PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL IB OXFORD E S T U D I O S L O  A P M ATE M TI CO S S E N E N  I S NI VEL M EDIO R E LIBRO DEL ALUMNO V Peter Blythe Jim Fensom Jane Forrest Paula Waldman de Tokman 3 Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido Oxford University Press es un departamento de la Universidad de Oxford que promueve el objetivo de excelencia acadmica, educativa e investigadora de esta Universidad mediante sus publicaciones en todo el mundo. Oxford es una marca registrada de Oxford University Press en el Reino Unido y en algunos otros pases.  Oxford University Press 2015 Los autores han reivindicado sus derechos morales. Traducido del ingls por Paula Waldman de Tokman, y revisado por Irene Owen y Valeria Juanatey-Oogan Derechos de autor de la traduccin  Oxford University Press 2015 Primera publicacin en 2015 Reservados todos los derechos. No se podr reproducir ninguna parte de esta publicacin, ni almacenarla en un sistema de recuperacin de datos o transmitirla en cualquier forma o por cualquier procedimiento sin autorizacin previa por escrito de Oxford University Press o salvo conforme a lo expresamente permitido por la ley, por licencia o por las condiciones acordadas con la organizacin de derechos de reprografa pertinente. Cualquier consulta relativa a la reproduccin de esta publicacin al margen de lo antedicho debe enviarse a: Rights Department, Oxford University Press, Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido. No le est permitido distribuir partes de esta publicacin en cualquier otra forma, y debe imponer esta misma condicin a cualquier persona que tenga acceso a la misma. Esta publicacin figura en el catlogo de la Biblioteca Britnica con los datos siguientes: 978-0-19-833875-8 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 El papel usado para la fabricacin de este libro es un producto natural y reciclable de madera de bosques sostenibles. El proceso de fabricacin se ajusta a las normas ambientales del pas de origen. Impreso en China Agradecimientos Los editores desean agradecer a las siguientes personas e Dreamstime.com; P303: Rui Matos/Dreamstime.com; P304: instituciones su autorizacin para usar sus fotografas: Slidepix/Dreamstime.com; P306: negative/Shutterstock; P308: Oleksandr Pekur/Dreamstime.com; P310: Tupungato/Dream- P3: PEKKA AHO/Associated Press; P20: kirych/Shutterstock; P22: stime.com; P312: Anna Dudek/Dreamstime.com; P320: Stuart Key/ allOver photography/Alamy; P25: Ronald Sumners/Shutterstock; Dreamstime.com; P327: Seymour/Science Photo Library; P326: P41: Christopher King/Dreamstime.com; P41: XYZ/Shutterstock; MoonBloom/Shutterstock; P327: Christian Delbert/Shutterstock; P41: Ionia/Shutterstock; P43: Paul Brown/Rex Features; P45: P327: GoodMood Photo/Shutterstock; P329: Badzmanaoi.../Dream- Gravicapa/Shutterstock; P45: Sergej Razvodovskij/Shutterstock; stime.com; P350: negative/Shutterstock; P352: Tatiana Popova/ P63: Stphane Bidouze/Shutterstock; P69: Liv Falvey/ Shutterstock; P352: Sinelyov/Shutterstock; P355: Roman Sigaev/ Shutterstock; P84: Paul Walters Worldwide Photography Ltd/ Shutterstock; P361: Sinelyov/Shutterstock; P365: grum_l/Shut- Photo Library; P85: David H.Seymour/Shutterstock; P85: SkillUp/ terstock; P378: M&N/Alamy; P379: Peter E Noyce/Alamy; P379: Shutterstock; P85: Nlshop/Shutterstock; P85: marina ljubanovic/ Tele52/Dreamstime.com; P378: Oleksiy Mark/Shutterstock; P381: Shutterstock; P87: David Parker/Alamy; P130: Dietmar Hp/ Comstock/Thinkstock; P403: Olga Utlyakova/Shutterstock; P419: Shutterstock; P130: pagadesign/istockphoto; P131: Professor FromOldBooks.org/Alamy; P418: Briangoff/Dreamstime.com; P418: Peter Goddardd/Science Photo Library; P131: Dreamstime; P133: TerryM/Shutterstock; P418: Bomshtein/Shutterstock; P419: Zack A777thunder; P165: James Steidl/Shutterstock; P166: Tatiana53/ Clothier/Shutterstock; P419: Anton Brand/Shutterstock; P421: Shutterstock; P166: Hemera Technologies/Getty Images; P171: Ahmet Ihsan Ariturk/Dreamstime.com; P423: Sunnyi/Dreamstime. 