 Ext-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II Hochschildtheorie 17 §4 Hochschildkohomologieringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 §5 Das Hochschild-Cup-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 §6 Endlichkeitseigenschaften von Hochschildkohomologieringen . . . 24 §7 Exkurs: Affine Varietäten und Schemata . . . . . . . . . . . . . . 28 §8 Trägervarietäten und deren Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . 31 §9 Kohomologieringe und Varietäten bei Gruppenalgebren . . . . . . 36 IIIKategorienalgebren 39 §10 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . 39 §11 Darstellungstheoretische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §12 Homologische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 §13 Exkurs: Limiten, Kolimiten und Kan-Erweiterungen . . . . . . . . 48 §14 Die Kategorie der Faktorisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 §15 Das Cup-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 §16 Hochschildtheorie von Kategorienalgebren . . . . . . . . . . . . . 65 IVEin Gegenbeispiel zur Vermutung aus Kapitel II 77 §17 Exkurs: Einpunkterweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §18 Die Kategorie E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 0 §19 Die Algebra HH∗(kE )/N ist nicht endlich erzeugt . . . . . . . . . 82 0 §20 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Literaturverzeichnis 93 Einleitung Sei A eine assoziative Algebra über einem Körper. (Ko-)Homologietheorie dient der Suche nach algebraischen Invarianten von A. Eine erstmalige Betrachtung von Kohomologiegruppen eines A-A-Bimoduls (dies sind die sogenannten Hoch- schildkohomologiegruppen) wurde von Hochschild durchgeführt. Während er le- diglich die additive Struktur dieser Gruppen verwendete, um auf Eigenschaf- ten der zugrundeliegenden Algebra zu schließen, versieht man in der modernen Darstellungstheorie gewisse Hochschildkohomologiegruppen mit einer graduier- ten Ringstruktur. Das Studium dieser Ringe erweist sich als fruchtbar und gibt Rückschlüsse aufModulkategorienendlichdimensionaler Algebren.Eine indiesem Zusammenhang interessante Fragestellung ist, ob die aus den Hochschildkohomo- logiegruppen gewonnenen Ringe endlich erzeugt sind. Im Jahr 1944 publizierte Hochschild seinen wegweisenden Artikel On the coho- mology groups of an associative algebra (siehe [22]). Dort beschreibt er zu einer gegebenen Algebra A über einem Körper k einen Kokomplex 0 → (B : M) → (B : M) → (B : M) → (B : M) → ··· −1 0 1 2 von k-Moduln. Für n ≥ −1 sei dabei B = A⊗k(n+2), das (n+2)-fache Tensorpro- n dukt von A über k und (B : M) die Menge aller k-linearen Homomorphismen n von B in einen A-A-Bimodul M. Es werde (B : M) durch n −1 (a·f)(a′) = af(a′), (f ·a)(a′) = f(aa′)−f(a)a′, a,a′ ∈ A, f ∈ (B : M), −1 zu einem A-A-Bimodul. Die m-te Kohomologiegruppe dieses Komplexes bezeich- neteHochschild mitHm(A,M).Erkonnteetwa zeigen,dassAgenaudannsepara- belist (d.h.für jedeKörpererweiterung L ⊇ k ist dieAlgebra A⊗ Lhalbeinfach), k wenn H1(A,M) = 0 für jeden A-A-Bimodul M gilt. Statt Bimoduln betrachtet man mittlerweile Linksmoduln über der sogenannten einhüllenden Algebra von A. Dies ist per Definition Ae = A⊗ Aop. Da Ae-Linksmoduln nichts anderes als k A-A-Bimoduln sind, stimmen die Theorien überein, Formalisierungen fallen aber leichter. Tatsächlich lässt sich etwa zeigen, dass man obigen Kokomplex (bis auf Kettenhomotopie) aus einer projektiven Auflösung B : ··· → B → B → B → B = A → 0 2 1 0 −1 durch Anwenden von Hom (−,M) erhält, woraus Hm(A,M) = Extm (A,M) Ae Ae für alle m ≥ 0 folgt. Es heißt B die Standard- oder Bar-Auflösung (in Anleh- nung an die aus der Gruppentheorie bekannte Bar-Auflösung). Die von Hoch- schild eingeführten Kohomologiegruppen für A nennt man nunmehr Hochschild- kohomologiegruppen und verwendet die Bezeichnung HHm(A,M) = Hm(A,M). 