Essentials of Statistics David Brink Download free books at David Brink Statistics Download free eBooks at bookboon.com 2 Statistics © 2010 David Brink & Ventus Publishing ApS ISBN 978-87-7681-408-3 Download free eBooks at bookboon.com 3 Statistics Contents Contents Indhold 1 Preface 11 2 Basicconceptsofprobabilitytheory 12 2.1 Probabilityspace,probabilityfunction,samplespace,event . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Conditionalprobability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Independentevents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 TheInclusion-ExclusionFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Binomialcoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Multinomialcoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Randomvariables 18 3.1 Randomvariables,definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Thedistributionfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Discreterandomvariables,pointprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Continuousrandomvariables,densityfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5 Continuousrandomvariables,distributionfunction . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Independentrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.7 Randomvector,simultaneousdensity,anddistributionfunction . . . . . . . . . . 21 4 Expectedvalueandvariance 21 4.1 Expectedvalueofrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Varianceandstandarddeviationofrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3 Example(computationofexpectedvalue,variance,andstandarddeviation) . . . 23 4.4 Estimationofexpectedvalueµandstandarddeviationσ byeye . . . . . . . . . 23 4.5 Additionandmultiplicationformulaeforexpectedvalueandvariance . . . . . . 24 4.6 Covarianceandcorrelationcoefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 TheLawofLargeNumbers 26 5.1 Chebyshev’sInequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 TheLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.3 TheCentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.4 Example(distributionfunctionsconvergetoΦ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6 Descriptivestatistics 27 6.1 Medianandquartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.2 Meanvalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3 Empiricalvarianceandempiricalstandarddeviation . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.4 Empiricalcovarianceandempiricalcorrelationcoefficient . . . . . . . . . . . . 29 7 Statisticalhypothesistesting 29 7.1 Nullhypothesisandalternativehypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.2 Significanceprobabilityandsignificancelevel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Download free eBooks at bookboon.com 4 Indhold 1 Preface 11 2 Basicconceptsofprobabilitytheory 12 2.1 Probabilityspace,probabilityfunction,samplespace,event . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Conditionalprobability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Independentevents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 TheInclusion-ExclusionFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Binomialcoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Multinomialcoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Randomvariables 18 3.1 Randomvariables,definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Thedistributionfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Discreterandomvariables,pointprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Continuousrandomvariables,densityfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5 Continuousrandomvariables,distributionfunction . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Statist3ic.s6 Independentrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Contents 3.7 Randomvector,simultaneousdensity,anddistributionfunction . . . . . . . . . . 21 4 Expectedvalueandvariance 21 4.1 Expectedvalueofrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Varianceandstandarddeviationofrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3 Example(computationofexpectedvalue,variance,andstandarddeviation) . . . 23 4.4 Estimationofexpectedvalueµandstandarddeviationσ byeye . . . . . . . . . 23 4.5 Additionandmultiplicationformulaeforexpectedvalueandvariance . . . . . . 24 4.6 Covarianceandcorrelationcoefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 TheLawofLargeNumbers 26 5.1 Chebyshev’sInequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 TheLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.3 TheCentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.4 Example(distributionfunctionsconvergetoΦ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6 Descriptivestatistics 27 6.1 Medianandquartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.2 Meanvalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3 Empiricalvarianceandempiricalstandarddeviation . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.4 Empiricalcovarianceandempiricalcorrelationcoefficient . . . . . . . . . . . . 