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Erik Lam/Shutterstock; P241: Rakov Studio/Shutterstock; P252: Magal Izaguirre/Istock; P252: Maxx-Studio/Shutterstock; P225: Los editores han procurado por todos los medios identifcar y italianestro/shutterstock; P278: ruzanna/Shutterstock; P293: contactar a todos los titulares de los derechos de autor antes de Dmitry Rukhlenko/Dreamstime.com; P293: Paul Wootton/Science la publicacin de este libro, pero no ha sido posible en todos los Photo Library; P292: Eugene Sim/Shutterstock; P293: PixAchi/ casos. Si se les notifca, los editores rectifcarn cualquier error u Shutterstock; P292: Jessmine/Shutterstock; P295: Annabelle496/ omisin a la mayor brevedad. ii Defnicin del libro del En pos de este objetivo, la organizacin colabora con establecimientos escolares, alumno gobiernos y organizaciones internacionales Los libros del alumno del Programa del para crear y desarrollar programas de Diploma del IB son recursos diseados como educacin internacional exigentes y mtodos apoyo para el estudio en los dos aos del de evaluacin rigurosos. Programa del Diploma. Estos recursos ayudan Estos programas alientan a alumnos del a los alumnos a entender lo que se espera del mundo entero a adoptar una actitud activa estudio de una asignatura del Programa del de aprendizaje durante toda su vida, a ser Diploma del IB y presentan su contenido de compasivos y a entender que otras personas, manera que ilustra el propsito y los objetivos con sus dierencias, tambin pueden estar en lo del IB. Reejan la flosoa y el enoque del IB, cierto. y avorecen una comprensin prounda de la asignatura al establecer conexiones con temas El perfl de la comunidad ms amplios y brindar oportunidades para el de aprendizaje del IB pensamiento crtico. El objetivo undamental de los programas Conorme a la flosoa del IB, los libros del Bachillerato Internacional (IB) es ormar abordan el currculo teniendo en cuenta el personas con mentalidad internacional que, curso en su totalidad y el uso de una amplia conscientes de la condicin que las une como gama de recursos, la mentalidad internacional, seres humanos y de la responsabilidad que el perfl de la comunidad de aprendizaje del comparten de velar por el planeta, contribuyan IB y los componentes troncales del Programa a crear un mundo mejor y ms pacfco. Como del Diploma del IB: Teora del Conocimiento, miembros de la comunidad de aprendizaje del la Monograa y Creatividad, Actividad y IB, nos esorzamos por ser: Servicio (CAS). Indagadores: Cultivamos nuestra curiosidad, Todos los libros pueden usarse en combinacin a la vez que desarrollamos habilidades para con otros materiales y, de hecho, se espera la indagacin y la investigacin. Sabemos que los alumnos del IB extraigan conclusiones cmo aprender de manera autnoma y junto basndose en una variedad de recursos. Todos con otros. Aprendemos con entusiasmo y los libros proponen lecturas adicionales mantenemos estas ansias de aprender durante y brindan sugerencias para ampliar la toda la vida. investigacin. Informados e instruidos: Desarrollamos Adems, los libros del alumno proporcionan y usamos nuestra comprensin conceptual asesoramiento y orientacin con respecto a los mediante la exploracin del conocimiento requisitos de evaluacin de las asignaturas y la en una variedad de disciplinas. Nos probidad acadmica. comprometemos con ideas y cuestiones de importancia local y mundial. Declaracin de principios Pensadores: Utilizamos habilidades de del IB pensamiento crtico y creativo para analizar y proceder de manera responsable ante El Bachillerato Internacional tiene como problemas complejos. Actuamos por propia meta ormar jvenes solidarios, inormados y iniciativa al tomar decisiones