“main” i i2002/10/31 page1 i i (cid:0) (cid:1) (cid:0) ¡ Bo ThidØ U p s i l o n B o o k s i i i i “main” i i2002/10/31 page2 i i i i i i “main” i i2002/10/31 page3 i i ¡ ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY Bo Thidé i i i i “main” i i2002/10/31 page4 i i Alsoavailable ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY EXERCISES by TobiaCarozzi,AndersEriksson,BengtLundborg, BoThidéandMattiasWaldenvik i i i i “main” i i2002/10/31 page1 i i E LECTROMAGNETIC F T IELD HEORY o hide B T ´ SwedishInstituteofSpacePhysics and Department ofAstronomyandSpace Physics Uppsala University,Sweden and SchoolofMathematics andSystemsEngineering Va¨xjo¨ University,Sweden ¡ Upsilon Books Communa AB Uppsala Sweden (cid:1) (cid:1) (cid:1) i i i i “main” i i2002/10/31 page2 i i ThisbookwastypesetinLATEX2" (basedonTEX3.14159andWeb2C7.3.9) onanHPVisualize9000/360workstationrunningHP-UX11.11. Copyright©1997,1998,1999,2000,2001and2002by BoThidé Uppsala,Sweden Allrightsreserved. ElectromagneticFieldTheory ISBNX-XXX-XXXXX-X i i i i “main” i i2002/10/31 pagei i i Contents Preface xi 1 ClassicalElectrodynamics 1 1.1 Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Coulomb’slaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Theelectrostaticfield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Magnetostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Ampère’slaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Themagnetostaticfield . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Equationofcontinuityforelectriccharge . . . . . . . . 10 1.3.2 Maxwell’sdisplacementcurrent . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Electromotiveforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Faraday’slawofinduction . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 Maxwell’smicroscopicequations . . . . . . . . . . . . 15 1.3.6 Maxwell’smacroscopicequations . . . . . . . . . . . . 16 1.4 ElectromagneticDuality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Example1.1 Faraday’slawasaconsequenceofconserva- tionofmagneticcharge . . . . . . . . . . . . . 18 Example1.2 Dualityoftheelectromagnetodynamicequations 19 Example1.3 Dirac’ssymmetrisedMaxwellequationsfora fixedmixingangle . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Example1.4 Thecomplexfieldsix-vector . . . . . . . . . 21 Example1.5 Dualityexpressedinthecomplexfieldsix-vector22 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ElectromagneticWaves 25 2.1 TheWaveEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 ThewaveequationforE . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 ThewaveequationforB . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Thetime-independentwaveequationforE . . . . . . . 27 Example2.1 Waveequationsinelectromagnetodynamics . . 28 2.2 PlaneWaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Telegrapher’sequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Wavesinconductivemedia . . . . . . . . . . . . . . . . 32 i i i i i “main” i i2002/10/31 pageii i i ii CONTENTS 2.3 ObservablesandAverages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 ElectromagneticPotentials 37 3.1 TheElectrostaticScalarPotential . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 TheMagnetostaticVectorPotential . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 TheElectrodynamicPotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1 Electrodynamicgauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Lorentzequationsfortheelectrodynamicpotentials . . . 40 Gaugetransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.2 Solution of the Lorentz equations for the electromag- neticpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Theretardedpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Example3.1 Electromagnetodynamicpotentials . . . . . . 46 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 RelativisticElectrodynamics 49 4.1 TheSpecialTheoryofRelativity . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.1 TheLorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.2 Lorentzspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Radiusfour-vectorincontravariantandcovariantform . 52 Scalarproductandnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Metrictensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Invariantlineelementandpropertime . . . . . . . . . . 54 Four-vectorfields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 TheLorentztransformationmatrix . . . . . . . . . . . . 56 TheLorentzgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.3 Minkowskispace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 CovariantClassicalMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 CovariantClassicalElectrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.1 Thefour-potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.2 TheLiénard-Wiechertpotentials . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.3 Theelectromagneticfieldtensor . . . . . . . . . . . . . 64 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5 ElectromagneticFieldsandParticles 69 5.1 ChargedParticlesinanElectromagneticField . . . . . . . . . . 69 5.1.1 Covariantequationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . 69 Lagrangeformalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Hamiltonianformalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Downloadedfromhttp://www.plasma.uu.se/CED/Book Draftversionreleased31stOctober2002at14:46. i i i i “main” i i2002/10/31 pageiii i i iii 5.2 CovariantFieldTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.1 Lagrange-Hamiltonformalismforfieldsandinteractions 76 Theelectromagneticfield . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Example5.1 Fieldenergydifferenceexpressedinthefield tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Otherfields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6 ElectromagneticFieldsandMatter 87 6.1 ElectricPolarisationandDisplacement . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1.1 Electricmultipolemoments . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2 MagnetisationandtheMagnetisingField. . . . . . . . . . . . . 90 6.3 EnergyandMomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3.1 TheenergytheoreminMaxwell’stheory . . . . . . . . 92 6.3.2 ThemomentumtheoreminMaxwell’stheory . . . . . . 93 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7 ElectromagneticFieldsfromArbitrarySourceDistributions 97 7.1 TheMagneticField . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.2 TheElectricField . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.3 TheRadiationFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4 RadiatedEnergy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.4.1 Monochromaticsignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.4.2 Finitebandwidthsignals . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8 ElectromagneticRadiationandRadiatingSystems 109 8.1 RadiationfromExtendedSources . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.1.1 Radiationfromaone-dimensionalcurrentdistribution . 110 8.1.2 Radiationfromatwo-dimensionalcurrentdistribution . 113 8.2 MultipoleRadiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.2.1 TheHertzpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.2.2 Electricdipoleradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.2.3 Magneticdipoleradiation . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.2.4 Electricquadrupoleradiation . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.3 RadiationfromaLocalisedChargeinArbitraryMotion . . . . . 124 8.3.1 TheLiénard-Wiechertpotentials . . . . . . . . . . . . . 125 8.3.2 Radiationfromanacceleratedpointcharge . . . . . . . 127 Thedifferentialoperatormethod . . . . . . . . . . . . . 129 Example8.1 Thefieldsfromauniformlymovingcharge . . 134 Draftversionreleased31stOctober2002at14:46. Downloadedfromhttp://www.plasma.uu.se/CED/Book i i i i “main” i i2002/10/31 pageiv i i iv CONTENTS Example8.2 Theconvectionpotentialandtheconvectionforce136 Radiationforsmallvelocities . . . . . . . . . . . . . . 139 8.3.3 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Example8.3 Bremsstrahlungforlowspeedsandshortac- celerationtimes . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3.4 Cyclotronandsynchrotronradiation . . . . . . . . . . . 145 Cyclotronradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Synchrotronradiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Radiationinthegeneralcase . . . . . . . . . . . . . . . 150 Virtualphotons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.3.5 Radiationfromchargesmovinginmatter . . . . . . . . 153 Vavilov-Cˇerenkovradiation . . . . . . . . . . . . . . . 155 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 F Formulae 161 F.1 TheElectromagneticField . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 F.1.1 Maxwell’sequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Constitutiverelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 F.1.2 Fieldsandpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Vectorandscalarpotentials . . . . . . . . . . . . . . . 161 Lorentz’gaugeconditioninvacuum . . . . . . . . . . . 162 F.1.3 Forceandenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Poynting’svector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Maxwell’sstresstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 F.2 ElectromagneticRadiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 F.2.1 Relationshipbetweenthefieldvectorsinaplanewave . 162 F.2.2 Thefarfieldsfromanextendedsourcedistribution . . . 162 F.2.3 Thefarfieldsfromanelectricdipole . . . . . . . . . . . 162 F.2.4 Thefarfieldsfromamagneticdipole . . . . . . . . . . 163 F.2.5 Thefarfieldsfromanelectricquadrupole . . . . . . . . 163 F.2.6 Thefieldsfromapointchargeinarbitrarymotion . . . . 163 F.3 SpecialRelativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 F.3.1 Metrictensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 F.3.2 Covariantandcontravariantfour-vectors . . . . . . . . . 164 F.3.3 Lorentztransformationofafour-vector . . . . . . . . . 164 F.3.4 Invariantlineelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 F.3.5 Four-velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 F.3.6 Four-momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 F.3.7 Four-currentdensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 F.3.8 Four-potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Downloadedfromhttp://www.plasma.uu.se/CED/Book Draftversionreleased31stOctober2002at14:46. i i i i