29 7 Statisticalhypothesistesting 29 7.1 Nullhypothesisandalternativehypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.2 Significanceprobabilityandsignificancelevel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 III jjjoooiiinnneeeddd MMMIIITTTAAASSS bbbeeecccaaauuussseee ���eee GGGrrraaaddduuuaaattteee PPPrrrooogggrrraaammmmmmeee 2 fffooorrr EEEnnngggiiinnneeeeeerrrsss aaannnddd GGGeeeooosssccciiieeennntttiiissstttsss III wwwaaannnttteeeddd rrreeeaaalll rrreeessspppooonnnsssiiibbbiiillliii��� wwwMMM.daaaiseeecrrrosssvkkke...cccrmooommmita///MMMs.iiictttoaaamsss I joined MITAS because �e Graduate Programme for Engineers and Geoscientists I wanted real responsibili� Maersk.com/Mitas MMMooonnnttthhh 111666 IIIIII wwwwwwaaaaaassssss aaaaaa cccooonnnssstttrrruuuccctttiiiooonnn Month 16 sssuuupppeeerrrvvviiiIIsss wwooorrraa iiissnnn aa construction ttthhheee NNNooorrrttthhh SSSeeeaaa supervisor in aaadddvvviiisssiiinnnggg aaannnddd the North Sea hhhhhheeeeeelllpppiiinnnggg fffooorrreeemmmeeennn advising and RRReeeaaalll wwwooorrrkkk IIIIIInnnnnntttttteeeeeerrrrrrnnnnnnaaaaaattttttiiiiiioooooonnnnnnaaaaaaaaallllll oooppppppooorrrtttuuunnniiitttiiieeesss ssssssooolllvvveee ppprrrooobbbllleeemmmhhssseelping foremen ������rrrrrreeeeeeeeeeee wwwwwwooooooooorrrrrrkkk ppplllaaaccceeemmmeeennntttsss Real work IInntteerrnnaattiioonnaaall opportunities ssolve problems ��rreeee wwooorrk placements Download free eBooks at bookboon.com 5 Click on the ad to read more Statistics Contents 7.3 ErrorsoftypeIandII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 8 ThebinomialdistributionBin(n,p) 30 8.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 8.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8.3 Pointprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.5 Significanceprobabilitiesfortestsinthebinomialdistribution . . . . . . . . . . 32 8.6 Thenormalapproximationtothebinomialdistribution . . . . . . . . . . . . . . 32 8.7 Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8.8 Confidenceintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9 ThePoissondistributionPois(λ) 35 9.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.3 Pointprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.5 Additionformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 9.6 SignificanceprobabilitiesfortestsinthePoissondistribution . . . . . . . . . . . 36 9.7 Example(significantincreaseinsaleofSkodas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 9.8 ThebinomialapproximationtothePoissondistribution . . . . . . . . . . . . . . 37 9.9 ThenormalapproximationtothePoissondistribution . . . . . . . . . . . . . . . 37 9.10 Example(significantdecreaseinnumberofcomplaints) . . . . . . . . . . . . . . 38 9.11 Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9.12 Confidenceintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10 ThegeometricaldistributionGeo(p) 39 10.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.3 Pointprobabilitiesandtailprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11 ThehypergeometricaldistributionHG(n,r,N) 41 11.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11.3 Pointprobabilitiesandtailprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 11.5 Thebinomialapproximationtothehypergeometricaldistribution . . . . . . . . . 42 11.6 Thenormalapproximationtothehypergeometricaldistribution . . . . . . . . . . 42 www.job.oticon.dk 3 Download free eBooks at bookboon.com 6 Click on the ad to read more 7.3 ErrorsoftypeIandII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 8 ThebinomialdistributionBin(n,p) 30 8.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 8.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8.3 Pointprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.5 Significanceprobabilitiesfortestsinthebinomialdistribution . . . . . . . . . . 32 8.6 Thenormalapproximationtothebinomialdistribution . . . . . . . . . . . . . . 32 8.7 Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8.8 Confidenceintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9 ThePoissondistributionPois(λ) 35 9.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.3 Pointprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.5 Additionformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 9.6 SignificanceprobabilitiesfortestsinthePoissondistribution . . . . . . . . . . . 36 9.7 Example(significantincreaseinsaleofSkodas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Statistics Contents 9.8 ThebinomialapproximationtothePoissondistribution . . . . . . . . . . . . . . 37 9.9 ThenormalapproximationtothePoissondistribution . . . . . . . . . . . . . . . 37 9.10 Example(significantdecreaseinnumberofcomplaints) . . . . . . . . . . . . . . 38 9.11 Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9.12 Confidenceintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10 ThegeometricaldistributionGeo(p) 39 10.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.3 Pointprobabilitiesandtailprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11 ThehypergeometricaldistributionHG(n,r,N) 41 11.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11.3 Pointprobabilitiesandtailprobabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 11.5 Thebinomialapproximationtothehypergeometricaldistribution . . . . . . . . . 42 11.6 Thenormalapproximationtothehypergeometricaldistribution . . . . . . . . . . 42 3 Study at Linköping University and get the competitive edge! Interested in Computer Science and connected fields? 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Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 13.5 Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 14 TheexponentialdistributionExp(λ) 45 14.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 14.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 14.3 Densityanddistributionfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 14.4 Expectedvalueandvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 15 Thenormaldistribution 46 15.1 Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 15.