razonadas y vidos de conocimiento, capaces de contribuir ticas. a crear un mundo mejor y ms pacfco, en el marco del entendimiento mutuo y el respeto Buenos comunicadores: Nos expresamos intercultural. con confanza y creatividad en diversas iii lenguas, lenguajes y maneras. Colaboramos debidamente la autora de las ideas y el trabajo efcazmente, escuchando atentamente las de otras personas. Por lo tanto, toda actividad perspectivas de otras personas y grupos. escrita u oral realizada para la evaluacin debe estar expresada en palabras propias. Cuando se ntegros: Actuamos con integridad y utilicen uentes externas o se haga reerencia honradez, con un proundo sentido de la a ellas, ya sea en orma de cita directa o equidad, la justicia y el respeto por la dignidad parrasis, se debe indicar debidamente su y los derechos de las personas en todo el procedencia. mundo. Asumimos la responsabilidad de nuestros propios actos y sus consecuencias. Cmo citar el trabajo de otros De mentalidad abierta: Desarrollamos Para indicar que se han utilizado las ideas de una apreciacin crtica de nuestras propias otras personas se usan notas a pie de pgina y culturas e historias personales, as como bibliograas. de los valores y tradiciones de los dems. Notas a pie de pgina (colocadas en la Buscamos y consideramos distintos puntos parte inerior de una pgina) o notas al fnal de vista y estamos dispuestos a aprender de la (colocadas al fnal de un documento): deben experiencia. utilizarse cuando se cita o pararasea de otro Solidarios: Mostramos empata, sensibilidad documento, o cuando se reproduce de manera y respeto rente a las necesidades y los resumida la inormacin de otro documento. sentimientos de otros. Nos comprometemos a No es necesario usar una nota a pie de pgina ayudar a los dems y actuamos con el propsito para inormacin que orma parte de un rea de inuir positivamente en las vidas de las de conocimiento. Es decir, no es necesario personas y el mundo que nos rodea. citar defniciones en notas a pie de pgina, ya que se considera que son de conocimiento Audaces: Abordamos la incertidumbre con general. previsin y determinacin. Trabajamos de manera autnoma y colaborativa para explorar Bibliograas: deben incluir una lista ormal de nuevas ideas y estrategias innovadoras. los recursos que se han utilizado en un trabajo. Deendemos nuestras posturas con valenta y Por ormal se entiende que debe presentarse claridad. siguiendo una de las varias convenciones aceptadas. Esto normalmente implica separar Equilibrados: Entendemos la importancia los recursos utilizados en dierentes categoras del equilibrio sico, mental y emocional para (por ejemplo, libros, revistas, artculos lograr el bienestar propio y el de los dems. periodsticos, recursos de Internet, CD y obras Refexivos: Evaluamos detenidamente el de arte) y proporcionar datos completos de mundo y nuestras propias ideas y experiencias. dnde puede encontrar la misma inormacin Nos esorzamos por comprender nuestras un lector o un observador del trabajo. La ortalezas y debilidades para, de este modo, bibliograa es una parte obligatoria de la contribuir a nuestro aprendizaje y desarrollo Monograa. personal. Qu constituye una conducta Probidad acadmica ? improcedente Es undamental citar debidamente a los La conducta improcedente es toda accin autores de la inormacin que se utiliza en un por la que un alumno salga o pueda salir trabajo. Despus de todo, los autores de las benefciado injustamente en uno o varios ideas (propiedad intelectual) tienen derechos componentes de la evaluacin. El plagio de propiedad. Para que un trabajo se considere y la colusin se consideran conducta original, debe basarse en ideas propias y citar improcedente. iv Plagio: se entiende como la presentacin de  Cuando se utilicen obras de arte, ya sean las ideas o el trabajo de otra persona como de msica, cine, danza, teatro o artes propios. Estas son algunas ormas de evitar el visuales, o cuando se haga un uso creativo plagio: de una parte de una obra de arte, se debe citar al artista original.  