1 Einleitung Wählt man den Bimodul A, so erhält man den sogenannten Hochschildkohomo- logiering HH∗(A) = HH∗(A,A) von A. In der Tat verleiht das Yoneda-Produkt diesem graduierten k-Modul die Struktur einer graduierten k-Algebra. Diese ist im Allgemeinen schwer zu verstehen und daher ist der Fundus an bekannten Ei- genschaften gering. Ein vertrauter und überaus wichtiger Fakt ist jedoch, dass der Hochschildkohomologiering einer Algebra A graduiert kommutativ ist. Dies bedeutet, dass für alle homogenen Elemente ξ und ξ′ von HH∗(A) die Gleichung ξξ′ = (−1)degξdegξ′ξ′ξ erfüllt ist. Außerdem weiß man, dass HH∗(A) als graduierte k-Algebra isomorph zum Endomorphismenring von A in D(Ae) ist. Insbesondere ist die Multiplikation als Komposition von Morphismen in D(Ae) interpretierbar, was etwas anschaulicher scheint, alsdie durch das Yoneda-Produkt gegebene mul- tiplikative Struktur. Während Hochschild in seinem Artikel lediglich die additive Struktur von HH∗(A,M) in Zusammenhang mit der Ringstruktur von A brachte, untersucht man heutzutage (inspiriert von Methoden der Gruppentheorie) so- genannte Trägervarietäten. Dies sind Untervarietäten des Primidealsprektrums einer graduierten Unteralgebra des Hochschildkohomologierings von A. Folglich beziehen sie die Ringstruktur von HH∗(A) ein. Gewisse Eigenschaften der Träger- varietäten lassen Rückschlüsse auf die Modulkategorie mod(A) zu. Zur Definition von Trägervarietäten betrachtet man den charakteristischen Homomorphismus eines A-Moduls M: Φ : HH∗(A) → Ext∗(M,M), ξ 7→ ξ ⊗ M. M A A Die Abbildung Φ ist für jeden A-Modul M ein Homomorphismus von graduier- M ten k-Algebren und macht Ext∗(M,N) zu einem graduierten HH∗(A)-HH∗(A)- A Bimodul. Für eine graduierte Unteralgebra H von HH∗(A) definiert man die Trä- gervarietät eines endlichdimensionalen Moduls M als V (M) = {m ∈ MaxSpec(H/N ) | Ann (Ext∗(M,M)) ⊆ π−1(m)}, H H H A wobei N das von allen homogenen nilpotenten Elementen in H erzeugte Ide- H al und π : H → H/N die kanonische Surjektion bezeichnet. Die Trägervarietät H V (M) ist nichtleer, denn es gibt ein ausgezeichnetes Ideal m ∈ V (M). Folglich H gr H sagtman,dassdieVarietäteinesModulsM trivialsei,wennV (M) = {m }.Un- H gr ter gewissen Bedingungen gilt, dass die Trägervarietät von M genau dann trivial ist,wenn M projektiv ist.Generellistbekannt,dassM beinicht-trivialer Varietät unendliche projektive und unendliche injektive Dimension hat. Außerdem folgt aus der Unzerlegbarkeit von V (M) als topologischem Raum die Unzerlegbarkeit H von M. Sei N = NHH∗(A). Die Beschaffenheit der Trägervarietäten wirft die Frage auf, ob HH∗(A)/N, oder besser HH∗(A), als graduierte k-Algebra endlich erzeugt ist. Letzteres kann man anhand vieler Beispiele widerlegen, ersteres blieb hingegen für eine lange Zeitspanne unbeantwortet. Snashall und Solberg vermuteten (vgl. [35, 36]) im Jahr 2004, nachdem sich die Endlich-Erzeugtheit von HH∗(A)/N für einige Klassen endlichdimensionaler Algebren A bewahrheitet hatte, dass dies für alle endlichdimensionalen Algebren richtig sei. Bereits 2008 wurde diese Ver- mutung von Xu widerlegt (vgl. [42]). Er stieß beim Studium von sogenannten 2