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 15.3 Densityanddistributionfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 15.4 Thestandardnormaldistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 15.5 PropertiesofΦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 15.6 Estimationoftheexpectedvalueµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 15.7 Estimationofthevarianceσ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 15.8 Confidenceintervalsfortheexpectedvalueµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 15.9 Confidenceintervalsforthevarianceσ2 andthestandarddeviationσ . . . . . . . 50 15.10Additionformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 16 Distributionsconnectedwiththenormaldistribution 50 16.1 Theχ2 distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 16.2 Student’stdistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 16.3 Fisher’sF distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 17 Testsinthenormaldistribution 53 17.1 Onesample,knownvariance,H : µ = µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 0 0 17.2 Onesample,unknownvariance,H : µ = µ (Student’sttest) . . . . . . . . . . 53 0 0 17.3 Onesample,unknownexpectedvalue,H : σ2 = σ2 . . . . . . . . . . . . . . . 54 0 0 17.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 17.5 Twosamples,knownvariances,H : µ = µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 0 1 2 17.6 Twosamples,unknownvariances,H : µ = µ (Fisher-Behrens) . . . . . . . . 57 0 1 2 17.7 Twosamples,unknownexpectedvalues,H : σ2 = σ2 . . . . . . . . . . . . . . 57 0 1 2 4 Download free eBooks at bookboon.com 8 Statistics Contents 17.8 Twosamples,unknowncommonvariance,H : µ = µ . . . . . . . . . . . . . 58 0 1 2 17.9 Example(comparisonoftwoexpectedvalues) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 18 Analysisofvariance(ANOVA) 60 18.1 Aimandmotivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 18.2 k samples,unknowncommonvariance,H : µ = = µ . . . . . . . . . . . 60 0 1 k ··· 18.3 Twoexamples(comparisonofmeanvaluesfromthreesamples) . . . . . . . . . 61 19 Thechi-squaredtest(orχ2 test) 63 19.1 χ2 testforequalityofdistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 19.2 Theassumptionofnormaldistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 19.3 Standardizedresiduals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 19.4 Example(womenwithfivechildren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 19.5 Example(election) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 19.6 Example(deathsinthePrussiancavalry) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 20 Contingencytables 70 20.1 Definition,method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 20.2 Standardizedresiduals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 20.3 Example(students’politicalorientation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 20.4 χ2 testfor2 2tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 × 20.5 Fisher’sexacttestfor2 2tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 × 20.6 Example(Fisher’sexacttest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 21 Distribution-freetests 74 21.1 Wilcoxon’stestforonesetofobservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 21.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 21.3 ThenormalapproximationtoWilcoxon’stestforonesetofobservations . . . . . 77 21.4 Wilcoxon’stestfortwosetsofobservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 21.5 ThenormalapproximationtoWilcoxon’stestfortwosetsofobservations . . . . 78 22 Linearregression 79 22.1 Themodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 22.2 Estimationoftheparametersβ andβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 0 1 22.3 Thedistributionoftheestimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 22.4 Predictedvaluesyˆ andresidualseˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 i i 22.5 Estimationofthevarianceσ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 22.6 Confidenceintervalsfortheparametersβ andβ . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 0 1 22.7 ThedeterminationcoefficientR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 22.8 Predictionsandpredictionintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 22.9 Overviewofformulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 22.10Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 A Overviewofdiscretedistributions 86 5 Download free eBooks at bookboon.com 9 Statistics Contents B Tables 87 B.1 Howtoreadthetables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 B.2 Thestandardnormaldistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 B.3 Theχ2 distribution(valuesxwithF (x) = 0.500etc.). . . . . . . . . . . . . . 92 χ2 B.4 Student’stdistribution(valuesxwithF (x) = 0.600etc.) . . . . . . . . . 94 Student B.5 Fisher’sF distribution(valuesxwithF (x) = 0.90) . . . . . . . . . . . . . 95 Fisher B.6 Fisher’sF distribution(valuesxwithF (x) = 0.95) . . . . . . . . . . . . . 96 Fisher B.7 Fisher’sF distribution(valuesxwithF (x) = 0.99) . . . . . . . . . . . . . 97 Fisher B.8 Wilcoxon’stestforonesetofobservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 B.9 Wilcoxon’stestfortwosetsofobservations,α = 5% . . . . . . . . . . . . . . . 99 C Explanationofsymbols 100 D Index 102 6 Download free eBooks at bookboon.com 10