Debe citarse la autora de las palabras e ideas de otras personas que se utilicen para Colusin: se entiende como el comportamiento respaldar los argumentos propios. de un alumno que contribuye a la conducta improcedente de otro. Incluye:  Los pasajes citados textualmente  Permitirle a otro alumno que copie un deben entrecomillarse y debe citarse trabajo o lo presente como si uese propio su autora.  Presentar un mismo trabajo para distintos  Los CD-ROM, mensajes de correo componentes de evaluacin o requisitos electrnico, sitios web y otros medios del Programa del Diploma electrnicos deben ser tratados de la misma Otras formas de conducta improcedente manera que los libros y las revistas. incluyen cualquier accin que le permita a un  Debe citarse la uente de todas las alumno salir benefciado injustamente, o que otograas, mapas, ilustraciones, tenga consecuencias sobre los resultados de programas inormticos, datos, grfcos, otro alumno (por ejemplo, introducir material materiales audiovisuales y otros no autorizado a la sala de examen, conducta materiales similares que no sean de indebida durante un examen y alsifcar creacin propia. documentacin relacionada con CAS). v Contenidos Captulo 7 Nmero y lgebra 2 294 7.1 Progresiones aritmticas 296 Captulo 1 Nmero y lgebra 1 2 7.2 Progresiones geomtricas 304 1.1 Los conjuntos numricos 3 7.3 Conversin de divisas 310 1.2 Aproximaciones y error 11 7.4 Inters compuesto 314 1.3 Notacin cientfca 22 1.4 Unidades de medicin SI 25 Captulo 8 Conjuntos y probabilidad 328 8.1 Teora bsica de conjuntos 331 Captulo 2 Estadstica descriptiva 42 8.2 Diagramas de Venn 334 2.1 Clasifcacin de datos 44 8.3 Extensin a tres conjuntos 343 2.2 Datos discretos simples 47 8.4 Resolucin de problemas usando 2.3 Datos discretos o continuos agrupados 48 diagramas de Venn 345 2.4 Medidas de posicin central 54 8.5 Conceptos bsicos de la teora de 2.5 Curvas de recuencias acumuladas 61 probabilidades 352 2.6 Diagramas de caja y bigotes 67 8.6 Probabilidad condicionada 355 2.7 Medidas de dispersin 73 8.7 Dos casos especiales: sucesos Captulo 3 Geometra y trigonometra 1 86 incompatibles y sucesos 3.1 Pendiente de una recta 88 independientes 360 3.2 Ecuaciones de rectas 95 8.8 Diagramas de espacios muestrales 364 3.3 Las razones seno, coseno y tangente 103 8.9 Diagramas de rbol 367 3.4 El teorema del seno y el del coseno 119 Captulo 9 Lgica 380 Captulo 4 Modelos matemticos 132 9.1 Introduccin a la lgica 382 4.1 Funciones 134 9.2 Proposiciones compuestas 4.2 Modelos lineales 147 y notacin simblica 383 4.3 Modelos cuadrticos 152 9.3 Tablas de verdad: negacin 385 4.4 Modelos exponenciales 166 9.4 Tablas de verdad: conjuncin (y) 388 4.5 Grfcos de unciones de la orma 9.5 Tablas de verdad: resolucin de una f (x) = ax m + bx n + ..., m, n  Z 175 ambigedad, el conector o 390 4.6 Utilizacin de la CPG para la 9.6 Equivalencia lgica, tautologa y resolucin de ecuaciones 187 contradicciones 395 4.7 Grfcos de situaciones de la 9.7 Proposiciones compuestas ormadas vida real 189 por tres proposiciones simples 397 9.8 Argumentos 401 Captulo 5 Aplicaciones estadsticas 202 5.1 La distribucin normal 204 Captulo 10 Geometra y 5.2 Correlacin 216 trigonometra 2 420 5.3 La recta de regresin 228 10.1 Geometra de los slidos en el espacio 422 5.4 La prueba de chi-cuadrado 233 10.2 Distancia entre puntos en un slido 426 10.3 ngulos entre dos rectas, o entre una Captulo 6 Introduccin al clculo recta y un plano 429 diferencial 254 10.4 Superfcie de los slidos en el espacio 436 6.1 Introduccin al clculo de derivadas 256 10.5 Volumen de los slidos en el espacio 441 6.2 La uncin derivada 263 6.3 Clculo de la pendiente de la curva Captulo 11 El proyecto 454 en un punto dado 267 11.1 El proyecto 454 6.4 La tangente y la normal a una curva 271 11.2 Los criterios de evaluacin interna 455 6.5 Razn de cambio 275 11.3 Moderacin del proyecto 463 6.6 Puntos mximos y mnimos locales 279 11.4 Probidad acadmica 463 6.7 Uso de derivadas en la elaboracin de 11.5 Tener registro de lo hecho 464 modelos matemticos: optimizacin 283 11.6 Eleccin de un tema 465 vi Captulo 12 Cmo aprovechar al 5.2 Clculo de valores de X conociendo mximo la calculadora de pantalla las probabilidades 501 grfca 468 5.3 Diagramas de dispersin usando una 1.1 Resolucin de sistemas de ecuaciones pgina de datos y estadstica 502 lineales 469 5.4 Diagramas de dispersin usando una 1.2 Resolucin de ecuaciones pgina de grfcos 505 cuadrticas 470 5.5 Uso de tablas de contingencia 507 1.3 Notacin cientfca 471 6.1 Pendiente en un punto 508 1.4 Ciras signifcativas 472 6.2 Dibujo de la tangente a una curva 509 2.1 Ingreso de listas de datos 473 6.3 Puntos mximos y mnimos 510 2.2 Ingreso de los datos en una tabla 7.1 Valor total de una inversin 512 de recuencias 473 7.2 Clculo de pagos por un prstamo 513 2.3 Dibujo de un histograma de recuencias a partir de una lista 474 Captulo 13 Conocimientos previos 514 2.4 Dibujo de un histograma de recuencias 1.1 Operaciones 515 a partir de una tabla de recuencias 475 1.2 Nmeros primos, divisores y 2.5 Dibujo de un diagrama de caja y mltiplos 516 bigotes a partir de una lista 476 1.3 Fracciones y decimales 518 2.6 Dibujo de un diagrama de caja y 1.4 Porcentajes 520 bigotes a partir de una tabla de 1.5 Razn y proporcin 523 recuencias 477 1.6 El mtodo de reduccin a la unidad 524 2.7 Clculo de parmetros estadsticos 2.1 Desarrollo de parntesis y a partir de una lista 478 actorizacin 525 2.8 Clculo de parmetros estadsticos 2.2 Frmulas 526 a partir de una tabla de recuencias 479 2.3 Resolucin de ecuaciones lineales 527 2.9 Clculo del rango intercuartil 480 2.4 Sistemas de ecuaciones lineales con 2.10 Uso de parmetros estadsticos 481 dos incgnitas 529 3.1 Grfco de unciones lineales 482 2.5 Expresiones exponenciales 530 3.2 Cmo hallar los ceros 482 2.6 Resolucin de inecuaciones 531 3.3 Cmo hallar la pendiente de una 2.7 Valor absoluto 533 recta 483 3.1 El teorema de Pitgoras 533 3.4 Resolucin de sistemas de ecuaciones 3.2 Puntos, rectas, planos y ngulos 535 en orma grfca 484 3.3 Figuras planas (bidimensionales) 535 4.1 Dibujo del grfco de una cuadrtica 486 3.4 Permetro 537 4.2 Cmo hallar el mnimo local o el 3.5 rea 538 mximo local 487 3.6 Geometra analtica 539 4.3 Dibujo del grfco de una exponencial 492 4.1 Grfcos estadsticos 541 4.4 Cmo hallar la asntota horizontal 493 4.5 Resolucin de una ecuacin que Captulo 14 544 combina cuadrtica y exponencial 494 Prctica para la prueba 1 544 4.6 Uso de transormaciones para Prctica para la prueba 2 549 modelizar una uncin cuadrtica 496 4.7 Uso de deslizadores para modelizar Respuestas 553 una uncin exponencial 498 5.1 Clculo de probabilidades conociendo ndice temtico 609 los valores de X 500 vii Acerca del libro En este libro se cubre detalladamente el actual programa de estudios de Estudios MatemticosNM. El libro est escrito por educadores que estuvieron involucrados en la ltima revisin del currculo. Cada captulo est dividido en secciones que pueden abordarse en una clase e incluyen:  Investigaciones  Sugerencias para exploraciones  Consejos del examinador  Teora del Conocimiento  Curiosidades  Exploracin histrica La intencin es permitir al alumno navegar por el libro en el orden que elija. Al comienzo de cada captulo, hay una ejercitacin corta sobre lo que el alumno debera saber antes de empezar ese captulo. Adems, el libro presenta un captulo sobre conocimientos previos. En todo el libro, se incluyen preguntas tipo examen, cuyas soluciones completas estn en el sitio web (www.oxordsecondary.com/ib-matematicas). Las respuestas fnales de todas las ejercitaciones estn al fnal del libro. El captulo sobre calculadoras de pantalla grfca (CPG) y las capturas de pantalla en todo el libro son de la calculadora TI-Nspire. Junto a las preguntas en las que se requiere usar la CPG, hay un icono de calculadora. En la clase es importante aplicar estrategias de dierenciacin. Para ayudar a los proesores con esto, los autores han escrito, en cada ejercitacin, preguntas que van de ciles a diciles. En el sitio web, se incluye adems material de ampliacin. Parte de este material les resultar til a los alumnos cuando escriban sus proyectos. Para obtener el mximo nivel de logro en el criterio Procedimientos matemticos, los clculos deben hacerse a mano. En el material de ampliacin, esto se expone claramente. Adems hay un captulo que aborda los criterios de evaluacin para el proyecto, junto con sugerencias para escribir un buen trabajo. Al fnal de cada captulo, se incluye un resumen de las habilidades ms importantes que el alumno ha aprendido en ese captulo. A continuacin del resumen, hay algunas pginas interesantes sobre Teora del Conocimiento, para hacer que los alumnos se detengan a pensar. El lenguaje utilizado en todo el libro es simple, conciso y claro, con contextos internacionales que son interesantes y pertinentes. Nota: Se ha utilizado el estilo del IB para los trminos matemticos. Tambin se ha empleado el estilo ormal de redaccin utilizado en los exmenes del IB, para ayudar a los alumnos a prepararse para dichas pruebas. viii Acerca de los autores Peter Blythe ha enseado durante 25aos los 4cursos de matemticas del Programa del Diploma del IB. Actualmente es profesor en el United World College South East Asia y es examinador jefe adjunto de Estudios MatemticosNM. Jim Fensom ha enseado cursos de matemticas del IB durante aproximadamente 35aos. Ha trabajado como coordinador de Matemticas en el Nexus International School en Singapur. Jane Forrest ha enseado matemticas durante ms de 30aos. Actualmente es la directora del Rotterdam International Secondary School en los Pases Bajos. Fue examinadora jefa adjunta de Estudios MatemticosNM durante 5aos y es moderadora principal de los proyectos. Paula Waldman de Tokman ha enseado matemticas durante ms de 20aos. Fue examinadora jefa adjunta de Estudios Matemticos durante 6aos. Actualmente ensea cursos de matemticas del IB en el St. Andrews Scots School en Buenos Aires (Argentina). Paul La Rondie y todos los autores del libro de alumno Matemticas NM han contribuido en las secciones sobre Teora del Conocimiento. 1 1 Nmero y lgebra 1 OBJETIVOS DEL CAPTULO: 1.1 Nmeros naturales, N; enteros, Z; nmeros racionales, Q; nmeros reales, R 1.2 Aproximacin: lugares decimales, ciras signifcativas, estimacin, porcentajes de error 1.3 Expresin de nmeros en notacin cientfca, operaciones con nmeros en notacin cientfca 1.4 SI y otras unidades bsicas de medicin Antes de comenzar Qu necesitamos saber Comprobemos nuestras habilidades 1 Sustituir en frmulas. Por ejemplo: 1 Halle el valor de y cuando x = 0,1 si las G y F se relacionan a travs de la variables x e y estn relacionadas a travs F1 de la frmula: frmula G= . Hallar el valor de F+2 a y = 3x2 (x  1) b y= (x1)2 981 x G cuando F = 98. G = = 9,7. c y = (1  x) (2x + 1) 98+2 2 Resolver ecuaciones simples en una 2 Halle el valor de x: variable. Por ejemplo: a 3x  7 = 14 b 2(x  6) = 4 a 2x  8 = 10 b x2 = 25 1 c (1x)=0 d x2 = 16 2x = 8 x = 5 o x = 5 2 x = 9 3 Calcular porcentajes. Por ejemplo: 3 Calcule: 5 Calcular el 5% de 240.  240 =12 a 8% de 1200 b 0,1% de 234 100 4 Resolver inecuaciones y representar 4 Resuelva las siguientes inecuaciones. la solucin en la recta numrica. Por Represente las soluciones en la recta ejemplo: numrica: 2x + 7  0 a 10  x  1 b 3x  6 > 12 1,5 2x  3 c 2x  0 1 0 1 2 x  ,5 5 Calcular el valor absoluto de un nmero. 5 Calcule: 1 Por ejemplo: |2,5| = 2,5; |,3| = ,3; a |5| b 2 |0| = 0; |5  0| = 5 128 c |5  7| d 100 8 2 Nmero y lgebra 1